CC BY
40
УДК - 512.542
К ИССЛЕДОВАНИЮ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
С.В.Путилов, Э.П.Головко, Е.Н.Пушкарёва
Получены теоремы типа Силова и критерии непростоты, сверхразрешимости конечной группы с определёнными силовскими, холловскими подгруппами и с субнормальными подгруппами Шмидта.
Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, нормализатор, добавление, холлова подгруппа, пара подгрупп, перестановочные подгруппы.
Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения имеются в [1-8]. В настоящей работе доказываются усиления некоторых теорем из [1], [7], [8], [9], а также приводятся новые результаты, которые дополняют исследования начатые в [4].
Определение 1. ([1]) Для собственной подгруппы Н группы С пара (А, В) называется 0- парой подгруппы Я группы С, если (1) <Я, Л>=С и 5 = (ЛП
Я)с, (2) если Аг/В- собственная подгруппа А/В и Аг/В < С/5, то С Н,А1 >.
Лемма 1. Пусть К- нормальная подгруппа конечной группы С. Если для каждой максимальной подгруппы Р любой силовской 2- подгруппы группы С, имеющей с К нециклическое пересечение, есть 0- пара (А, В), такая, что А/В 2- нильпотентна и С = РА, то отлична от единичной группы.
Доказательство. Допустим, что = 1. Пусть С2, К2- силовские 2- подгруппы соответственно в С и К. Если С2 циклическая, то по теореме ГУ.2.8[2] группа С 2-нильпотентна и 1с 5(С). Пусть С2 нециклическая. Если К2 циклическая, то, как и выше, подгруппа К 2-нильпотентна и 1 с 5(С). Поэтому К П С2 = К2 будет нециклической группой. Тогда по условию для любой максимальной подгруппы Р из С2 справедливо С = РА. Так как В с 5(С) = 1 , то Л 2- нильпотентна. Пусть А = А2[й], где й- 2-дополнение в А. Ясно, что Л с Ыс(й) = С. Пусть С2ПС с С2. Тогда С2ПС содержится в максимальной подгруппе Q из С2 и по условию в группе С существует 0- пара (Я, 1), такая, что С = QH и Н 2- нильпотентна.
Пусть Н = Н2 [Т]. Так как Б и ? являются холловыми подгруппами нечётного порядка в С, то по теореме из [3] Б = F■s,, для подходящего элемента д из С. Поскольку С = QH, то элемент д = аЪ, а Е Q,b Е Н. Далее из нормальности F в Я, следует, что элемент д можно выбрать из Q. Кроме того, Нд с Ыс(Р)д = Ыс(Рд) = Ыс(й) = С. Поэтому в = вд = (^Я)я = ддНд = QHg = QC и С2 = С2 П С = С2 П ^С = Q(G2 ПС)с Q, что противоречиво. Значит, С2 П С = С2. Тогда б2 - С и С = РА = РС = С. Получили, что 1 сД с 5(С). Противоречие. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть Г- класс конечных групп, являющийся гомоморфом. Если А/В Е Г, где А - подгруппа конечной группы С, В < А и Ы < в, то (АЫ/ВЫ) Е Г.
Доказательство. Так как АЫ/ВЫ = АВЫ/ВЫ = А/(АПВЫ) = А/В(АПЫ) = (А/В)/(В(АПЫ)/В) Е Г, то (АЫ/ВЫ) Е Г. Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть К- нормальная подгруппа конечной группы С. Если для любой максимальной подгруппы Р каждой силовской подгруппы в группе С, имеющей с К нециклическое пересечение, существует 0- пара (А, В), такая, что А/В сверхразрешима и С = РА, то всякая нетривиальная факторгруппа С/Ы группы С имеет такие же свойства, относительно нормальной подгруппы КЫ/Ы.
Доказательство. Пусть силовская р- подгруппа СрЫ/Ы факторгруппы С/Ы имеет с КЫ/Ы нециклическое пересечение.
Пусть Ы ^ К. Тогда №рЫ/Ы) П (К/Ы) = (врЫ П К)/Ы = (Ср П К)Ы/Ы = КрЫ/Ы = Кр/(КрПЫ).
Пусть N не включается в К. Тогда (GpN) П К < GpN и по лемме 5[4] (GpN) П К = (Gp HK)(NnK) = Kp(N П К"). Следовательно, (GpN П K)N/N = Kp(N П K)N/N = KpN/N = Kp/(Kp nW). Значит, силовская p- подгруппа Kp в группе К нециклическая. Тогда по условию для максимальной подгруппы Р из Gp существует в- пара (А, В), такая, что А/В сверхразрешима и G = РА. Поэтому G/N = PA/N = (PN/N)(AN/N). Пусть (C/N)/(BN/N) - наименьшая собственная подгруппа из (AN/N)/(BN/N) нормальная в (G/N)/(BN/N), удовлетворяющая равенству G/N = (PN/N)(C/N). Ясно, что (BN/N) с ((PN/N) П (C/N))g/n = D/N. Поэтому (C/N)/(D/N) = C/D = (С/BN)/(D/BN). Так как А/В сверхразрешима, то по лемме 2 AN/BN сверхразрешима. Тогда из включения C/BN&AN/BN следует сверхразрешимость C/BN. Значит, (C/N)/(D/N) сверхразрешима. Следовательно, пара (C/N,D/N) является в- парой для PN/N в G/N. Лемма 3 доказана.
Теорема 1. Пусть К - нормальная подгруппа конечной группы G. Если для любой максимальной подгруппы Р каждой силовской подгруппы в группе G, имеющей с К нециклическое пересечение, существует в- пара, (А, В) такая, что А/В сверхразрешима и G = РА, то К сверхразрешима.
Доказательство. Пусть теорема неверна и группа G - контрпример минимального порядка. По лемме 1 lc S(G). Пусть N - минимальная нормальная подгруппа группы G и N £ S(G). По лемме 3 условия теоремы наследуются факторгруппой G/N. Поэтому по индукции подгруппа KN/N сверхразрешима.
Пусть KnN = 1. Тогда KN/N = К/К П N = К/1 = К и К сверхразрешима. Значит, N с К и K/N сверхразрешима, откуда К разрешима. Если L- неразрешимая минимальная нормальная подгруппа в G, то по лемме 3 G/L наследует условия теоремы. Тогда по индукции KL/L сверхразрешима. Так как LnN = 1, то К ПЬ = 1. Поэтому KL/L = К и К сверхразрешима. Следовательно, N - единственная минимальная нормальная подгруппа в G. Поскольку K/N сверхразрешима, то Ф(С) = Ф(^) = 1 и N нециклическая.
Пусть N = Gp - силовская р- подгруппа группы G. Если Р- максимальная подгруппа в N, то по условию теоремы существует пара (А, В), такая, что А/В сверхразрешима и G = РА. Так как(РПЛ) cW, то В = (РПЛ)С = 1. Поэтому А сверхразрешима.
Так как N = NnG=NnPA = P(N П А), то Тогда из минимальности N
в G и нормальности N П А в G следует, что N П А = N. Поэтому G = А сверхразрешима, откуда К сверхразрешима. Следовательно, N- собственная подгруппа в силовской р-подгруппе Gp группы G.
Пусть Q-силовская q- подгруппа в К для наибольшего простого q из п(К) и N не включается в Q. Поскольку NQ/N < K/N, то NQ < К. Из равенства Ф(Ю = 1 по лемме 19.7[5] следует, что в К существует максимальная подгруппа М, такая, что К = NM, N П М = 1. Так как N самоцентрализуема в G, то N является подгруппой Фиттинга в К. Далее для любого элемента х из К справедливо, что NQ = (NQ)X = NQX. Тогда для любого автоморфизма а подгруппы К выполняется равенство (NQ)a = NaQa = NQX = NQ, для подходящего элемента х из К. Значит, NQ - характеристическая подгруппа в К, откуда NQ < G.
Пусть NQ с К. Тогда по индукции NQ сверхразрешима, откуда NQ = N X Q и Q < G, что противоречит единственности N в G. Пусть NQ = К и Q- циклическая группа. Рассмотрим в G подгруппу Т = GpK = GpQ. Пусть Т с G и Р- произвольная максимальная подгруппа из Gp. Тогда по условию существует пара (А, В), такая, что G = РА и А/В сверхразрешима, В = (Р П А)с. Так как Т = Т П G = GpQ П РА = P(GpQ ПА) = РА1 иРпЛ1 = РП GpQ П А = Р П А, то Вг = (Р П А1)т 3(РП А)с = В.
Поэтому А1/В1 = (А1/В)/(В1/В). Поскольку Аг/В^А/В и А/В сверхразрешима, то Ах/Вх сверхразрешима.
Следовательно, подгруппа Т наследует условия теоремы и по индукции К сверхразрешима, что противоречиво.
Пусть GpQ = С. По лемме Фраттини С = KNG(Q) = NQNG(Q) = Из
минимальности N в С следует, что N П = 1. Пусть Б = и Бр - силовская р -
подгруппа в Б. Тогда где й максимальная подгруппа в и по условию в С
существует пара (А, В), такая, что С = ЯА и Л/5 сверхразрешима. Так как = , то N не включается в й. Поэтому В = 1 и А сверхразрешима. Поскольку любая силовская q-подгруппа группы С включается в К, то , без ограничения общности, можно считать, что Q = Ая. Тогда А^И иС = ДЛ = Д£= = Д^. Так как < |С|, то пришли к
противоречию.
Пусть NQ = К и Q нециклическая группа, а так же Р максимальная подгруппа в которая не содержит N. Тогда по условию существует пара (А, 1), такая, что С = РА и А сверхразрешима. Аналогично для любой максимальной подгруппы М из силовской -подгруппы группы С существует пара (С, 1), такая, что С = МС и С сверхразрешимая не холлова подгруппа в С. Пусть q- наибольшее простое число из Тогда из
сверхразрешимости С следует, что силовская д-подгруппа Сс} из С нормальна в С. Пусть 5 силовская д-подгруппа из С, которая содержит Сс}. Тогда С = БС и по лемме 4.7[6] С^ £ 5С, что противоречит единственности N.
Пусть t отлично от q и ^ наибольшее простое из л"(С). Так как С = РА и силовская подгруппа А{ из А нормальна в А, то, для подходящего х из Р, Л* с с. Поэтому Ас с с*"1 = я. Поскольку (^-.А! |G:H|) = 1, то б=ЛЯс Следовательно,
нормальна в С, что противоречиво.
Пусть N ^ Q. Тогда Q нормальна в К и Q будет подгруппой Фиттинга в К. Если N с Q, то ^с Сс(М), что противоречиво. Значит, N = Q. Допустим, что q наибольшее простое из Так как Ф(С) = 1, то N не включается в ф(С^). Поэтому существует
максимальная подгруппа Н из 5 = С^, которая не содержит N. По условию в С существует пара (М, 1), такая, что С = НМ и М сверхразрешимая не холлова подгруппа в С. Тогда по лемме 4.7 [6] получим, что М^ £ 5С. Поскольку Ф(С) = 1, то в группе С существует максимальная подгруппа F такая, что С = NF и ^ПР = 1. Пусть . Тогда С =
и 1с (5С П*1) < С, что противоречит единственности N в С. Значит, Бс = N.
Пусть М^ с N . Так как ^ с , то ММ с С. Пусть Т максимальная подгруппа из и N с т. Тогда по условию существует пара (Ь,Х), такая, что С = ТЬ и Ь/Х сверхразрешима. Пусть 1 с X. Ясно, что 1 с X = (Г П ¿)с только тогда, когда Поскольку = ТЬц, Ьц- силовская q- подгруппа из ¿, то не включается в N. В противном случае, придём к противоречию = Т. Поэтому N собственная подгруппа в Ьц. Если ЬЦ^Х, то из Х^Т следует вц = Т. Значит, X с . Теперь из сверхразрешимости ¿/X получаем, что Ьч/Х < ¿/X, откуда Ья < Ь. Тогда по лемме 4.7[6] Ьц с М, откуда Ьц с Т, что противоречиво.
Пусть Мц = N. Тогда К включается в М и К сверхразрешима. Противоречие. Следоватедльно, q не является наибольшим простым в
Допустим, что в К силовская г- подгруппа нециклическая, для простого г ^ q, г Е л(К). Тогда, считая простое число t наибольшим в л"(С), как и ранее придём к противоречию с единственностью N. Следовательно, только силовские q- подгруппы будут нециклическими в К.
Так как q не является наибольшим простым в л"(С), то подгруппа Т = собственная в С. Тогда, как показано ранее, Т наследует условия теоремы. Поэтому по индукции К сверхразрешима. Теорема 1 доказана.
3
Следствие 1. ([1]) Если для любой максимальной подгруппы Р каждой нециклической силовской подгруппы в конечной группе С существует в- пара (А, В), такая, что А/В сверхразрешима и С = РА, то С сверхразрешима.
Доказательство следует из теоремы 1 при К = С.
Теорема 2. Если в конечной группе G существует субнормальная р-замкнутая pd-подгруппа Шмидта, то G р-разрешима.
Доказательство. Пусть S - данная по условию группа Шмидта и £ = [Р^, где Р е £у1 р(£), Q е £у1ч(£). Так как £ << G, то Р д Ор (О) и в G есть минимальная нормальная р-подгруппа N.
Рассмотрим фактор-группу G / N = G .
Пусть N = Gp . Тогда р' -группа О р-разрешима. Так как Gp и О р-разрешимы, то О р-разрешима. Поэтому N д Ор .
Пусть в О нет р-сверхразрешимых pd-подгрупп Шмидта. Тогда по лемме 7 [7] О р-замкнута, то есть Ор < О . Так как Ор = Ор / N, то Ор / N < О / N . Тогда Ор < О, откуда группа О р-разрешима. Следовательно, в О есть р-сверхразрешимые pd-подгруппы Шмидта и пусть Н одна из них. По лемме 1 [7] подгруппа НО бипримарна, а значит, НО разрешима. Пусть К - произведение нормальных замыканий всех р-сверхразрешимых pd-подгрупп Шмидта группы О . Тогда К - нормальная разрешимая собственная подгруппа в группе О .
Допустим, что О / К не р-замкнута. Тогда по лемме 7 [7] в О / К существует р-сверхразрешимая pd -подгруппа Шмидта А / К . Так как А / К р-сверхразрешима, то р-факторы А / К имеют порядок р. Следовательно, ранг А / К равен 1.
Пусть А / К р-замкнута. Так как ранг А / К равен 1, то по лемме 10 [7] показатель числа р по модулю q равен 1. По лемме 2 [7] в минимальном добавлении L к подгруппе К в группе А существует р-замкнутая (р, q} -подгруппа Шмидта [р ]Q такая, что Q д: К и ([р Q)L = £ , где Р , Q - соответственно р-силовская, q-силовская. Так как показатель числа р по модулю q равен 1, то по лемме 10 [7] ранг группы Шмидта [ Р ] Q равен 1. Следовательно, [р ]Q р-сверхразрешима. Тогда из определения подгруппы К следует, что £ = ([р ]Q )ь д ([р Q )О д К , что противоречит не включению Q в К .
Пусть А / К является р-нильпотентной группой Шмидта. Тогда по лемме 2 [7] в минимальном добавлении £ к подгруппе К в группе А существует р-нильпотентная (р, q}-подгруппа Шмидта [ Q ] Р такая, что Р д К и Ь = ^ ]р )£ . Так как каждая р-нильпотентная pd-подгруппа Шмидта р-сверхразрешима, то подгруппа [ Q ] Р р-сверхразрешима. Тогда из определения К следует, что Ь = ([ Q ] Р)Ь д ([ Q ] Р)О д К . Пришли к противоречию с тем, что Р дд К .
Пусть О / К р-замкнута, откуда О / К р-разрешима. Так как К разрешима, то из р-разрешимости О /К следует р-разрешимость О = О/N, где N д Ор(О). Значит,
группа О р-разрешима. Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Если в конечной группе О существует субнормальная 2-замкнутая 2d-подгруппа Шмидта, то О разрешима.
Доказательство. По теореме 2 группа О 2-разрешима. Так как 2-разрешимая группа разрешима, то утверждение следует. Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Если в конечной группе О для каждого простого числа р из п(О) существует субнормальная р-замкнутая pd-подгруппа Шмидта, то О разрешима.
Доказательство. По теореме 2 группа О р-разрешима для каждого простого числа р е тт(О) . Тогда О разрешима. Следствие 2 доказано.
Теорема 3. Пусть в конечной группе О все р-нильпотентные pd- подгруппы Шмидта субнормальны и £ = [ £ ] £р одна из них. Кроме того, О р-разрешимая для
р > 2. Тогда в О все субнормальные р-нильпотентные pd- подгруппы Шмидта имеют тип р и включаются в Оч р (О), где q, р е ж(О).
Доказательство. Пусть ;т(О) - множество всех простых делителей порядка группы О. Тогда q е ж(О)\ (р}. Так как £ « О, то £q д Оч (О) Ф 1. Тогда по лемме 5 [7] в О / Оч (О) нет р-нильпотентных pd-подгрупп Шмидта, откуда по лемме 6 пункты 2), 3) [7] О / Оч (О) р-замкнута.
Пусть г Ф q и г е тг(О) \ (р}. Допустим, что в О существует р-нильпотентная pd-подгруппа Шмидта К = [Кг ]К .
Поскольку О/Оч(О) р-замкнута, то ОрОч(О)/Оч(О) < О/Оч(О), откуда ОрОч (О) < О . Очевидно, что каждая силовская р-подгруппа из О включается в ОрОч (О). Следовательно, К д ОрОч (О) . Поэтому
К о ОрОч (О) = [Кг ]Кр о ОрОч (О) = Кр (Кг о ОрОч (О)) = Кр < К . Значит, К нильпотентна, что противоречиво. Получили, что в группе О нет подгрупп Шмидта типа £^г ^. Ясно, что каждая субнормальная р-нильпотентная pd-
подгруппа Шмидта включается в Очр (О) = ОрОч (О). Теорема 3 доказана.
Лемма 4. ПустьР е 5у/р(С)и К с С. Если КР = РК, то Р П К = Кр £ Бу1р(К). Доказательство. Так как КР = РК, то КР с С. Поскольку? £ 5у/р(С), то Р £ Бу1р(КР). Тогда (|КР:Р|,р) = 1.
Так как |KP| = то ^ = Получили, что|КР:Р| = |K:KnP|, откуда
(|K: К П Р|, р) = 1. Следовательно, К П Р = Кр. Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Пусть Н - п-холлова подгруппа в G, К с £ и К перестановочна хотя бы с одной силовской р-подгруппой из Н для любогор £ л"(Я). Тогда если п П л(К) с л"(Я), то К П Н - п- холлова подгруппа в К.
Доказательство. Пусть Р - силовская р - подгруппа в Н. Тогда по условию КР = РК и по лемме 4 К П Р = Кр £ Бу1р(К).
Так как Кр с р с я, то Кр с Я. Значит, Кр £ К П Я для любогор £ п(Н П К). Докажем, что|^: Н П - п' - число. Допустим, что Н П делится на простое число г Е п. Тогда г£яП с л"(Я), и по условию найдется такаяЯг £ 5у/г(Я), что НГК = КНГ и по лемме 4 К П Яг = Кг. Следовательно, Кг с ЯП^, откуда (|^г|, |Я П
Тогда |^:^ПЯ| = \К\/\К^Н\ = |ЛТГ| ■ т/|ЛТг| • п = где (г,ш) = 1. Следовательно, |^:^ПЯ| =— не делится на г, что противоречит допущению.
Значит, |K: Н П K| - п'- число и так как |Я П - п- число, то Н П К - п- холлова в К. Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть X, У - подгруппы конечной группы G такие, что G=XY, X -собственная п- холлова. Если X перестановочна с каждой силовской s-подгруппой из Y для 5 £ л"(С)\л", то X перестановочна с любой силовской s-подгруппой из G.
Доказательство. Пусть S - силовская s-подгруппа из Y, перестановочная с подгруппой X и F - произвольная силовская s-подгруппа из G.По теореме Силова Р = 5я
для некоторого элемента а из G. Так как G=XY, то а = ух, где у ЕУ,х Е X. Тогда ХР = ХБа = ХБУХ = Х(БУ)Х = {ХБУ)Х = (БУХ)Х = БУ*Х = БаХ = Лемма 6 доказана.
Теорема 4. Пусть А, В и X - подгруппы группы G такие, что G=AB, А -собственная нильпотентная п-холлова подгруппа и X- нормальная разрешимая подгруппа. Зафиксируем простое число q Е п(С)\п. Если для каждого р £ п(С)\п,р ^ q, подгруппа А будет X - перестановочна с любой силовской р-подгруппой из В, то G -разрешима.
Доказательство. Пусть теорема неверна и G - контрпример минимального порядка.
Если |л"(С)\л"| = 1, то С = AQ, где Q - д-силовская подгруппа группы G, q Е п(в)\п. Тогда по теореме ГУ.4.3[2] G разрешима.
Значит, |л"(С)\л"| > 2. Проверим, что факторгруппа G/X с подгруппами АХ/Х, ВХ/Х и единичной подгруппой Х/Х удовлетворяет требованиям теоремы. Так как G=AB, тоG/X=AB/X= (АХ/Х)(ВХ/Х), где АХ/Х -холлова нильпотентная п-подгруппа в G/X.
Если ^(в /Х^^ = 1, то, как и ранее для ^ по теореме ГУ.4.3[2] получим, что G/X разрешима, откуда G разрешима, что противоречиво.
Пусть простое число р е (п(ВХ/Х) П (п(С /Х)\п)>), р Ф q. Тогда р делит \ВХ/Х\ =
и р делит /Х\ = |G: Х|, откуда р £ (п(В) П (л"(С)\л")), р Ф q. Пусть Р - силовская
р-подгруппа из В. Так как р £ п(С)\п, то Р - силовская р-подгруппа в G.
Тогда РХ/Х - силовская р- подгруппа в G/X. Поскольку РХ/Х с ВХ/Х, то РХ/Х -силовская р-подгруппа в ВХ/Х.
По условию теоремы А и Р будут Х-перестановочны, то есть ЗхЕХ:АРх = РхАТогда АРХХ/Х = (АХ/Х)(РХХ/Х) = (АХ/Х) (х'1 РхХ/Х) = (АХ/Х)(РХ/Х).
Аналогично, РХАХ/Х = (РХ/Х)(АХ/Х).
Так как АРХХ/Х = РХА/Х, то (АХ/Х)(РХ/Х) = (РХ/Х)(АХ/Х), то есть (АХ/Х) перестановочна с каждой силовской р - подгруппой из5Х/Хдля каждого р £ п(С/Х)\ п, р Ф ц.Таким образом, фактор-группа G/X наследует условия теоремы. Если X Ф 1, то |С/Х| < |С| и по индукции фактор-группа G/X разрешима, откуда G- разрешима.
Значит, Х=1. В этом случае подгруппа А перестановочна с любой силовской р-подгруппой Р1из В для каждого р £ п(С)\п, р ^ q.
Пусть Р - произвольная силовская р-подгруппа в группе G. По лемме 6 АР = РА. Таким образом, подгруппа А перестановочна с любой силовской р-подгруппой группы G для каждого р £ п(С)\п, р Ф q.
Поскольку |л"(С)\л"| > 2, то АСр с С для каждого р £ п(С)\п,р ^ q, и каждой силовской р-подгруппы из С. Так как АСр = йрА, Ух £ С, то по лемме 3 [4], или Ас или Вс отличны от G. Следовательно группа G непроста.
Пусть К - минимальная нормальная подгруппа группы G. Тогда А П К = ^является п-холловой подгруппой в К. ПустьРг - произвольная силовская р-подгруппа из К, р £ п(К)\п, р ^ д.По теореме Силова Р1 £ Рдля некоторой силовской р- подгруппы Р из &
По лемме 5 [4] К П АР = (К П А)(К П Р) = А1Р1 £ С. Значит, А1 перестановочна с каждой силовскими р-подгруппами из К.
Так как G=AB и К нормальна в G, то по лемме 5 [4] К = КПв=КП АВ = (К П А)(К П В) = А1В1. Следовательно, К наследует условия теоремы. Поскольку < |С|, то по индукцииКразрешима.
Так же как и для G/X проверяется выполнение условий теоремы для G/K. Поэтому по индукции G/K разрешима, откуда G разрешима. Теорема 4 доказана.
Лемма 7.ПустьН - подгруппа конечной группы G и N - нормальная подгруппа в G. Если Р - силовская р-подгруппа в Н для р£ Л"(С), то - силовская р- подгруппа в
НМК
Доказательство. Так как N П Янормальна в H, тоР( N П Я)/( N П Я) является силовской p-подгруппой в Н/(^ПЯ) = HN/N. Далее P(N П H)/(N ПЯ) s P/(N ПЯП Р) = P/(N ПР) s PN/N. Следовательно, PN/N - силовская р-подгруппа в HN/N. Лемма 7 доказана
Теорема 5. Пусть X, Y и N- подгруппы конечной группы G такие, что G=XY, X -собственная п-холлова и N - нормальная. Если для каждого простого числа5 G n(G)\n, подгруппа X будет N-перестановочна с любой ненормальной силовской s-подгруппой из Y, то справедливы следующие утверждения:
Если NE Сп', то GE Сп'.
Если NE Д^то GE Dn'.
Доказательство. Пусть теорема неверна и группа G - контрпример минимального порядка. Если для каждого s Е n(G)\n любая силовская s-подгруппа из Y нормальна в Y, то в G существует нильпотентная я'-холлова подгруппа, порядок которой совпадает с |С:Х|.Тогда по теореме III.5.8 [2] GEDn'. Следовательно, существуют s En(G)\n, для которых силовские s- подгруппы ненормальны в Y.
Проверим, что факторгруппа G/N с подгруппами XN/N, YN/N и единичной подгруппой ЖЫнаследует условия теоремы. Так как G=XY, тоG/N=(XN/N)(YN/N), гдеXN/NsX/(N ПХ) - я-холлова подгруппа в G/N.
Пусть S - ненормальная силовская s-подгруппа в Y, s Е n(G)\n. Тогда по лемме 7 SN/N - силовская s-подгруппа вYN/N.Если все силовские s-подгруппы, для5 Е n(G)\n, нормальны в YN/N, то по теореме III.5.8 [2] G/NE Dn'.
Поэтому, без ограничения общности можно считать, что SN/N- ненормальная подгруппа вYN/N. Так как по условию теоремы подгруппа X будет N- перестановочна с любой ненормальной силовской s-подгруппой из Y, то по лемме 1 (пункт 2) [4] подгруппы SN/Nи XN/N перестановочны. Значит, фактор-группа G/N наследует условия теоремы.
Пусть N^ 1. Тогда|С/М| < |G| и по индукции фактор-группа G/N является СЛ'-группой в п.1 доказываемой теоремы и ö^-группой в п.2. Тогда по лемме 2 [4] группа G является С^-группой или ö^-группой соответственно.
Пусть теперь N=1. Тогда подгруппа X перестановочна с любой ненормальной силовской s-подгруппой из Y для подходящих sE n(G)\n. Пусть F - произвольная силовская s-подгруппав группе G. По лемме 6 FX = XF. Следовательно, в группе G подгруппа X перестановочна с любой ненормальной силовской s-подгруппой группы G, для соответствующих s Е n(G)\n.
Если |л"(С)\л"| = 1, то GE Dn' по теореме Силова. Значит, |л"(С)\л"| > 2. Пусть, для s Е n(G)\n, силовская s-подгруппа Gs из G ненормальна в G. Тогда XGS с G. Так как XGç = Gif X для любого а Е G, то по лемме 3 [4] группа G непроста.
Пусть A - минимальная нормальная подгруппа в группе G. ТогдаЛ П X = ^является п-холловой подгруппой в A. ^eibR - это любая ненормальная силовская s-подгруппа изА, дляsÊ л"(Л)\л\По теореме Силова R включается в некоторую силовскую s-подгруппу S группы G, которая, в силу ненормальности R в A, будет ненормальной в G.
По лемме 5 [4] A HXS = (Л П П 5) = откуда Хг перестановочна с R. Следовательно, Х1 перестановочна со всеми ненормальными силовскими s-подгруппами из А, для s Е п(А)\п.
Так как по лемме 5 [4] Л П XY = (А П Х)(А П У) = ХгУг и Хг перестановочна с каждой ненормальной силовской s-подгруппой из Y1, для sE п(А)\п, то А наследует условия теоремы. По индукции А Е Спи G/AE Спв пункте 1 теоремы или А Е Dnw G/АЕ й^в пункте 2 теоремы. Тогда по лемме 2 [4] группа G Е Спв пункте 1 теоремы или G Е Dn' в пункте 2 теоремы. Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Пусть X, Y и N- подгруппы конечной группьЮ такие, что G=XY,X П Y = 1и X - собственная п-холлова и N - нормальная. Если для каждого простого числаз Е
n(G)\n, подгруппа X будет N-перестановочна с любой нециклической силовской s-подгруппой из Y, то справедливы следующие утверждения:
Если NE Сп', то GE Сп'.
Если NE Д^то GE Dn'.
Доказательство. Пусть теорема неверна и группа G - контрпример минимального порядка. Если для каждого s E n(G)\n любая силовская s-подгруппа из Y циклическая в Y, то в G существует я'-холлова подгруппа с циклическими силовскими подгруппами, порядок которой совпадает с |G:X|. Тогда по теореме 18.7 [6] GE Dn'. Следовательно, существуют s E n(G)\n, для которых силовские s-подгруппы нециклические в Y.
Проверим, что факторгруппа G/N с подгруппами XN/N, YN/N и единичной подгруппой N/N наследует условия теоремы. Так как G=XY, toG/N=(XN/NXYN/N), где XN/NsX/(N ПХ) - я-холлова подгруппа в G/N.
Пусть S - нециклическая силовская s-подгруппа в Y, s E n(G)\n. Тогда по лемме 7 SN/N - силовская s-подгруппа в^М/М.Если все силовские s-подгруппы, для s E n(G)\n, циклические в YN/N, то по теореме 18.7 [6] G/NE Dn'.
Поэтому, без ограничения общности, можно считать, что SN/N - нециклическая подгруппа вУЫ/Ы. Так как по условию теоремы подгруппа X будет^перестановочна с любой нециклической силовской s-подгруппой из Y, то по лемме 1 (пункт 2) [4] подгруппы SN/Ыи XN/N перестановочны. Значит, фактор-группа G/N наследует условия теоремы.
^aibN^ 1. Тогда|С/М| < |G| и по индукции фактор-группа G/N является СЛ'-группой в п.1 доказываемой теоремы и ö^-группой в п.2. Тогда по лемме 2 [4] группа G является С^-группой или ö^-группой соответственно.
Пусть теперь N=1. Тогда подгруппа X перестановочна с любой нециклической силовской s-подгруппой из Y для подходящихsÊ л"(С)\л\Пусть F- произвольная нециклическая силовская s-подгруппа в группе G. По лемме 6 XF = FX.
Следовательно, в группе G подгруппа X перестановочна с любой нециклической силовской s-подгруппой группы G, для соответствующих s E n(G)\n.
Если|л"(С)\л"| = 1, то GE DU' по теореме Силова. Значит, |л"(С)\л"| > 2. Пусть, для s Е л"(С)\л",силовская s-подгруппаGs из G будет нециклической в G. Тогда XGS с G. Так как XGg = G" Хдля любого а Е С,то по лемме 3 [4] группа G непроста.
Пусть A - минимальная нормальная подгруппа в группе G. ТогдаЛ П X = ^является п-холловой подгруппой в A. Пусть R - это любая нециклическая силовская s-подгруппа из A, дляsÊ л"(Л)\л\По теореме Силова R включается в некоторую силовскую s-подгруппу S группы G, которая, в силу нецикличности R в A, будет нециклической в G.
По лемме 5 [4] А П XS = (А П Х)(А П 5) = XtR, откуда Хгперестановочна с R. Следовательно, Х1 перестановочна со всеми нециклическими силовскими s- подгруппами из A, для5 Е п(А)\п.
Так как по лемме 5 [4] Л П XY = (А П Х)(А П Y) = ХгУг и Хг перестановочна с каждой нециклической силовской s-подгруппой из Y1, для sE п(А)\п, то A наследует условия теоремы. По индукции А Е Спи G/A Е Сп' в пункте 1 теоремы или А E Dn' и G/А Е Д^в пункте 2 теоремы. Тогда по лемме 2 [4] группа G Е Спв пункте 1 теоремы или G E Dn' в пункте 2 теоремы. Теорема 6 доказана.
Теорема 7. Пусть G- конечная непримарная группа. Если нормализатор центра любой силовской подгруппы конечной группы G имеет нильпотентное холлово добавление, то G характеристически непроста.
Доказательство. Пусть р - любой простой делитель порядка группы G и Z(Gp) -центр силовской р-подгруппы из G. Если Z(Gp) < G, то Z(Gp) включается в ядро подгруппы Gp и G характеристически непроста. Поэтому в G нормализаторы центров силовских р-подгрупп будут собственными подгруппами.
Пусть С - характеристически простая группа, С2 - силовская 2-подгруппа группы С и - центр в С2. Допустим, что - нильпотентное холлово добавление к
Ыс{Х{С2)), р - произвольный простой делитель |Д1|. По условию имеет
нильпотентное холлово добавление Б2 в С. Докажем следующие утверждения:
(1) Подгруппа С2 группы С включается в Б2.
Пусть число 2 не делит |D2|. Тогда число 2 не делит \С\Мс(1(СрУ)\. Следовательно, имеет силовскую 2- подгруппу из G. Так как Ог с
Мс^(Ср)), то С= С2))Б1 = Щ(г(С2))Щ {г(ср)). Если с (7(Ср)),х е С,
то С2 с ^(бр))) . По лемме 3 [8] С = Мс(7(С2)) . Так как 7(С2) <
Мс(7(С2)) и £(С2) с Мс(7(С2)) п (^(^р)), то по лемме 4.7 [6] С - характеристически непроста.
Значит, число 2 делит р2|. По теореме Ш.5.8 [2] все п- холловы подгруппы в С сопряжены, где я = п(Б2). Поэтому С2 включается в некоторую сопряжённую с Б2 и в
качестве дополнения к можно брать эту сопряжённую с D2. Поэтому, без
ограничения общности, можно считать, что G2 £ D2.
(2) Пусть А = N0^2). Тогда Л"^(А)) = лф2) для любого р £ п(01) и для любого
нильпотентного холлова добавления D2 группы в С. Следовательно,
D2 не зависит от простого числа р £ п(Б1). Так как D2 нильпотентная, то 02 < D2, откуда D2 с А. Пусть ^ п(Б2).
Тогда А имеет нормальную q- подгруппу Q для простого ц £ Из
равенства О = следует, что группа Q содержится в некоторой силовской q-
подгруппе группы О, которая по лемме 3 [8] включается в некоторую подгруппу сопряжённую с N0^^)), например, в Мс^(Ср))у,у Е в. Поскольку С = Ыс(г(Ср)У02 =Ыс(г(Ср)УА и Q<A, Q^NG(Z(Gp)У ПА, то по лемме 4.7 [6] О характеристически непроста. Значит, с п{р2). Так как < А и D2c А то по
теореме Ш.5.8 [2] ^(Л) £ £2 .
Пусть простое число г £ л"(Д2)\л"(Р(Л)). Тогда силовская г- подгруппа R группы D2 включается в Сд(р(Л)),г £ . Так как А разрешима, то
что противоречиво. Следовательно, л"(£2) с л"(р(Л)). Поэтому = п{р2).
(3)Для каждого простого числа р £ и каждой силовской р- подгруппы 0р группы О группа D2 является минимальным нильпотентным холловым добавлением к
Доказательство следует из (2) и леммы 3 [8].
(4)Для каждого простого числа q Е и{р2) и каждой силовской q- подгруппы 0Ч группы О группа будет нильпотентным холловым добавлением к в О.
Пусть Оч - силовская q-подгруппа из D2. Тогда Б2 с с ^(С^)). Пусть
простое число р £ и р не делит О:
Тогда содержит силовскую р- подгруппу Ор группы О. Согласно (3)
справедливы равенства С = ^(Ср)) Б2 = ^(Ср)) ^(С^)). Тогда по лемме 4.7
[6] О характеристически непроста. Значит, каждое простое число р £ делит
\б: Тогда будет делить порядок нильпотентного холлова добавления к
в С и по теореме Ш.5.8 [2] включается в некоторое такое добавление. Допустим, что существует простое число г, которое делит \ б: и не делит
Тогда, в силу отношения Л"(|С: Ng(Z(G2))|) £ я(Д1)число r не делит |G: Ng(Z(G2))|. Значит, г делит Ng(Z(G2)). Пусть Gr - силовская r- подгруппа группы G из Ng(Z(G2)). Так как D1 включается в некоторое нильпотентное холлово добавление к Nc(Z(Gq)) в G и r делит |G: NG{Z{Gq))\, то NG(Z(Gr)) содержит нильпотентное холлово добавление к Nc(Z(Gq)) в G, а, следовательно, по теореме III.5.8 [2] NG(Z(Gr)) имеет подгруппу сопряжённую с Dt, например, Df для подходящего элемента д группы G. Тогда по лемме 3 [8] G = Ng(Z(G2))D1 = Ng(Z(G2))D^ = NG(Z(G2))NG(Z(Gr)). Откуда по лемме 4.7 [6] группа G характеристически непроста. Поэтому n^i) = n{\G\NG(Z(Gq))|) и G = Nc(Z(Gq))D1.
(5)Группа G не существует. Пусть G = D1D2. Тогда по теореме VI.4.3 [2] группа G разрешима. Следовательно, с G и n^D-^) U n(D2) с n(G) Пусть простое число
г G k(G)\(i(D1) U i(fl2)) и Gr - силовская r- подгруппа из G. Допустим, что ID^ не делит|Мс^(Сг))|. Тогда существует простое число р G (^(^i) П n(D)), где D -нильпотентное холлово добавление к Nc(Z(Gr)). По теореме Силова D имеет некоторую силовскую р- подгруппу Gp из G. Аналогично получим, что если |D2| не делит ^(¿^(С.,.))^ то D содержит некоторую силовскую q-подгруппу группы G для простого числа q£ ^(D2). Поэтому в G есть нильпотентная холлова {р^}- подгруппа, откуда следует, что Gq Q
NG(Gp) с Ng что противоречит (3). Значит, |D2| делит |Nc(Z(Gr))| и NG(Z(Gr))
содержит подгруппу, сопряжённую с D2, скажем D2, для подходящего элемента t из G. Тогда из равенства G = NG(Z(Gp))D2 по лемме 3 [8] получим, что G = NG(Z(Gp))D2t, откуда G = NG{Z{Gpy) NG(Z(Gr)). Так как |Gr| делит ^(¡(Z^C-p)^, то, без ограничения общности, можно считать, что Gr с Nc(Z(Gp)). Опять по лемме 4.7 [6] G характеристически непроста.
Таким образом, ^^ делит |Nc(Z(Gr))|. Тогда по теореме III.5.8 [2] и лемме 3 [8] G = Ng(Z(G2))D1 = Ng(Z(G2))D^ = NG(Z(G2))NG(Z(Gr)). Так как r не делит то Gr включается в Ng(Z(G2)) , для подходящего х. Так как по лемме 3 [8] G = Ng{Z{G2))X Nc(Z(Gr)), то по лемме 4.7 [6] группа G характеристически непроста. Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 7 доказана.
Следствие 1. Если нормализатор центра любой силовской подгруппы конечной группы G имеет нильпотентное холлово добавление в G, то G не является неабелевой простой группой.
Следствие 2. ([8]) Если нормализатор любой силовской подгруппы конечной группы G имеет нильпотентное холлово добавление в G, то G не является неабелевой простой группой.
Определение 2. Конечная группа, у которой все силовские подгруппы циклические называется Z- группой.
Теорема 8. Если нормализатор всякой силовской подгруппы конечной группы G имеет холлово добавление являющееся Z-подгруппой в G, то группа G сверхразрешима.
Доказательство. Пусть теорема неверна и G- контрпример минимального порядка. Пусть N < G. Проверим выполнимость условий теоремы для факторгруппы G/N. Пусть Р - некоторая силовская р- подгруппа из G, р Е n(G). По условию G = NG(P)D, где D -холлово добавление к нормализатору NG(P), являющееся Z- группой. Поэтому G/N = (Ng(P)N/N)(DN/N). Так как Ng(P)N/N = Ng/n(PN/N), то Ng(P)N/N- нормализатор силовской q- подгруппы в G/N.
Покажем, что DN/N- холлова подгруппа в G/N. Для этого надо показать, что (| DN/N \, \G/N: DN/N|) = 1. Ясно, что |DN/N\ = \DN\/\N|= |D||N|/|DnN||N| = |D|/|DnN| и
\G PN lw " N
|G|
In iwi lGl IGI I DnN I IG-DI t Пп\ \Г (lh 1
n=ïm=W\= | В || N | ~ | W:DnN | • ТаК КаК П0 УСЛ0ВИЮ ( I D I '\ G:D I ) = 1' T0
I N I | N | .......
f \D\ \G-.D\ \ _ 1 V|DnN|' |W:DnN|/ •
Следовательно, (|DN/N|, \G/N\DN/N\) = 1, го есть DN/N - холлова подгруппа в G/N. Пусть Q - силовская подгруппа группы D. Тогда QN/N будет силовской подгруппой в DN/N. Поскольку QN/N sQ/QnN и группа Q - циклическая, то факторгруппа Q/QnN циклическая. Поэтому группа QN/N - циклическая, откуда DN/N является Z-группой. Следовательно, факторгруппа G/N наследует условия теоремы.
Если 1< |N| < |G|, то по индукции G/N сверхразрешима. Допустим, что в G есть две различные неединичные минимальные нормальные подгруппы N1 и N2. Тогда G = G/1 = G/(Nt П N2) изоморфно вкладывается по лемме Ремака в(С/^1) X (G/N2), откуда G сверхразрешима. Противоречие. Следовательно, в G только одна минимальная нормальная подгруппа, которую обозначим К. Если К разрешима, то G разрешима.
Покажем, что G сверхразрешима. Если группа К циклическая, то G сверхразрешима, что противоречиво. Значит, группа К нециклическая. Пусть порядок = ра. для простого числа р G n(G). Если К £ Ф(С), то G сверхразрешима. Значит, К П Ф(С) = 1. Так как К единственная минимальная нормальная в G,to Ф^) = 1.
Покажем, что К = 0p(G). Поскольку, Ф^)=1, то существует максимальная подгруппа М в G такая, что G^M. Пусть К П М = L Ф 1. Тогда L < M,L<K и L « M,K>=G, что противоречит минимальности К. Значит, К П М = 1. Допустив, что К с 0p(G) получим отношения G = Op(G)M и 0p(G) П M 1, откуда, как и выше, следует противоречие. Поэтому, К = 0p(G).
Покажем, что К = CG{K). Пусть К с CG{K). Тогда CG(K) = CG(K) П G = CG(K) П KM = K(CG(K) П M) откудаСс(Ю = К X R, где R = CG{K) П M. Если R Ф 1, то R будет собственной нормальной подгруппой в G, что противоречит единственности К. Поэтому R=1 и К = Cg(k).
Пусть Q- силовская q -подгруппа в G, D - холлово добавление к NG(Q) в G. Предположим, что р не делит порядок |WG(Ç)|. Тогда р делит порядок |D| и К Ç Dp, где Dp - силовская р- подгруппа в D. Так как D по условию является Z-группой, то группа Dp циклическая, откуда К- циклическая. Тогда из минимальности К следует, что порядок \K\=p. Поэтому из сверхразрешимости G/К следует сверхразрешимость G, что противоречиво. Значит, р не делит |ö|. Тогда р делит |WG(Ç)|, откуда К £ NG(Q). Следовательно, К нормализует Q и из нормальности К в G получаем, что Q Ç CG(K) = К, что противоречиво. Значит, в G нет разрешимых нормальных подгрупп.
Пусть р - наименьший простой делитель порядка группы G и Р - силовская р-подгруппа в G. Тогда по условию G = NG(P)D , где D - холлово добавление к NG(P), являющееся Z- группой. Так как Ng(P)^G, то 1 cß. По теореме IV.2.11 [2] D сверхразрешима. Поэтому в D есть нормальная силовская q- подгруппа для наибольшего простого числа q из n(D). Тогда D £ NG(Q), откуда G = NG(P)NG(Q). Пусть р делит |G:Ng(Ç)| и Dг- холлово добавление к NG(Q) в G. Тогда Р циклическая и по теореме IV.2.8 [2] группа G р-нильпотентна. Ясно, что р = 2 и по теореме Фейта-Томпсона нормальное р- дополнение в G разрешимо, откуда G разрешима. Пришли к противоречию. Значит, р делит |WG(Ç)| и, без ограничения общности, можно считать, что Р Ç NG(Q). Тогда по лемме 4.7 [6] Р включается в ядро F подгруппы NG(Q).
Пусть R - произвольная силовская r-подгруппа в G и простое число r делит | F |. По условию теоремы G = NG(R)K, где К- холлова Z -подгруппа в G.
По лемме 5 [4] F = F П NG(R)K = (F П Ng(R))(F П К) = F^, где F± < Ng(R), Kt - холлова Z -подгруппа в F. По теореме I.18.1 [2] NG(R) = [R]S.
По лемме 5 [4] F1 = F1n [й]5 = [Ft П R](Ft n 5) = [P1](F1 П 5), Rt - силовская r-подгруппа в F. Тогда F= [PjCFi П S)^ = NP(R1)K1. Значит, подгруппа F наследует условия теоремы. Поскольку |F| < |G|, то по индукции F сверхразрешима, что противоречиво. Теорема 8 доказана.
Следствие ([9]). Если дополнение к нормализатору всякой неединичной силовской подгруппы конечной группы G существует и является холловой Z-подгруппой в G, то группа G сверхразрешима.
The theorems of Sylow type and criteria for non-simplicity, supersolvable finite group with certain Sylow, Hall subgroups and with subnormal Schmidt subgroups.
The key words: a finite group, Sylow subgroup, normalizer, adding, Hall subgroup, a pair of subgroups, permutable subgroups
Список литературы:
1. Сяньхуа Ли, Шихэн Ли. 0-пары и структура конечных групп // Сиб.мат. журн. 2004. Т.45, №3. С.676-681.
2. Huppert B. Endliche Gruppen 1. Berlin: Springer-Verl,1967/
3. Gross F. Conjngacy of odd order Hall Subgroups // London Math Soc. 1987. V. 19, №4. P. 311-319.
4. Княгина В.Н., Монахов В.С. О п'- свойствах конечной группы, обладающей п -холловой подгруппой // Сиб. мат. журн. 2011. Т.52, №2. С.297-309.
5. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: УО «ГГУ им. Ф.Скорины», 2003. - 322с.
6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: «Наука», 1978. - 272с.
7. Княгина В.Н., Монахов В.С. О конечных группах с некоторыми субнормальными подгруппами Шмидта // Сиб. мат. журн. 2004. Т.45, №6. С.1316-1322.
8. Б.Ли, В.Го, Цз.Хуан. Конечные группы, в которых нормализаторы силовских подгрупп имеют нильпотентные холловы добавления // Сиб. мат. журн. 2009. Т.50, №4. С.841-849.
9. Докторов И.П. О конечных группах с дополняемыми нормализаторами силовских подгрупп // Математические заметки. 1978. Т.24, №2, с149-159.
Об авторах:
Путилов С.В. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского Государственного университета имени академика И.Г.Петровского, algebra.bgu@yandex.ru.
Головко Э.П. - магистр Брянского Государственного университета имени академика И.Г.Петровского, emiliay.bgu@yandex.ru.
Пушкарёва Е.Н. - магистр Брянского Государственного университета имени академика И.Г.Петровского.
