О двух классах ненильпотентных групп с обобщенно перестановочными вторыми и третьими максимальными подгруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ДВУХ КЛАССАХ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

С ОБОБЩЕННО ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ ВТОРЫМИ И ТРЕТЬИМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

Ю.В. Луценко

Работа посвящена исследованию групп Шмидта и групп Белоногова, у которых любые две вторые или любые две третьи максимальные подгруппы (обобщенно) перестановочны. Ключевые слова: максимальная подгруппа, вторая максимальная подгруппа, третья максимальная подгруппа, группа Шмидта, группа Белоногова, Х-перестановочная подгруппа, разрешимая группа, примитивная подгруппа, нормальная подгруппа.

Все группы в данной статье являются конечными. Напомним, что подгруппа Н группы О называется 2-максимальной подгруппой (или второй максимальной подгруппой) группы О, если Н является максимальной подгруппой в некоторой максимальной подгруппе М группы О. Аналогично могут быть определены 3-максимальные подгруппы, 4-максимальные подгруппы и далее.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов о вторых и третьих максимальных подгруппах. Например, в работе [1] Го Шуин и К.П. Шам доказали разрешимость групп, в которых все 2-максимальные подгруппы обладают свойством покрытия-изолирования. В работах [2, 3] получены характеризации сверхразрешимых групп в терминах 2-максимальных подгрупп. Еще один подход к изучению групп с заданными 2-максимальными подгруппами разрабатывался в работах [4, 5], где было доказано, что группа О является сверхразрешимой, если все ее 2-максимальные подгруппы О-перестановочны в О (напомним, что подгруппа Н группы О называется X-перестановочной в О [4], где X - непустое подмножество группы О, если для любой подгруппы Т из О найдется такой элемент х из X, что НТ=ТН). Отметим также, что в работах [6, 7] было получено описание ненильпотентных групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами; а также групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. В связи с последними двумя результатами вполне естественной является задача описания групп, в которых любые две 3-максимальные подгруппы перестановочны (см. Вопрос 3.10 в обзоре [8]). Эта задача в классе ненильпотентных групп была решена в работе [9].

Целью данной работы является изучение X-перестановочности п-максимальных подгрупп, где X - подгруппа Фиттинга основной группы, для п = 2, 3.

Следуя [10], будем обозначать пересечение всех 2-максимальных подгрупп группы О через Ф2(О).

Через М3(р) обозначается р-группа ( а, Ь | ар = Ьр = 1, аЬ = а1+р }, где р -нечетное простое число (см. [11, стр. 190]).

В дальнейшем р, ц и г - попарно различные простые числа. В следующих теоремах Р, Q и Я обозначают некоторые силовские р-подгруппу, ц-подгруппу и г-подгруппу в О соответственно.

Сформулируем в виде лемм необходимые в дальнейшем результаты работы [9].

Лемма 1 [9, лемма 2.3]. Пусть О - ненильпотентная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) О является группой Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами;

(2) любые две 2-максимальные подгруппы группы G перестановочны.

Лемма 2 [9, теорема 3.1]. Пусть G - группа Шмидта. Тогда любые две 3-максимальные подгруппы группы G перестановочны в том и только в том случае, когда G является группой одного из следующих типов:

(1) G - группа с абелевыми силовскими подгруппами;

(2) G = [Ргде Р изоморфна либо М3(р), либо группе кватернионов порядка 8;

(3) G = [Р]0, где |Р| > р3, |Ф(Р)| = р и Ф(Р) = Ф2(Р).

Теорема 1. В том и только в том случае в группе Шмидта G любые ее две 2-максимальные подгруппы являются Р(0)-перестановочными, когда G - группа с абелевыми силовскими подгруппами.

Доказательство. Необходимость. Пусть G=[P]Q - группа Шмидта, в которой любые две 2-максимальные подгруппы Р^)-перестановочны. Предположим, что Р -неабелева группа. Тогда G имеет в точности два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются группы PQ1 и Р^ (где Q1 максимальна в Q). Следовательно, группа G имеет точно четыре класса 2-максимальных подгрупп, представителями которых являются группы PQ2, Р^и PQ1 и TQ (где Q2 максимальна в Q1, Т- некоторая максимальная подгруппа в Р' и Р1 - некоторая максимальная подгруппа в Р). По условию, существует такой элемент / из Р(О), что (P1Q1)(TQ/=(TQ/(P1Q1). Так как Q1 < Z(G), Т< Д(Р) и TQ нильпотентна, то подгруппы Q1 и Т нормальны в G и поэтому Р^ =QfP1. Это означает, что Р10^ - подгруппа в группе G. Так как подгруппа максимальна в ^ Р^ ф G и Р' < Рь то Р' = Рь Следовательно, Ф(Р) = Р' = Д(Р) -максимальная подгруппа в Р и поэтому Р является циклической группой порядка р, что противоречит нашему допущению о группе Р. Следовательно, G - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами.

Достаточность. Напрямую следует из леммы 1. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть G - группа Шмидта. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) G - группа с абелевыми силовскими подгруппами;

(2) любые две 2-максимальные подгруппы группы G являются Р(О)-перестановочными;

(3) любые две 2-максимальные подгруппы группы G являются перестановочными.

Теорема 2. В том и только в том случае в группе Шмидта G любые ее две 3-максимальные подгруппы являются Р(0)-перестановочными, когда G - группа одного из следующих типов:

(1) G - группа с абелевыми силовскими подгруппами;

(2) G = [Р^, где Р изоморфна либо М3(р), либо группе кватернионов порядка 8;

(3) G = [Р^ - группа Шмидта, где |Р| >р3, |Ф(Р)| = р и Ф(Р) = Ф2(Р).

Доказательство. Необходимость. Пусть G = [Р^ - группа Шмидта, в которой

любые две 3-максимальные подгруппы Р^)-перестановочны.

Если Р абелева, то G является группой типа (1). Предположим теперь, что Р -неабелева группа. Тогда Ф(Р) = Р = Д(Р).

Покажем, что в группе Р любые две 2-максимальные подгруппы Р(О)-перестановочны. Пусть Р1 и Р2 - произвольные 2-максимальные подгруппы группы Р и Q1 - максимальная подгруппа в Q. Так как Q1 нормальна в G, то Р^1 и P2Q1 являются 3-максимальными подгруппами в О. По условию, существует такой элемент / из Р(О), что (Р^^Р^^) = (Р^ЖР^О и поэтому L=Q1P1(P^) является подгруппой в G. Согласно [12, VI, лемма 4.7], в группе L существует силовская р-подгруппа Lp такая, что Lp=P1(P2/. Это влечет ^^-перестановочность подгрупп Р1 и Р2.

Допустим вначале, что |Ф(Р)| = р. Предположим, что существует такая 2-максимальная подгруппа Т в группе Р, что Ф(Р) не содержится в Т. Так как Р/Ф(Р) абелева и ТФ(Р)/Ф(Р) < Р/Ф(Р), то Т ~ ТФ(Р)/Ф(Р) также является абелевой группой и поэтому Тх Ф(Р) - абелева максимальная подгруппа в Р. Тогда, по [13, теорема 5.1.9], |Р| = р3. В этом случае, по [11, V, теорема 5.1], Р изоморфна одной из следующих групп: М3(р), М(р), В или Q, где В - диэдральная группа, Q - группа кватернионов порядка 8, и

М(р) = <х, у, г | хр = У = # = 1, [х,г] = [у,г] = 1, [х,у] = г> (см. [11, стр. 203]).

Если Р изоморфна М(р), то Р = Й1(Р) = ^ Е О | ¿р = 1}. Но всякая подгруппа порядка р группы Р является 2-максимальной подгруппой. Так как в группе Р любые две 2-максимальные подгруппы ^(О)-перестановочны и в группе Р существует два класса неинвариантных несопряженных 2-максимальных подгрупп, то Р - абелева группа, противоречие. Если Р изоморфна В, то, по [11, V, теорема 4.3], Р = Й1(Р), что невозможно, как показано выше. Следовательно, подгруппа Р изоморфна либо группе М3(р), либо группе кватернионов порядка 8. Таким образом, О является группой типа (2).

Теперь допустим, что Ф(Р) содержится в каждой 2-максимальной подгруппе группы Р. Это влечет Ф(Р) = Ф2(Р). Если при этом |Р| = р3, то О снова является группой типа (2). Если же |Р| >р3, то О - группа типа (3).

Теперь допустим, что |Ф(Р)| > р. Пусть Q1 - максимальная подгруппа в Q, К -некоторая 2-максимальная подгруппа в Ф(Р) и Р2 - такая 2-максимальная подгруппа в Р, что Ф(Р) < Р2. Тогда подгруппы P2Q1 и KQ являются 3-максимальными подгруппами в О. По условию, существует такой элемент / из ^(О), что (P2Q1)(KQ)f = (KQ)f(P2Q1). Так как Q1 < Z(О), К < Z(P) и KQ нильпотентна, то подгруппы Q1 и К нормальны в О и поэтому Р20^ = фъ Это означает, что Р2$ - подгруппа в группе О. Так как подгруппа Ф(Р)^ максимальна в О, Р2$ф О и Ф(Р) < Р2, то Ф(Р) = 1(Р) = Р = Р2. Следовательно, |Р : 2(Р)\ = р2. Это означает, что Р является группой Миллера-Морено. Но тогда |Р'| = |Ф(Р)| = р (см. [14]), что противоречит рассматриваемому случаю.

Достаточность. Напрямую следует из леммы 2. Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть О - группа Шмидта. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) О - группа одного из следующих типов:

(а) О - группа с абелевыми силовскими подгруппами;

(Ь) О = [Р^, где Р изоморфна либо М3(р), либо группе кватернионов порядка

8;

(с) О = [Р^ - группа Шмидта, где |Р| >р3, |Ф(Р)| = р и Ф(Р) = Ф2(Р).

(2) любые две 3-максимальные подгруппы группы О являются Р(О)-перестановочными;

(3) любые две 3-максимальные подгруппы группы О являются перестановочными.

Определение 1. Будем называть конечную ненильпотентную разрешимую группу, не являющуюся группой Шмидта, но содержащую исключительно нильпотентные 2-максимальные подгруппы, группой Белоногова.

Лемма 3. Пусть О - примитивная группа Белоногова и М - ее максимальная подгруппа с МО = 1. Тогда в том и только в том случае любые две 2-максимальные подгруппы из О являются Р(О)-перестановочными, когда О - группа одного из типов:

(1) О = [Р]М, где Р - минимальная нормальная р-подгруппа в О и М -нильпотентная подгруппа одного из порядков цг или ц2;

(2) О = [Р]М, где Р - минимальная нормальная р-подгруппа в О, М = ^]Я, = ц, |Я| = г и РЯ - группа Шмидта.

Доказательство. Необходимость. Пусть О - примитивная группа Белоногова, в которой любые две 2-максимальные подгруппы являются ^(О)-перестановочными.

Поскольку G - ненильпотентная группа, в которой каждая 2-максимальная подгруппа является нильпотентной, то каждая собственная подгруппа из G либо нильпотентна, либо является группой Шмидта, причем каждая подгруппа Шмидта максимальна в G. Так как G является примитивной разрешимой группой, то, по [15, A, теорема 15.6], G=[P]M, где P = Cg(P) = F(G) = Op(G) - единственная минимальная нормальная подгруппа в G.

Предположим вначале, что группа G/P ~ M нильпотентна. Допустим, что каждая максимальная подгруппа группы G, строго содержащая P, нильпотентна. Тогда, ввиду нильпотентности M, мы имеем MG Ф 1, противоречие. Следовательно, каждая максимальная подгруппа из G, строго содержащая P, является группой Шмидта. Так как M нильпотентна и, по [15, A, теорема 15.6], Op(M) = 1, то p не делит |M|. Это влечет, что группа M содержит не более двух силовских подгрупп и MI делится не более, чем на два необязательно различных простых числа. Следовательно, либо |M = qr, либо |M = q2 Таким образом, G является группой типа (1).

Теперь предположим, что группа G/P ~ M не является нильпотентной. Так как M максимальна в G, то она является группой Шмидта. В этом случае группа G/P ~ M удовлетворяет условиям леммы 1 и поэтому M является группой Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами.

Допустим, что p не делит |M|. Тогда G = [P]([Q]R), где [Q]R = M - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами, Q и R - силовские q-подгруппа и r-подгруппа в G соответственно. Понятно, что M имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы R и QR1, где R1 - максимальная подгруппа в R. Тогда группа G имеет точно три класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы [Q]R, PR и PQR1. Если предположить, что подгруппа PR нильпотентна, то R î Cg(P) = P, что невозможно. Следовательно, PR - группа Шмидта. Легко видеть, что тогда R1 = 1 и поэтому |R| = r. Таким образом, подгруппа PQ максимальна в G. Если предположить, что подгруппа PQ нильпотентна, то Q î Cg(P) = P, что вновь невозможно. Следовательно, PQ - группа Шмидта c |Q| = q. В этом случае G является группой типа (2).

Теперь допустим, что p делит |M|. Тогда G = [P]M, где M = QP1 - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами, Q и P1 - силовские q-подгруппа и p-подгруппа в M, соответственно. По [15, А, теорема 15.6], Op(M) = 1 и поэтому M = [Q]P1, причем |P1| = p. В этом случае PQ является максимальной подгруппой в G. Легко видеть, что [P]Q -подгруппа Шмидта группы G и поэтому |Q| = q. Пусть T - такая максимальная подгруппа группы PP1, что P1 < T. Тогда Q и T являются 2-максимальными подгруппами в G, и поэтому ввиду условия TQ является подгруппой в G. Тогда мы имеем P1Q < TQ < G, что в силу максимальности P1Q в G влечет T = P1. Но тогда PP1 является абелевой группой порядка p2, что в силу Cg(P) = P приводит к противоречию.

Достаточность. Предположим, что G - группа типа (1). Допустим, что M = Q х R, где |Q| = q, |R| = r, и покажем, что в группе G любые две 2-максимальные подгруппы являются Р^)-перестановочными. Легко видеть, что группа G имеет в точности три класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы M, PQ и PR. Так как G - группа Белоногова, то каждая ее максимальная подгруппа является либо нильпотентной, либо группой Шмидта. Понятно, что PQ и PR - подгруппы Шмидта в G. Тогда представителями классов 2-максимальных подгрупп в G являются группы P, Q и R.

Покажем, что любые две 2-максимальные подгруппы группы G являются P-перестановочными. Для этого достаточно показать, что Q является P-перестановочной с подгруппой Rf для любого f î P. Пусть f - произвольный элемент из P. Тогда в P = F(G) существует элемент t = f)-1 такой, что Q(Rf)t = QR = RQ = (Rf)tQ.

Случай |M = q рассматривается аналогично.

Пусть теперь G - группа типа (2). Так как P - минимальная нормальная подгруппа группы G, |Q| = q и |R| = r, то G имеет точно три класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы M, M2 = PQ и M3 = PR. Если допустить,

что подгруппа M2 нильпотентна, то Q является нормальной подгруппой в G, что противоречит MG = 1. Следовательно, M2 - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами и поэтому M2 имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы P и Q. Аналогично можно показать, что M3 - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами и поэтому M3 имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы P и R. Тогда представителями классов 2-максимальных подгрупп в G являются группы P, Q и R. Используя рассуждения аналогично, как и выше, можно показать, что в группе G любые две 2-максимальные подгруппы являются ,Р^)-перестановочными. Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть G - группа Белоногова и X = F(G). Если любые две 2-максимальные подгруппы группы G являются X-перестановочными, то lp(G) £ 1 для всех простых p.

Доказательство. Пусть G - группа Белоногова, в которой любые две 2-максимальные подгруппы являются X-перестановочными. Поскольку G -ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная ненормальная подгруппа M. Так как при этом G - разрешимая группа и M Ф MG, то мы можем рассмотреть примитивную разрешимую факторгруппу G/Mg. Ввиду [15, А, теорема 15.6], G/Mg = [F(G/Mg)](M/Mg), где F(G/Mg) - единственная минимальная нормальная подгруппа в G/Mg. Покажем, что lp(G/MG) < 1 для всех простых p.

Если группа G/MG либо нильпотентна, либо является группой Шмидта, то, очевидно, lp(G/MG) < 1 для всех простых p.

Допустим, что G/MG - ненильпотентная группа, не являющаяся группой Шмидта. Тогда, очевидно, G/MG является примитивной группой Белоногова. Ввиду условия и леммы 2.1 из [5], любые две 2-максимальные подгруппы группы G/MG являются (F(G)MG/MG)-перестановочными. Рассмотрим следующие формально возможные случаи.

a) Группа F(G) содержится в MG. В этом случае, очевидно, любые две 2-максимальные подгруппы группы G/MG являются F(G/MG)-перестановочными.

b) Группа F(G) не содержится в MG. Так как F(G)MG/MG ~ F(G)/(MG П F(G)) и F(G)/(Mg П F(G)) нильпотентна, то F(G)Mg/Mg î F(G/Mg). С другой стороны, F(G/Mg) является минимальной нормальной подгруппой в G/MG, что влечет F(G/MG) = F(G)MG/MG. Следовательно, любые две 2-максимальные подгруппы группы G/MG являются F(G/MG)-перестановочными.

Таким образом, группа G/MG удовлетворяет условиям леммы 3, и поэтому G/MG является группой одного из типов, описанных в этой лемме. Легко заметить, что в этом случае группа G/MG имеет абелевы силовские подгруппы, и поэтому lp(G/MG) < 1 для всех простых p. Так как Ф^) = nMG, где M пробегает множество всех максимальных подгрупп группы G, то lp(G^(G)) = max {lp(G/MG)} (см. [12, VI, лемма 6.4]). Следовательно, lp(G^(G)) < 1. Тогда, ввиду [12, VI, лемма 6.4], lp(G) = lp(G^(G)) < 1 для всех простых p. Теорема доказана.

В дальнейшем нам потребуется следующая вспомогательная лемма.

Лемма 4. Пусть P = [H]Cp, где H - элементарная p-группа, \Cp\ = p и любые две 2-максимальные подгруппы из P являются H-перестановочными. Тогда P - абелева группа.

Доказательство. Допустим, что лемма неверна и пусть P - контрпример минимального порядка. Предположим, что Z(P) не содержится в H. Тогда P=HZ(P) и поэтому P - абелева группа. Следовательно, Z(P) < H. Тогда Z(P)=Z1 х Z2 ... х Zt, где |Z1| = ... = |Z2| = p. Несложно показать, что для группы P/Z1 выполняются условия леммы. Значит, по индукции, факторгруппа P/Z1 является абелевой. Следовательно, мы можем считать, что Z1 = Z(P). В этом случае, по [13, теорема 5.1.9], |P| = p3. Так как P = [H]Cp и

подгруппы Н и Ср порождаются элементами порядка р, то Р = Й1(Р). Но всякая подгруппа порядка р группы Р является 2-максимальной подгруппой. Так как в группе Р любые две 2-максимальные подгруппы Н-перестановочны и в Р существует два класса неинвариантных несопряженных 2-максимальных подгрупп, то Р абелева, противоречие. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть G - примитивная группа Белоногова и М - ее максимальная подгруппа с Мо = 1. Тогда в том и только в том случае любые две 3-максимальные подгруппы из G являются Г^Уперестановочными, когда G - группа одного из типов:

(1) G = [Р]М, где Р - минимальная нормальная р-подгруппа в G и М -нильпотентная подгруппа одного из порядков дг или д2;

(2) G = [Р]М где Р - минимальная нормальная р-подгруппа в G, М = ^]Я, = д, \Я\ = г и РЯ - группа Шмидта.

Доказательство. Необходимость. Пусть G - примитивная группа Белоногова, в которой любые две 3-максимальные подгруппы являются ^^-перестановочными. Поскольку G - ненильпотентная группа, в которой каждая 2-максимальная подгруппа является нильпотентной, то каждая собственная подгруппа из G либо нильпотентна, либо является группой Шмидта, причем каждая подгруппа Шмидта максимальна в G. Так как G является примитивной разрешимой группой, то, по [15, А, теорема 15.6], G=[P]M, где Р = Со(Р) = Р^) = Ор^) - единственная минимальная нормальная подгруппа в G.

Предположим вначале, что группа G/P ~ М нильпотентна. Допустим, что каждая максимальная подгруппа группы G, строго содержащая Р, нильпотентна. Тогда, ввиду нильпотентности М, мы имеем Мо ф 1, противоречие. Следовательно, каждая максимальная подгруппа из G, строго содержащая Р, является группой Шмидта. Так как М нильпотентна и, по [15, А, теорема 15.6], Ор(М) = 1, то р не делит |М|. Это влечет, что группа М содержит не более двух силовских подгрупп и М делится не более, чем на два необязательно различных простых числа. Следовательно, либо М = дг, либо М = д2. Таким образом, G является группой типа (1).

Теперь предположим, что группа G/P ~ М не является нильпотентной. Так как М максимальна в G, то она является группой Шмидта. В этом случае группа G/P ~ М удовлетворяет условиям леммы 2 и поэтому М является группой одного из типов (1)-(3), описанных в этой лемме.

Допустим, что М является группой типа (1) в лемме 2 и р не делит М|. Тогда G = [Р](^]Я), где ^]Я = М - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами. Понятно, что М имеет точно два класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы Я и QЯ1, где Я1 - максимальная подгруппа в Я. Тогда группа G имеет точно три класса максимальных подгрупп, представителями которых являются подгруппы ^]Я, РЯ и PQЯ1. Если предположить, что подгруппа РЯ нильпотентна, то Я<Са(Р)=Р, что невозможно. Следовательно, РЯ - группа Шмидта. Легко видеть, что тогда Я1 = 1 и поэтому |Я| = г. Таким образом, подгруппа PQ максимальна в G. Если предположить, что подгруппа PQ нильпотентна, то Q<CG(P)=P, что также невозможно. Следовательно, PQ - группа Шмидта с = д. В этом случае G является группой типа (2).

Теперь допустим, что М является группой типа (1) в лемме 2 и р делит М|. Тогда G = [Р]М, где М = QP1 - группа Шмидта с абелевыми силовскими подгруппами, Q и Р1 -силовские д-подгруппа и р-подгруппа в М соответственно. По [15, А, теорема 15.6], Ор(М) = 1 и поэтому М = ^]РЬ причем |Р1| = р. В этом случае PQ является максимальной подгруппой в G. Легко видеть, что [Р^ - подгруппа Шмидта группы G и поэтому = д. Это влечет, по условию, что любые две 2-максимальные подгруппы из РР1 являются ^^-перестановочны. Так как Р = Р^), то, по лемме 4, РР1 - абелева группа. Но это в свою очередь противоречит Р = Са(Р).

Пусть теперь M является группой типа (2) в лемме 2 и p не делит |M|. Тогда G = [P]([Q]R), где [Q]R = M - такая группа Шмидта, в которой подгруппа Q изоморфна либо группе M3(q), либо группе кватернионов порядка 8. В каждом из этих случаев ^(Q)| = q ф 1 и поэтому РФ(Q)R - максимальная подгруппа группы G. Понятно, что эта подгруппа является нильпотентной и поэтому Ф^) < CG(P) = Р, что невозможно.

Теперь предположим, что M является группой типа (2) в лемме 2 и p делит M. Тогда G = [P]M, где M = QP1 - группа Шмидта, Q и Р1 - силовские q-подгруппа и p-подгруппа в M соответственно. По [15, A, теорема 15.6], Op(M) = 1 и поэтому M = [Q]P1, где Q изоморфна либо группе M3(q), либо группе кватернионов порядка 8. Легко заметить, что |Р1| = p. Но тогда PQ является максимальной подгруппой в G. Понятно, что PQ ненильпотентна и поэтому PQ - подгруппа Шмидта в G с |Q| = q. Это означает, что подгруппа M не удовлетворяет условию (2) леммы 2, противоречие.

Допустим теперь, что M является группой типа (3) в лемме 2. Рассуждая аналогично, как и выше, можно показать, что данный случай не имеет место.

Достаточность. Непосредственной проверкой легко убедиться, что в случае, когда G является группой одного из типов (1)-(2), любые две 3-максимальные подгруппы группы G являются Р^)-перестановочными. Лемма доказана.

Теорема 4. Пусть G - группа Белоногова и X = F(G). Если любые две 3-максимальные подгруппы группы G являются X-перестановочными, то lp(G) £ 1 для всех простых p.

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 3.

The paper is devoted to research of Schmidt groups and Belonogov's groups in which any two second or any two third maximal subgroups (is generalized) are permutable.

The key words: The maximal subgroup, the second maximal subgroup, the third maximal subgroup, a Schmidt group, a Belonogov's group, Х-permutable subgroup, a soluble group, a primitive subgroup, a normal subgroup.

Список литературы

1. Guo, X.Y. Cover-avoidance properties and the structure of finite groups / X.Y. Guo, K.P. Shum // Journal of Pure and Applied Algebra. 2003. Vol. 181. P. 297-308.

2. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W.Guo, K.P.Shum, A.N.Skiba // J. Algebra. 2007. Vol. 315. P. 31-41.

3. Li, Baojun New characterizations of finite supersoluble groups / B.Li, A.N.Skiba // Science in China. Serias A: Mathematics. 2008. Vol. 50, № 1. P. 827-841.

4. Skiba, A.N. Я-permutable subgroups / A.N. Skiba // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. 2003. Vol. 4(19). P. 37-39.

5. Guo, W. Conditionally Permutable Subgroups and Supersolubility of Finite Groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // SEAMS Bull Math. 2005. Vol. 29, № 2. P. 792-810.

6. Guo, W. On finite groups in which every 2-maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups / W.Guo, H.V.Legchekova, A.N.Skiba. Гомель, 2008. С. 17 (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 10).

7. Guo, W. The structure of finite non-nilpotent groups in which every 3-maximal subgroup permutes with all maximal subgroups / W.Guo, H.V.Legchekova, A.N.Skiba. Гомель, 2008. С. 17 (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 11).

8. Skiba, A.N. Finite groups with given systems of generalized permutable subgroups / A.N.Skiba // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2006. Т. 36, № 3. С. 12-31.

9. Го, Веньбинь О конечных ненильпотентных группах, в которых любые две 2-максимальные подгруппы перестановочны или любые две 3-максимальные подгруппы перестановочны / В.Го, Ю.В.Луценко, А.Н.Скиба. Гомель, 2008. - 26 с. - (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; 20).

10. Белоногов, В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными 2-максимальными подгруппами / В.А.Белоногов // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 1. С. 2132.

11. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. - New York-Evanston-London: Harper and Row, 1968.

12. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B.Huppert; Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1967.

13. Kurzweil, H. The theory of finite groups: an introduction / H.Kurzweil, B.Stellmacher; New York - Berlin - Heidelberg: Springer-Verdag, 2004.

14. Miller, G.A. Monabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A.Miller, H.Moreno // Trans. Am. Soc. 1903. № 4. P. 398-404.

15. Doerk, K. Finite Soluble Groups / K.Doerk, T.Hawkes; Berlin-New York: Walter de

Gruy.

Об авторе

Ю.В. Луценко - Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.