CC BY
9Математика
УДК 512.542
О ПРОИЗВОДНОЙ р-ДЛИНЕ КОНЕЧНЫХ J?-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП
O.A. Шпырко1
Вводится понятие производной р-длины для конечной р-разрешимой группы и описываются ее элементарные свойства. Получены оценки производной р-длины конечной
р-разрешимой группы в зависимости от строения силовских р-подгрупп.
рр
р
рр
рр
р
Key words: finite group, р-soluble group, derived р-length, Sylow р-subgroup.
Введение. Рассматриваются только конечные группы. Все используемые понятия и обозначения соответствуют принятым в монографии [1].
Работа Ф. Холла и Г. Хигмэна [2] определила одно из основных направлений в изучении р-разрешимых групп — установление взаимосвязи между мерой сложности силовской р-подгруппы р-разрешимой группы
G и ее р-длиной lp(G). На произвольные, необязательно р-разрешимые группы понятие р-длины распро-
р
рр
р
р
щих на р-длину lp (G) группы G, могут быть заменены инвариантами центральных пересечений р-силовских подгрупп. В частности, они показали, что р-длина р-разрешимой группы не превосходит некоторых таких инвариантов.
р
статье В. Д. Мазурова [6].
рр
простейшие свойства, а также зависимость от строения силовских подгрупп.
Вспомогательные результаты. Пусть G — р-разрешимая группа. Тогда она обладает субнормальным рядом
G = Go > Gi > ... > Gn = E,
факторгруппы Gi/Gi+i которого являются либо р'-группами, либо абелевыми р-группами. Наименьшее число абелевых р-факторов среди всех таких субнормальных рядов группы G назовем производной р-длиной группы G и обозначим через lp,(G).
Из этого определения вытекает, что lp,(G) ^ lp(G)d(Gp), где d(Gp) — производная длина силовской р-подгруппы р-разрешимой группы G. В частности, производная р-длина р-разрешимой группы с абелевой силовской р-подгруппой не выше 1. Если силовская р-подгруппа метабелева, то производная р-длина в общем случае не превышает 4. Но в некоторых ситуациях значение lp,(G) можно снизить.
Напомним, наименьшее натуральное число n, для которого выполняется равенство G^nn = 1, называют производной длиной группы G и обозначают через d(G). Здесь G' — коммутант группы G и G(i = (G(i-1))'.
Лемма 1. Пусть G — р-разрешимая группа. Тогда, справедливы следующие утверждения:
1) если H — подгруппа, группы G, то lpa(H) ^ lp>(G);
2) есл и N <G, то lpa (G/N) ^ l%(G); есл и N — нормальная р'-подгруппа группы G, то l£(G/N) = l%(G);
3) есл и N — нормальная абелева, р-подгруппа, группы G, то lpa(G/N) = lpa(G) — i, где i <Е {0,1};
4) есл и G uV — разрешимые группы, то lp,(G х V) = max{lp>(G),lpa (V)};
5) есл и N1 и N2 — нормальные подгруппы, в G, то l^(G/(N1 П N2)) ^ max{l^ (G/N1 ),l<^ (G/N2)}.
1 Шпырко Ольга Алексеевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики отд-я естественных наук Филиала МГУ имени М. В. Ломоносова в г. Севастополе, е-таШвЬругковтаП.ги.
Доказательство. Зафиксируем субнормальный ряд для р-разрешимой группы G :
G = Go > Gi > ... > Gn = 1,
где Gi/Gi+i — либо абелева р-группа, либо р'-группа, причем число абелевых р-факторов совпадает с t = lap(G).
1. Пусть H — подгруппа группы G. Тогда ряд
H = Ho ^ Hi ^ H2 ^ ... ^ Hn = 1,
где Hi = Gi П H, является субнормальным рядом подгруппы H, причем факторы
Hi/Hi+i = (Gi П H)/(Gi+i П H) ~ (Gi П H)Gi+i/Gi+i
суть подгруппы факторгрупп Gi/Gi+i. Поэтому в построенном ряде группы H каждый фактор либо р'-группа, либо аб ел ева р-группа и число абелевых р-факторов не превосходит числа t. Таким образом, ia(H) < t = iap(G).
2. Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Ясно, что ряд
G/N = G0/N ^ GiN/N ^ ... ^ GnN/N = 1 G/N
(GiN/N)/(Gi+iN/N) ~ GiN/Gi+iN = Gi(Gi+iN)/Gi+iN ~
~ Gi/Gi П Gi+iN = Gi/Gi+i(Gi П N) ~ Gi/G+i/Gi+i(Gi П N)/G+i,
изоморфными факторгруппам групп Gi/Gi+i. Поэтому факторы построенного ряда для группы G/N являются либо р'-группами, либо абелевыми р группами и число абелевых р-факторов не превосходит числа t. Таким образом, l^(G/N) ^ t = l%(G).
N р ' G
G/N = Xo/N > Xi/N > ...> Xk/N = 1
G/N р'
ргруппами, причем число абелевых р-факторов совпадает с l£(G/N). Тогда ряд
G = Xo >Xi > ...>Xk > N ^ 1
G р ' р
чем число абелевых р-факторов совпадает с l£(G/N). Из определения производной р-длины следует, что lp(G) ^ lpa(G/N). В силу уже доказанного неравенства l£(G/N) ^ lpa(G) имеем l£(G/N) = l%(G).
3. Пусть N — неединичная нормальная абел ева р-подгруппа группы G и
G/N = Go/N > Gi/N > ...> Gn/N = 1
G/N р'
ргруппами, причем число абелевых р-факторов совпадает с l£(G/N). Тогда ряд
G = Go > Gi > ...>Gn > N> 1
это такого же типа ряд группы С, в котором число абелевых р-факторов равно 1 + 1^(0/N). Из
ЛА ТГА ТТАТ^ТЯСТ ТГТ^ПТЯ'З^ПТТТЯПТ* Р™ И ТГТЯТ^^Т ТГП ТГ^'О ГТ^П 1^(0) ^ 1 + ¡{а(О/^) Г^ПТ^ ТГ ЛТ^П ТГ О ТТ^^ГТ^ПТ^ ТГА1\Ж А.'ТТ^Т
р (С/ N ) ^ (О ) , (О ) - 4 I 1р (О/N) Т^ТТА 4
ТТГТ.Т У 1/ ТА ТЯ-З ТГ 1 ^ТГАТГЛДОТ ГТТП ГПЯЛ^/} ( О . , , ~ , , ^ ,
) ) "р\" ! } "р\
„ , , ^ , . VП
х V / \ шил^^^у,
О - Оо >Ох > ...>Оп -1, V - Уо > V! > ...>Ут -1 субнормальные ряды рразрешимых групп О и V, в которых каждый фактор либо р'-группа, либо
а о* ¡а (
(0/N) < ¡%(О), поэтому ¡%(О) - 4 + ¡%(0/N), где 4 е {0,1}
4. Так как О и V — подгруппы группы О х V, то из п. 1 следует, что ш&х^р,(О), ¡%(V)} ^ ¡%(О х V). Покажем, используя индукцию по |О| + ¡V|, что ¡%(О х V) ^ тах{1а(О),1%(V)}. Пусть
абелева р-группа, причем число абелевых р-факторов равно la(G) и la(V) соответственно. Предположим
что хотя бы одна из подгрупп Gn-i, Vm-1 является р'-подгруппой. Пусть, например, Gn-1 — р'-подгруппа. Тогда по индукции
lap((G/Gn-i) х V) 4 max{lap(G/Gn-i), lap(V)}. В силу п. 2 данной леммы lp(G) = lp(G/Gn-i). Но
(G/Gn-i) х V ~ (G х V)/(Gn-i х E),
поэтому, воспользовавшись п. 2, имеем
lap((G/Gn-i) х V) = lap((G х V)/(Gn-i х E)) = lap(G х V).
Значит, lp(G х V) 4 max{lp(G),lp(V)}.
Пусть теперь Gn-i и Vm-1 являют ся р-подгруппами. Тогда
G/Gn-i = G0/Gn-i > Gi/Gn-i > ...> Gn-2/Gn- i > Gn-i/Gn-i = V/Vm-i = V0/Vm-i > Vi /Vm- i > . ..> Vm-2/Vm-i > Vm-i/Vm-i = 1
суть субнормальные ряды р-разрешимых групп G/Gn-i и V/Vm-i, в которых каждый фактор либо р'-группа, либо абелева р-группа, причем число абелевых р-факторов равно lp(G) — 1 и lp(V) — 1 соответственно. Следовательно, lp(G/Gn-i) 4 lp(G) — 1, lp(V/Vm-i) 4 lp(V) — 1. Используя индукцию, получаем
lP((G/Gn-i) х (V/Vm-i)) = lP((G х V)/ (Gn-i х Vm-i)) 4
4 max{lp(G/Gn-i),lp(V/Vm-i)} 4 max{lp(G) — 1,lp(V) — 1} = max{lp(G),lp(V)} — 1.
Так как Gn-i х Vm-i — абелева нормальная р-подгруппа группы G х V, то из п. 3 данной леммы при i g{0, 1} имеем
lp(G х V) = i + lp((G х V)/(Gn-i х Vm-i)) 4 i + max{lp(G),lp(V)} — 1 4 max{lp(G), lp(V)}.
5. Пусть Ni и N2 — нормальные подгруппы в G. По лемме Ремака группа G/(Ni П N2) изоморфна подгруппе группы (G/Ni) х (G/N2), поэтому из пп. 1 и 4 следует, что
lp(G/(Ni П N2)) 4 max{lp(G/Ni),lp(G/N2)}.
Лемма 1 полностью доказана.
Лемма 2. Если N — нормальная р-подгруппа, р-^зрешимой группы G, то l'p(G) 4 lPp(G/N) + d(N). Доказательство. Пусть t = d(N) и
G/N = Go/N > Gi/N > ...> Gn/N = 1
G/N р'
ргруппами, причем число абелевых р-факторов совпадает с lp(G/N). Так как N— характеристическая подгруппа группы N для любого натурального к, то ряд
G = Go > Gi > ...>Gn = N > N' > N'' > ...> N(t-i) > N(t) = 1
является субнормальным рядом группы G, в котором число абелевых р-факторов равно t + lp(G/N). Из определения производной р-длины получаем, что lp(G) 4 t + lp(G/N). Лемма доказана.
Напомним, группой Шмидта называется ненильпотентная группа, у которой все собственные подгруппы нильпотентны. Через S = [P}Q обозначают группу Шмидта с нормальной силовской р-подгруппой P и ненормальной циклической g-подгруппой. Подробная информация о таких группах содержится в работе [7].
Лемма 3 [8, теорема 1]. Если G — р-щзрешимая группа, то d(Gp) 4 lp(G) 4 lp(G)d(Gp). Следствие 1. Пусть G — р-разрешимая группа, тогда d(Gp) 4 lp(G) 4 d(Gp)2. Доказательство получаем из леммы 1 и теоремы VI.6.6 работы [4].
G р р
подгруппе группы Шмидта, то lp(G) = d(Gp).
Доказательство получаем из леммы 3 и теоремы 3 работы [7].
Следствие 3. Если О р-щзрешимая группа и ¡р(О) ^ 1, то ¡%(О) - й(Ор). Следствие 4. Если р-силовская подгруппа р-^зрешимой группы О абелева, то ¡%(О) ^ 1. Доказательство следствий 3 и 4 получаем из леммы 3 и того факта, что ¡р(О) ^ 1. Лемма 4. Пусть О — р-ра,зрешимая группа иЬ — натуральное число. Предположим, что ¡p)(0/N) ^ Ь для, всех неединичных нормальных подгрупп N группы О, но ¡%(О) > Ь. Тогда, справедливы следующие утверждения:
1) Ор/ (О) - 1;
2) в группе О существует только одна минимальная нормальная подгруппа;
3) Г(О) - Ор(О) - Г(Ор(О));
4) Сс(Г(О)) с Г(О);
5) в груп пе О существует такая максимальная подгруппа М, что О - Г (О)М и Г (О) П М - Ф(О). Доказательство. 1. Так как ¡%(О/Ор' (О)) - ¡%(О) то лемме 1, п. 1, то Ор (О) - 1.
О
N1 и N2. Тогда N П N2 - 1, и по условию ¡%(О/N1) ^ Ь, I%(О/N2) ^ Теперь ¡%(О) ^ т&х{1р,(О/^), Iр(О/N2)} ^ Ь по лемме 1, п. 5. Противоречие.
3. Утверждение следует из п. 2.
4. Утверждение следует из леммы 2 работы [9].
5. Пусть Ф(О) - 1. Так как Г (О) ^ Ф(О), то существует такая максимальная подгруппа М группы О, что Г (О) ^ М и О - Г (О) М. Пусть К - Г (О) П М. Ясно, что К < Г (О) и ф(о) Ч К. С другой стороны,
Ф(О) - Г (О) П Ф(О) - Г (О) П (Пи<-аН) - Пи<.а(Г (О) П Н) ^ К.
Таким образом, окончательно получаем Ф(О) - Г (О) П М. Лемма доказана.
рр
числа, к, образует наследственную радикальную формацию.
Доказательство леммы получаем из пп. 1, 2 и 4 леммы 1.
Через £%(к) - {О е &р | ¡%(О) ^ к} обозначим класс всех р-разрешимых групп с производной р-длиной, не превышающей некоторого натурального числа к. Здесь &р — класс всех р-разрешимых групп.
Чаиртии этп гЪгтмяттаст не является насыщенной. В частности, в классе возможна ситу-
ация, когда l;(G/Ф^)) < l;(G).
Пример. Пусть G — [P}Q — группа Шмидта с неабелевой силовской р-подгруппой P. Следовательно, G' = Z(G) < Ф^) и ^/Ф^)) =\,и l;(G) < 2. Таким образом, l;(G/Ф(G)) < l;(G), и масс L;(l) не является насыщенной формацией.
Основные результаты. Теорема 1. Пусть G — р-щзрешимая группа. Если (Gp)' С Z(Gp), m,о
l;(G) < 3.
GN
подгруппа. Тогда G/N — p-разрешимая группа с силовской р-подгруппой GpN/N. Ясно, что Z(Gp)N/N С Z (GpN/N) и G'p N/N = (GpN/N)'. Далее,
(GpN/N)' = G'pN/N С Z(Gp)N/N С Z(GpN/N),
т.е. факторгруппа G/N наследует условия леммы. По индукции l;(G/N) ^ 3, а по лемме 4, п. 4 в группе G только одна минимальная нормальная подгруппа, Op' (G) — l и F (G) — Op(G) — F (Op (G)). Так как F (G) С Gp, a из леммы 4 следует, что CG(F (G)) С F (G), no (Gp )' С Z (Gp ) С F (G) и Gp/F (G) абелева. По следствию 4 из леммы 3 имеем l;(G/F(G)) ^ l, а поскольку d(F(G)) ^ 2, то l;(G) ^ 3 по лемме 2. Теорема доказана.
Метабелевой называют группу, у которой коммутант абелев.
Теорема 2. Если G — р-щзрешимая группа с метабелевой силовской р-подгруппой, р > 2, то
l;(G) < 3.
G
факторгруппами группы G, то применима лемма 4, в соответствии с которой Op' (G) — l и F (G) — Op(G) — F (Op (G)). По лемме 9 из работы [10 ] имеем (Gp )' С F (G) и Gp/F (G) абелева. Согласно следствию 4 из леммы 3, l;(G/F(G)) ^ l, а так как d(F(G)) ^ 2, то то лемме 2 имеем l;(G) ^ 3. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Монахов B.C. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006.
2. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. 3. 1-42.
3. Шеметков Л.А. О р-длине произвольных конечных групп // Докл. АН БССР. 1969. XIII, № 5. 394-395.
4. Huppert В. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Walter de Gruyter, 1967.
5. Анищенко А.Г., Монахов B.C. Центральные пересечения и р-длина р-разрешимых групп // Докл. АН БССР.
1977. XXI, № 11. 968-971. р
7. Журтов А.Х., Сыскин С.А. О группах Шмидта // Сиб. матем. жури. 1987. XXVIII, № 2. 74-78.
8. Шпырко O.A. О производной п-длине конечной п-разрешимой группы // Таврич. вестн. Матем. и Информ. 2005. № 1. 49-54.
9. Монахов B.C., Шпырко O.A. О максимальных подгруппах в конечных п-разрешимых группах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 3-8.
10. Kazarin L.S. Soluble product of groups // Infinite groups 94. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1995. 111-123.
Поступила в редакцию 15.09.2011 После доработки 11.03.2014
УДК 517.5
ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ НОРМ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ РЯДАМИ ПО ПРОИЗВЕДЕНИЯМ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ С КРАТНО-МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Т. М. Вуколова1
В работе доказываются оценки снизу и сверху для смешанных норм функций — сумм рядов по произведениям косинусов и синусов.
Ключевые слова: смешанная норма, ряды по произведениям косинусов и синусов, монотонные коэффициенты.
In this paper we prove lower and upper bounds for norms of mixed functions being sums of series in products of cosine and sine functions.
Key words: mixed norm, series in cosine and sine products, monotone coefficients.
1. Введение. Будем рассматривать ряды вида
те те
У^ ат ,«2 COS п1х1 sin п2%2, (1)
«■2 = 1 «1=0
где cos 0 • Х\ = коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:
аП1,«2 ^ 0 при п1 ^ж и любом п2, ani,«2 ^ 0 при п2 ^ж и любом п1. (2)
Для целых неотрицательных чисел ki и к2 обозначим
k2 ki
^kik2 a«i ,«2 = ^2/ ( — 1)j (-1)lClk1 ani+i,«2+j.
j=0 i=0
Теорема A [1]. Если последовательность {ani,«2} удовлетворяет условиям (2) и Ak1k2ani,«2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п1, любых натуральных п2 и некоторых натура,льных к1 и к2, то ряд (1) сходится, по Прингсхейму всюду, кром,е, может быть, множества плоской меры нуль, т.е. существует функция ф(х1 ,х2) — сумма, ряда, (1).
Вуколова Татьяна Михайловна — канд. фнз.-мат. наук, доцент Ин-та русского языка и культуры МГУ, e-mail: tmvukolovaQmail .ru.
