О НИЛЬПОТЕНТНОЙ π-ДЛИНЕ КОНЕЧНЫХ π-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОДГРУППЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Для каждой полурешетки из пп. 1-4 существует обладающее такой же полурешеткой бикомпактных G-расширений псевдокомпактное G-пространство, на котором действует дискретная группа.

Следствие 4. Существует псевдокомпактное G-пространство с действием дискретной группы, полурешетка бикомпактных G-расширений которого имеет счетное число минимальных элементов.

Замечание 8. Полурешетки из пп. 2 и 4 и решетки из п. 1 при n > 2 и п. 3 не могут быть (по-лу)решетками бикомпактификаций тихоновских пространств.

Автор выражает благодарность участникам семинара по топологической алгебре под руководством О. В. Сипачевой, Е.А. Резниченко и К. Л. Козлова за плодотворные обсуждения и полезные вопросы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

2. Magill K.D. The lattice of compactifications of a locally compact space // Proc. London Math. Soc. 1968. 18, N 3. 231-244.

3. Rayburn M.C. On Hausdorff compactifications // Pacif. J. Math. 1973. 44, N 2. 707-714.

4. Bludova I.V., Nordo G., Pasynkov B.A. On the homeomorphism of spaces and Magill-type theorems // Q&A in General Topology. 2001. 19, N 1. 95-105.

5. Козлов К.Л., Чатырко В.А. О бикомпактных G-расширениях // Матем. заметки. 2005. 78, вып. 5. 695-709.

6. Smirnov J.M., Stojanov L.N. On minimal equivariant compact extensions // C. r. Acad. bulgare sci. 1983. 36, N 6. 733-736.

7. Смирнов Ю.М. Могут ли простые геометрические объекты быть максимальными компактными расширениями для R" // Успехи матем. наук. 1994. 49, вып. 6. 213-214.

8. Смирнов Ю.М. Минимальные топологии на действующих группах // Успехи матем. наук. 1995. 50, вып. 6. 217-218.

9. Vries J. de. On the existense of G-compactifications // Bull. Acad. pol. sci. ser. math. 1978. 26, N 3. 275-280.

10. Vries J. de. Topological transformation groups I // Math. Centre Tracts. N 65. Amsterdam: Mathematisch Centrum, 1975.

11. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1983.

12. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Princeton; N.Y.: D. Van Nostrand Co., Inc., 1960.

13. Palais R. The classification of G-spaces // Mem. AMS. 1960. 36, N 2. 1-72.

14. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 13.10.2006

УДК 521.542

О НИЛЬПОТЕНТНОЙ п-ДЛИНЕ КОНЕЧНЫХ ^-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОДГРУППЫ

О. А. Шпырко

Рассматриваются только конечные группы. Хорошо известно, что в разрешимой неединичной группе О подгруппа Фиттинга Е(О) является неединичной. Поэтому цепочка подгрупп

Е = Ео(О) < Е (О) < ... < Ег(О) = О,

где Ег(О)/Е—1 (О) = Е(О/Е-1 (О)) — подгруппа Фиттинга группы О/Е-1(О), г = 1, 2,..., достигает группы О. Наименьшее натуральное число Ь, при котором Е^О) = О, называется нильпотентной длиной группы О и обозначается через п(О). Для единичной группы Е полагают п(Е) = 0.

Пусть п — некоторое множество простых чисел. Через п' обозначают множество всех простых чисел, не содержащихся в п, а через п(О) — множество простых чисел, делящих порядок группы О. Если О — группа и п(О) С п, то О называют п-группой; если п(О) С п', то — п'-группой.

Группа О называется п-разрешимой [1], если она обладает субнормальным рядом

E = Go < Gi < G2 < ... < Gm = G,

в котором факторы Gi/G—i являются либо р-группой для некоторого простого р G п, либо п'-группой, i = 1, 2,... ,m.

Для группы G рассмотрим ряд

E = Po (G) < No (G) < Pi(G) < Ni(G) < P2 (G) < N2(G) < ...,

где Ni(G)/Pi(G) = On'(G/Pi(G)), Pi+i(G)/N(G) = On(G/Ni(G)), i = 0,1, 2,.... Здесь On(X) и On(X) — наибольшие нормальные п'- и п-подгруппы группы X соответственно. Если группа G п-разрешима, то Nk(G) = G для некоторого натурального к. Наименьшее натуральное число к с этим свойством называют п-длиной п-разрешимой группы G и обозначают через ln(G).

При п = {р} определение п-длины п-разрешимой группы превращается в определение р-длины lp(G), предложенное Ф. Холлом и Г. Хигменом [2] для р-разрешимых групп. Элементарная теория р-длины изложена в монографии Хупперта [1].

Нильпотентная п-длина п-разрешимой группы G определяется следующим образом. Пусть

Pn(G) = E, N?(G)/P?(G) = On'(G/Pn(G)), P+i (G)/Nn (G) = F (G/Ni (G)), i = 0,1,2,....

У п-разрешимой группы G существует номер к, такой, что Nn(G) = G. Наименьшее натуральное число к, для которого в ряде

E = P£(G) < N'n(G) < P'n(G) < N'n(G) < ...

выполняется равенство N^(G) = G, называется нильпотентной п-длиной группы G и обозначается через ln(G). Поскольку Pn+1(G)/Nn(G) — нильпотентная п-группа, а Nn(G)/Pn(G) — п'-группа, то П(G) < l'n(G), а если п = {р}, то l'i(G) = ln(G) = lp(G). Ясно также, что равенство ln(G) = l'i(G) сохраняется для п-разрешимой группы с нильпотентной п-холловой подгруппой [3].

п-Разрешимая группа G при п(^) Q п становится разрешимой, и значение нильпотентной п-длины группы G совпадает со значением нильпотентной длины.

Если группа G разрешима и п Q п(G), п = п(G), то понятия нильпотентной п-длины и п-длины разрешимой группы представляют самостоятельный интерес.

С понятием п-длины связана следующая проблема Л. А. Шеметкова: "Верно ли, что для любого непустого множества п простых чисел п-длина п-разрешимой группы ограничена сверху ступенью разрешимости ее п-холловой подгруппы?" (см. [4, вопрос 11.119]). Эта проблема рассматривалась в работах Н. С. Черникова, А. П. Петравчука [3, 5] и Л. С. Казарина [6], где получен положительный ответ в случае, когда 2 G п. Результат Л. С. Казарина легко перенесся на нильпотентную п-длину [7, теорема 1].

С понятием нильпотентной п-длины связана проблема В. С. Монахова: "Верно ли, что l'i(G) < n(Gn) — 1 + maxp^n lp(G) для любой п-разрешимой группы G?" (см. [4, вопрос 15.61]). На этот вопрос получены положительные ответы в следующих случаях: п-холлова подгруппа нильпотентна [3]; коммутант п-холловой подгруппы нильпотентен [7]; все собственные подгруппы в п-холловой подгруппе сверхразрешимы [8].

В настоящей работе подтверждается гипотеза В. С. Монахова для оценки нильпотентной п-длины п-разрешимой группы G в случае, когда lp(G) < 1 для всех р G п \ {q} и q G п (теорема 1). Кроме того, получены новые оценки нильпотентной п-длины п-разрешимой группы со сверхразрешимой п-холловой подгруппой (теорема 2).

Для индуктивных рассуждений нам потребуются следующие две леммы. Как и в [7], под l^(G) понимается всюду либо ln(G), либо l'n(G).

Лемма 1 [7, лемма 1]. Пусть п — некоторое множество простых чисел и G — п-разрешимая группа. Тогда:

1) если H — подгруппа группы G, то l* (H) < l* (G);

2) если N — нормальная подгруппа группы G, то l^(G/N) < l^ (G); если N — нормальная п'-подгруппа группы G, то l* (G) = (G/N);

3) в любом ряде нормальных подгрупп группы G с п'-факторами и п-факторами (нильпотентными п-факторами) число неединичных п-факторов не меньше, чем ln(G) (l'i(G) соответственно);

4) если Hi<G, i = 1, 2,...,n, и G = H1H2 .. .Hn, то l* (G) = maxi=l,2,..,n l^ (H ).

Лемма 2 [7, лемма 2]. Пусть п — некоторое множество простых чисел и G — п-разрешимая группа. Если l* (G/N) < l* (G) для всех неединичных нормальных подгрупп N группы G, то

1) On'(G) = Ф(С) = 1;

2) в группе G существует единственная минимальная нормальная подгруппа K;

3) K — элементарная абелева р-группа, p G п и K = Op',p(G) = Р™;

4) Cg(K) = K и подгруппа K дополняема в группе G.

Для доказательства основных теорем нам понадобятся следующие утверждения.

Лемма 3. Если G — п-разрешимая группа и H — ее п-холлова подгруппа, то n(H)

< l'n(G).

Доказательство. Рассмотрим следующий ряд группы G:

1 = Р^ < N01 < Р^ < N^ < ... < Ntn = G.

Здесь t — наименьшее число, для которого NJ1 = G, т.е. in(G) = t. Факторы Pi+i/Pi этого ряда обладают нормальной п'-холловой подгруппой и нильпотентной п-холловой подгруппой. Пересекая члены этого ряда с подгруппой H, получим нормальный ряд подгруппы H:

1 = Pn П H = Nn П H < P'n П H = N'n П H < ... < Pn П H = Nn П H < ...

... < P'n П H = NI1 П H = G П H = H.

Группа Pi(Pi+i П H)/Pi является п-подгруппой группы Pi+i/Pi, поэтому она нильпотентна. Кроме того, Pi(Pi+i П H)/Pi — (Pi+ i П H)/(Pi П H), значит, построенный для H ряд нормальный и его факторы нильпотентны. Так как любой нормальный ряд группы H с нильпотентными факторами имеет длину не менее n(H), то n(H) < t. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть G — бипримарная группа, п(^) = {p,q}. Если lq(G) < lP(G), то:

1) lp(G)= lq (G) + i, где i = {0,1};

2) n(G) < lq (G) + lp(G) < 2lq (G) + 1.

Доказательство. Пусть G — бипримарная группа и пусть lq(G) = к, т.е. по определению q-длины имеем ряд

1 = Qo < No <Qi<Ni< ■■■ <Qk < Nk = G.

1) Так как число р-факторов, т.е. q'-факторов, либо совпадает с числом к, либо на единицу больше, то справедливо равенство lp(G) = lq(G) + i, где i = {0,1}. Первое утверждение доказано.

2) Поскольку (^^)-ряд есть (р,д)-ряд группы G и Fi (G) = Ni(G) либо Fi+i (G) = Qi+i (G), то нильпотентная длина n(G) группы G не превышает суммы числа q-факторов и числа р-факторов (p, q)-ряда группы G, т.е. n(G) < lq(G) + lp(G). Учитывая первое утверждение леммы, окончательно получаем n(G) < lq(G) + lp(G) < 2lq(G) + 1. Лемма доказана.

Симметрическая группа S4 имеет нильпотентную длину 3, l2 (S4) = 2, 1з(^4) = 1. Значит, оценка нильпотентной длины в лемме 4 является точной.

Лемма 5. Пусть G — разрешимая группа, q G п(G) и пусть lp(G) < 1 для любого p G п(^) \ {q}. Тогда n(G) п(G) | -1 + lq (G).

Доказательство проводим индукцией по порядку группы G. Пусть $(G) = 1. Тогда по индукции для факторгруппы G/'^G) заключаем, что n(G) = n(G/^(G)) < 1п(^/Ф^))\-1 + ^(G/Ф(G)) < HG)| -1 + lq(G). Следовательно, $(G) = 1. Предположим теперь, что в группе G существуют две различные минимальные нормальные подгруппы Ni и N2. Для факторгруппы G/(NiПN2) по индукции получаем, что n(G)= n(G/(Ni ПN2)) < max{n(G/Ni),n(G/N2)} < maxi=i^(iG/Ni)l-1 + lq(G/Ni) < + ^(G).

Таким образом, в группе G существует единственная минимальная нормальная подгруппа — подгруппа Фиттинга F = F (G), которая является элементарной абелевой r-группой для некоторого r G п(G).

Если r = q, то F < Gq и lq(G) = lq(G/F) + 1, а lp(G/F) = lp(G) для всех p G п(G)\{q}. Таким образом, по индукции для факторгруппы G/F получаем, что n(G) = n(G/F) + 1 < ^(G/F)| - 1 + lq(G/F) + 1 = ^(G/F)| + lq(G/F) < MG) - 1 + lq(G). В этом случае лемма доказана.

Пусть теперь r = q. Так как lr(G) < 1, то F = Gr и |п(G/F)| = |п^)| - 1. В этом случае по индукции для факторгруппы G/F получаем оценку n(G) = n(G/F) + 1 < ^(G/F)| - 1 + lq(G/F) + 1 = G/F )| + lq (G/F ) < K(G)| - 1 + lq (G). Лемма доказана.

Следствие 1 [9, теорема 2]. Если G — разрешимая группа и lp(G) < 1 для всех p G п(G), то n(G) < ^(G^.

Следствие 2 [1, теорема IV.14.16]. Пусть G — A-группа. Тогда n(G) = d(G) < |п^)|.

Следствие 3. Пусть G — бипримарная группа, п(^) = {p,q}. Если lq(G) < 1, то n(G) < 3.

Доказательство. По лемме 4, п. 2 имеем n(G) < 2lq(G) + 1. Так как lq(G) < 1 по условию, то n(G) < 3. Следствие доказано.

Теорема 1. Пусть G — п-разрешимая группа, q £ п и пусть lp(G) < 1 для любого р £ п \ {q}. Тогда

in(G) < n(Gn) - 1 + lq(G).

Доказательство теоремы проведем индукцией по порядку группы G. Согласно лемме 2, Ож>(G) = 1, &(G) = 1, в группе G существует единственная минимальная нормальная подгруппа — подгруппа Фиттин-га F(G) = F группы G, которая является нормальной элементарной абелевой r-подгруппой группы G для некоторого r £ п, причем Cg(F) = F и F дополняема в G, т.е. G = [F]M. Ясно, что in(G) = in(G/F) + 1.

Если r = q, то F < Gq и lq(G) = lq(G/F) + 1, а lp(G/F) = lp(G) < 1 для всехp £ п\{q}. Таким образом, по индукции для факторгруппы G/F получаем, что l'n(G) = ln(G/F) + 1 ^ n((G/F)n ) - 1 + lq (G/F) + 1 < n(Gn) + lq(G/F) < n(Gn) + lq(G) — 1. В этом случае теорема доказана.

Пусть теперь r = q. Так как lr(G) < 1, то F = Gr и n((G/F)n) = n(Gn) — 1. В этом случае по индукции для факторгруппы G/F получаем оценку l'n(G) = ln(G/F) + 1 < n((G/F)п) — 1 + lq(G/F) + 1 = n((G/F)n) + lq(G/F) < n(Gn) — 1 + lq(G). Теорема доказана полностью.

Следствия 4 — 7 показывают, что для п-разрешимых групп в ряде случаев неравенство в лемме 3 является точным.

Следствие 4. Пусть G — п-разрешимая группа и lp(G) < 1 для любого p £ п. Тогда l%(G) = n(Gn) <

HGn )|.

Доказательство. По лемме 3 имеем n(Gn) < ln(G); согласно теореме 1, ln(G) < n(Gn). По следствию 1 из леммы 5 окончательно получаем n(Gn) < ^(G^)|. Таким образом, ln(G) = n(Gn) < ^(G^)|. Следствие доказано.

Следствие 5. Пусть G — п-разрешимая группа с абелевыми силовскими р-подгруппами для всех р £ п. Тогда %(G) = n(Gж) < )|.

Доказательство. Пусть G — п-разрешимая группа с абелевыми силовскими р-подгруппами для всех р £ п. Зафиксируем п-холлову подгруппу H группы G. Пусть n(H) — нильпотентная длина подгруппы H. Из леммы 3 следует, что n(H) < l^(G), а по теореме 1 имеем l^(G) < n(H). Поэтому l%(G) = n(Gn). Применяя теперь следствие 2 из леммы 5, получаем, что n(Gn) < ^(G^)|. Следствие доказано.

Следствие 6. Если G — п-разрешимая группа с абелевой п-холловой подгруппой, то l'n(G) < 1.

Доказательство. Так как Gp < Gn для всех р £ п, то требуемую оценку получаем, применяя следствие 2 из леммы 5 и учитывая, что подгруппа абелевой группы абелева, а нильпотентная длина абелевой группы равна 1. Следствие доказано.

Следствие 7. Если G — п-разрешимая группа с вполне факторизуемой п-холловой подгруппой Gn, то %(G) = n(Gn) < 2.

Доказательство. Вполне факторизуемая группа сверхразрешима, и ее силовские подгруппы элементарные абелевы [10, теорема 7.1]. Поэтому n(Gn) < 2 и lp(G) < 1 для всех р £ п. Теперь по теореме 1 получаем, что l'^(G) < 2. Следствие доказано.

Лемма 6. Для группы G со сверхразрешимыми собственными подгруппами справедливо одно из следующих утверждений:

1) коммутант G' — нильпотентная группа;

2) G = [P]([Q] R), где P — силовская р-подгруппа группы G шмидтовского типа, Q и R — циклические силовские подгруппы.

Доказательство. Если группа G сверхразрешима, то коммутант G' нильпотентен (см. теорему IV.9.1 из [1]). Пусть G несверхразрешима. Тогда G — минимальная несверхразрешимая группа и применима теорема 26.3 из [11]. Если группа G типа (1) или (2) из теоремы 26.3 работы [11], то коммутант G' < P и нильпотентен. Если G типа (3) из теоремы 26.3 [11], то G' < P х $(Q) и опять коммутант G' нильпотентен как подгруппа нильпотентной группы. Если G типа (4) из теоремы 26.3 [11], то группа G — из утверждения 2 доказываемой леммы. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть G — группа и H — ее подгруппа. Если N <G, то (HN/N)(r) ~ H(r)/(H(r) П N).

Доказательство. Так как HN/N ~ H/(N П H), то их коммутанты изоморфны. По свойствам коммутантов (H/(HnN))' = H'(HnN)/(HnN) ~ H'/(H'nN) [1, теорема I.8.4], поэтому (HN/N)1 ~ H'/(H'nN). Теперь ясно, что (HN/N)(r) ~ H(r)/(H(r) П N). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть G — п-разрешимая группа и пусть все собственные подгруппы в п-холловой подгруппе группы сверхразрешимы. Если H = Gn, K = Gn> и H(r) K = KH(r для некоторого натурального числа r, то l^(G) < max{r + 1; 3}.

Доказательство. Если H = Gn — сверхразрешимая группа, то по следствию 3 из теоремы 2 работы [12] получаем, что l^(G) < r + 1, и теорема доказана.

Пусть H несверхразрешима. Для доказательства воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть N — нормальная неединичная подгруппа в группе G, Gn — некоторая п-холлова подгруппа группы

в О, тогда ИХ/Х — п-холлова подгруппа в О/Х. По лемме 7 имеем (ИХ/Х)(г) = И(г) Х/Х, поэтому И(г)Х/Х ■ КХ/Х = И(г)КХ/Х = КИ(г)Х/Х = КХ/Х ■ И(г)Х/Х. Таким образом, индукция к факторгруппе О/Х применима.

Теперь по лемме 2 имеем Ож>(О) = 1, Ф(О) = 1, в группе О существует единственная минимальная нормальная подгруппа — подгруппа Фиттинга Е(О) = Е, являющаяся нормальной элементарной абелевой р-подгруппой группы О, р € п, совпадающая со своим централизатором в группе О и дополняемая в О, т.е. О = [Е]М. Ясно, что п-холлова подгруппа группы О равна Оп = [Е]МП, где Мп — п-холлова подгруппа в М и Е < И = Оп.

Согласно лемме 6, п-холлова подгруппа Оп группы О является группой типа (1) или (2). Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности. Если коммутант п-холловой подгруппы Оп нильпотентен, то по теореме 2 из [12] получаем требуемую оценку ¡П(О) < г + 1, и теорема в этом случае доказана.

Пусть теперь В — коммутант п-холловой подгруппы Оп — ненильпотентен. Тогда Оп = [Р]([^]Д) по лемме 6, где Р — силовская р-подгруппа группы Оп шмидтовского типа; Q и Я — циклические силовские подгруппы. В этом случае 1Р(О) = ¡д(О) = 1Г(О) = 1 и п(Оп) = 3. По теореме 1 ¡П(О) = п(Оп) = 3. Теорема доказана полностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Walter de Gruyter, 1967.

2. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. З. 1-42.

3. Черников Н.С., Петравчук А.П. Характеризация периодических локально разрешимых групп с разрешимыми и с конечно-экспонентными силовскими п-подгруппами // Укр. матем. журн. 1987. З9, № 6. 761-767.

4. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2006.

5. Черников Н.С., Петравчук А.П. О п-длине конечных п-разрешимых групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр. Ин-та математики АН Украины. Киев, 1993. 393-405.

6. Kazarin L.S. Soluble product of groups. Infinite groups 94. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1995. 111-123.

7. Монахов В.С., Шпырко О.А. О нильпотентной п-длине конечных п-разрешимых групп // Дискретная математика. 2001. 1З, вып. 3. 145-152.

8. Шпырко О.А. Холловы подгруппы и нильпотентная п-длина п-разрешимой группы // Весщ НАН Беларусь Cep. фiз.-мат. навук. 2001. № 2. 48-50.

9. Семенчук В.Н. Об одном классе конечных разрешимых групп // Докл. АН БССР. 1976. 104-105.

10. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. M.: Наука, 1980.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. M.: Наука, 1978.

12. Шпырко О.А. Нильпотентная п-длина конечной п-разрешимой группы и коммутант ее п-холловой подгруппы // Таврич. вестн. матем. и информ. 2004. № 1. 106-112.

Поступила в редакцию 20.10.2006

УДК 512.36

ПРИМЕР МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР С ДРОБНЫМ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ РОСТОМ

М. В. Зайцев, С. П. Мищенко

В работе изучается асимптотическое поведение коразмерностей тождеств неассоциативных алгебр. Основной результат статьи — построение примера многообразия с дробным полиномиальным ростом коразмерностей тождеств над полем нулевой характеристики.

Пусть V — многообразие линейных алгебр. Обозначим через Е = Е(X, V) относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {Х1,Х2,...}. Пусть Рп = Рп^) — совокупность всех полилинейных элементов от Х1,...,ХП в алгебре Е. Действие и(х1) = симметрической группы Бп естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры Е = Е(X, V). Пространство Рп становится при этом 5П-модулем.