О нильпотентной р-длине максимальных подгрупп конечных р-разрешимых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

3

Математика

УДК 521.542

О НИЛЬПОТЕНТНОЙ ^-ДЛИНЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП КОНЕЧНЫХ ^-РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП

В. С. Монахов,1 О. А. Шпырко1

Устанавливается связь между —-длинами —-разрешимой группы и ее максимальными подгруппами. Результаты применяются к соответствующим проекторам и инъекторам в разрешимых группах.

Ключевые слова: конечная разрешимая группа, максимальная подгруппа, нильпо-тентная длина, проектор, инъектор.

A connection between —-lengths of a —-soluble group and its maximal subgroup is established. The results are applied to the corresponding projectors and injectors in soluble groups.

Key words: finite soluble group, maximal subgroup, nilpotent length, projector, injector.

Введение. Рассматриваются только конечные группы. Хорошо известно, что в разрешимой неединичной группе G подгруппа Фиттинга F(G) является неединичной. Поэтому цепочка подгрупп

E = Fo(G) < Fi(G) < ... < Ft(G) = G,

где Fi(G)/F—i (G) = F (G/F-i (G)) — подгруппа Фиттинга группы G/F-i (G), i = 1, 2,..., достигает группу G. Наименьшее t, при котором Ft(G) = G, называется нильпотентной длиной группы G и обозначается через n(G). Для единичной группы E полагают n(E) = 0.

Для натурального числа k через обозначим класс всех разрешимых групп нильпотентной длины ^ k. Известно, что класс является насыщенной формацией и классом Фиттинга. Поэтому в каждой разрешимой группе существуют ^-проекторы и -инъекторы (см. [1, теоремы IV.5.1, IX.1.4]). В 1994 г. К. Дерк [2] доказал следующие утверждения:

если M — максимальная подгруппа разрешимой группы G, то n(M) ^ n(G) — 2;

если в разрешимой группе G существует подгруппа, которая является одновременно Nk-проектором и Nk-инъектором, и k ^ 2, то G £ .

При k = 1 второе утверждение нарушается. Примером служит симметрическая группа S4 степени 4, в которой силовская 2-подгруппа является одновременно N-проектором и N-инъектором.

В настоящей заметке аналогичные результаты устанавливаются для —-длины и для нильпотентной —-длины —-разрешимых групп.

Напомним необходимые для формулировки результатов определения. Пусть — — некоторое множество простых чисел. Через —' обозначают множество всех простых чисел, не содержащихся в —, а через —(G) — множество простых чисел, делящих порядок группы G. Если G — группа и —(G) С —, то G называют —-группой; если —(G) С —', то — —'-группой.

Группа G называется —-разрешимой [3], если она обладает субнормальным рядом

E = Go < Gi < G2 < ... < Gm = G,

в котором каждый фактор Gi/G—i является либо р-группой для некоторого простого р £ —, либо —'-группой, i = 1, 2,... ,m.

Для группы G рассмотрим ряд

E = Po(G) < No(G) < Pi(G) < Ni(G) < P2(G) < N2(G) < ...,

1 Монахов Виктор Степанович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. алгебры и геометрии Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины, e-mail: [email protected].

Шпырко Ольга Алексеевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики Черноморского филиала МГУ, e-mail: [email protected].

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

где Хг(С)/Рг(С) = Оп(С/Рг(С)), Рг+г(С)/Хг(С) = Оп(С/Хг(С)), г = 0,1, 2,... . Здесь Оп'(X) и Оп(X) — наибольшие нормальные п'- и п-подгруппы группы X соответственно. Если группа С п-разрешима, то Хк(С) = С для некоторого натурального к. Наименьшее натуральное к с этим свойством называют п-длиной п-разрешимой группы С и обозначают через ¡п(С).

При п = {р} определение п-длины п-разрешимой группы превращается в определение р-длины 1Р(С), предложенное Ф. Холлом и Г. Хигманом [4] для р-разрешимых групп. Элементарная теория р-длины изложена в монографии Хупперта [3].

Нильпотентная п-длина п-разрешимой группы С определяется следующим образом. Пусть

РП(С) = Е, Х?(С)/Р?(С) = Ож/(С/РП(С)),

Р+ (С)/ХП(С) = е(С/ХП(С)), г = 0,1,2,....

У п-разрешимой группы С существует номер к, такой, что ХП(С) = С. Наименьшее к, для которого в ряде

Е = Р£(С) < Х£(С) < Р?(С) < Х?(С) < ... < Х£(С) = С

выполняется равенство ХП(С) = С, называется нильпотентной п-длиной группы С и обозначается через ¡^(С). Поскольку РП+1(С)/ХП(С) — нильпотентная п-группа, а ХП(С)/РП(С) — п'-группа, то П(С) < 1П(С), а если п = {р}, то ¡П(С) = ¡п(С) = ¡Р(С). Ясно также, что равенство ¡п(С) = ¡П(С) сохраняется для п-разрешимой группы с нильпотентной п-холловой подгруппой.

п-Разрешимая группа С при п(С) С п становится разрешимой, и значение нильпотентной п-длины группы С совпадает со значением нильпотентной длины.

Если группа С разрешима и п С п(С), п = п(С), то понятия нильпотентной п-длины и п-длины разрешимой группы представляют самостоятельный интерес. В этом случае для каждого натурального числа к можно рассмотреть следующие классы:

£>ж(к) — класс всех разрешимых групп п-длины ^ к;

£П(к) — класс всех разрешимых групп нильпотентной п-длины ^ к.

Оба класса являются насыщенными формациями и классами Фиттинга (см. лемму 6). Поэтому каждая разрешимая группа обладает £п(к)- и (к)-проекторами, £п(к)- и (к)-инъекторами.

Ясно, что в случае, когда п — множество всех простых чисел, имеем равенство £"П(к) = N.

Теперь сформулируем основные результаты.

Теорема 1. 1. Если С — п-разрешимая группа, то ¡П(М) ^ ¡П(С) — 2 для любой максимальной подгруппы М.

2. Если в разрешимой группе С некоторый £г^(к)-проектор является £г^(к)-инъектором и к ^ 2, то

С е £%(к).

Теорема 2. 1. Если С — п-разрешимая группа, то ¡п(М) ^ ¡п(С) — 1 для любой максимальной подгруппы М.

2. Если в разрешимой группе С некоторый £п(к)-проектор является £п(к)-инъектором, то С е (к).

При п = {р} получаем

Следствие. 1. Пусть р — простое число и С — р-разрешимая группа. Если М — максимальная подгруппа, то ¡р(М) ^ ¡р(С) — 1.

2. Если в разрешимой группе С некоторый £Р (к)-проектор является £р(к)-инъектором, то С е £Р(к).

Результаты Дерка, сформулированные в начале статьи, являются частными случаями теоремы 1 при п = п(С). В случае, когда п С п(С), п = п(С), все утверждения теорем 1, 2 и следствия являются новыми для любой конечной разрешимой группы С.

Вспомогательные утверждения. Лемма 1. Если С — неединичная п-разрешимая группа, то Е(Оп(С))Оп (С) = Е(Оп(С)) х Оп' (С) = Е.

Доказательство. В неединичной п-разрешимой группе минимальные нормальные подгруппы являются п'-подгруппами или элементарными абелевыми р-подгруппами для р е п, поэтому Е(Оп(С))Оп' (С) = Е. Так как Е(Оп(С)), Оп'(С) — две нормальные в С подгруппы взаимно простых порядков, то

Е(Оп(С))Оп'(С) = Е(Оп(С)) X Оп'(С).

Лемма 2. Пусть С — п-разрешимая группа. Тогда:

1) Сс(Е(Оп(С)) х Оп'(С)) С Е(Оп(С)) х Оп'(С);

2) если ОП, (G) = E, то CG(F (G)) С F (G);

3) если On'(G) = E, то CgO(G)) С Ож(G);

4) если On (G) = E, то Cg(0п (G)) С ОП, (G).

Доказательство. 1. Пусть F(ОП(G)) x ОП>(G) = K, Cg(K) = C. Предположим, что CK/K=E, и пусть L/K — минимальная нормальная в G/K подгруппа, содержащаяся в CK/K. По тождеству Деде-кинда L = (L п C)K.

Допустим, что L/K — р-подгруппа для p G п. Тогда L = LpK для силовской р-подгруппы Lp из L. Из равенства L = (LпC)K ввиду теоремы VI.4.7 [3] получаем, что Lp = PKp, где P — силовская р-подгруппа из L п C, а Kp — силовская р-подгруппа из K. Но теперь L = PK, поэтому P < L п C < G. Отсюда следует, что P С Op(L п C) С Op(G) С F(ОП(G)) С K и L = K, противоречие.

Пусть теперь L/K — п'-подгруппа. Тогда L = Ln>K для п'-холловой подгруппы Ln> из L. Из равенства L = (L п C)K ввиду леммы VI.4.6 работы [3] получаем, что Ln* = TKni, где T — п'-холлова подгруппа из L п C, а Kn' — п'-холлова подгруппа из K. Но теперь L = TK, поэтому T < L п C < G. Отсюда следует, что T С Оп' (L п C) С Оп' (G) С K и L = K — противоречие. Поэтому допущение неверно и CK/K = E, т.е. C С K. Утверждение 1 доказано.

2. Данное утверждение вытекает из п. 1.

3. Поскольку F (G) = F (On (G)) С On (G), то CGO (G)) С Cg(F (G)) С F (G) С Ож (G).

4. Если On(G) = E, то F(On(G)) = E и включение Cg(0ж>) С Ож>(G) вытекает из п. 1. Лемма доказана.

Для индуктивных рассуждений нам потребуются следующие две леммы. Как и в статье [5], под ¡П (G) понимается либо всюду ¡П(G), либо всюду ¡П-(G).

Лемма 3 [5, лемма 1]. Пусть п — некоторое множество простых чисел и G — п-разрешимая группа. Тогда:

1) если H — подгруппа группы G, то ¡П(H) ^ ¡П(G);

2) если N — нормальная подгруппа группы G, то ¡П (G/N) ^ ¡П (G); если N — нормальная п'-под-группа группы G, то ¡П (G) = ¡П (G/N);

3) в любом ряде нормальных подгрупп группы G с п'-факторами и п-факторами (нильпотентными п-факторами) число неединичных п-факторов не меньше чем ¡П(G) (¡¿(G) соответственно);

4) если Hi <G, i = 1, 2,...,n, и G = HH2 ... Hn, то ¡*П (G) = maxi=i,2,..,n ¡П (H).

Лемма 4. Если п — некоторое множество простых чисел и G — п-разрешимая группа, то

¡П(G/Pi(G)) = ¡П(G/Ni(G)) = ¡П(G) - i, ¡n(G/Pn(G)) = ¡n(G/Nn(G)) = ¡¿(G) - i

для любого i = 0,1,....

Доказательство. Все равенства непосредственно вытекают из построения подгрупп Pi(G), Pn(G), Ni(G), N'n(G) и определений п-длины и нильпотентной п-длины п-разрешимой группы.

Напомним необходимые сведения из теории классов групп (см. [1]). Формацией называется класс, замкнутый относительно факторгрупп и конечных подпрямых произведений. Формация F называется насыщенной, если для любой группы G из условий G/N G F, N С $(G) следует, что G G F. Здесь $(G) — подгруппа Фраттини группы G.

Класс X называется замкнутым относительно произведений нормальных X-подгрупп, если из условий N1, N2 < G, N1 и N2 g X следует NiN2 g X. Классом Фиттинга называется класс X, замкнутый относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных X-подгрупп. Класс Фиттинга называют также радикальным классом. Если X — класс Фиттинга, то произведение всех нормальных X-подгрупп группы G называют X-радикалом и обозначают через Gx

Радикальной формацией называют класс групп, который одновременно является формацией и классом Фиттинга. В частности, радикальными насыщенными формациями являются следующие классы групп: ЕП' — класс всех п'-групп; &П, ЖП — классы всех разрешимых и нильпотентных п-групп соответственно. Через E обозначается класс всех конечных групп.

Произведение XY двух классов X и Y определяется как класс всех групп G, содержащих нормальную подгруппу N, такую, что N G X и G/N G Y, т.е.

XY = {G G E I 3N < G, N G X, G/N G Y}.

Как обычно, Xk означает произведение k копий класса X.

Лемма 5. Если X и Y — 'радикальные насыщенные формации, то произведение XY также является радикальной насыщенной формацией.

Доказательство. Произведение Х^ является классом Фиттинга и формацией ввиду [1, теоремы 1У.1.8, 1Х.1.12]. Согласно теореме Л. А. Шеметкова, произведение локальных формаций является локальной формацией [6], а по теореме Шмида [7] локальность формации эквивалентна ее насыщенности. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть к — натуральное число. Тогда:

1) класс (Еп'6п)(кЕп' состоит из всех п-разрешимых групп п-длины ^ к и является радикальной насыщенной формацией;

2) класс (Еп')(к^Еп' состоит из всех п-разрешимых групп нильпотентной п-длины ^ к и является радикальной насыщенной формацией;

3) класс £п(к) состоит из всех разрешимых групп п-длины ^ к и является радикальной насыщенной формацией;

4) класс £П(к) состоит из всех разрешимых групп нильпотентной п-длины ^ к и является радикальной насыщенной формацией.

Доказательство. Каждый из классов Еп', 6п, Жп является радикальной насыщенной формацией. По лемме 5 классы (Еп'6п)(к^Еп', (Еп')(к^Еп' также будут радикальными насыщенными формациями.

Сопоставляя определения п-длины и произведения классов, получаем, что класс (Еп'6п)(кЕп' состоит из всех п-разрешимых групп п-длины ^ к, а класс (Еп')(к^Еп' — из всех п-разрешимых групп нильпотентной п-длины ^ к.

Поскольку класс 6 всех разрешимых групп является радикальной насыщенной формацией и

£п(к) = 6 п (Еп'6п)(к)Еп', £%(к) = 6 п (Еп'N)(к)Еп',

то классы £п(к), £П(к) также будут радикальными насыщенными формациями. Ясно, что класс £п(к) состоит из всех разрешимых групп п-длины ^ к, а класс £П(к) — из всех разрешимых групп нильпотентной п-длины ^ к.

Лемма 7. Пусть С — п-разрешимая группа. Тогда

1) ¡п(С) = к в том и только в том случае, когда

С е (Еп'6п)(к)Еп' \ (Еп'6п)(к-1)Еп'.

2) ¡П(С) = к в том и только в том случае, когда

С е (Еп'N)(к)Еп' \ (Еп'N)(к-1)Еп'.

Доказательство. Оба утверждения вытекают из определений п-длин и произведения классов групп.

Пусть С — группа и Х — класс групп. Если Н — подгруппа группы С и Н е Х, то Н называется Х-подгруппой. Х-максимальной подгруппой группы С называется такая Х-подгруппа Н из С, которая не содержится ни в какой большей Х-подгруппе. Подгруппа Н группы С называется Х-проектором группы С, если НХ/Х — Х-максимальная подгруппа группы С/Х для любой нормальной подгруппы Х группы С. Подгруппа Н группы С называется Х-инъектором, если Н п Х — Х-максимальная подгруппа в Х для любой субнормальной подгруппы Х группы С.

Лемма 8 [1, теоремы 1У.5.1, 111.3.21]. Пусть $ — насыщенная формация и С — разрешимая группа. Тогда:

1) в группе С существует проектор;

2) любые два ^-проектора группы С сопряжены между собой;

3) если Н — $-проектор группы С и Н ^ К ^ С, то К — $-проектор подгруппы К.

Лемма 9 [1, теоремы 1Х.1.4, 1Х.1.5]. Пусть $ — класс Фиттинга и С — разрешимая группа. Тогда:

1) в группе С существует $-инъектор;

2) любые два $-инъект,ора группы С сопряжены между собой;

3) если Н — $-инъектор группы С и Н ^ К ^ С, то К — $-инъектор подгруппы К.

Доказательства теоремы 1. 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть К — минимальная нормальная подгруппа п-разрешимой группы С.

Предположим, что К не содержится в М. Тогда С = КМ и С/К ~ М/М п К. Если К — п'-группа,

то

¡П(С/К) = %(С) = %(М/М п К) = ¡П(М)

по п. 2 леммы 3. Если K — —-группа, то K абелева и M п K = E. Теперь G/K ~ M, поэтому ¡'(G/K) = l'(M). Если K = P'(G), то l'(G/K) = l'(G) — 1 по лемме 4. Если K = P'(G), то l'(G/K) = ¡'(G). Следовательно, l'(M) ^ ¡'(G) — 1. Итак, если K не содержится в M, то утверждение доказано.

Теперь будем считать, что все минимальные нормальные подгруппы группы G содержатся в M. По индукции l'(M/K) ^ l'(G/K) — 2. Если K — —'-группа, то по п. 2 леммы 3

l'(M) = l'(M/K) ^ l'(G/K) — 2 = l'(G) — 2,

что и требуется доказать. В дальнейшем считаем, что On' (G) = E.

Предположим, что K — собственная подгруппа в P'(G). Тогда из определения нильпотентной —-длины следует, что l'(G) = ¡'(G/K), а l'(M) ^ ¡'(M/K) по п. 2 леммы 3. Теперь

l'(M) ^ ln(M/K) ^ ¡'(G/K) — 2 = l'(G) — 2,

что и требуется доказать.

Пусть K = P'(G). Поскольку K абелева, то K = Cg(K) по п. 2 леммы 2. Поэтому On (M) = E. Если K = P'(M), то, используя индукцию и лемму 4, получаем

l'(M) = l'(M/K) + 1 ^ l'(G/K) — 2 + 1 = ¡''(G) — 2,

что и требуется доказать.

Остается рассмотреть случай, когда K = P'(G) и K — собственная подгруппа в P'(M). Для определенности будем считать, что K — р-подгруппа, тогда P'(M) также р-подгруппа, поскольку K = Cg(K) и P'(M) нильпотентна.

Предположим, что P'(G) не содержится в M. Тогда G = MP'(G), G/P'(G) ~ M/M п P'(G) и

l'(M) ^ l'(M/M П P') = l'(G/P') = l'(G) — 2

по лемме 4, что и требуется доказать. Теперь будем считать, что P2n(G) Q M.

Пусть T/K = F(On(G/K)) x On' (G/K), по лемме 1 эта подгруппа неединична, поскольку G/K неединична. Ясно, что T Q P2n(G) Q M. Так как Op(G/K) = E, то T/K является р'-подгруппой. Теперь T/K и P'(M)/K — две неединичные, нормальные в M/K подгруппы взаимно простых порядков, поэтому P'(M)/K Q Cg/k(T/K). Но по п. 1 леммы 2 Cg/k(T/K) Q T/K — противоречие. Первое утверждение теоремы 1 доказано.

2. Применим индукцию по порядку группы G. Согласно п. 4 леммы 6, класс £'(к) = & п (En' Nn )(k)En' всех разрешимых групп нильпотентной —-длины ^ к является радикальной насыщенной формацией. По п. 1 из лемм 8 и 9 в группе G существуют £'(к)-проекторы и £'(к)-инъекторы.

Пусть некоторая подгруппа U одновременно является £'(к)-проектором и £'(к)-инъектором группы G. Если U ^ V ^ G,to U — £'(к)-проектор и £'(к)-инъектор подгруппы V по п. 3 лемм 8 и 9. По индукции V G £'(к). Поэтому U = V и U — максимальная подгруппа группы G. Так как U — £'(к)-инъектор, то £'(к)-радикал G^n^k) ^ U. Поскольку U — £'(к)-проектор, то U/G^n(k) является £'(к)-максимальной подгруппой в G/G^n(k), в частности G/G^n(k) G £'(к), т.е. ¡'(G/G^n(k)) > к. Согласно леммам 4 и 7,

l'(G) = l'(GLn(k)) + l'(G/Gl(k)) = к + ln(G/GLn(k)) > 2к.

С другой стороны, по п. 1 теоремы 1 имеем l'(G) = l'(U) + i ^ к + i, i g{0, 1, 2}. Но теперь 2к < к + i и к < i ^ 2 — противоречие. Второе утверждение теоремы 1 доказано.

Доказательство теоремы 2. 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы G. Предположим, что N Q M. Тогда G = NM и G/N ~ M/MnN. Если N — -'-группа, то ln (G/N) = ln (G) = ln (M/M п N) = ln (M). Если N — --группа, то N абелева, M п N = E и ln(G/N) = ln(G) — i = ln(M), i G {0,1}.

Итак, можно считать, что все минимальные нормальные подгруппы группы G содержатся в M. По индукции ln (G/N) — ln(M/N) < 1. Если N — -'-группа, то ln(G) — П (M) = П (G/N) — ln(M/N) < 1. Значит, On' (G) = E.

Предположим, что N = On (G). Тогда ¡ж (G) = ¡ж (G/N ), ¡ж (M ) = ¡ж (M/N) + i, где i = 0 при N = On(M) и i = 1 при N = On (M). В любом случае 1 ^ ln (G/N) — ln (M/N) = ln(G) — ln (M) + i и утверждение справедливо.

Пусть N = On (G). Если N = On (M), то ¡ж (G) — ¡ж (M) = ¡ж (G/N) + 1 — (¡ж (M/N) + 1) = ¡ж (G/N) — ln(M/N) < 1.

Остается рассмотреть случай, когда N = On(G) и N — собственная подгруппа в On(M).

Пусть K = On>n> (G). Ясно, что N С K и K/N = E. Предположим, что K С M. Тогда K/N и On (M)/N — две неединичные, нормальные в M/N подгруппы взаимно простых порядков, поэтому On(M)/N С CG/N(K/N). Так как On(G/N) = E, то, согласно п. 4 леммы 2, имеем CG/N(K/N) С K/N, значит, E = On(M)/N С K/N — противоречие.

Следовательно, K Q M. Теперь KM = G, G/K ~ M/M П K и ln(G/K) = ln(G) — 1 = ln(M/M П K) ^ ln(M), т.е. ln(G) — ln(M) ^ 1. Утверждение 1 теоремы 2 доказано.

2. Применим индукцию по порядку группы G. Согласно п. 4 леммы 6, класс (к) всех разрешимых групп —-длины ^ k является радикальной насыщенной формацией. По п. 1 лемм 8 и 9 в группе G существуют (к)-проекторы и £™(к)-инъекторы. Пусть подгруппа U одновременно является (к)-проектором и (к)-инъектором группы G. Если U ^ V ^ G, то U — (к)-проектор и (к)-инъектор подгруппы V, по индукции V G (к). Поэтому U = V и U — максимальная подгруппа группы G. Так как U — (к)-инъектор, то (к)-радикал (k) ^ U. Поскольку U — (к)-проектор, то U/G^n(k) является (к)-максимальной подгруппой в G/G^n(k), в частности G/G^n(k) G (к), т.е. ln(G/G^n(k)) > к. Согласно п. 1 теоремы 2, имеем ln(U/G^n(k)) = к, а ln(G/G^n(k)) = к + 1. С другой стороны, ln(G) = ln(G/GLn(k)) + к = 2к + 1 = ln(U) + i = к + i, где i g{0,1}. Но теперь 2к + 1 = к + i, к = i — 1 G {—1, 0}, получили противоречие. Теорема 2 доказана полностью.

Работа первого автора выполнена при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (договоры Ф04МС-060, Ф05-341).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York, 1992.

2. Doerk K. Uber die nilpotente Länge maximaler Untergruppen bei endlichen auflösbaren Gruppen // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1994. 91. 19-21.

3. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; New York, 1967.

4. Hall P., Higman G. On the p-length of a p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. 1956. 3. 1-42.

5. Монахов В.С., Шпырко О.А. О нильпотентной п-длине конечных п-разрешимых групп // Дискретная математика. 2001. 13, вып. 3. 145-152.

6. Shemetkov L. Screens of products of formations // Dokl. Akad. Nauk. BSSR. 1981. 25. 677-680.

7. Schmid P. Every saturated formation is a local formation //J. Algebra. 1974. 30. 548-558.

Поступила в редакцию 04.02.2008

УДК 517.9

ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО СЛОЯ

Т. А. Солдатова1

Рассмотрены обобщенные потенциалы двойного слоя. Изучены их граничные свойства на плоскости. Получены условия, при которых они продолжимы по непрерывности на границу области. Также получена формула для предельных значений таких потенциалов.

Ключевые слова: обобщенные потенциалы двойного слоя, краевые задачи, эллиптические уравнения на плоскости.

Generalized double layer potentials are considered. Their boundary properties on a plane are studied. Conditions when such potentials are continuously extended to the domain boundary are obtained. A formula for limit values of such potentials is also obtained.

1 Солдатова Татьяна Александровна — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tsoldato@yandex. ru.