МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

С. В. Путилов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Доказываются следующие теоремы: 1) Если в pd — группе G любая максимальная подгруппа квази-субнормальна или р—разложима, то группа G разрешима или р—нильпотентна; 2) если в группе G все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок, то G разрешима; 3) Пусть £ — 2-разложимая максимальная подгруппа конечной группы G и £2 е 8у12 (G) . Если неквазисубнормальные 2-неразложимые максимальные подгруппы в О имеют примарные индексы, то О разрешима. 4) Пусть £ — р—разложимая максимальная подгруппа в pd — группе G и £ е £у1р . Если все неквазисубнормальные р-неразложимые максимальные

подгруппы в группе G имеют один и тот же порядок, то G разрешима или р—нильпотентна. Ключевые слова: конечная группа, квазисубнормальная подгруппа, максимальная подгруппа, разрешимая группа.

Введение

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые обозначения и определения соответствуют [1].

В 1924 году О. Ю. Шмидт [2] доказал разрешимость ненильпотентной группы, в которой все максимальные подгруппы нильпотентны. В [3] получена разрешимость и дано полное описание группы, в которой ненильпотентные максимальные подгруппы сопряжены. В [4] изучена группа, в которой все ненильпотентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок. В [5] дан положительный ответ на вопрос из [4] о разрешимости группы, в которой ненормальные ненильпотентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок.

В [6] О. Кегель ввел понятие квазисубнормальности для подгрупп. Подгруппу Н группы G по Кегелю считают квазисубнормальной, если Н п Gp = Нр для любого

р еж(О) и каждой силовской р—подгруппы Gp из G . Так как нормальная подгруппа удовлетворяет условию квазисубнормальности, то естественно теоретико-групповые условия, налагаемые на ненормальные подгруппы некоторой группы, накладывать на её неквазисубнормальные подгруппы. Здесь эта идея реализуется для усиления результатов автора из [5]. Доказано, что если в группе G все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок, то G разрешима. Доказательство этой теоремы, а также теоремы 1 позволило усилить другие результаты из [5].

Необходимые обозначения и вспомогательные леммы

Через р, q, г обозначаются простые числа, Gp - силовская р — подгруппа группы

G, Gp' — дополнение к силовской р—подгруппе в группе G, т. е. р'— холлова подгруппа группы G . Группу G называют pd — группой, если порядок G делится на р; р—замкнутой, если Gp нормальна в G; р—нильпотентной, если Ор' нормальна в G; р—разложимой, если Gp и Оp' нормальны в G .

Далее использованы следующие обозначения: п —некоторое множество простых чисел; пу— дополнение к п в множестве всех простых чисел, в частности, р' = Р\{р}; п(О) — множество всех простых делителей порядка группы G ; п -группа - группа G , для которой

7т(0) ^ 7т; 8(О) — наибольшая нормальная разрешимая подгруппа группы О; Н < О обозначает, что Н является нормальной подгруппой группы О; - симметрическая группа степени п; А(О)- пересечение всех ненормальных максимальных подгрупп группы О. В. Гашюц [7] доказал, что подгруппа А(О) нильпотентна. □ — знак окончания доказательства.

Если А и В - подгруппы группы О, то А х В - прямое произведение подгрупп А и В; [ А ] В - полупрямое произведение нормальной подгруппы А и подгруппы В группы О . Под классом подгрупп группы О будем понимать класс сопряженных подгрупп.

Лемма 1. [8, теорема 2.2.4] Пусть Р- силовская р—подгруппа группы О и М - ненормальная максимальная подгруппа в О. Если отношение \М\ = |Р| • т, т > 1, влечет квази-

субнормальность подгруппы М в О, то Р нормальна в О.

Лемма 2. [9, §6, Теорема II] Если в рё—группе О все максимальные подгруппы р— разложимы, то О р — разложима или является р—замкнутой группой Шмидта.

Лемма 3. Пусть М = Мр хМр' - р —разложимая максимальная рё—подгруппа

группы С и Мр■ -ф-1. Если Мр с Ор, то Мр < О.

Доказательство. Так как по свойству нильпотентных групп Мр <1Р с Ор, то

Мр<(М,Р) = О. □

Лемма 4. [10, теорема 2] Если группа О содержит непримарную р —разложимую максимальную рё—подгруппу М, то в группе О нормальна или силовская р—подгруппа из М, или р'— холлова подгруппа из М, или р'— холлова подгруппа из О.

Лемма 5. [1, 1У.7.4] Пусть Н - максимальная подгруппа группы О. Если Н нильпотентна и силовская 2-подгруппа из Н метабелева, то О разрешима.

Лемма 6. [11] Пусть О - неразрешимая группа с нильпотентной максимальной подгруппой. Тогда 0>(О/Р) есть прямое произведение простых групп с диэдральными силов-

скими 2-подгруппами. Здесь 02(X) — наименьшая нормальная подгруппа группы X, факторгруппа по которой является 2-группой, а Р(О) - подгруппа Фиттинга.

Лемма 7. [12] Если максимальная подгруппа М = Р хМ1 неразрешимой группы О нильпотентна и силовская 2-подгруппа Р из М обобщенная кватернионная или диэдральная, то G обладает нормальным рядом О > О0 > Т > 1, в котором \О: Од| < 2, Т нильпотентна и

О0 = РЖ(2, д), где или д = 2п ± 1, д простое, д > 7 , или д = 9, или д = 7 и в этом случае |О:Оо| = 2.

Лемма 8. [1, 11.6.2] Пусть |РЩ2,д)| — порядок проективной специальной линейной

группы размерности 2 над конечным полем из д элементов д = р, р — простое. Тогда |РЩ2, д)| = ((д — 1) • (д—1) • д)/2.

Лемма 9. [1, 11.8.2 Ь)] Число силовских р—подгрупп в группе ) равно

(р +1), р—простое .

2

Лемма 10. [1, 11.8.27(5)] Группа Р8Д2,д) при д —1 = 0(тоё 16) имеет подгруппу 84. Лемма 11. [13, теорема 8] Если в группе О существуют две максимальные подгруппы взаимно простых порядков, то группа О простая. Исключение представляют лишь циклические группы порядка рд , где р и д - различные простые числа, и группы типа А .

Определение. [14, стр. 121] Группами типа А называются ненильпотентные группы порядка рд^ (р и д - простые числа), у которых силовская подгруппа порядка д^ - нор-

мальная элементарная абелева группа и q3 = 1(шоё р), причем /3 - наименьшая степень числа q, удовлетворяющая сравнению такого типа.

Лемма 12. Пусть М = М2 хМ^ - 2 —разложимая максимальная 2d -подгруппа неразрешимой группы О. Если Б (О) = 1, то М = Оу.

Доказательство. Пусть Му Ф1. Тогда по лемме 4 Б (О) Ф1 Значит Му = 1. Тогда из максимальности М следует, что М = Оу . □

Лемма 13. Если в конечной -группе О каждая максимальная подгруппа квазисуб-нормальна или р-разложима, то группа О не проста.

Доказательство. Пусть О — простая группа. Если все максимальные подгруппы в О квазисубнормальны, то по лемме 1 О нильпотентна. Пусть в О все максимальные подгруппы -разложимы. Тогда по лемме 2 О р—разложима или является группой Шмидта.

Следовательно, в О каждая максимальная подгруппа квазисубнормальна или -разложима. Так как по по лемме 1 нормализатор силовской подгруппы не может включаться в квазисубнормальную максимальную подгруппу, то нормализатор каждой силовской подгруппы из О включается в некоторую р—разложимую максимальную подгруппу. Пусть М и Б такие максимальные подгруппы из О, что N0 (Ор) с М и N(Оq) с §, для простых р Ф q. Тогда

М = Ор х Мр.. Если Ор с Б, то Б = Ор х Бр ■ и Ор< (М, Б) = О.

Пусть Ор не включается в Б, но Б является pd — группой. Тогда Б = Бр х Бр'. Так как Од Бр<, то Ф 1 и по лемме 3 Бр <0. Значит, в Б нет нетривиальных силовских р— подгрупп. Пусть Мр> Ф1. Тогда по лемме 4 группа О не проста. Следовательно, Мр> = 1 и Ор — максимальная подгруппа в О . Если р Ф 2 , то по лемме 5 группа О разрешима. Значит р = 2 и О у— максимальная подгруппа в О. Тогда по лемме 6 и по лемме 7 группа О = РБЬ(2, q), где q = 9 или q — простое число, q = 2п ± 1, q > 17 . Тогда по лемме 8 |0| = (^ — 1)(д +1) • q)/ 2 , а по лемме 9 группа РБЬ(2, р^ ), р—простое, имеет точно (р +1) силовских р — подгрупп.

Пусть О = РЩ2,9) . Так как |0| = |РЩ2,9)| = ((9 — 1) • (9 +1) • 9)/2 = 8 • 5 • 9, то |О: N0(О3) = q +1 = 10, откуда N0(О3) = 36 . Так как N0(О3) — квазисубнормальная максимальная подгруппа в С, то по лемме 1 От, <С, что противоречиво. Следовательно, д^9.

Пусть простое число q = 2п +1. Тогда ^ & ) = ^ — 1)q /2 = (2п +1 — 1)

(2п +1)/2 = 2п—1 • (2п +1) . Тогда по лемме 3 N0 (Оq) включается в квазисубнормальную максимальную подгруппу в О и опять по лемме 1 0д<0, что невозможно. Значит, q Ф 2п +1.

Пусть q = 2п — 1. Тогда & )| = (q — 1)q /2 = (2п — 1 — 1)(2п — 1) / 2 = (2п—1 — 1)(2п — 1) , т.

е. (|Щ(0q)|, 2) = 1. Кроме того, ц +1 = 2п — 1 + 1 = 2п = |02|. Значит, О = 02 • N0&). Так как

при п > 5 всегда q2 — 1 = ^ — 1)(q +1) = (2п — 1 — 1)(2п — 1 +1) = 2п (2п — 2) = 2п+1 (2п—1 — 1) = = 0(шоё16), то по лемме 10 в О есть подгруппа £4. По теореме 11.8.27 из [1] Б4 — максимальная подгруппа в О. Так как Б4 имеет четный порядок и 2-неразложима, то 54 — квазисубнормальная максимальная подгруппа в О. Известно, что Б4 имеет нормальную подгруп-

пу А4=[Р4]^, откуда ^<184. Так как Т = £4 квазисубнормальная подгруппа в 0, то

02 глТ = Т2 для любой силовской 2-подгруппы 02 из 0 . Тогда Р4 с: П^еС^г ' т- е- ЯДР° си~

ловской 2-подгруппы в О не единичное, что противоречиво. Значит, д Ф 2п — 1. Тогда группа О не проста. □

Лемма 14. [10, лемма 1] Пусть М - ненормальная р —разложимая максимальная подгруппа группы С. Если центр 2 р—силовской подгруппы Р из Мявляется нормальным в О, то 2 содержится в центре группы О.

Лемма 15. [5, утверждение, с. 6] Если в рё—группе О подгруппа А содержится в Z(О) и О / А р —разложима, то О р —разложима.

Доказательство основных результатов Теорема 1. Если в рё—группе О любая максимальная подгруппа квазисубнормальна или р —разложима, то группа О разрешима или р—нильпотентна

Доказательство. Пусть теорема неверна и О —контрпример минимального порядка. Если в О все максимальные подгруппы квазисубнормальны, то по лемме1 группа О нильпотентна. Пусть все максимальные подгруппы в О р—разложимы. Тогда по лемме 2 О или р—разложима, или группа Шмидта. Значит, в О есть как р—разложимые, так и квазисубнормальные максимальные подгруппы.

Пусть N—нормальная подгруппа в О . Рассмотрим факторгруппу О = О / N. Пусть М, 8 — соответственно квазисубнормальная и р—разложимая максимальные подгруппы из

О . Будем считать, что 8 — рё-группа. Рассмотрим М = М / N и 8 = 8 / N. Пусть Ор = О■ N / N — силовская р—подгруппа в О / N. Так как М п Ор = (М / Щ п (GpN / Щ =

(М п ОрК)/ N = N (М п Ор)/ N = М^ / N = Мр, то М — квазисубнормальная максимальная подгруппа в О . Поскольку 8 = 8/N = (Брх8р.)Ш = (8^/Щ х ^ N/Щ = 8р х 8р',

то 8 — максимальная р—разложимая подгруппа в О . Следовательно, по индукции группа О / N разрешима или р — нильпотентна.

Пусть р, д—различные простые числа из ж(О). Тогда по лемме 1 в О есть неквази-субнормальные максимальные подгруппы А и В, такие, что NQ (Ор) с А, NG (Од ) с В. Так как подгруппы А и Вр—разложимы, то А = Ор х Ар■ , В = Вр х Вр■. Если Вр = Ор, то Ор <(А, В = О. Тогда по лемме 14 центр Z подгруппы Ор включается в центр группы О. Так как по индукции О / Z разрешима или р—нильпотентна, то О разрешима или в О / Z существует нормальная холлова /»'-подгруппа Н!2. Тогда Н = 2 х0р., откуда 0р><0 и О — р -нильпотентна. Значит, Вр Ф О р.

Пусть ВрФ 1. Тогда по лемме 3 Вр <0. Поэтому, как и выше для Ор, получим, что О разрешима или р — нильпотентна. Следовательно, Вр = 1.

Пусть Ар> ф\. Тогда по лемме 4 или 0р <10, или 0р> <10, или Ар> <0. Первый случай рассмотрен выше. Второй случай противоречит выбору О . Пусть О = Ар<. Покажем, что О сА(О). Пусть Е—ненормальная максимальная подгруппа в О и Е не содержит О. Тогда О = Е • О и Ор делит |Е|. Если Е - квазисубнормальная, то Ор < О, что противоречи-

во. Пусть Е р—разложима. Тогда О с Е и О = Е . Значит, О сА(О). Тогда из нильпотентности А(О) следует существование в О разрешимой минимальной нормальной р'— подгруппы К. Так как О / К разрешима или р—нильпотентна, то О разрешима или р—ниль-потентна. Поэтому Ар > = 1.

Получили, что порядки подгрупп А и В взаимно простые. Тогда по лемме 11 группа О или простая, или циклическая порядка рц, где р и q - различные простые числа, или группа типа А . Так как по лемме 13 О не проста, то группа О второго или третьего типа, каждая из которых разрешима, что противоречиво. □

Теорема 2. Если в конечной группе О все неквазисубнормальные ненильпотентные максимальные подгруппы имеют один и тот же порядок, то Gразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна и О - контрпример минимального порядка. Докажем следующие утверждения.

(1) Группа О не имеет разрешимых нормальных подгрупп.

Пусть N - разрешимая нормальная подгруппа группы О . Рассмотрим фактор-группу О / N. Если в О / N только квазисубнормальные и нильпотентные максимальные подгруппы, то она разрешима по теореме1. В противном случае, О/ N разрешима по индукции. Тогда О разрешима, что противоречиво.

(2) В О существует как нильпотентные, так и ненильпотентные неквазисубнормаль-ные максимальные подгруппы.

Если в О все неквазисубнормальные максимальные подгруппы нильпотентны, то О разрешима по теореме 1. Пусть все неквазисубнормальные максимальные подгруппы в О ненильпотентны и р — простое число, делящее их индекс. Так как порядок неквазисубнор-

мальных максимальных подгрупп один и тот же, то по лемме 1 N0 (Ор ) = О, что противоречит (1).

(3) Если Б - нильпотентная, а М- ненильпотентная неквазисубнормальная максимальные подгруппы из О, то Б е Бу12 (О), М - 2-неразложимая группа и О = МБ.

По лемме 5 Б — 2d -группа. Тогда по лемме 12 верно, что Б = О2. Пусть М—2 -разложимая группа. Если порядок подгруппы М будет нечетным числом, то из условия теоремы следует, что все неквазисубнормальные максимальные подгруппы в О 2-разложимы. Тогда по теореме 1 группа О разрешима. Поэтому М — 2ё -группа. Тогда по лемме 3 силовская 2-подгруппа М 2 из М нормальна в О , что противоречит (1).

Пусть простое число ц делит (|О: Б|, |0 : М|). Тогда по лемме 1 N0(Оц) = О, что противоречиво. Значит, (|О : М|, |0: Б|) = 1 и О = МБ.

(4) Группа О не существует.

Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в О. Рассмотрим фактор-группу О^. При этом на N не накладывается условие быть собственной подгруппой в О . Ввиду (1), подгруппа N не содержится в Б . Поэтому О/И = БN|N — Б/ (Б п N), откуда О^ нильпотентна. Тогда по [1, теорема 1.9.6] N - единственная минимальная нормальная подгруппа в О. Так как N не разрешима, то по [1, теорема 1.9.12] N = N х N х---х N, где N - изоморфные простые группы. Из леммы 6 и леммы 7 следует, что N — РБД2,ц) (/ = 1,2,...,к), для ц = 9 или простых чисел ц = 2а± 1 > 17. Пусть А = N п М. Тогда среди прямых сомножителей из N найдется, по крайней мере, одна подгруппа N = Т такая, что Т не содержится в А. Так как О = МЫ, то |0| = |М|^| /|М п Щ = |М||^ /А ■ Поэтому N: А = 0: Щ = 2" для целого числа "> 0. Поэтому |Т : Т пМ| = |Т : Т п А| = |ТА : А| есть степень числа два. Тогда

по [1, теорема 11.8.27] получаем, что д = 2а — 1, |Т пМ| = д(д —1)/2 - нечетное число, а также существование в Т диэдральной подгруппы О] порядка д — 1. Значит, в N существует подгруппа О = О х О х — х О, где О. — О., для / Ф у. Поскольку диэдральные подгруппы одного и того же порядка в группах Р8Ь(2, д) сопряжены, то для любого элемента ^ из О

выполняется условие: О8 = Оп, где п - некоторый элемент из N. Тогда по [14, лемма 2.21] О = N • ^ (О).

Допустим, что N (О) включается в некоторую неквазисубнормальную ненильпо-тентную максимальную подгруппу В. Тогда подгруппа Т пВ имеет четный порядок, что противоречиво. Значит, NG (О) включается в ненормальную квазисубнормальную подгруппу Н. Так как О. = д — 1 и по лемме 8 N1 = ((д +1) • (д — 1) • д)/2 , то порядок подгруппы О делится на все нечетные простые числа из ;т(О)\{д} Поэтому в О включается силовская р—подгруппа Р, хотя бы для одного простого числа р из ;т(О)\{д}. Тогда |Р| делит |И|и

по лемме 1 подгруппа Р нормальна в О, что противоречиво. □

Теорема 3. Пусть 8 - 2-разложимая максимальная подгруппа конечной группы О и 82 е 8у12 (О). Если неквазисубнормальные 2-неразложимые максимальные подгруппы в О имеют примарные индексы, то О разрешима.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка. Из теоремы 1 следует существование в О неквазисубнормальных 2-неразложимых максимальных подгрупп. Так как фактор-группа О/ N наследует условия теоремы, то О / N разрешима по индукции или по теореме 1. Поэтому 8(О) = 1. Тогда по лемме 12 8 = О2. Поскольку индексы всех неквазисубнормальных 2-неразложимых максимальных подгрупп примарны, то они будут равны некоторым степеням числа два, откуда О=М8, где М - произвольная неквазисубнормальная 2- неразложимая максимальная подгруппа. Тогда из пунктов (3), (4) доказательства теоремы 2 следует, что группа О не существует. □

Пример. Пусть И = 8Ь(2,7). В группе И один класс сопряженных неквазисубнормальных 2-разложимых максимальных подгрупп порядка 42. Остальные неквазисубнор-мальные максимальные подгруппы в И 2-неразложимы и имеют один и тот же индекс 7. Так как И неразрешима, то условие, чтобы 8 содержала силовскую 2- подгруппу из О , в теореме 3 отбросить нельзя.

Теорема 4. Пусть 8 - р-разложимая максимальная подгруппа в рй-группе О и 8р е 8у1р (О). Если все неквазисубнормальные р-неразложимые максимальные подгруппы в группе О имеют один и тот же порядок, то О разрешима или р—нильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и группа О - контрпример минимального порядка. Если в О все неквазисубнормальные максимальные подгруппы р — разложимы, то по теореме 1 О разрешима или р — нильпотентна. Поэтому в О есть неква-зисубнормальные р—неразложимые максимальные подгруппы.

Пусть |^(0)| > 2 и 8 — неквазисубнормальная подгруппа. Тогда по лемме 4 О имеет

отличную от единицы нормальную подгруппу одного из видов: О, Ор, или 8 , = В. Если

Ор < О, то по лемме 14 подгруппа Z = Z(Ор) содержится в Z(О). Покажем, что Z ^ М,

где М - ненормальная максимальная подгруппа из О . Если М не содержит Z, то О = и М < О. Поэтому Z ^ М и по индукции группа О^ разрешима или р—нильпотентна. Тогда группа О разрешима или, по лемме 15, р—нильпотентна.

Поскольку О - контрпример минимального порядка, то О - ненормальна в О. Следовательно, В < О. Допустим, что В содержится в некоторой неквазисубнормальной р—неразложимой максимальной подгруппе М группы О, и покажем, что тогда В с А(О). Пусть А - ненормальная максимальная подгруппа группы О и А не содержит В. Тогда О = АВ и |А| делится на порядок силовской р-подгруппы из О . Если А р—неразложима, то |А| = |М|,

т.е. подгруппа М содержит некоторую силовскую р—подгруппу 0р из О. Тогда М включает подгруппу 0рВ, сопряженную с Б, что противоречит максимальности Б. Значит, А -р -разложимая подгруппа и тогда В содержится в А, что влечет О = А - противоречие. Поэтому подгруппа А квазисубнормальна. Тогда по лемме 1 Ор нормальна в О . Итак, если В содержится, по крайней мере, в одной неквазисубнормальной р—неразложимой максимальной подгруппе, то В будет содержаться в А(О). Так как по теореме 16 из [7] А(О) - ниль-потентная группа, то подгруппа В нильпотентна.

По индукции группа О/ В разрешима или р-нильпотентна. Если О/В разрешима, то и

0 разрешима. Пусть О/В р—нильпотентна. Тогда в О/В существует нормальная холлова р'— подгруппа ЕВ, откуда Е < О . Так как Е = О -, то группа О р—нильпотентна.

Поэтому М не содержит В. Тогда в О/В все неквазисубнормальные максимальные подгруппы р—разложимы, и по теореме 1 О В разрешима или р—нильпотентна. Если О/В р — нильпотентна, то О р — нильпотентна.

Пусть & В разрешима. Так как В включается в любую ненормальную квазисубнормальную максимальную подгруппу К группы О, то |0/В: К/В| = ра, а > 1. Тогда по лемме

1 0д<0 для каждого с[ е 7г((г) \ [р\, что противоречиво. Значит, в О нет ненормальных

квазисубнормальных максимальных подгрупп.

Пусть в & В два класса р—разложимых максимальных подгрупп и пусть Т / А -представитель второго класса, т. е. Т Ф Б Если Р - силовская р—подгруппа в Т, то ВР/В<С/В, откуда ВхР<С. Тогда Р<С и О/Р разрешима или /»-нильпотентна. Если С/Р разрешима, то и С разрешима. Пусть С/Р р—нильпотентна. Тогда Ор<хР <0, откуда

Ор' < О. Следовательно, в О/В только один класс р—разложимых максимальных подгрупп.

Если &/В :Б/В| = ц" , то 0ц В/В<0/В, откуда 0цВ <0. Так как 0цВ = 0р, то 0р- <О, что противоречиво.

Пусть Б - квазисубнормальная подгруппа. Тогда по лемме 1 0р < О, что, как показано выше, приводит к противоречию с выбором О .

Следовательно, |^(0)| = 1 и по лемме 5 Б = &2. По теореме 1 в О есть 2-неразложимые максимальные подгруппы. Покажем, что любая неквазисубнормальная не-нильпотентная максимальная подгруппа А группы О 2-неразложима. Пусть А = А2 х А2 ' и А2 ф 1. Если А2> Ф1 ,то по лемме 3 А2 < С. Тогда по индукции или теореме 1 О/А2 разрешима, откуда О разрешима. Значит, А2 = 1, откуда следует, что в О максимальные подгруппы О2 и А имеют взаимно простой порядок. По лемме 11 группа О проста. Поэтому

из леммы 6 и леммы 7 О = РБЬ(2, ц), где или ц = 2п ±1, ц простое, ц > 17, или ц = 9. По [1, теорема 11.8.27] следует, что это невозможно. Если N - минимальная нормальная подгруппа в О, то ЛИ = О и порядок О2 не делит порядок группы О . Полученное противоречие показывает, что О удовлетворяет условию теоремы 2 и, следовательно, разрешима. □

Список литературы

1. Huppert B. Endliche Gruppen. - Berlin: Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1967.

- 793 p.

2. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. Сб. - 1924.

- Т 31. - С. 366-372.

3. Белоногов В.А. Конечные группы с единственным классом ненильпотентных максимальных подгрупп // Сиб. Матем. ж. - 1964. - Т.5. - №5. - С. 987-995.

4. Беркович Я.Г. О разрешимых группах конечного порядка // Матем. Сб. - 1967. -Т. 74. - №1. - С. 75-92.

5. Путилов С.В. Разрешимость конечных групп с заданными абнормальными максимальными подгруппами // Матем. зам. - 1984. - Т. 35. - №1. - С. 3-8.

6. Kegel O. Sylow Gruppen und Subnormalteiler endlichen Gruppen // Math. Z. - 1962. -Bd. 78. - P. 205-221.

7. Gaschiitz W. Uber die Ф-Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. - 1953. - Bd.58.

- S.160-170.

8. Путилов С.В. К теории конечных групп. - Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. - 63 с.

9. Чунихина И.К., Чунихин С.А. О р-разложимых группах // Матем. Сб. -1944. - Т. 15. - №2. - С.325-342.

10. Романовский А.В. Группы с холловыми нормальными делителями // Конечные группы. Минск: Наука и техника. - 1966. - С. 98-115.

11. Baumann B. Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einer nilpotenten Untergruppen // J. Algebra. - 1976. - V.38. - P. 119-135.

12. Thompson J.G. A special class of non-solvable groups // Math. Z. - 1960. - Bd.72. -P.458-462.

13. Белоногов В.А. О максимальных подгруппах II // Изв. вузов. Матем. - 1962. - №5.

- С. 3-11.

14. Чунихин С.А., Подгруппы конечных групп // Минск: Наука и техника. - 1964. -

158 c.

Об авторе

Путилов Сергей Васильевич - доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского», e-mail: [email protected].

MAXIMAL SUBGROUPS OF FINITE GROUPS

S. V. Putilov

Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky

We prove the following theorems: 1) If in pd-group G any maximal subgroup is quasisubnormal or p-decomposable, then the group G is solvable or p- nilpotent; 2) If in group G all nonquasisubnormal nenilpo-tent maximal subgroups have the same order, then G is solvable; 3) Let S be a 2-decomposable maximal subgroup of finite group G and S2 e Syl2(G) . If nonquasisubnormal 2-indecomposable maximal subgroups in G have prime indices, then G is solvable. 4) Let S p-decomposable, the maximum subgroup pd-group G and Sp e Sylp (G). If all nonquasisubnormal p-indecomposable maximal subgroups in group G have the same order, then G is solvable or p-nilpotent.

Keywords: finite group, quasisubnormal subgroup, maximal subgroup, solvable group.

References

1. Huppert B. Endliche Gruppen. - Berlin: Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1967.

-793 p.

2. Schmidt O.Yu. Groups, all subgroups of which are special // Math. edition. - 1924. -Vol. 31. - p. 366-372.

3. Belonogov V.A. Finite groups with a single class nilpotent maximal subgroups // Sib. Math. journal. - 1964. - Vol. 5. - No. 5. - p. 987-995.

4. Berkovich Y.G. On solvable groups of finite order // Math. edition. - 1967. - T. 74. -No. 1. - p. 75-92.

5. Putilov S.V. Solvability of finite groups with given abnormal maximal subgroups // Math. notes -1984. - Vol. 35. - No. 1. - p. 3-8.

6. Kegel O. Sylow Gruppen und Subnormalteiler endlichen Gruppen // Math. Z. - 1962. -Bd. 78. - p. 205-221.

7. Gaschiitz W. Uber die O-Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. - 1953. - Bd.58. - p.160-170.

8. Putilov S.V. To the theory of finite groups. - Bryansk: Group of companies «Ten», 2009. - 63 p.

9. Chunichina I.K., Chunichin S.A. p-decomposable groups // Math. edition. -1944. -Vol.15. - No. 2. - p. 325-342.

10. Romanovsky A.V. Groups with normal hall divisors of // End of the group. Minsk: Science and technology. 1966. - p. 98-115.

11. Baumann B. Endliche nichtauflosbare Gruppen mit einer nilpotenten Untergruppen // J. Algebra. - 1976. - V.38. - p. 119-135.

12. Thompson J.G. A special class of non-solvable groups // Math. Z. - 1960. - Bd.72. -P.458-462.

13. Belonogov V.A. On maximal subgroups II / / Izv. higher educational. Mat. -1962. - No. 5. - p. 3-11.

14. Chunichin S.A. Subgroups of finite groups // Minsk: Science and technology. 1964. -

158 p.

About author

Putilov S.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].