Разработка динамической модели прогноза прибыли страховой компании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

удк 004.891

А. А. Андросова

РАЗРАБОТКА ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗА ПРИБЫЛИ

СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

Статья посвящена разработке динамической модели прогноза прибыли страховой компании, которая позволяет определять условия страхования в зависимости от свойств объекта и характеристик клиента, заключающего договор.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Интенсивное развитие страхового бизнеса на Украине привело к жесткой конкуренции на отечественном рынке страхования. Управляющим страховых компаний приходится решать вопросы, связанные с определением оптимального размера страхового тарифа, оцениванием риска, принятием решения о перестраховании договоров, определением оп-тимального объема страхового портфеля, планированием страховой деятельности. Поэтому актуальным является создание инструментария, позволяющего прогнозировать прибыль и оценивать степень риска при утверждении условий страхового договора.

В работе [1] предложены распределения, пригодные для описания числа требований и величины иска к страховой компании, рассмотрены особенности динамических моделей, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями. Предложенные модели не учитывают влияние индивидуальных характеристик клиента и объекта страхования на риск и доходность страховой компании.

Работа [2] посвящена разработке модели поведения страховой компании, стремящейся к извлечению максимальной прибыли, в основу которой положен вероятностный подход. Но в ней не учтена специфика украинской экономики.

Вычисление распределения итогового резерва и оптимальной нетто-ставки с учетом двух моментов индивидуального иска представлены в [3]. Рассматриваемая модель является статической и не отражает динамику страховых процессов.

Целью работы является создание математической модели, позволяющей прогнозировать прибыль страховой компании и оценивать условия проекта страхового договора.

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗА ПРИБЫЛИ

Для достижения поставленной цели необходимо провести анализ характеристик страховой компании как объекта управления, классифицировать и формализовать переменные, осуществить постановку задачи моделирования, сформировать систему уравнений модели.

Анализ характеристик страховой компании позволяет сделать вывод о том, что количество заключаемых договоров и их объемы являются случайной функцией времени, и в отдельных видах страхования носят сезонный характер (например, страхование сельскохозяйственных культур). Характеристики клиентов, как и свойства объектов страхования, могут меняться со временем, что для первых отражается в предоставлении скидок или их отмене, а для вторых в изменении условий страхования. Величина страхового тарифа, объемы страховых платежей и выплат также являются функциями времени. Это определяет нестационарный характер процесса страхования.

Показатели системы страхования оказывают взаимное влияние друг на друга: характеристики клиентов и свойства объектов страхования влияют на условия страхового договора, от размера страхового тарифа зависит количество и объемы заключаемых договоров, прибыль компании зависит от вероятности наступления страховых случаев и тяжести наступивших страховых событий. На основании этого процесс страхования определяется как нелинейный.

Наступление страхового события и размер причиненного им ущерба носит случайный характер и может иметь свойства пуассоновского или винеров-ского процессов.

Анализ характеристик процесса страхования определяет его нестационарность, случайность и нелинейность, поэтому для осуществления прогноза из класса моделей выбираем динамическую, стохастическую с нелинейным характером переменных.

На основании проведенного анализа характеристик страховой компании классифицируем переменные системы страхования на множество входных переменных - X, множество выходных переменных - У и множество управляющих переменных - и.

В качестве составляющих множества входных переменных выступают заявления на заключения страховых договоров Хг е X (г = 1, т, где т - количество заявлений на заключение страховых договоров).

Xi - Xi(ci, bi, ssj, tSi),

(1)

где Сг - вектор характеристик клиента; Ь - вектор свойств объекта страхования; ssi - страховая сумма; - срок страхования.

Элементами множества выходных переменных являются результаты деятельности страховой компании Уг е У.

Yi - Yi(svi, Q),

(2)

где svi - размеры страховых выплат по договорам, 0 < svi < ssi; Q - прибыль страховой компании.

Составляющими множества управляющих переменных выступают решения менеджера страховой компании об изменении условий страхования, структуры страхового портфеля, объема работы агентов Ut е U.

Ut - Ut(tari, fri, ski, ([wil, [П2], ..., [иу]), Ag), (3)

где tari - величина тарифа по договору, fri размер франшизы, ski - уровень скидки для клиента, заключающего договор; [иу] - доля договоров у-го вида страхования в портфеле; ([ni], [И2], ..., [иу]) структура страхового портфеля; Ag - объем работы агентов.

Анализ особенностей характеристик системы страхования, классификация и формализация переменных [4] позволяет поставить следующую задачу моделирования: разработать динамическую вероятностную модель с нелинейным характером переменных, позволяющую прогнозировать прибыль компании и оценивать степень риска при утверждении условий страхования.

Для определения взаимосвязей переменных и постулирования функциональных зависимостей, составляющих сущность разработки математической модели, декомпозируем деятельность страховой компании по функциональному признаку на три уровня: микроуровень, средний уровень и макроуровень. На микроуровне (рис. 1, блоки 1.11.3) рассматривается движение средств, поступающих в страховую компанию по каждому заключаемому договору. Входные переменные системы Xi(ci, bi, ssi, tsi) изначально зависят от значения тарифа Тагу, предлагаемого по данному виду страхования и рассчитываемого в блоке 2.6 среднего уровня: ssi = Л(Тагу, Ci, bi); tsi = = f2(Tarу). В зависимости от свойств объекта bi и

срока страхования tsi: поступающих на вход блока 1.1, осуществляется корректировка тарифа Taty с целью учета особенностей объекта при страховании. tari = = f3(Tary, bi, tsi) выходная переменная блока 1.1.

Рисунок 1 - Структура движения средств страховой компании

Входными переменными блока 1.2 являются характеристики клиентов Ci, по которым определяются размеры скидок ski = f4(ci). Выходные переменные блоков 1.1 и 1.2, а также значения заявленных страховых сумм ssi являются входными переменными для блока 1.3, в котором рассчитываются размеры страховых платежей по договорам: spi = f¡(ssi, tari, ski). Значения выходных переменных spi блока 1.3 передаются в блок 2.4 среднего уровня.

На среднем уровне (блоки 2.12.7) рассматривается движение средств по каждому виду страхования. В блоке 2.1 определяется количество договоров иу, заключаемых по у-му виду страхования. Значение выходной переменной блока 2.1 зависит от размера тарифа Tarу, действующего по данному виду страхования (блок 2.6), и интенсивности поступления заявок на страхования ту: иу = f6(Tar-, ту). Значения числа договоров по каждому виду страхования передается в блок 3.1 макроуровня, где формируется структура страхового портфеля. Значения заявленных страховых сумм ssi и рассчитанных в блоке 1.3 страховых платежей spi, которые передаются из микроуровня в блоки 2.3, 2.4 соответственно, определяют максимальный объем страховых обязательств по у-му виду страхования Ssj- и совокупный страховой платеж Spу. Таким образом, выходными переменными блока 2.3 будет являться значения максимальных страховых обязательств по каждому виду страхования: Ssу = f7(ssi, иу), а блока 2.4 совокупного страхового платежа: Spу = fg(spi, иу).

В блоках 2.2 и 2.5 соответственно осуществляется прогноз количества страховых исков ку и размера

совокупной по у-му виду страхования страховой

*

выплаты 5»у. Страховая статистика по количеству ку и размерам страховых выплат svi за предыдущие периоды, необходимая для расчетов в этих блоках, берется из базы данных. Выходными переменными

блока 2.2 является количество страховых исков ку =

* •>

= /9 (ку), блока 2.5 совокупная страховая выплата = fl0(svг, У

В блоке 2.6, входами для которого являются значения выходных переменных блоков 2.12.5, происходит расчет тарифа для данного вида страхования Тагу= /ц( Яюу, Язу, ЯРу, пу, ку, Оу). Значение Тагу является выходной переменной блока 2.6 и передается на микроуровень, а также вместе с выходными переменными блоков 2.12.5 в блок 2.7, где рассчитывается прибыль по у-му виду страхования Оу = /12(Тагу, Яюу, Язу, ЯРу пу, ку). Значения прибыли по каждому виду страхования Оу передается на макроуровень в блок 3.2, где определяется прибыль по всей страховой компании.

На макроуровне (блоки 3.1-3.2) рассматривается движение средств по всей страховой компании. В блок 3.2 поступают значения прибыли по каждому виду страхования Оу и значения Тагу со среднего уровня, на основании которых вычисляется прибыль компании О = /13(Оу, Тагу). На макроуровне осуществляется анализ прибыли всей компании О и доли каждого вида страхования в ней ([П1], [П2], ..., [пу]) блок 3.1. За счет высокой прибыли по отдельным видам страхования, может проводиться расширение поля деятельности в видах, где прибыль низкая, путем уменьшения тарифа. Также решение о снижении тарифов с целью привлечения клиентов может приниматься в видах страхования, для которых характерна высокая прибыль и малое количество клиентов. Решение о повышении страхового тарифа по определенному виду страхования может быть связано с большим спросом на его продукцию, однако, при этом необходимо учитывать тарифную политику других страховых компаний, так как чрезмерное завышение тарифа может привести к оттоку клиентов в другие страховые организации. Таким образом, принятое решение об изменении страхового тарифа поступает на средний уровень в блок 2.6. Изменение страхового тарифа приведет, в свою очередь, к изменению структуры страхового портфеля (блок 3.1).

В соответствии с рассмотренными явлениями математическая модель разрабатывается на трех уровнях.

Подмодель микроуровня. При определении условий страхования осуществляется прогноз поступления средств по договору й,. Для этого рассматривается

динамика изменения страхового тарифа по договору, заявленной страховой суммы, страховых платежей.

Динамика изменения страховой суммы по договору й, имеет следующий вид:

dssi( t) dt

= Рг • f(Ci(t), TarAt), bi(t)),

(4)

где -параметр модели, с{( Ь), Тагу( Ь), Ъ{( £)) -регрессионный полином, отражающий зависимость страховой суммы от свойств г-го клиента с¿( Ь), величины тарифа Тагу(Ь) и характеристик объекта страхования Ъ¿( Ь).

Динамика изменения страхового тарифа по договору е Оу (Ву - множество договоров, принадлежащих у-му виду страхования) представлена уравнением:

dtar, (t) -d- = ai-Tar1<t) -

(5)

где Тагу(Ь) - тариф, рассчитанный по у-му виду страхования, элемент обратной связи; а, - параметр, зависящий от характеристик объекта Ъг.

Изменение значения скидки во времени описывается уравнением:

dsk i (t) d t

= ei'ski( t) >

(6)

где &г - параметр модели, зависящий от характеристик клиента.

Значение страхового платежа изменяется в зависимости от размера страхового тарифа Ьагг, срока страхования Ьз, и страховой суммы зз, по договору й,:

dsPi dt

= Ti ■ ssi(t) ■ tari(t) ■ tSi,

(7)

где Ti - параметр модели, а значения ss¿, tar¿, ski вычисляются в (4), (5) и (6) соответственно.

Уравнения, характеризующие динамику движения средств, страховых платежей по каждому договору, позволяют рассмотреть движение средств, тарифов и числа договоров по каждому виду страхования, составляющих условия среднего уровня.

Подмодель среднего уровня. На данном уровне рассматривается динамика движения средств, страховых выплат, тарифов и числа договоров по каждому виду страхования.

Изменение количества заключаемых договоров по j-му виду страхования (блок 2.1) отражено в уравнении:

dnA t)

-d- = P-Vt),

где p - параметр модели.

Расчетные функции блоков 2.3, 2.4 представлены в виде:

dSs:( Ь) пу

-¿г _ фу I ^(Ь),

I _ 1

dSp:( Ь) Д

-От _фу Iр Ь),

I _ 1

(9)

(10)

где пу - количество договоров заключенных по у-му виду страхования, фу, фу - параметры модели, значения

(Ь) и 5р,(Ь) вычисляются в (4) и (7).

Пусть v([Ь1, Ь1 + 1 ),[уь, Уь + 1)) - число исков, предъявленных страховой компании за время [Ь^ Ь1 + 1), значения которых принадлежат интервалу [уук + 1), /(у, 5) - значение страховой выплаты по иску у, поступившему в момент времени 5. Следует отметить, что поток исков, поступающих в страховую компанию, является ординарным, т. к. вероятность того, что за достаточно короткое время в страховую компанию поступит два и более исков пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что за это время поступит один иск. Число исков, поступивших на одном интервале времени, не зависит от числа исков, поступивших на другом интервале времени. Следовательно, поток исков является потоком без последействия. В пределах одного сезона поток исков можно рассматривать как стационарный. Таким образом, число исков, поступивших в страховую компанию, может быть описано процессом Пуассона:

Изменение тарифа по совокупности договоров у-го вида страхования (блок 2.6) характеризуется уравнением вида:

d Тагу(Ь- _ 8 Svу(Ь)

оь _ ь°~к~'

Ssу( Ь)

т Г1г-

£8г • ТагСК(Ь) -

¿ _ 1

"8т + 1 0](Ь) + 8т + 20](Ь),

(14)

где Ss.■(Ь), SVj(Ь) определены в (9) и (12); ку - число

СК.

произведенных страховых выплат; Tari (Ь) - тариф по у-му виду страхования ¿-й страховой компании; т -количество страховых компаний, конкурирующих с данной, 8, - параметр. Прибыль по у-му виду страхования Оу(Ь) и прибыль по страховой компании О(Ь), значение которой передается из макроуровня элементы обратной связи.

Расчетная функция блока 2.7 описывается уравнением:

¿ОЛ Ь)

-у- _ Spу(Ь) - Svу(Ь).

(15)

Таким образом, на основании прогноза движения средств и количества страховых договоров по каждому виду страхования, полученного по модели среднего уровня, можно осуществить прогноз прибыли страховой компании и структуры страхового портфеля. Для этого проследим движение средств по всей страховой компании.

Подмодель макроуровня. На макроуровне рассматривается динамика движения средств страховой компании (блок 3.2)

РМЬ, у) _ к} _ ^в-^,

УЬ > 0.

(11)

¿ОЬ _ ь),

у_1

(16)

Динамика значения суммарной выплаты по у-му виду страхования, вычисляемого в блоке 2.5, описывается уравнением:

Ь

Svу(Ь) _ I I /(у' 50у) ,

Ь0 /г шт

(12)

где т - число видов страхования, % - параметр модели, значения Оу(Ь) вычисляются в (15).

Расчетная функция блока 3.1 представлена уравнением:

[пу(Ь)] _ ■

п у (Ь)

т

I Пк(Ь)

к _ 1

Таг( Ь),

(17)

где /Гш1п, 55шах - соответственно наименьшее и наибольшее значения возможных страховых выплат. В силу того, что в начальный момент времени страховые выплаты равны нулю, приращения страховых выплат независимы в совокупности и априори имеют нормальное распределение, опишем случайные значения страховых выплат = /(у, 5) винеровским процессом:

Р{sv(Ь + К) -sv(Ь)<*} _ 2~ГП I в ЩОу, УЬ > 0. (13)

где с, у - параметр модели.

На основании прогноза прибыли страховой компании и прибыли по каждому виду страхования принимается решение об изменении страхового тарифа и структуры страхового портфеля для привлечения дополнительного числа клиентов, расширения поля деятельности.

ВЫВОДЫ

Научная новизна данной работы заключается в разработке динамической вероятностной модели с нели-

нейным характером переменных, позволяющей прогнозировать прибыль страховой компании. Практическая значимость состоит в том, что разработанная структура динамической модели позволяет определять условия страхования (страховую сумму, тариф, страховой платеж, размер скидки и франшизы) в зависимости от свойств объекта и характеристик клиента, заключающего договор. На основании прогноза, полученного по разработанной модели, осуществляется планирование страховой деятельности на определенный период времени.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1.

Бондарев Б. В. Математические модели в страховании: Учебное пособие. Донецк: Алекс, 2002. 116 с.

2. Бенинг В. Е, Ротарь В. И. Одна модель оптимального поведения страховой компании // Экономика и математические методы. 1993 г. Том 29, вып. 4. С. 617-626.

3. Шоргин С. Я. Оценка нетто-ставки по договорам страхового портфеля при различных страховых суммах. // Финансы. - 1996. - № 1.

4. Андросова А. А. Анализ и формализация переменных в задаче управления страхованием // Вестник национального технического университета «ХПИ». 2004 г. № 36. C. 137-142.

Надшшла 10.11.04 Шсля доробки 19.05.05

Стаття присвячена розробщ динам1чноЧ модел1 прогнозу прибутку страховой, компани, яка дозволяв визна-чати умови страхування в залежност1 eid властивостей об'екта i характеристик клieнта, що укладае договiр.

The article is devoted to dynamic model development, which task is to give forecast of an insurer profit that allows defining the terms of assurance depending on object properties and characteristics of covenanting client.

удк 519.853

A. И. Вершина, Б. Т. Солдатов, А. Г. Маркин

АЛГОРИТМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОЧИХ СТАНЦИЙ

Распределение рабочих станций по объектам представлено как задача нелинейного целочисленного программирования. Предложен алгоритм поиска решения, основанный на идеях градиентного метода и условия Липшица для условной сходимости с постоянным шагом. Приведены примеры использования разработанного алгоритма.

ВВЕДЕНИЕ

Существует множество задач, связанных с распределением вычислительной техники между различными объектами (подразделениями, компьютерными залами) как одной организации, например, в ВУЗе, так и объектов, разбросанных по обширной территории, с целью получения максимального эконо мического эффекта. Такая задача относится к нелинейному дискретному программированию и, в общем случае, не имеет решения. Предлагается «эвристический» алгоритм, для которого функционирование системы рассматривается как предельный случай системы массового обслуживания, а поиск «оптимального» распределения основан на особенностях градиентного метода и условии Липшица для условной сходимости с постоянным шагом.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Работу каждого объекта (подразделения, филиала) представим как систему массового обслуживания по предоставлению пользователям времени на рабочих станциях. Как система массового обслуживания каждый объект характеризуется следующими параметрами [1]:

- числом рабочих станций п;

- плотностью потока пользователей (заявок) X;

- плотностью «потока обслуживания» одной рабочей станцией ц.

Величина X обратно пропорциональна среднему времени поступления заявок, а ц обратно пропорциональна среднему времени обслуживания одного клиента.

Граф переходов в системе массового обслуживания из п рабочих станций имеет вид, представленный на рис. 1.

Рисунок 1 - Граф состояний системы