CC BY
32
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22)2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 51.75+51.77+519.23
МОДЕЛИ «ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ»
В ОЦЕНКЕ КРЕДИТНОГО И СТРАХОВОГО РИСКОВ
© С. В. РЫНДИНА
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра прикладной математики и информатики e-mail: [email protected]
Рындина С. В. - Модели «времени жизни» в оценке кредитного и страхового рисков // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 259-263. - В статье рассмотрена модель, позволяющая оценивать риски страхового и кредитного портфелей в процессе их обслуживания. Описаны механизмы цензурирования данных по текущим договорам, входящим в портфель, для которых финансовый процесс не завершен и окончательныйрезуль-тат неизвестен.
Ключевые слова: модели «времени жизни», риск, цензурирование, функции риска и выживания, модель пропорциональных рисков, логистическая регрессия, метод максимального правдоподобия.
Ryndina S. V. - The duration models in the estimation of CTedit and insurance risks // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 259-263. - In the article the model, allowing to estimate risks of insurance and credit portfolios during their service is considered. The mechanisms of censoring the data on the current contracts, included in the portfolio for which a financial process is not completed and a final result is unknown are described.
Keywords: duration models, risk, censoring, the functions of risk and a survival, the model of proportional risks, logistical regress, method of the maximal plausibility.
На рынке предоставления финансовых услуг одним из конкурентных преимуществ компании является ее способность адекватно оценивать риски. Риски неизбежно сопутствуют деятельности финансовой организации, и возникают вследствие неопределенности результатов ее деятельности в будущем.
Выдача кредитов в банке и предоставление услуг страхования страховой компанией с точки зрения математического аппарата, используемого для оценки рисков, имеют много общего.
Остановимся кратко на рисках процессов страхования и кредитования.
При выдаче кредита неопределенность связана с размером возможной прибыли от конкретного заемщика. Прибыль равна нулю, если заемщик вернул тело кредита (выданную по кредитному договору сумму) и часть процентов, которые покрыли операционные расходы банка, стоимость предоставленного кредита для самого банка (банк большую часть средств получает в виде депозитов, корреспондентских счетов, собственных займов, то есть также оплачивает проценты за пользование не принадлежащими ему средствами). Прибыль становится убытком, если заемщик вернул меньшую сумму или не вернул ничего.
При заключении договора страхования неопределенность связана с возможностью наступления стра-
хового случая. Тариф страхования (страховой взнос) рассчитывается с учетом вероятности наступления страхового события и вероятной суммой возмещения по страховому событию. Неопределенность возникает из-за того, что прогнозные вероятности страховых событий взятые за основу при определении страховых взносов по страховым договорам отличаются от частоты наступления страховых событий для конкретного страхового портфеля в процессе его обслуживания страховой компанией. Поэтому в процессе реализации услуг страхования может возникнуть как дополнительная прибыль, если вероятности страховых событий и суммы возмещений оказались меньше прогнозируемых, так и возможные убытки, если сумма привлеченных взносов не покрыла расходы на возмещение убытков.
Кредитная деятельность банка сопряжена с возникновением рисков следующих типов: кредитного риска, риска ликвидности и процентного риска.
Кредитный риск связан с тем, что заемщик не выполнит свои обязательства в полной мере и в срок. Кредитный риск может проявляться как систематический, и быть связанным с изменением рыночной ситуации, изменением фундаментальных показателей экономики (инфляция, ставка рефинансирования и т. п.), общим снижением платежеспособности эко-
номических агентов. Кредитный риск также имеет индивидуальную составляющую, например, если выдача кредитов происходит без учета вероятности возврата, то сформированный кредитный портфель будет оцениваться как плохой (рискованный).
Риск ликвидности - индивидуальный риск, который возникает из-за несовпадения между величиной активов и обязательств.
Процентный риск возникает из-за колебаний в движении ставок размещения и привлечения ресурсов.
Финансовая деятельность страховой организации в части привлечения страховых взносов также сочетает в себе несколько типов рисков: страховой риск, риск ликвидности.
Страховой риск связан с наступлением страхового события, в результате чего страховщик обязан выплатить страховое возмещение (страховую сумму). Страховой риск, как и кредитный, несет в себе и систематическую и индивидуальную составляющую. Систематическая составляющая проявляется в общем снижении числа страхователей (если этот вид страхования не является обязательным) при ухудшении экономической ситуации и, как следствие, большими возможными отклонениями вероятности наступления страховых случаев от прогнозных значений, или с вынужденным снижением ставок страхования ниже допустимого уровня. Систематическая составляющая страхового риска может быть связана, например, с изменением климата. В связи с аномальной жарой летом 2010 года вероятность пожара для застрахованного имущества существенно повысилась по сравнению с ориентировочной вероятностью, прогноз которой рассчитывался в предположении умеренно жаркого лета. Прогнозное значение вероятности наступления страхового события - пожара, использовалось для расчета страховых тарифов. Как следствие привлеченные взносы от застрахованных объектов на территориях особенно подверженных пожарам минувшим летом не покрыли сумм возмещения по страховым событиям. Этот вид страхования для страховых компаний оказался убыточным, если срабатывало неблагоприятное сочетание: пожароопасный регион, много застрахованных в регионе от пожара объектов.
Индивидуальная составляющая страхового риска включает в себя ошибки конкретной страховой компании в определении страховых тарифов, и, следовательно, формирование рискованного страхового портфеля.
Риск ликвидности определяется для страховой организации аналогично банковской.
Снижение кредитного и страхового риска частично регулируется законодательно. Так для страхового и кредитного портфеля обязательно формирование резервов в процентах от привлеченных страховых взносов или суммы выданных кредитов. Наличие резервов снижает риск ликвидности, т. е. способствует финансовой устойчивости организации, хотя и уменьшает ее возможную прибыль от инвестирования.
Определение вероятностей наступления неблагоприятных событий составляет процедуру оценки рисков.
Уровень неопределенности некоторого события с п возможными исходами, каждый из которых может осуществиться с вероятностью рг, определяется как
п
1 =-£ Р< ^2 Р. . (1)
/=1
Своего максимального значения (I = log2 п) величина I достигает при равновероятных исходах
р = —, когда об интересующем событии ничего не из-п
вестно. Дополнительная информация обладает свойством изменять неопределенность, но необязательно снижать ее уровень. Например, если дополнительная информация связана с увеличением числа возможных исходов, то неопределенность повысится. А если с помощью прогнозной модели оценены вероятности отдельных исходов, то степень неопределенности снизится, так как теперь можно не пользоваться грубым предположением, что все исходы равновероятны.
Построение моделей, позволяющих определить вероятность возврата кредита для конкретного претендента на заем, или вероятность наступления страхового случая и величину ущерба, подлежащую возмещению, для конкретного страхователя - сложный многоступенчатый процесс.
Прогноз вероятности наступления указанных событий, может быть построен по принципу черного ящика, когда известно какие факторы уменьшают неопределенность, то можно для конкретного заемщика или страхователя с большой достоверностью определить его выгодность для финансовой компании, однако при таком подходе к построению модели описать влияние каждого фактора на результат будет невозможно. По некоторой выборке пар «объект-ответ» строится алгоритм, способный для предъявляемых объектов давать ответы с минимальной частотой ошибок. Этот подход реализуется в теории обучаемых систем, а рассматриваемая задача является задачей распознавания образов.
Альтернативный вариант заключается в построении эконометрической модели. По выборочным данным восстанавливается регрессия, на основе которой можно будет строить прогноз для результата, ранжировать факторы по силе влияния на результат, обнаружить дополнительные зависимости, нуждающиеся в интерпретации.
Для построения эконометрической модели требуется первичная статистическая информация. Первичный сбор информации обычно происходит в условиях неопределенности. С помощью оценок экспертов неопределенность можно снизить, например, составить пошаговую инструкцию для принятия решения сотрудником кредитного отдела или страховой организации по конкретным случаям. Такой подход к организации деятельности позволяет даже в начале деятельности снизить риски компании при формировании кредитных и страховых портфелей. Однако такое первичное отсеивание клиентов даже при максимально упрощенной форме принятия решений, делает
получаемую статистическую совокупность по клиентам урезанной (цензурированной). Среди отсеянных клиентов были те, кого оценили неправильно, то есть вероятность возврата кредита или убыточность страхового полиса была для таких клиентов оценена неверно. Таким образом, выборка производилась не из всей совокупности, обращающихся за финансовой услугой, а лишь из тех потенциальных клиентов, кто удовлетворил априорным ограничениям (первоначально определенным экспертами лимитам по отдельным факторам или их сочетаниям). В дальнейшем это сместит оценки параметров эконометрической модели.
Эконометрическая модель, построенная на основе полученных в результате финансовой деятельности статистических данных, может снизить неопределенность, но не устранить ее совсем. Риск как неопределенность будет сохраняться, не только в силу приближенности оценок по модели и ненулевой частоты ошибочных ответов, но и в связи с тем, что по клиентам, первоначально отсеянным с помощью экспертных оценок, статистическая информация отсутствует. Выгодны или убыточны клиенты с подобными характеристиками доподлинно неизвестно. Модель в отношении таких клиентов может, как согласиться с оценками экспертов, так и противоречить им. Для построения эконометрической модели адекватной моделируемому процессу, необходимо сохранять информацию также о потенциальных клиентах, получивших отказ. И проводить тестирование модели на отсеянных клиентах.
Урезание наблюдений может возникать не только в случае отсеивания потенциальных клиентов, но и при рассмотрении тех клиентов, для которых финансовый процесс еще не закончен: срок окончания кредитования для заемщика еще не наступил, страхователь продолжает быть держателем страхового полиса. Если к моменту наблюдения процесс не завершился, то такое наблюдение можно в выборку не включать.
Если наблюдение по незавершенному процессу включается в выборку, то его цензурируют моментом наблюдения. Наблюдение в этом случае заключается в фиксации по конкретному договору факта наступления события. Событием в процессе кредитования является наступление просрочки, в процессе страхования событие - наступление страхового случая.
Для данных по договорам, включенным в текущий портфель (данным по незавершенному процессу), можно построить модель, которая носит название модель «времени жизни». Данные в такое модели являются цензурированными, так как зависимая переменная - время до наступления события, а на момент наблюдения не для всех исследуемых объектов событие произошло. Наблюдения, входящие в выборку, делятся на нецензурированные и цензурированные. Нецен-зурированные наблюдения те, для которых событие на момент анализа данных наступило. Цензурированные наблюдения те, для которых событие еще не наступило, для наступления события в этих наблюдениях требуется время большее, чем момент проведения наблюдений. На время ожидания события могут также влиять дополнительные факторы.
Модели «времени жизни» часто используются в технике (время безотказной работы приборов), в исследовании демографических процессов (продолжительности жизни, проживания на одном месте и т.п.). Аналогичные модели можно использовать и для процессов страхования и кредитования.
Рассмотрим построение модели выживания на примере кредитования физических лиц.
Пусть Т - непрерывная случайная величина с функцией плотности распределения f (V) и кумулятивной функцией распределения F(V) = Р{Т < ^, определяющей вероятность того, что событие наступило к моменту времени / .
Определим функцию выживания
да
£(1) = Р{Т > 1} = 1 - F(1) = |/(х^х , (2)
t
определяющую вероятность того, что событие к моменту времени / не наступило.
Интенсивность осуществления события в единицу времени задает функция риска
P{t < T < t + dt | T > t} M(t) = liffi—----1->-,
dtdt
(3)
где в числителе условная вероятность наступления события за промежуток времени dt при условии, что событие не произошло ранее, то есть числитель есть
f (V ^ s (V)
, а значит
M(t) =
f (t) s (t).
(4)
Функция M(t) также называется интенсивностью отказов. Она имеет следующий смысл: если к моменту времени t процесс не завершился (T > t), то вероятность его завершения в течение ближайшего малого промежутка времени определяется как M(t)At.
Событием, наступление которого будет регистрироваться с помощью функции F (t), в процессе кредитования является возникновение просрочки по кредиту. Соответственно S(t) позволяет определить долю заемщиков, расплачивающихся с кредитом в срок.
Согласно (2) получаем
dS (t) dt
и преобразуя (4), имеем
= - f (t),
M(t) =------------ln S(t).
dt
(5)
(6)
Воспользуемся тем, что в момент времени V = 0 для процесса S (0) = 0, получим
S(t) = exp I -J M(x)dx I.
(7)
Таким образом, функция выживания (а также функция распределения F (V)) однозначно восстанавливается по функции риска ).
Выражение, используемое в (7): t
Л^) = jl(x)dx,
(8)
называется кумулятивным риском.
Для функции выживания S (V) в зависимости от распределения случайной величины V определим:
S (t) = e-lt, (1(t) = 1),
(9)
соответствует показательному распределению и используется, если для процесса верно предположение о постоянной интенсивности отказа;
S (t) = e1, (1(t) = 1ata-1),
(10)
соответствует распределению Вейбулла и используется, если интенсивность отказа возрастает (а > 1) или убывает (а < 1);
S(t) =------І-----, (1(t) = 1a(1t) * ),
І + (1t)a І + (1t)a
(11)
соответствует лог-логистическому распределению и используется, если интенсивность отказа вначале возрастает, а затем убывает.
Для демографического процесса S(да) = 0, то есть доля выживших в бесконечном временном периоде снижается до нуля. В процессе кредитования событие - просрочка по кредиту, необязательно произойдет, поэтому S (да) определяет долю тех, кто расплатится с кредитом в срок. Время ожидания события здесь не бесконечно, а ограничено временем окончания кредитования. Кроме того возникновение первой просрочки не всегда свидетельствует о невозврате всей оставшейся суммы кредита. Просрочка, допущенная конкретным заемщиком, может быть ликвидирована им в следующем временном периоде.
Модель оценки риска кредитного портфеля только частично соответствует модели демографического процесса: заемщик может возобновить платежи по кредиту, умерший воскреснуть не в состоянии.
Если интенсивность отказов может изменяться под влиянием некоторого набора факторов: /
х = (х—,х2,...,хт) , то можно использовать модель пропорциональных рисков. В такой модели - время жизни . -го объекта можно представить как функцию от регрессоров х. Например:
t. = еАІ>+є,
(12)
где і - номер наблюдения, х'в = хлРх +... + хітРт, в = (Р1,Р2,...,Рт)' - вектор оцениваемых параметров модели, є - случайный член.
Тогда функция выживания для случая (9) определяется на основе интенсивности отказов:
1(t, xi) = 1
(13)
Рассмотрим кредитный портфель, включающий п договоров. Каждый договор характеризуется набором факторов х = (х1,х2,...,хт) , представляющих со-
бой характеристики заемщика. Например, одним из факторов может являться х) фиктивная переменная, которая принимает значение 1 если заемщик ранее брал кредит и расплатился в срок, 0 берет кредит впервые.
Наблюдения за портфелем происходят в дискретные моменты времени t2,...,(возьмем в качестве интервала наблюдения один месяц). Все наблюдения будут делиться на цензурированные (те договоры, для которых просрочка по выплате кредита не наблюдается до момента последнего наблюдения) и нецен-зурированные (те договоры, по которым просрочка наступила до момента последнего наблюдения включительно). По цензурированным наблюдениям можно сказать лишь то, что время возникновения просрочки превышает время наблюдения (хотя по конкретному договору просрочка может не наступить и клиент расплатиться полностью и в срок). Определим функцию выживания в момент времени tj:
S. = (І-1)(І-12)...(1-1.-і) ,
(14)
то есть функция выживания связана с кумулятивным риском во все предыдущие моменты времени.
Время расплаты по кредитам без просрочек характеризуется функцией выживания S(V) с плотностью распределения f (V) и интенсивностью отказов (возникновения просрочек) 1(Г) .
Функция выживания в случае учета дополнительных факторов, влияющих на время наступления события:
S (tj\xi) = So(tj )exp( xe),
(15)
где S(tj \ xi) вероятность, что договор с характеристиками xi не будет иметь просрочек до момента tj , а S0(tj) базовая вероятность просрочки.
Модель (15), построенная по цензурированным данным, оценивается с помощью метода максимального правдоподобия. Пусть t. - моменты времени, в которые происходят наблюдения за соответствующим портфелем. Для логарифмической функции правдоподобия получаем следующее выражение:
1=in l = ^ ln f (tj \ xi) + Xln S (tj \ x), (16)
ieUCO ieCO
где UCO - множество нецензурированных наблюдений (UnCensored Observations), CO - множество цензурированных наблюдений (Censored Observations), j - номер временного интервала, i - номер договора
Для процесса обслуживания страхового портфеля событием будет являться наступление страхового случая по конкретному договору, вместо просрочки рассматривается сумма возмещения по страховому событию. Страховое событие на протяжении действия договора может происходить неоднократно, поэтому модель оценки риска страхового портфеля скорее схожа с моделью миграции (изменение места жительства в процессе жизни), чем с моделью демографического процесса.
Наблюдения также разделяются на нецензури-рованные - страховые договоры, для которых страховое событие наступило, и цензурированные - страховые договоры, для которых страховое событие к моменту наблюдения еще не произошло.
Модель оценки риска, построенная по цензурированным данным, позволяет получить прогноз вероятности просрочек (или наступления страховых событий) для следующего момента времени и учесть полученные оценки при формировании кредитной политики или страховых тарифов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бьорн Э. Оценивание моделей дискретного выбора и моделей с цензурированием // Квантиль. 2009. № 6. С. 49-57.
2. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Дело, 2004. 576 с.
3. Макфадден Д. Полупараметрический анализ // Квантиль. 2008. № 5. С. 29-40.
4. Родригес Г. Модели выживаемости // Квантиль. 2008. № 5. С. 1-27.
