Разложение специальных цилиндрических функций по степеням переменных аргументов при интегральном преобразовании Лапласа-Карсона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 130-140

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 539.374

Разложение специальных цилиндрических функций по степеням переменных аргументов при интегральном преобразовании Лапласа-Карсона

С. В. Недошивин, Г. В. Панфилов, П. В. Судаков

Аннотация. Обоснована целесообразность применения интегрального преобразования Лапласа-Карсона для преодоления математических трудностей при аналитическом решении краевых задач математической физики. Приведены примеры расчетов для задач, описываемых телеграфным уравнением.

Ключевые слова: краевые задачи, аналитическое решение, характеристики, операционное исчисление.

Введение

Известно, что применение интегрального преобразования Лапласа-Карсона (операционного исчисления) [1-3] весьма эффективно для преодоления математических трудностей при решении краевых характеристических задач математической физики. В общем случае преимущество преобразования Лапласа заключается в том, что функции из пространства оригиналов и производимые там над ними математические операции заменяются соответствующими функциями и операциями в пространстве изображений, в котором и изображение функций, и выполняемые над ними операции значительно проще и нагляднее. Также весьма важно, что в плоскости изображений с операторами дифференцирования и интегрирования можно манипулировать, как с простыми алгебраическими выражениями, производя простые арифметические действия.

В дальнейшем будет рассматриваться только одна из разновидностей преобразования Лапласа, связывающего однозначную функцию f (р) комплексной переменной р (изображение) с соответствующей функцией f (£) действительной переменной £ (оригинал), — преобразование Лапласа-Карсона. Одномерное представление интеграла Лапласа-Карсона

имеет вид

те

1 (р) ^ р У е-рf (£)£,

0

где 1 (£) — преобразуемая по Лапласу действительная функция

действительного аргумента £; функция 1 (р) — преобразование или

трансформация по Лапласу функции 1 (£); р = х + гу — комплексное число (параметр).

В двухмерном представлении оно связывает однозначную функцию 1 (р,ц) комплексных переменных р и ц(изображение) с соответствующей функцией 1 (£, п) действительных переменных £ и п (оригинал)

СЮ СЮ

1 (р,я) ^ рц ! I в-р^-яп 1 (£,п)^п.

00

Здесь и далее используются знаки (символы): ^ прямого и ^ обратного интегральных преобразований Лапласа-Карсона.

Важной прикладной частью рассматриваемых интегральных преобразований является наличие хорошо развитых таблиц соответствия оригиналов и изображений, по которым определяют искомые составляющие из пар: одномерных — 1 (£) ^ 1 (р) и двухмерных 1 (£, п) ^ 1 (р, ц).

Многие краевые задачи теории пластичности, газовой динамики, статики сыпучей среды и других разделов механики описываются линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, которое называется телеграфным уравнением [1, 2] и имеет вид

1^ +1 (£'П) = °-

Телеграфные уравнения относятся к гиперболическому типу и могут быть решены методом характеристик [1], образуя интегральные поверхности указанных характеристик, которые, в свою очередь, при наложении одного из трех типов граничных условий требуют частных последовательных решений краевых задач: Коши, начальной характеристической задачи (задачи Гурса) или смешанной краевой задачи, т.е. нахождения решений в определенных областях. В дальнейшем будут рассматриваться лишь аспекты аналитического решения указанных краевых задач. В значительном большинстве случаев последовательное решение комплексных областей начинается от некоторой границы, на которой заданы определенные условия (задача Коши). Существенное влияние на решение оказывает форма контура границы и распределение на ней исследуемой функции.

Широкое распространение находят следующие варианты полей характеристик: поля, образованные начальными дугами окружностей

(прямолинейный контур с равномерным распределением исследуемой функции); поля, образованные начальными логарифмическими спиралями (круговой контур с равномерным распределением исследуемой функции). Рассмотрим специальные цилиндрические функции, возникающие при аналитическом описании указанных полей характеристик.

1. Разложение специальных цилиндрических функций по степеням переменных аргумента

1.1. Поля, образованные начальными круговыми дугами. При

последовательном аналитическом нахождении решения в многоэлементных полях, характеристики, ограничивающие решение в предшествующей области, становятся начальными для аналитического описания последующей пластической области. Если такая многоэлементная конструкция поля характеристик образована начальными круговыми дугами, то выражения для радиусов кривизны характеристик в присоединяемых участках содержат функции Бесселя двух переменных. При определении решений (радиуса кривизны характеристики, изменения исследуемой функции вдоль характеристик, проекции в требуемом направлении интегральных значений исследуемой функции) вдоль характеристики одного (а-характеристики) или другого (^-характеристики) семейства одна из переменных аргумента функции (в данном случае функции Бесселя) становится константой, которую обозначим для а-характеристики п = Ь, для в-характеристики —

С = а.

При переходе от предшествующих к последующим пластическим участкам переменные С и п функций Бесселя могут приобретать и накапливать так называемые сдвиги (слагаемые константы). При этом аргумент 2у/£п может приобрести сдвиг одной переменной: 2Л/(С + а) п; 2лДJп+b), или сдвиг обеих переменных 2^/(£ + а) (п + Ь). Соответствующим образом трансформируются и сомножители к функциям Бесселя, неизбежно сопровождающие их в решениях.

Таким образом, при определении радиусов кривизны характеристик в полях, образованных начальными круговыми дугами, встречаются следующие разновидности функций Бесселя двух переменных:

1) функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента 2у/£п — без сдвига переменных аргумента:

С \ п с _>. ^ сп+т пт

^ (-1) тЧп + т)! ’ (1)

' 7 т=0 4 7

с)Ч{2^} = £ (-г ; <2>

функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента + а) п — со сдвигом первой переменной аргумента:

( 7 + а А2 т г2 /77^—)— 1 ^ ( л)т (7 + а)П+т Я2 (3)

(—) Ч^ + а) V = 2=. -1> т, (п + т)! ■ (3)

m=0

оо

■ £ {-1Г (4)

4 7 m=0 v '

функции Бесселя первого рода, n-го порядка, действительного аргумента

V С (n +ь) — со сдвигом второй переменной аргумента:

Ш*Jnt-^} ■ £(-)- 5та- »

4 7 m=0

j t2VÎ¥Tb)} ■ g<-ir («)

функции Бесселя первого рода, n-го порядка, действительного аргумента

V(f +а ) (п + ь) — со сдвигом обеих переменных аргумента:

(п+ь)f j Wïf+ош+ь)} ■ ±-r (e Х+У ; (7)

4 7 m=0

^ (t\ \m (on I h\n+m

'¡+ayjn{-æ+vhï+t)}=s (-i)m (f

' ^ / m=0 v 7

2)модифицированные функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента 2у/7п — без сдвига переменных аргумента:

7 \ 2 { 1 ¿п+тпт

П) Ч2Щ = £ т. Г(п I т)! • (9)

7)1 !п ^<1о)

модифицированные функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента 2^/(7 + а) п — со сдвигом первой переменной аргумента:

' I „ ) 2 , } ^1 „)п+т

7|М 2 г Г2 /(7 + а) п1 = ^ (7 + а) п

п

(«+£) * /n t-^yoe+^r^} ■ £ ■ (“)

m=0

СЮ

Ш' 'n {-^1 ■

m=0

модифицированные функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента 2 у/7 (п + Ь) — со сдвигом второй переменной аргумента:

п + Ь

1г

X

{2\/7 (п+Ь)} = ^2

т=0

7п+ш (п + ь)т

т ! (п + т)!

(13)

{2\/7 (п+Ь)} = ^2

п+т

т=0

7т (п + Ь)

т ! (п + т)! ’

(14)

модифицированные функции Бесселя первого рода, п-го порядка, действительного аргумента 2^/(7 + а) (п + Ь) — со сдвигом обеих переменных аргумента:

Гп |2 V(7 + а) (п +

£

т=0

(7 + а Т+т(п + Ь)

т ! (п + т)!

(15)

п + Ь 7 + а

X

{2^(7 + а) (п + Ь)} = ^

т=0

(7 + а)т (п + Ь) т ! (п + т)!

п+т

(16)

1.2. Поля, образованные начальными логарифмическими спиралями. При определенных вариантах кругового контура, таких как: выпукло-вогнутый; выпуклый или вогнутый, образованный двумя сопряженными участками разного радиуса; контур с границами, требующими присоединения участков вырожденной начальной характеристической задачи, в последующих областях неизбежно появление условных ^-функций определенного порядка и типа, представляющих собой абсолютно и равномерно сходящиеся положительные или знакопеременные ряды функций Бесселя первого рода действительного аргумента или модифицированных функций Бесселя первого рода одной или двух переменных [4].

В зависимости от ряда (положительный или знакопеременный) и входящих в этот ряд функций Бесселя первого рода (модифицированные или не модифицированные) будем различать четыре возможных типа условных ^-функций, маркируемых в записи индексом вверху. Условные ^-функции можно представлять как в виде ряда соответствующих функций Бесселя, так и (соответствующим разложением последних) комбинацией степенных рядов.

Таким образом, при определении радиусов кривизны характеристик в полях, образованных начальными логарифмическими спиралями, встречаются следующие разновидности условных ^-функций двух переменных:

2

п

2

2

п

1)условные ф-функции 1-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных — без сдвига обеих переменных:

х ( 7 а п+т

Фгп (7,п) = Х](-1)п ( -) Тп+т{2^7п}, (17)

п=0 ' ' '

х , ч П + т

фт (п,0 = Х](-1)п (7 тп+т{2У7п}; (18)

п=0 7

условные Ф-функции 1-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных — со сдвигом переменной 7:

X ( 7 + А П+т

фт(7+а,п) = Х](-1)\ ^—) тп+т {2л/(7+а) (19)

п=0 \ п /

п + т

х / \ 2

фт (п>7 +а ) = ^2(-1)\ тга) тп+т{ 2^(7 +а) п}; (20)

п=0 7 + а

условные ф-функции 1-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных — со сдвигом переменной п:

х ( 7 а

фт(7,п+ь) = Х](-1)\ п+ь) тп+т {2л/7 (п+ь)}> (21)

п=0 ' ' + '

X ( + Ь а п+2т

ф1п (п + Ь,7) = X/ (-1)п ^Тп+т {2д/7 (п + Ь)}; (22)

условные ф-функции 1-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных — со сдвигом обеих переменных:

X ( 7 + а п++т

ф1п (7 + а,п + Ь) = Х/(-1)\ п + Ь ) Тп+т {2л/(7 + а) (п + Ь)}> (23)

п=0 + Ь X ( + ь а п+т

ф1п (п + Ь> 7 + а)^Х/(-1) у С + а ) Тп+т {2л/(7 + а) (п + Ь)} > (24)

п=0

аргументы последующих типов условных ф-функций накапливают сдвиги аналогично, поэтому приведены не будут;

2) условные ф-функции 2-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных:

X (7а

фт(7, ^ = 2 („) тп+^ 2У7п}, (25)

п=0

п+т

х / \ ^

фШ (п,0 = ^ (7/ ■]п+т{ (26)

п=0 '7 '

3) условные ф-функции 3-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных:

X , 7ч п+т

ФШ (7, п) = £(-1)п( 7) !п+ш{ 2^7П}, (27)

п=0 ^ П '

п+т

фШ(п,0 = ^2(-1)П (7 ^п+^2^7п?}; (28)

п=0 ^ '

4) условные ф-функции 4-го типа (индекс вверху) т-го порядка (индекс внизу) двух переменных:

х , 7 ч п+2т

фШ(7,п) = ^ („) М2^7п}, (29)

п=0

п+т

х / \ ^

фШ(п,0 = ^ (7/ М2^7п}- (зо)

п=0 7

2. Преобразование по Лапласу-Карсону специальных цилиндрических функций, разложенных по степеням переменных аргумента

Поскольку разложения специальных цилиндрических функций (1)—(30) по степеням переменных аргументов приводят к абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядам, то представляется возможным [1] почленное интегральное преобразование Лапласа-Карсона элементарных составляющих этих функциональных рядов и последующее свертывание полученных рядов изображений в соответствующие функции искомых изображений в операторной плоскости исходных специальных цилиндрических функций.

Методику определения изображений специальных цилиндрических функций изложим на следующих конкретных примерах.

2.1. Изображение одномерной модифицированной функции Бесселя первого порядка без сдвига переменной с сомножителем

(1). В формуле (1) переменная п принимается равной константе а. При разложении данной функции в степенной ряд нет различия между константой и переменной функционального ряда:

Га х аш+1 • пш а2 • П а3 • П2

\ — • I {2 л/ап} = / -:- ----гг = а + —;- + —;---— + ...

V п т! • (т + 1)! 1! • 2! 2! • 3!

ш=0

а а2 ■ 1 а3 ■ 1 / а а2 Л ( а

^ + "2! + 3! 2 + • • • = д ( 1 + 1 + 2! 2 + • • • _ 1 ) = д ( ехр 1

1! 2! ■ д 3! ■ д2 \ 1! ■ д 2! ■ д2 ) \ д

Здесь а — константа аргумента; п — переменная аргумента; д ^ п — комплексное изображение аргумента в операторной плоскости.

2.2. Изображение двухмерной модифицированной функции Бесселя нулевого порядка со сдвигом обеих переменных (7).

Разложим указанную функцию в степенной ряд

1о{2\/(£ + а) (П + Ь)} =

= 1 , (С + а)(п + Ь) + (С + а)2 (п + Ь)2 + (С + а)3 (п + Ь)3 +

+ 1! • 1! + 2! • 2! + 3! • 3! +

Перемножим составляющие слагаемых полученного разложения с последующим почленным преобразованием по Лапласу-Карсону:

1) (е + а)(П + Ь)= е • п + е •Ь + п •а + а •Ь ^ ТТ + тр + ТТт + а •Ь;

(С + а)2 (п + Ь)2 = С2 • п2 + 2 • а • п2 • С + ••• + а2 • Ь2 _ 1 • 1

2! • 2! = 2!2! ^ р2 • д2

а • 1 • 1 а2 • 1 Ь • 1 • 1 а • Ь Ь • а2 • 1 Ь2 • 1 а • Ь2 • 1 а2 • Ь2

+ ^-----------о + ^---------------------о + ~т.-------о---------1---------------+ ~т.—:т.---------------------------------------+ тт.-о + ~т.—:т.-+

1! • р • д2 22 • д2 1! • р2 • д р • д 1! • 2! • д 2! • р2 1! • 2! • р 2! • 2!

3) (С + а)3 (п + Ь)3 С3 • п3 + 3 • а • С2 • п3 + ••• +3 • а2 • С • Ь3 + а3 • Ь3

) 3Гз! = 3Гз! ^

1 • 1 а • 1 • 1 а2 • 1 • 1 а3 • 1 Ь3 • а2 • 1 а3 • Ь3

^ р3 • д3 + 1! • р2 • д3 + 2! • р • д3 + 3! • д3 + •" + 3! • 2! • р + 3! • 3! ’

4)

Произведем выборочное свертывание полученного ряда почленных изображений

1) 1 + Тттт + д2ш + %1г + ••• = іо {2^аЬ}; (31)

Р1 (1 + ттгтт + %ІТ + %ІГ + •••) = м 1о>{2 ; (32)

(1 + ТлТТ + + •••) = 1о {2^аЪ} (33)

4) 1 (і + 2ПТ + зйг + •••) = р\[ї • 11 {2^аЬ}; (34)

5) Р21 (тт + 2тТТ + ж2т + •••) = • М2^} (35)

6) р^ (тт + 2тТТ + 1Ш + •••) = рк^\рк •1т {2^аЪ}; (36)

Аналогично выполняется свертывание других составляющих членов полученного ряда изображений. Далее из полученных функций Бесселя, у

которых аргумент — константы, а сомножители — изображения переменных, составляем и сворачиваем более общий ряд

Составляющие (31)—(33) и аналогичные — свертываются в следующую функцию изображения

1о {2л/аЬ\ +----1о {2л/аЬ\ + —2—21о \2л/аЬ1 + • • • — -— 1о \2\/~аЬ\ •

I J р ■ д I J р2 ■ д2 I J р ■ д —11 J

(37)

Составляющие (34)—(36) и аналогичные — свертываются в следующую функцию изображения

-У? ■ I1 ЬЛЬ) + ■ /, ЬЛЬ} + ... — -^-т^ ■ /, ЬЛЬ} •

р \ а I J р2 ■ д \ а I J рд — 1 V а I J

Дальнейшие подобные преобразование приводят к следующему итоговому изображению рассматриваемой двухмерной модифицированной функции Бесселя нулевого порядка со сдвигом обеих переменных

^ {2^(£ + а) (П + Ь)} —

"сю / 7 \

р ■ д

p ■ q — 1

О , п СЮ п + 1

^р~п ■( Ь) ■ 1п{2^аЬ} + £ д-(п+1) 2 ■ 1„+1{2ЛЬ}

п=0 ' ' п=0

2.3. Изображение одномерной условной 0-функции без сдвига переменной (18). В формуле (18) переменная £ принимается равной константе Ь. Представим данное разложение в развернутом виде

,4 „ ч , ^ Ь \ / Ь2 Ь2 ■ 1 . Ь2 ■ 1

(м) =>1 + ^ + q j + ^_ + 2nq + 2i^J +

/ b3 b3 ■ 1 b3 ■ 1 b3 ■ 1 \

+ V3! + airq + 3! ■ q2 + 31 ■ q3 j +

Перегруппируем полученное разложение следующим образом Ь + Ь2 + ЬТ

1M 2Р 3!

1) 1 + 1 + 2 + 3т + ••• =1' ехР b; (38)

2) 1 + irq + 2Ъ + 3т7^+• • • =1 (1+1^ +121 +131 +• • •) =1 ■ exp b; (39)

q 1 1! q 1 2!-q 1 3!-q 1 ‘ ‘ ‘ ^ 1 1P 2! 1 3!

b , b2 , bT , _ 1 Л i b

3) д2+!^ + +зз^д2 + •••— д2 (1+1 + 2т+1зт+•••) — 1. ■ ехрЬ; (40)

Подставляя полученные функции выражений (38)—(40) в более общие ряды и свертывая их в более общие функции изображений, окончательно получим

а4 ^ д Л„_ ь 1 ь

Ь, п) = ---- exp b---exp -

q—1 q q

Разработанная методика вывода изображений специальных цилиндрических функций позволяет существенно расширить популярные таблицы соответствия оригиналов и изображений интегрального преобразования

Лапласа-Карсона (операционного исчисления) и решать краевые задачи математические физики при описании процессов механики, автоматики и телемеханики, теории следящих систем, теории регулирования и других.

Список литературы

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

2. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. 287 с.

3. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.

4. Панфилов Г.В, Недошивин С.В., Хвостов Е.Ю. Применение интегрального преобразования Лапласа-Карсона для решения краевых задач математической физики // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.1. С.51-60.

Недошивин Сергей Владимирович ([email protected]), к.т.н., доцент, кафедра аэрологии, охраны труда и окружающей среды, Тульский государственный университет.

Панфилов Геннадий Васильевич ([email protected]), д.т.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

Судаков Павел Владимирович ([email protected]), аспирант, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

The expansion of special cylindrical functions in powers of the variable argument by integral transformation of the Laplace—Carson

S.V. Nedoshivin, G.V. Panfilov, P. V. Sudakov

Abstract. There are grounds for the expediency of the integral Laplace-Carson transformation’s application to overcome the mathematical difficulties in the analytic solution of boundary value problems in mathematical physics. There are examples of calculation for the problems described by the telegraph equation.

Keywords: boundary value problems, analytic solution, characteristics, operational calculus.

Nedoshivin Sergey ([email protected]), candidate of technical sciences, docent, department of aerology, safety and the environment, Tula State University.

Panfilov Gennadiy ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, department of mechanics of plastic deformation, Tula State University.

Sudakov Pavel ([email protected]), postgraduate student, department of mechanics of plastic deformation, Tula State University.

Поступила 13.12.2011