CC BY
22
Деформации ура, действующие в левой и правой половинах сечения трубы, имеют противоположные знаки; их эпюры на рис. 2 относятся к левой половине. Наличие сдвиговых деформацій, а также существенно неодинаковые значения Єр и sa - все это говорит об отличи напряженного состояния трубы от линейного.
Изложенный метод оценки деформированного состояния изгибаемых труб может быть распространен на различные схемы гибки, многие из которых классифицируются как изгиб поперечной силой. Переменной кривизне оси изогнутой трубы должна соответствовать система координат, отлична от тороидальной.
Список литературы
1. Теория обработки металлов давлением / И.Я. Тарновский [и др.]; под ред. И.Я. Тарновского М. : Металлургиздат. 1963. 672 с.
2. Гун Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. М. : Металлургия. 1980. 456 с.
S. Vdovin, V. Mikhailov
Variational estimation of the plastic bending deformation of pipe
Force moment bending of thin-walled pipe with two types of limitation - excluding and admitting flow passage is considered. The stressed state differs from linear in both cases on account ofsmall relative bending radius.
Получено 19.01.09
УДК 539. 374
Г.В. Панфилов, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СВОБОДНЫМИ КРУГОВЫМИ ПЛАСТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ
Приведены функции и операционные отношения интегрального преобразования Лапласа-Карсона, позволяющие методом линий скольжения определять напряженное состояние в пластической области широкого типа технологических задач обработки металлов давлением.
Ключевые слова: пластическое деформирование, операционное исчисление, цилиндрические функции, лораифмические спирали.
В технологических задачах обработки металлов давлением значительное место занимают такие, в которых пластические области выходят на свободные от внешних нагрузок круговые или аппроксимированные как
круговые границы. К ним, в частности, относятся: образование шейки при растяжении плоских образцов; растяжение полосы, ослабленной круговыми вырезами; осадка и высадка заготовок с учетом бочкообразования; процессы вдавливания в полуплоскость, сопровождающиеся образованием наплывов с криволинейной свободной поверхностью деформируемого материала, и др. При решении методом линий скольжения пластическая область, непосредственно примыкающая к свободной круговой границе, ограничена логарифмическими спиралями, формирующими геометрию присоединяемых при пострении поля пластических зон. В дальнейшем будем пользоваться терминологией, в соответствии с которой пластическую область с выпуклой свободной круговой поверхностью ограничивают внутренние логарифмические спирали, а с вогнутой - внешние.
Известно [1], что радиусы кривизны логарифмических спираей, ограничивающих поле линий скольжения, примыкающее к свободной выпуклой круговой границе, определяются выражениями
Ra(£) =-^2Д, ехр(-£);
Rp(n) = ^2^ехР(-7).
При вогнутой свободной круговой границе
R (!) = V2R ехр£ ;
R)(n) = -V2R,exp^.
Во многих случах, особенно при анаитическом описании полей линий скольжения, характеристическую задачу Коши с криволинейным контуром целесообразно свести к начаьной характеристической задаче.
На рис. 1-4 приведены конструкции полей характеристик, образующихся при различных вариантах свободных от внешних нагрузок круговых границ
В частности, рассмотрим пластическую область (рис. 2), обраованную выпукло-вогнутой круговой свободной границей и начаьными для присоединяемой области логарифмическими спираями с положительным значением радиуса кривизны а - линии скольжения АЕ и отрицательным Р- лини скольжения AD [2]. Центр криволинейной системы координат поместим в точку А. Тогда выражения для радиусов кривизны начальных линий скольжения в плоскостях оригиналов и изображений запишутся в виде [2]
RAE(t„0)= Лщехр (- ¡0=> rae( p,0) =4гщ^-; (1)
p + 1
^Ад(0, л) = -V2R ехр Ц => RАД (0, q)= --2R2~^~. (2)
" q-1
Для нахождения изображений и далее оригинаов выражений для текущих значений радиусов кривизны линий скольжения
в присоединяемой пластической области подставим начальные условия (1), (2) в соответствующие операционные зависимости [3]
Да (, д ) = ^2Й1 -П- -В- -Ш2 -В--3-;
рд +1 р+1 рд + 1д-1
Дрр, д ) = -—2Я1
рд д
рд + 1 д -1
л/2
д
р
рд + 1 р +1
(3)
Определим оригиналы изображений, входящих в (3):
рд р = рд
рд +1 р +1 рд + 1
/ л
1 1 1
1-------+ ^,------------^ + ...
р р2 р3
/Л
+
3
+
/л
J 3 = ]Е(-1)
и=0
/л
1
VI/
2 ^л/!)-
чЛ/
Аналогично устанавливаются оригинаы изображений
составляющих, входящих в выражения для определения радиусов кривизны линий скольжения для всех четырех возможных комбинаций знаков.
Оригиналы этих составляющих также представляют собой четыре комбинации равномерно и абсолютно сходящихся знакопеременных или знакоположительных рядов немодифицированных (4) - (11) или модифицированных (12) - (19) функций Бесселя первого рода. Поскольку найденные составляющие оригиналов радиусов кривизны линий скольжения явлютея типичными для достаточно широкого класса задач и в последующих присоединяемых пластических областях они лишь трансформируются, приобретая и наиплива сдвиги аргумента, их целесообразно представлять в форме некоторых специальных функций. В общем случае возможны следующие варианты:
Вариант 1. Свободна поверхность выпукла (внутренние логарифмические спирали), образована одним радиусом (рис. 1):
<Х)
ч>'„
р +ш)
пг
и=0
J„
ц>хш р1)=£р1)
и=0
п/ \
р+ш)
Л
J„
у
р 1~шд р рд +1 р +1
д1~шр д > -—-—-— рд+1д+1
(4)
(5)
Индекс, стоящий вверху обозначения введенной функции, указывает на один из четырех возможных вида этой функции, а индекс внизу - на порядок функции, соответствующий порядку входящей в выражение функции Бесселя, с которой начинается суммирование.
и
2
Рис. 1. Поле линий скольжения, ограниченное выпуклой свободной границей, аппроксимированной одним постоянным радиусом
В одномерном преставлении указанная функция имеет вид
1—ш [ „ *Л
1 сс *\ р Л
Фш (- Л ) =---------Г ехР
р +1
1 * го и -(л+т) и ,
фФп(- ,л) = !(-1) ------------.Ез-,
и=0 (и + ш )!к=0
(6)
(7)
где 1 и л - константы.
Вариант 2. Свободна поверхность выпукло-вогнута (внешние и внутренние логарифмические спираи), обраована двумя раиусами (рис. 2).
В этих случая выражения для определения радиусов кривизны линий скольжения, помимо функции, описанной выше, содержат следующий ее вид:
(и+ш)
0 го [ Л 2
Фш (,л)= Е -
и=0 чл/ ' ' рд + 1 р
1 — ш
Jn+ ^^л/-Л)= ¿—а-
рд +1 р -1
(8)
го
Фш (л, -= Е
и=0
V
V-
(и+ш)
1 — ш
■Г„ + МУ)=д—р--г
рд + 1 д -1
Рис. 2. Поле линий скольжения, ограниченное выпукло-вогнутой свободной границей, аппроксимированной двумя постоянными радиусами
В одномерном представлении указанная функция может быть записано как
1-ш
фш (- Л*) = —Г ехР
с * Л Л
го
Ф2ш (— л) = Е
р-1
—(и +ш ) и
(10)
(11)
и=0 (и + ш )!к=0
Вариант 3. Свободная поверхность выпуклая (внутренние логарифмические спираи), обраована двумя радиусами (рис. 3):
(и+ш)
го
и
Фш (- л)= Е(- 1)
и=0
чЛ/
2
I
го
и
Фш (л,—= Е(- 1)
и=0
ллл
(и+ш)
и+ш
,{Т-п)= {^л/—Г)=
V
р1-шд р
рд -1 р +1
1-ш
д____р д
рд- 1 д+1
(12)
(13)
В одномерном представлении
„1-ш 3 Г-С *\ р
Фш (-л ) =-------ГехР
р + 1
а * \
Л р
V /
2
о * го —(и + ш) и
Фш(1 ,л) = Е -7 Е(-1)кд-. (15)
и=0 (« + ш )! к=0
Рис. 3. Поле линий скольжения, огртиченное выпуклой свободной границей, аппроксимированной двумя постоянными радиусами
Вариант 4. Свободная поверхность вогнутая (внешние логарифмические спираи), обраована одним или двумя (рис. 4) радиусами.
аб Рис. 4. Поля линий скольжения, ограниченные вогнутой свободной границей, аппроксимированной одним (а) или двумя (б) постоянными радиусами
го
ґг\
(п+т )
Фт ( Л)= I
п=0
I
п+ т
го V
(п+т) 2
I
Фт (, 0 = I
п=0 V
В одномерном преДставлении: „1-т („
ф'т (5>п) ^ —г ехи
{2л/0п}=
{^л/5П}=
Р-1
Р
V У
1 -т
Р_______д р .
рд -1 р -1
1-т
д_______Р^_
рд -1 д - 1
го 0( + т) п
(16)
(17)
; Фт(0 , п) ^ I 7----------\Т 1д
п=0 (п + т )!к=0
-к
Между введенными функциями установлены соотношения
ф0(п+Ф2(п0 = ехр(п-°; ф1(п)-фі)(п0 = ехр(п-°; Ф^0( п)-Ф53 (п0 = ехр(п + 0; Фо ( п)+Ф4 (п,0 = ехР (п + 0,
справедливые и для одномерных представлений указанных функций.
Эти соотношения позволяют получить более простые одномерные изображения функций (7), (11), (15) и (19) первого и второго порядка, которые в основном используются при описании полей линий скольжения, образованных начальными логарифмическими спиралями:
1 (* ) д 1 1 „
Ф0\° ,п)^^--------*-----7ехР
* л
ф!(*, п
д
1 д
+--------ехр
ц
У
* л
Г)
2 I *
Фо
^ д 1
, -------7-------
д -1 ехр
-+
1
Ф1
(0,
Г)
ехр
Г)
ф0
ф4
(*,п)= (о, п)
д-1ехр 0 д+1
3'-*
ехр
Г)
д
д с* 1 0 ле-
—Гехр0 +—гехр—;Фі 1° ,п -1 д+1 п
д
д ехр 0*
1 0 4 (*
----— ехр ; Ф. 10 , п
д-1 п
д-1 д
д 0
---7ехр—
д +1 п
е*
д 0
---гехр—.
д- п
д -1 д -1 п д -
Полученные зависимости позволили существенно расширить таблицы соответствия прямого и обратного интегрального преобразования Лапласат - Карсона для оригиналов, содержащих абсолютно и равномерно содящиеся ряды цилиндрических функций Бесселя различных порядков [4]. Они обеспечивают возможность аналитически описывать поля линий
2
скольжения, которыми схематизируют многие технологические задачи плоского пластического течения при исследовании процессов обработки металлов давлением.
Список литературы
1. Журавлев А.З., Ураждина Л.С., Ураждин В.И. Применение операционного метода к решению начаьной характеристической задачи плоской теории пластичности // Прикладна математика и механика. 1975. Т. 39, Вып. 3. С. 564-567.
2. Панфилов Г.В., Смарагдов И.А. Аналитическое описание полей характеристик в технологических задачах плоской деформации // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 3. С. 157-160.
3. Панфилов Г.В. Анаитическое интегрирование уравнений начаьной характеристической задачи плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение, 1987. № 11. С. 17-20.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М. : Высша школа, 1965. 232 с.
G. Panfilov
Analytic descriptions of the technological problems with free circular plastic boundaries
Functions and operating relations of Laplace-Carson integral transformations that allows determining stressed state in plastic domains via the slip-line method for wide range oftechnological problems are described.
Получено 19.01.09
УДК 621.73:621.96
В.И. Фатеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ)
ТЕРМОУПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОЛОМ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ВОДООХЛАЖДАЕМОМ ПУАНСОНЕ ГОРЯЧЕГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Предложена методика решения задачи о регулировании температурн ых напряжений в полом осесимметричном пуансоне в процессе эксплуатации.
Ключевые слова: температура, напряжения, пуансон, горячее деформирование, штамп.
Сложные температурно-силовые условия эксплуатации штампового инструмена для горячей штамповки являются важным фактором, определяющим его стойкость. Температурные поля в теле штампа определяют
98
