CC BY
38
УДК 621.98.073
Р.А. Парамонов, канд. техн. наук, доц. eto 121712 @yandex. ru (Россия, Тула, ТулГУ)
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ, ОБРАЗОВАННЫХ СВОБОДНЫМИ КРУГОВЫМИ ГРАНИЦАМИ
Рассмотрен тип технологических задач обработки давлением, в которых пластические области выходят на свободные круговые границы, тогда к начальному полю логарифмических спиралей часто присоединяют участок, представляющий вырожденную начальную характеристическую задачу (центрированный криволинейный веер).
Ключевые слова: метод линий скольжения, логарифмические спирали, пластическая область, вырожденная начальная характеристическая задача, операционное исчисление, интегральное преобразование Лапласа - Карсона, радиус кривизны, начальное поле.
Применение аналитического описания полей линий скольжения для моделирования технологических задач обработки металлов давлением [1, 2] в значительной степени сдерживается ограниченностью возможностей применяемого математического аппарата.
Существенные математические трудности в решениях, связанные с интегрированием дифференциальных уравнений и символьным представлением сложных интегралов, удается преодолеть с помощью операционного исчисления (интегрального преобразования Лапласа или Лапласа-Карсона) [3, 4]. Математический аппарат применения операционного исчисления к решению начальной характеристической задачи и, в частности, для вариантов технологических задач, когда свободная от контакта с инструментом и внешних нагрузок граница пластической области аппроксимирована дугой окружности, изложен в работах [5, 6, 7].
Известно [8], что пластическая область, примыкающая к свободной круговой границе, схематизируется полем логарифмических спиралей. Поскольку при аналитическом описании полей линий скольжения расчет геометрических и силовых параметров исследуемого процесса удобно вести интегрированием вдоль граничных линий скольжения через радиусы их кривизны, приведем зависимости для радиусов кривизны внешних и внутренних логарифмических спиралей, схематизирующих пластические участки, примыкающие соответственно к вогнутым (рис. 1, а) и выпуклым (рис. 1, б) свободным круговым границам.
Известно [9], что угол поворота касательной к логарифмической спирали (угловой параметр X) при перемещении вдоль AB равен половине центрального угла, стягивающего всю свободную круговую границу, т.е. равен w. Составим равенство, связывающее горизонтальную проекцию
длины дуги А А' (т.е. размер АА"), с проекцией длины логарифмической
со со /п \
спирали АВ на это же направление \Rq ■ cos \dt, = fi?a(^)- cos — + £,
0 0
С08
« б
Рис. 1. Схема для вывода радиусов кривизны логарифмических спиралей: а - при вогнутой круговой свободной границе; б - при выпуклой круговой свободной границе
Из равенства подынтегральных выражений
Да6) = л/2*о .=>^2-Ло^<=Т2*о-ехр4.
СОБ^ — БШ^ р- 1
Окончательно выражение для радиусов кривизны внешних логарифмических спиралей запишем так:
£aft) = T2i?0 • ехр^=> 72Д0 ;
р-1
Дв (л) = Т2Д0 • ехрл => 72Д0 -3-—.
¿7-1
(1)
(2)
По аналогии (рис. 1, б) для радиусов кривизны внутренних логарифмических спиралей
Да Й) = -72Д0 • ехр(- => -72Д0 ;
р + 1
Д(3 (л) = -72Д0 • ехр л => -72Д0 - .
а -1
(3)
(4)
Для удобства аналитического описания полей линий скольжения
229
приведем данную краевую характеристическую задачу Коши со свободной круговой границей к начальной характеристической задаче. Если при выпуклой свободной границе (см. рис. 1, а) поместить центр криволинейной системы координат в точку А, то комбинация знаков радиусов кривизны будет соответствовать а < 0, (3 < 0 и начальные условия для рассматриваемой области можно записать в виде
Да Й.0) = ■ ехр(- X) => -л/2Д0 -Л;
р +1
Др (о,л) = л/2Д0 • ехрл => yl2.Ro
д-1
(5)
(6)
где 7?р(0.Г|) - фиктивная начальная линия скольжения.
Для определения текущих значений радиусов кривизны в рассматриваемой пластической области подставим начальные условия (5) и (6) в соответствующие зависимости для комбинации знаков радиусов кривизны а < 0, (3 < 0:
СЦ) +1
С \
Р Ч
д ——I——
р +1 д-1
- 42Я, <= Яа (^ )=->/2■ ехр (Л - $);
р +1 д-1
др +1
с \
д р
д-1 р +1
(7)
Для граничных линий скольжения, определяющих решение в данной области, постоянный угловой параметр для системы соотношений (7) принимает значения соответственно г| = со и £ = со, тогда
ДаЙ,ш) = -л/2Д0 ехрЙ-со); Др(со,г|) = л/2До • ехр(ю-г|), где 7?р(со,Г|) - фиктивная граничная линия скольжения.
Очевидно, что при такой постановке круговая свободная граница является линией равных угловых параметров, при которых независимо от их величины значения радиусов кривизны линий скольжения обоих семейств =лр2Я().
На основании изложенного можно утверждать, что значения радиусов кривизны линий скольжения, выходящих на свободную круговую границу, всегда равны: р = л/27?о> гДе радиус этой границы.
Легко убедиться, что выражения для радиусов кривизны (например, второе уравнение системы 7) удовлетворяют телеграфному уравнению
Э^Эл дЩ э^
= -л/2До • еЛ • = -л/2Д0 • ехр(л -
Таким образом, удовлетворяется условие---= Л/ •
Э^Эл
В технологических задачах обработки металлов давлением значительное место занимают такие, в которых пластические области выходят на свободные от внешних нагрузок круговые, или аппроксимированные как круговые, границы. К ним, в частности, относятся образование шейки при растяжении плоских образцов; растяжение полосы, ослабленной круговыми вырезами; осадка и высадка заготовок с учетом бочкообразования; процессы вдавливания в полуплоскость, сопровождающиеся образованием наплывов с криволинейной свободной поверхностью деформируемого материала, и другие. При решении методом линий скольжения пластическая область, непосредственно примыкающая к свободной круговой границе, ограничена логарифмическими спиралями, формирующими геометрию присоединяемых при построении поля пластических зон. Примем, что пластическую область с выпуклой свободной круговой поверхностью ограничивают внутренние логарифмические спирали, а с вогнутой - внешние.
Известно [4], что радиусы кривизны логарифмических спиралей, ограничивающих поле линий скольжения, примыкающего к свободной выпуклой круговой границе, определяются выражениями
Др(Л) = л/2Л0ехр(-л).
При вогнутой свободной круговой границе
Др(Л) = -л/2До-ехрл.
Во многих случаях, особенно при аналитическом описании полей линий скольжения, характеристическую задачу Коши с криволинейным контуром целесообразно свести к начальной характеристической задаче.
На рис. 2, а, б приведены конструкции полей характеристик, образующихся при различных вариантах свободных от внешних нагрузок круговых границ.
В частности, рассмотрим пластическую область (рис. 2, б), образованную выпукло-вогнутой круговой свободной границей и начальными для присоединяемой области логарифмическими спиралями с положитель-
ным значением радиуса кривизны а - линии скольжения АЕ и отрицательным - (3 - линии скольжения АВ [4]. Центр криволинейной системы координат поместим в точку А. Тогда выражения для радиусов кривизны начальных линий скольжения в плоскостях оригиналов и изображений запишутся в виде [10]
КАЕЙ,0) = 42Ях • ехр(-#=> Лае(р90) =
р +1
Яад (о, л) = • ехр л => Я АД (09д) = -л/2 Д2
<7-1
(8)
(9)
Для нахождения изображений и далее оригиналов выражений для текущих значений радиусов кривизны линий скольжения в присоединяемой пластической области, подставим начальные условия (3, 4) в соответствующие операционные зависимости [4]
рд + 1 р +1
-42Я,
рд + \ д-\ д р
(10)
рд + \ д-\ рс7 + 1 р +1
Определим оригиналы изображений, входящих в (10):
РЧ
РЧ
(
рд +1 р +1 рд +1
1-1+Л
1
\
+
3 п
ЛТ " /.V
1
V Лу
•Л,{2л/?Л}-
Л—0
Аналогично устанавливаются оригиналы изображений составляющих, входящих в выражения для определения радиусов кривизны линий скольжения для всех четырех возможных комбинаций знаков.
Оригиналы этих составляющих также представляют собой четыре комбинации равномерно и абсолютно сходящихся знакопеременных или знакоположительных рядов немодифицированных (11)-(18) или модифицированных (19) - (26) функций Бесселя первого рода. Поскольку найденные составляющие оригиналов радиусов кривизны линий скольжения являются типичными для достаточно широкого класса задач и в последующих присоединяемых пластических областях они лишь трансформируются, приобретая и накапливая сдвиги аргумента, их целесообразно представлять в форме некоторых специальных функций. В общем случае возможны следующие варианты.
Вариант 1. Свободная поверхность выпуклая (внутренние логарифмические спирали), образована одним радиусом (рис. 2, а):
<А,Ы= К-1) //=0
(п+т)
X
XJ
п+т
ччу
р
(П)
pq + \ р +1
(п+т)
»л»
Ф!,ЛЛ Л)= 1(-1)
п=о
" / \ ( Л |
X
(12)
х У
{2л/?л}=
рд +1 д +1
Индекс, стоящий вверху обозначения введенной функции, указывает на один из четырех возможных вариантов вида этой функции, а индекс внизу - на порядок функции, соответствующий порядку входящей в выражение функции Бесселя, с которой начинается суммирование.
В одномерном представлении указанная функция имеет вид
1 * р1-'" ( -*л )=>-—г-ехр
р+1
Л_
Р
Л * оо " £*(п+т) п
я4,в Д|)=> К-1) 5
//=0
/ ^ -г;- Ъч
(п + т)\ к=0
(13)
(14)
где £ и Г| - константы.
Вариант 2. Свободная поверхность выпукло-вогнутая (внешние и внутренние логарифмические спирали), образована двумя радиусами (рис. 2, б).
В этих случаях выражения для определения радиусов кривизны линий скольжения, помимо функции, описанной выше, содержат:
(/?+///)
ФшЙ>Л) = I
71=0
3
VI/
Ф,»(ЛЛ)= I
п=0
(п+т)
J
п+т
{2л/?л}=
р1-'" ■ д р рд +1 р-1
Ч1-'"р 9
рд +1 д -1
В одномерном представлении указанная функция имеет вид
Л-т ( "Л
ехр--
Фт&Л*)^ Р
р-1
(15)
(16)
(17)
а
в
б
д
Рис. 2. Варианты конструкций полей линий скольжения, ограниченные выпуклой свободной границей, аппроксимированной
одним постоянным радиусом (а); выпукло-вогнутой свободной границей, аппроксимированной двумя постоянными радиусами (б); выпуклой свободной границей, аппроксимированной двумя постоянными радиусами (в); вогнутой свободной границей, аппроксимированной одним (г) или двумя (д) постоянными радиусами
г
"(ян-///)
(18)
и=0 + к=О
Вариант 3. Свободная поверхность выпуклая (внутренние логариф мнческие спирали), образована двумя радиусами (рис. 2, в):
(»+///)
ч>1Ы= К-О
и=0 н=0
В одномерном представлении
I1 2
ОЪ
{п+т)
2
р1-"'., Р
1/?+///
[/?+///
РЧ -1 + 1
ч
рд-1 д +1
Ф,„(^Л )
Ф„Д Л1)=> I
1-7«
Р + 1
•ехр
/ *\ Л_
*(»+'") и , ,
• Х(-1) ^
(19)
(20)
(21)
(22)
»=0 + А"=0
Вариант 4. Свободная поверхность вогнутая (внешние логарифмические спирали), образована одним или двумя (рис. 2, в, г) радиусами:
(//+///)
Ф///Й>Л) = I
п=0
оо
Ф»ДлД)= I 11=0
чЛ/
I
п+т
ЬЫ--
{2л/1л}=
Р1""д Р
рд-1 р-1
д
рд-\ д-\
(23)
(24)
В одномерном представлении
Ф»Д>Л )
Л-т
р-1
•ехр
/ *\ Л_
Ф„Д >Л) => I
(25)
(26)
,/=0 ^ + к=0
Между введенными функциями установлены следующие соотно-
шения:
<р\ (£,П) + Ч>1 (г/Л) = ехр(/7 <р\ {€,П)~ <Ро [пЛ) = ехр (// - £), <Р1 (£*/) ~ <р\ (г/Л) = ехр (/7 + £), <Ро + <Р\ (пЛ) = ехр(/7 + £), 235
справедливые и для одномерных представлений указанных функций.
Эти соотношения позволяют получить более простые одномерные изображения функций (14), (18), (22) и (26) первого и второго порядка, которые в основном используются при описании полей линий скольжения, образованных начальными логарифмическими спиралями:
(р\ (_,Л р (-,Л
рр (_Л
Рр (_,Л Рр (_\Л р3 (_\Л ро (-,Л рр (_\Л
ч
1
1
(
■ ехр
Ч -1 ехр_ ч -1 ч 1 ч
^-^г—_ + 1 ехР
Ч -1 ехр_ Ч -1 ч
_
л
V Л
с _ >
Л
г
^ -
1 1 _
+---ехр
Ч -1 ехр_ Ч +1 Ч 1 Ч
Л
V Л
Г г* Л
Ч -1 ехр_ Ч +1
ехр
с,*
Л
Ч е* 1 _
^--ехр_ +---ехр—
Л
Ч -1 " Ч +1
*
^--— ■ ехр_ +
Ч е* Ч _
Ч-1
Ч
Ч-1 Ч
*
■ ехр_
■ ехр-Ч +1 Л
1 _
---■ ехр —
Ч -1 Л
*
ехр _ —— ■ ехр -
(28)
Ч -1 Ч -1 Л
Полученные зависимости позволили существенно расширить таблицы соответствия прямого и обратного интегрального преобразования Лапласа - Карсона для оригиналов, содержащих абсолютно и равномерно сходящиеся ряды цилиндрических функций Бесселя различных порядков [4]. Они обеспечивают возможность аналитически описывать поля линий скольжения, которыми схематизируют многие технологические задачи плоского пластического течения при исследовании процессов обработки металлов давлением.
Список литературы
1. Друянов Б. А., Непершин Р. И. Теория технологической пластичности. М. : Машиностроение, 1990. 272 с.
2. Панфилов Г. В. Течение металла по криволинейным контактным поверхностям // Изв. вузов. Машиностроение. 1990. № 8. С. 97-101.
3. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. М. : Высшая школа, 1975. 328 с.
4. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М. : Высшая школа, 1965. 232 с.
5. Мясищев А. А., Ренне И. П., Смарагдов И. А. Аналитическое решение задач плоского формообразования //ТПИ. Тула, 1981. - 153 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.05.81, № 2348.
6. Панфилов Г. В., Парамонов Р. А., Панов А. А. Множественный корреляционно-регрессионный анализ модельной зависимости качества изготовления сферических шайб // Вестник ТулГУ. Автоматизация: проблемы, идеи, решения (АПИР-14): в 2 ч. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 31-36.
7. Панфилов Г. В., Смарагдов И. А. Аналитическое описание полей характеристик в технологических задачах плоской деформации // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 3. С. 157-160.
8. Панфилов Г. В. Аналитическое интегрирование уравнений начальной характеристической задачи плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 11. С. 17-20.
9. Панфилов Г. В., Алексеев Р. Е., Кутергин О. А. Аналитическое описание полей линий скольжения, образованных логарифмическими спиралями // Обработка металлов давлением. Свердловск, 1986. С. 12-17.
10. Технологическая механика: учеб. пособие /Г. Д. Дель [и др.] М. : ЦНИИТИ, 1985. 185 с.
R. A. Paramonov
PERFECTION OF THE THEORETICAL ANALYSIS TECHNOLOGICAL PROBLEMS OMD THE METHOD OF LINES SLIDINGS FOR PLASTIC AREA, ADJOINING FREE CIRCULAR BORDER
The type of technological problems of processing by pressure in which plastic areas leave on free circular borders then to an initial field of logarithmic spirals often attach a site representing an initial singular characteristic problem (the aligned curvilinear fan) is considered.
Key words: a method of lines of sliding, logarithmic spirals, plastic area, an initial singular characteristic problem, operational calculation, integrated transformation of Laplas - Karson, curvature radius, an initial field.
Получено 14.12.11
