CC BY
38
УДК 539. 374
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОЛЯ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ПРИ ОСАДКЕ ЦИЛИНДРА С ВЫРЕЗОМ
Г.В. Панфилов
Аналитическим описанием полей линий скольжения проверена правильность использования интегральных соотношений, позволяющих аналитически рассчитывать распределение средних напряжений в пластических областях при осесимметричной деформации. Установлены условия, при которых конструкции полей линий скольжения становятся полностью идентичными при плоском и осесимметричном пластических течениях.
Ключевые слова: осесимметричное пластическое течение, аналитический метод линий скольжения, расчет средних напряжений.
В работе [1] при обосновании режимов «полной пластичности» для исследования методом линий скольжения технологических процессов осе-симметричного пластического течения и в результате установления численным методом границ пластической области, примыкающей к прямолинейной свободной границе, Р. Шилд показал, что такая область может быть схематизирована треугольным полем прямых линий скольжения (как при условиях плоского деформированного состояния) исключительно в
случаях, когда прямолинейная граница составляет угол ±90° с радиальной осью цилиндрической системы координат.
В работе [2] для расчета среднего напряжения при аналитическом описании полей линий скольжения, построенных в меридиональных сечениях деформируемых заготовок для моделирования осесимметричного пластического течения, получены интегральные соотношения, аналогичные соотношениям Генки в теории плоской деформации, но дополнительно учитывающие и частичное изменение среднего напряжения вдоль линий скольжения за счет различия радиальных и аксиальных координат исходной и конечной расчетных точек
о = о° - 2 • к • (ф° - ф) - к • о = о° + 2 • к • (ф° - ф) - к •
г°-Дт
г° + Дг Г° + Д2 V г° +Дг
1
вдоль а- линий;
вдоль / - линий,
(1)
(2)
где: о° и ф° - значения среднего напряжения в начальной (исходной) точке расчета; о и ф - соответствующие значения в конечной точке расчета; Дг = г -1° и Дг = г - г° - проекции вектора, соединяющего начальную и конечную точки расчета на линии скольжения; и г° - координаты точки,
1
имеющей минимальную радиальную координату в правосторонней системе координат; z и г - координаты другой точки линии скольжения. При расчете напряжений в правосторонней системе координат, начиная от исходной (начальной) точки с минимальным значениям радиальной координаты, ей принадлежат все расчетные данные с нижним индексом «0» - О),
(о, zo, Г). В противном случае, когда расчет производится от точки с большей радиальной координатой, ей принадлежат расчетные данные с индексом «0» только в первых двух слагаемых правых частей уравнений (3) и (4) - О) и (). Значения Zo и Г) по прежнему представляют собой координаты точки с наименьшим (из двух, участвующих в расчетах) значением радиальной координаты, и при этом требуется сменить на противоположный знак арифметического действия перед третьим слагаемым правой части.
Используем зависимости (1) и (2) для проверки порядка их применения и отмеченного ранее утверждения Р. Шилда (рис. 1).
Рис. 1. Треугольное поле прямых линий скольжения, примыкающее к прямолинейной свободной границе, перпендикулярной радиальной координате в правосторонней системе координат
Определение среднего напряжения в точке Б вдоль ЕБ (от исходной точки с меньшей радиальной координатой). Известными исходными данными являются: радиальная координата точек А и Е гА = Ге = г[, ZA = и длина свободной границы АЕ = I. Для начальной точки Е:
оЕ =о° = -к; гЕ = г1 = г°; гЕ = +1. Для точки Б : оБ = о; гБ = г1 + 21; 1,
гБ = + 21.
Проекции ЕБ на оси координат, как они определяются в общем виде для зависимостей (1) (2):
ДгЕБ = гб - ге = г1 + 21 - г1 = 21; ДгЕБ = гБ - гЕ = + 11 -( 21 +1 ) = - |1 .
Учитывая, что ЕБ является а- линией скольжения подставим полученные значения в (1). Поскольку линии скольжения в данной конструкции поля являются отрезками прямых, второе слагаемое правой части зависимости (1) обращается в ноль:
' 1 Л
о б = - к - к •
г1 -
-- I V 2
1
г + — I 12
1
= -к
(3)
J
Проверим сходимость результатов расчетом среднего напряжения о А при перемещении вдоль / - линии скольжения АБ от начальной точки расчета Б, имеющей большую радиальную координату [3]. Используем зависимость (2) со сменой арифметического знака действия перед третьим слагаемым правой части («-» изменяется на «+»). Скорректированные исходные данные в начальной точке Б : о б =о° =-к ; гб = г +—I;
2
гБ = г +11. Исходные данные в точке А: о а Проекции АБ на координатные оси:
гА = г1 = г°; гА =
1 1 1 1
дгаб = гб - га = г1 + ^1 - г1 = 21; ДгАБ = гБ - гА = + ^1 - 21 = 21.
Подставим полученные данные в (2), сменив знак третьего слагае-
мого
ол = - к + к •
V
1 .
г + — I 1 2 1 .
г +— I 12
= -к
(4)
J
Установленное единственно верное совпадение результатов в уравнениях (3) (4) подтверждает правильность применения зависимостей (1) и (2).
Выдвинем гипотезу о том, что для указанного частного варианта направления радиальной оси и оси симметрии поля линий скольжения все симметричные конструкции таких полей совпадают для плоскодеформи-
1
рованного и осесиммеричного состояний.
Рассмотрим процесс осадки гладкими плоскими бойками цилиндрического образца с вырезом на боковой поверхности, образующая которого выполнена в форме вогнутой дуги окружности (рис. 2). Конструкцию поля линий скольжения ABC построим по правилам, соответствующим условиям плоского пластического течения, а затем аналитически проверим выполнение краевых условий на свободной границе AB для условий осевой симметрии.
Рис. 2. Конструкция поля линий скольжения при осадке цилиндра с вырезом, образующая которого выполнена в форме вогнутой дуги
окружности
Поскольку свободная граница АВ является дугой окружности, то примыкающая к ней пластическая область, ограниченная АС и ВС, схематизируется внешними логарифмическими спиралями, радиусы кривизны которых являются экспоненциальными функциями радиуса Я0 (рис. 2).
Определим выражения радиусов кривизны граничных логарифмических спиралей. Угол поворота касательной к логарифмической спирали при перемещении от точки А к точке С равен половине центрального уг-
ла, стягивающего свободную круговую границу AB, т. е. равен d. Составим равенство, связывающее проекцию длины дуги AD на ось z, с проекцией длины логарифмической спирали AC (/- линия скольжения) на эту же ось. Следует учесть, что комбинация знаков радиусов кривизны характеристик в данном поле соответствует варианту 1 [2].
В качестве переменного углового параметра примем параметр h, соответствующий параметру для / - линия скольжения. Для возможности последующего приравнивания выражений подынтегральных функций необходимо, чтобы пределы интегрирования были одинаковыми. Интегрирование вдоль отрезка AD дуги окружности свободной границы целесообразно начинать от точки D . Тогда
d
DzAD = JR0 ■ cosh-dh. (5)
0
При интегрировании вдоль линии скольжения AC от 0 до d необходимо обеспечить соответствующее увеличение переменного углового параметра h, поэтому интегрирование следует начинать от точки A. Осевую проекцию AC можно записать в виде следующего интеграла
d ж dzac = J rac (h) ■ cos(- + d - h) ■ dh. (6)
0 4
Преобразуем тригонометрическую часть подынтегральной функции интеграла (6) к виду, позволяющему при переходе в операторную плоскость интегрального преобразования Лапласа - Карсона (операционного исчисления) использовать теорему о свертке [4]
ж
cos(^ + d- h) = cos
4 + (d-h)
i ■[ cos(d-h) - sin(d-h)] •
v2
Подставим полученное выражение в исходное уравнение (4), приравняем правые части зависимостей (5) и (6), затем переведем полученное уравнение в плоскость изображений d i d i d
JRo ■ cosh■ dh=■ JRac(h)■ cos(d-h)^dh—^■ JRac(h) sin(d-h)^dh ^
n V2 n v2 n
0 0 2 2
^Ro■ -■-= 4-■ -■ Rac(q)■-q---^■ -■ Rac(q)■ q
д д +1 72 д д +1 72 д д +1
^лс(д) = 72^0 • ^ • ехр]. д -1
Здесь: ^ и ^ - знаки прямого и обратного интегральных преобразований Лапласа - Карсона; д - изображение переменного углового параметра т] в
операторной плоскости; RAC (д) - общее изображение радиуса кривизны
Яас (л) граничной линии скольжения АС в операторной плоскости.
Окончательно для граничной /- линии скольжения АС с учетом знака радиуса кривизны, соответствующего комбинации 1 [2] этих знаков
Яас (л) = ->/2 • Я • ехрл.
Проведя аналогичные преобразования с граничной а- линией скольжения, можно получить
Явс (X) = -12 • Ко • ехрХ.
По аналогии с выражением (6) можно записать радиальную проекцию граничной линии скольжения АС
8
Аг
JrAC(h) • sin(p + S-h) • dh 0 4
ac
(7)
Преобразование тригонометрической части подынтегральной функции
sin(— + d - h) = sin
pp+(d-h)
1
—;= • [cos(d - h) + sin(d - h)]
v2
Подставим полученное выражение в (7) и проведем необходимые преобразования с применением математического аппарата операционного исчисления 8 р 1 8
|КАС(л) • зш(— + 8-л) • с1л = у]2 • я • |ехрл • [соб(8-л) + вт(8-л)] • с1л о 4 о
d
d
R0 • Jexph cos(d-h) • dh + R0 • Jexph sin(d-h) ■ dh
^ R
1 q
q
1 q
q
ü Ro •( expd- cosd).
Ч Ч - 1 ^ + 1 Ч Ч - 1 д1 + 1 Окончательно
Агас = Ко •(ехр8-соб8) .
Далее, в соответствии с работой [2], исходные данные для расчета среднего напряжения в точке С вдоль граничной 3- линии скольжения АС (учитывая, что расчет ведется от точки С с большей радиальной координатой) следует записать в виде: с = Го = о; 2с = = о; &с = °;
3
3
4
(pe =j = —p; га = r = Ro(expd-cosd); za = z = Ro • sind; j = jo = ~p-d;
sa = °o =-k. Проекции вектора AC на координатные оси:
Агас = га - re = Ro(expd-cosd)-o = Ro(expd-cosd);
Dz
ас
Za - Ze = Ro • sin d-o = Ro • sin d.
o
o
2
Поскольку AC - ¡3- линия скольжения подставим полученные исходные данные в зависимость (2)
0 + R0 ■ sin d
sc = - k + 2 • к •
VV
3 Л —p-5
4
3
—p
4
\ f + k •
У
V
0 + R (exp 5- cos 5)
-1
= -k
2 (1 -5) +
Ro • sin 5
(8)
exp 5- cos 5
Исходные данные для расчета среднего напряжения в точке C вдоль граничной а- линии скольжения BC (учитывая, что расчет ведется от точки C с большей радиальной координатой) следует записать в виде:
3
0:
c
zo =0; sc = s; je = j=гв
3
zb = z = -Ro • sind; jb = jo = 4^ + d; °b
r = Ro (exp 5- cos 5); к. Проекции вектора BC
на координатные оси:
Агве = Гв -e = Ro(expd-cosd)-o = Ro(exp5-cosd);
Az
bc
z
b
z,
c
Ro • sin 5-o = -R • sin 5.
o
Поскольку ВС - а- линия скольжения подставим полученные исходные данные в зависимость (1)
ff
Se = - к - 2 • к •
W
3 Я
-p + 5
4
3
■—p
4
л г + к •
V
o -(-Ro • sin5) o + Ro (exp 5- cos 5)
1
= -2к - 2 • к-5 + к •
= -к
sin 5
vexp 5- cos 5 2 (1 -5) +
= -к
sin5
2 (1 -5) +
sin5
exp5 -cos5
(9)
exp 5- cos 5
Равенство значений среднего напряжения в точке C, полученных по двум указанным траекториям расчета (8) и (9), позволяет утверждать следующее.
Симметричные поля линий скольжения со свободной границей, построенные для условий плоской деформации, по конструкции будут справедливы и для процессов осесимметричного пластического течения в случаях, когда их ось симметрии, в том числе и ось симметрии свободной границы, совпадают с радиальной осью цилиндрической системы координат. При этом распределение средних напряжений в пластических областях, схематизированных указанными полями, будет различаться при условиях плоской деформации и при осесимметричном пластическом течении.
Список литературы
r
o
у
1. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой
72
симметрии // Сб. переводов «Механика». М.: ИИЛ, 1957. № 1. С. 102-122.
2.Панфилов Г.В., Недошивин С.В. Построение методом линий скольжения полей, примыкающих к прямолинейным свободным границам, в задачах осевой симметрии // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ. 2014. С. 107-117.
3. Панфилов Г.В., Недошивин С.В., Гаврилин И. А. Аналитический расчет напряжений в полях линий скольжения, моделирующих процессы осесимметричного деформирования // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 12. Тула: Изд-во ТулГУ. 2014. С. 107-117.
4. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.
Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE FIELD OF LINES OF SLIDING A T THE CYLINDER DEPOSIT WITH CUT
G. V. Panfilov
The analytical description of fields of lines of sliding checked correctness of use of the integrated ratios allowing to count analytically distribution of average tension in plastic areas at axisymmetric deformation. Conditions under which designs of fields of lines of sliding become completely identical at flat and axisymmetric plastic currents are established.
Key words: axisymmetric plastic current, analytical method of lines of sliding, calculation of average tension.
Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical science, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
