CC BY
34
УДК 539. 374
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ПРОЦЕССАХ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
Г.В. Панфилов, С.В. Недошивин, В. А. Сухонин
Установлены технологические режимы осесимметричного пластического течения на основе условия полной пластичности. Теоретически обоснованы для основных режимов дифференциальные уравнения, позволяющие численно рассчитывать средние напряжения вдоль линий скольжения.
Ключевые слова: осесимметричная деформация, аналитический метод линий скольжения, операционное исчисление, технологические режимы условия полной пластичности.
Исследование процессов осесимметричного пластического течения деформируемого материала методом линий скольжения возможно лишь при использовании условия пластичности Сен-Венана - Треска [1] с гипотезой Хаара и Кармана [2], в соответствии с которой при пластической деформации окружное напряжение sq равно одному из главных напряжений в меридиональной плоскости и два главных напряжения равны между собой (рис. 1).
Рис. 1. Сечение призмы Треска плоскостью 03 = сотг
(стрелками показаны возможные направления вектора скорости деформации с проекциями ^, 82, £3)
В такой постановке осесимметричная задача идеальной пластичности является статически определимой и гиперболической. Это состояние называют условием полной пластичности.
В работе [3] исследованы возможные варианты пластических состояний, соответствующие граням или ребрам призмы Треска, и выделены приоритетные для реальных осесимметричных задач состояния (ребра, рис. 1) « А» и «В», которым соответствуют полностью статически определимые или кинематически определимые поля линий скольжения. Для указанных режимов осесимметричного пластического течения получен ряд численных решений технологических задач обработки металлов давлением
[3, 4].
1. Режим «А» осесимметричного пластического течения
Режим «А» соответствуют состоянию «полной пластичности», когда 09 равно одному из главных напряжений, в данном случае 09 = 02.
Ограничения, накладываемые на данный режим пластического течения, требуют, чтобы радиальная составляющая скорости должна быть отрицательна, т. е. уг < 0. Условие пластичности записывается в виде
01 - 02 = 2к.
Режим «А» пластического течения, в частности, возникает на боковой поверхности растягиваемого цилиндрического образца [3] (рис. 2).
'1 1 /
а
{'А* V£2 \
а3=ав (х
0 Т
Рис. 2. Схема краевых условий при растяжении цилиндрического образца: 01 -02 = 2 • к ; 09=03 = 02. 01 = о2 ; 02 = ог . \г < 0; 09 < 0. Среднее напряжение на свободной границе 0 = к. Режим «А» пластического течения
Таким образом, выбор пластического режима для ребра «А» или « В» определяется знаком радиальной скорости течения, который обычно известен до решения конкретной задачи. Например, в осесимметричных
104
процессах прессования, волочения, редуцирования уг < 0, т. е. течение направлено к оси симметрии; в процессах осесимметричной осадки или прошивки
уг > 0, т. е. течение направлено от оси симметрии.
Таким образом, условие полной пластичности для главных напряжений О}, 0 2 (в плоскости г, 2) и 03 =О0 (по направлению 0) в современной постановке для большинства технологических операций можно определить соотношениями:
О}-О2 = 2 • к, 00=03 =о2 при уг <0 (ребро « А»);
01 -02 = 2 • к, 00=03 =0} при уг >0 (ребро «В»),
где уг - радиальная скорость течения.
2. Режим «В» осесимметричного пластического течения
Режим «В» соответствует состоянию полной пластичности, когда 00 равно одному из главных напряжений; в данном случае 00 = 0}. Условие пластичности аналогично режиму «А» 0} - 02 = 2к.
Ограничения, соответствующие данному режиму, 82 < 0 и 83 > 0 требуют, чтобы уг > 0.
Таким образом, данный режим соответствует кинематике течения деформируемого материала, при которой радиальная составляющая скорости положительна. В частности, режим «В» пластического течения при условии полной пластичности реализуется на свободной прямолинейной границе в задаче о вдавливании плоского осесимметричного штампа в полупространство (рис. 3).
'1 \ \ЩА а
/ / / / / ь 7' ////// //ЪС / г
Рис. 3. Схема краевых условий при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в полубесконечное пространство: 0}-02 = 2 • к ; 00=03 =0}. 0} = 02 ; 02 = 0Г . уг > 0. Окружные напряжения растягивающие 00 > 0. Режим «В» пластического течения !05
Пластическое течение, соответствующее ребру «В» призмы Сен-Венана - Треска реализуется также на боковой поверхности цилиндрического образца при его осевой осадке [3] (рис. 4).
Рис. 4. Схема краевых условий при осевой осадке цилиндрического
образца: Oí-02 = 2 • k ; oq = 03 = 01. 01 = or ; 02 = 0z. vr > 0.
Окружные напряжения растягивающие oq > 0. Среднее напряжение на свободной границе о = -k. Режим «В» пластического течения
Вывод дифференциальных уравнений для численного расчета средних напряжений вдоль линий скольжения
1. Режим «В» осесимметричного пластического течения
В работе [3] установлены дифференциальные следующие соотношения между средним напряжением и характеристическим углом вдоль линий скольжения для режима «В» осесимметричного пластического течения:
k
d о-2k • d ф =—(sin ф + cos ф) dSa вдоль a -линий скольжения; (1) r
k
dо + 2k • dф = — (sin ф + cos ф) dSa вдоль b -линий скольжения. (2)
r
Пусть для некоторой точки пластической области, через которую в бесконечно малой ее окрестности проходят приращения прямых линий скольжения dSa и dSp режим «В» пластического течения характеризуется
следующей схемой (рис. 5).
Рис. 5. Схема режима «В» в окрестностях произвольной точки
пластической области
Проекции приращения длины dSa на координатные оси
dr = dSa • cos j ; dz = dSa • sin j. (3)
Проекции приращения длины dSß на координатные оси
-dr = dSß • sin j ; dz = dSß • cos j. (4)
Подстановкой (3) в (1) и (4) в (2) получим в дифференциальной форме соотношения для численного расчета средних напряжений вдоль линий скольжения для режима «В» осесимметричного пластического течения:
k
d g- 2k • d j =—( dr + dz ) вдоль a -линий; (5)
r k
d g + 2k • d j = —( dr - dz ) вдоль ß -линий. (6)
r
2. Режим «А» осесимметричного пластического течения
Такие же соотношения для режима «А» определяются аналогично. Проекции приращения длины линии скольжения dSa на координатные оси (рис. 6)
-dr = dSa • sin j' ; dz = dSa • cos j', (7)
где j - значение вспомогательного угла, меньшего p/2 . Проекции dSß на координатные оси
dr = dSß • cos j ; dz = dSß • sin j, (8)
Представим характеристический угол для режима «А» через вспо-/
могательный угол ф :
j( A)=p+j( B )=p+ ф.
(9)
Далее можно установить следующие тождественные соотношения по формулам приведения
( ТГ Л
—+ ф
V 2 У
sin ф( A) cos ф( A) = cos
sin
с
p , /
—+ Ф V 2
cos ф' = cos (B), -sin ф' = - sin ф( B).
(10) (11)
Рис. 6. Схема режима «В» в окрестностях произвольной точки
пластической области
Произведя в уравнениях (1) и (2) соответствующие замены (sin ф) на (- cos ф) и (cos ф) на (sin ф), получим дифференциальные соотношения для режима «А» осесимметричного пластического течения, аналогичные (1) и (2):
k
d о- 2k • d ф =—(sin ф- cos ф) dSa;
k
d о + 2k • d ф = —(sin ф-cos ф) dSp.
(12) (13)
Соотношения (7) выразим через характеристический угол (10), соответствующий режиму пластического течения «А»:
-dr = dSa • sin ф' = dSa (-cos ф) = -dSa • cos ф; dz = dSa • cos ф' = dSa • sin ф. Окончательно приращения проекций на координатные оси вдоль a-линий скольжения в режиме «А» осесимметричного пластического течения
dr = dSa • cos ф; dz = dSa • sin ф. (14)
Подставляя соотношения (14) в (12), получим
к
d о- 2к • d j = -(-dr + dz) вдоль a-линий в режиме «А». (15) r
Аналогично продолжим преобразование соотношений (8): dr = dSp • cos ф' = dSp • sin ф;
dz = dSp • sinф' = dSp • (-cosф) = -dSp • cosф.
Окончательно проекции на координатные оси приращения длины p -линии скольжения в режиме «А» осесимметричного пластического течения
dr = dSp • sin ф; dz = dSp • cos ф. (16)
Подставляя (16) в соотношение (13), получим дифференциальное уравнение для численных расчетов среднего напряжения вдоль p -линий
скольжения в режиме «А» осесимметричного пластического течения
к
dо + 2к • dф = —(dr + dz). (17)
r
Объединяя зависимости (5) и (15), а также (6) и (17), получим обобщенные зависимости для численного расчета средних напряжений
вдоль линий скольжения через проекции на координатные оси:
к
d о- 2к • d ф =—(+dr + dz) вдоль a-линий; (18)
r к
dо + 2к • dф = — (+dr - dz) вдоль p -линий. (19)
r
Составляющие напряжения в точке поля линий скольжения
Установим зависимости для определения составляющих напряжения в пластической области. Компоненты напряжения в любой точке поля линий скольжения, схематизирующего осесимметричное пластическое течение, в цилиндрической системе координат для режима «В» полной пластичности приведены, в частности, в работе [3]:
or = о - к • sin 2ф; оz = о + к • sin2ф;
^ для режима «В». (20)
trz = к • cos 2ф; о0 = о + к
Для установления аналогичных соотношений для режима «А», как и ранее, обозначим характеристический угол режима «В» через ф'. Тогда характеристический угол режима «А» (9) представляется тригонометрическими функциями в формулах (10) и (11). Подставляя эти значения в (20), получим
Для проверки правильности полученных зависимостей подставим их в известные выражения для определения главных напряжений при условии полной пластичности, когда 09 = 03, 01 и 03 - главные напряжения
в плоскости ( г , г) и 01 >02:
После подстановки трех первых уравнений системы (21) в уравнения (22) получаем 01 = 0 + к; 02 = 0- к. Поскольку 00 = 02 = 03, то соотношения (21) действительно удовлетворяют режиму А.
1. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел. Некоторые приложения. Теория пластичности: Сб. переводов. М.: ИИЛ, 1948. С. 24 - 33.
2. Хаар А., Карман Т. К. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности: Сб. переводов. М.: ИИЛ, 1948. С. 41 - 56.
3. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Механика: Сб. переводов. 1957. № 1. С. 102 - 122.
4. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М. : Машиностроение, 1990. 272 с.
Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., tulpan.2000@ya.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Недошивин Сергей Владимирович, увнд. техн. наук, доц., archon80@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
0Г =0 + к • соб2ф; 0г = 0- к • соб2ф;
= к • Бт 2ф; 00 = 0 - к
> для режима «А».
(21)
(22)
Список литературы
Сухонин Владимир Александрович, нач. группы управления агропроектами, Su-honin@baltika.com, Россия, Тула, ООО «Пивоваренная компания «Балтика»
ANALYSIS OF STRESS STA TE IN THE PROCESS OF AXISYMMETRIC PLASTIC FLOW
G. V. Panfilov, S. V. Nedoshivin, V.A. Suhonin
Technological regimes established axisymmetric plastic flow based on the conditions offull plasticity. Theoretically justified for major modes differential equations to numerically calculate the average pressure along the slip lines.
Key words: axisymmetric deformation, analytical method of slip lines, operational calculus, technological modes of the full terms of plasticity.
Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, tulpan.2000@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State Uuniversity,
Nedoshivin Sergey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, arc-hon80@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Suhonin Vladimir Aleksandrovich, Suhonin@baltika. com, head of agro-management group, Russia, Tula, LLC "Brewery "Baltic"
УДК 621.983; 539.374
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ВЫТЯЖКИ КОРОБЧАТЫХ ДЕТАЛЕЙ ПО СХЕМЕ «ОВАЛ - ПРЯМОУГОЛЬНИК»
ИЗ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А.Н. Малышев
Приведена математическая модель операции вытяжки без утонения стенки коробчатых деталей по схеме «овал-прямоугольник» из трансверсально-изотропных материалов. Листовой материал изотропно урпочняется. Расчет силовых режимов операции вытяжки без утонения стенки выполнен на основе экстремальной верхнеграничной теоремы.
Ключевые слова: анизотропия, вытяжка, заготовка, коробка, напряжение, деформация, сила, мощность, упрочнение.
В различных отраслях машиностроения широкое распространение нашли полые изделия различной конфигурации (цилиндрического, квадратного и прямоугольного поперечных сечений), изготавливаемые методами глубокой вытяжки [1 - 4].
