Условие полной пластичности в осесимметричных задачах теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

A.Chernyaev

The theoretical investigations of the hot upsetting offlange thickening on pipeline’s

fitting

The equations for upper limit calculations of pressure and damageability in the upsetting process in viscoplastial conditions for axisymmetric and plane deformation are introduced. The theoretical investigations of influence of instrument’s speed and task tool and billet contact surfaces tribological conditions on hot upsetting of flange thickening on pipeline ’s fitting force parameters and materials damageability were established.

Keywords: upsetting, viscosity, high-strength materials, kinematics, pressure, temperature, damageability, speed.

Получено 07.04.10

УДК 539.374

Р.Г. Панфилов, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82,

Archon80@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

Р.А. Парамонов, инж., (4872) 23-32-71, eto1271@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

Е.Ю. Хвостов, инж., (4872) 35-14-82, evgenius-13 @ya.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

УСЛОВИЕ ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Обосновано применение условия полной пластичности, реализующееся при использовании условия пластичности Сен-Венана - Треска с гипотезой Хаара - Кармана, для решения осесимметричных задач теории пластичности методом линий скольжения и получены обобщенные соотношения расчета средних напряжений вдоль линий скольжения.

Ключевые слова: осесимметричная деформация, полная пластичность, линии скольжения, среднее напряжение.

При сдвиговом механизме осесимметричная пластическая деформация возможна только при сдвигах на двух ортогональных плоскостях скольжения, касательных к направлениям максимальных касательных напряжений и направленных по биссектрисам углов между направлениями главных напряжений. Это состояние называют условием полной пластичности. Оно базируется на условии пластичности Сен-Венана - Треска [1] и гипотезе Хаара и Кармана [2], в соответствии с которым при пластической деформации окружное напряжение gq равно одному из главных напряжений в меридиональной плоскости и два главных напряжения равны между собой. В такой постановке осесимметричная задача идеальной пластичности является статически определимой и гиперболической.

Математически эта гипотеза приводит к исключению окружного напряжения gq из соотношений, определяющих характер изменения

среднего напряжения вдоль линий скольжения. Физически это логично, поскольку, несмотря на трехмерный характер деформации, трудно представить, что в различных меридиональных сечениях возможно различное напряженное и деформированное состояния. При использовании условия текучести Г убера - Мизеса уравнения осесимметричной задачи оказываются эллиптическими, что вследствие их нелинейности создает большие затруднения при вычислениях и делает неприемлемым использование метода линий скольжения.

Р.Т. Шилд [2, 3] подробно проанализировал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара - Кармана, исследовав возможные варианты пластических состояний, соответствующие граням или ребрам призмы Треска. Им выделены приоритетные для реальных осесимметричных задач состояния, которым соответствуют полностью статически определимые или кинематически определимые поля линий скольжения, а также получен ряд численных решений задач в этой постановке. После этой работы соотношения осесимметричной задачи, соответствующие ребру призмы Треска (условию полной пластичности), благодаря последовательному применению ассоциированного закона течения приняли законченный вид и могут быть использованы для решения широкого круга задач.

Согласно ассоциированному закону пластического течения скорости деформации пропорциональны производным по напряжениям от функции текучести. Для точек, лежащих на гладких частях поверхности текучести,

дФ

8у = V----при Ф = 0, Ф = 0, (1)

дау

где V' - неотрицательный неопределенный множитель.

Фундаментальные работы А.А. Ильюшина [4], А.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева [5], Б.А. Друянова и Р.И. Непершина [6] окончательно обосновали использование условия полной пластичности для анализа осесимметричных и объемных задач пластического течения. Сечение призмы Треска плоскостью, перпендикулярной к оси вз и расположенной на расстоянии аз от начала координат, представлено на рис. 1. Точки шестиугольника ЛБСБ'Л'Б представляют все возможные поля напряжений с максимальным касательным напряжением к.

Согласно критерию Треска - Сен-Венана пластическое течение может возникнуть только при постоянном поле напряжений, представленном какой-либо точкой на шестиугольнике (см. рис. 1). Изотропия материала требует, чтобы главные оси скорости деформации совпадали с главными осями напряжений. Тогда скорость деформации будет представлена в пространстве главных напряжений вектором, направляющие косинусы которого пропорциональны 81,82,83. Допущение об идеальной пластичности

требует, чтобы вектор, характеризующий пластическое течение, происходящее при поле напряжений, представленном точкой на поверхности шестигранной призмы, был ортогонален к поверхности призмы в этой точке. Это приводит к условию несжимаемости

є1 + є 2 + є3 = (2)

так как ось призмы перпендикулярна плоскости а + ^2 + аз = 0. Проекция вектора скорости деформации на плоскость рис. 1 имеет направляющие косинусы, пропорциональные єі, є2. Эта проекция будет ортогональна к сторонам шестиугольника для тех точек, которые не совпадают с вершинами. В вершинах, например, в точке А на рис. 1, данный вектор скорости деформации имеет не единственное направление, но он должен лежать между нормалями к двум сторонам, пересекающимся в вершине. Скорость пластической деформации с точностью до произвольного положительного коэффициента пропорциональности определится проекцией вектора на плоскость рис. 1, так как этого требует условие несжимаемости.

Рис. 1. Сечение призмы Треска плоскостью аз = соnst (стрелками показаны возможные направления вектора скорости деформации с проекциями єі, є2, єз)

При использовании критерия пластичности Треска - Сен-Венана возможны только два типа пластического течения: когда точки, представляющие поле напряжений, лежат на сторонах шестиугольника либо когда эти точки совпадают с вершинами. На плоских участках поверхности текучести Треска - Сен-Венана (см. рис. 1) вектор скоростей деформаций є сохраняет постоянное направление [2, 3], поэтому пластические режимы течения на гранях призмы Треска накладывают значительные кинематические ограничения на поле скоростей.

Наибольшая свобода пластического течения получается для ребер А и В, так как вектор скоростей деформаций здесь может принимать лю-

121

бое направление в пределах угла между нормалями к смежным граням, пересечение которых образует ребра (варианты условия «полной пластичности»). В этом случае окружное напряжение ад равно одному из главных

напряжений в плоскости (г, г), а максимальное касательное напряжение в этой плоскости имеет значение к. При этом реализуется критерий «полной пластичности», предложенный Хааром и Карманом, рассмотренный ранее. Вместе с двумя уравнениями равновесия указанный критерий дает четыре уравнения для определения четырех составляющих напряжения, и пластическое поле является статически определимым. Уравнения являются гиперболическими и позволяют использовать для нахождения распределения напряжений в пластической области и на его границах метод линий скольжения.

Как и в задачах плоской теории пластичности линии скольжения, являющиеся линиями максимального касательного напряжения в плоскости (г, г), используются в качестве ортогональной системы криволинейных координат. Как и ранее, будем называть линии скольжения а - и в -линиями, считая, что направление алгебраически большего главного на-

пряжения а получается из направления а -линии вращением на угол — в направлении от оси г к оси г (рис. 2).

Рис. 2. Линии скольжения в меридиональной плоскости

На элементы поверхности, ортогональные к а - и в -линиям, действуют касательные напряжения к и нормальное напряжение

Заметим, что напряжение а отлично от среднего давления, его можно считать условно-средним напряжением, полученным из двух главных напряжений, действующих в меридиональной плоскости.

122

а

О

г

(3)

Режим В. Совместное решение дифференциальных уравнений равновесия, условия пластичности ai - a2 = 2k и условия режима ag = ai приводит к статически определимым гиперболическим уравнениям для условно среднего напряжения а и характеристического угла ф, которые совпадают с линиями скольжения:

dz ,

—=tgф для а-линий;

dr (4)

dz

—=- ctgф для р - линий, dr

где ф - характеристический угол наклона а -линии скольжения к радиальной координате r.

Очевидно, что правила построения полей линий скольжения в меридиональных плоскостях осесимметричных задач в основном не отличаются от соответствующих правил построения полей в задачах плоской теории пластичности.

Характеристические дифференциальные соотношения вдоль линий скольжения

k

da-2 • k • dф =—(sinф+ cosф) • dsa вдоль а - линий;

r

(режим В) (5)

k

da+2 • k • dф = — (sin ф + cos ф) • dsn вдоль в - линий, r

где dsa и dsp - элементы длины а - и в -линий.

Компоненты напряжений в цилиндрической системе координат для осесимметричного деформирования, отнесенные к линиям скольжения как ортогональной криволинейной системе координат, можно записать в виде

ar = a - k • sin2ф; az = a + k • sin2ф;

Trz = k • cos2ф; ag=a + k (режим В). (6)

Составляющие скорости vr и vz определяются из условия несжимаемости и условия изотропии

dvr + dvz

dz dr

dvr dvz

ctg 2ф. (7)

dr dz

Ограничения s2 ^ 0 и S3 > 0, соответствующие данному режиму, требуют, чтобы

vr > 0,

dvr dvz ^2 (dvr dv л2 "2

dr dz

+

У

rz

V

dz dr

> v*, (8)

r2

Таким образом, данный режим соответствует кинематике течения деформируемого материала, при которой радиальная составляющая скорости положительна.

Режим А. Режим А также соответствуют состоянию «полной пластичности», когда ag равно одному из главных напряжений, в данном случае ag = a2. Условие пластичностиai - a2 = 2k аналогично режиму В.

Соотношения между средним напряжением и характеристическим углом для режима А пластического течения

da - 2k • dф = — (sin ф - cos ф)- dsa вдоль а - линий; r

(режим А) (9)

k

da + 2k • dф = —(sin ф - cos ф^ dse вдоль в - линий. r

Уравнения линий скольжения для режима А пластического течения идентичны соответствующим уравнениям для режима В и находятся по зависимостям (4).

Соотношения, аналогичные (6), для режима А:

ar = a + k • cos2ф;az = a - k • cos2ф; тrz = k • sin2ф;ag=a-k (режим А). (10)

Ограничения, накладываемые на режим пластического течения, требуют, чтобы радиальная составляющая скорости была отрицательная

vr <0. (11)

В связи с изложенным многие процессы обработки металлов давлением, протекающие в условиях осевой симметрии, могут быть обоснованно проанализированы методом линий скольжения при использовании ре-

жима «полной пластичности» (ребра или режимы А и В), прикладываемого локально в характерных участках рассматриваемой пластической области.

Выбор пластического режима (ребра) A или B определяется знаком радиальной скорости течения, который обычно известен до решения конкретной задачи. Например, в осесимметричных процессах прессования, волочения, редуцирования vr < 0 , т. е. течение направлено к оси симметрии; в процессах осесимметричной осадки или прошивки vr > 0, т. е. течение направлено от оси симметрии.

Таким образом, условие полной пластичности для главных напряжений a1, a2 (в плоскости r, z) и a3 =ag (по направлению 0) в современной постановке для большинства технологических операций можно определить соотношениями:

a1 -a 2 = 2 • k , ag=a3 =a 2 при vr < 0 (ребро или режим A); (12)

a1 -a 2 = 2 • k , ag=a3 =a1 при vr > 0 (ребро или режим B), (13)

где vr - радиальная скорость течения.

Обобщая полученные ранее зависимости для указанных режимов, из соотношений (5) и (9) можно записать характеристические дифференциальные соотношения вдоль линий скольжения, удобные для аналитических расчетов:

где верхние знаки в круглых скобках относятся к ребру (режиму) А призмы Треска ( уг < 0), а нижние - к ребру (режиму) В (ут > 0).

В отличие от соотношений Г енки для плоской деформации данные соотношения неоднородны, их правые части зависят от радиальных координат, которые определяются уравнениями линий скольжения (4). Поэтому уравнения (14) аналитически проинтегрировать и найти зависимости между средним напряжением и характеристическим углом вдоль линий скольжения проблематично.

Итерационный механизм численного решения этой системы уравнений и соответствующего построения полей линий скольжения приведен в работах [5, 6].

Следует отметить, что при стремлении радиальной координаты т к бесконечности характеристические соотношения системы (14) переходят в соответствующие соотношения Генки для плоского пластического течения. На этом свойстве основаны приближенные методы решения некоторых задач осесимметричного течения с использованием теории плоской деформации, например, при пластическом деформировании тонкостенных труб большого диаметра, в которых область пластического течения удалена от оси симметрии и отличие плоского течения от осесимметричного мало.

Поскольку конструкции полей линий скольжения в меридиональных плоскостях осесимметричных задач, за исключением пластических участков, примыкающих к свободным границам, соответствуют аналогичным полям в задачах плоской теории пластичности, представляется возможным разработать более точный аналитический метод оценки распределения напряжений и вычисления силовых параметров.

Представим в зависимостях (14) текущую радиальную координату как т = го + йт, где то - начальная радиальная координата интегрирования вдоль любой линии скольжения в поле. Приращения длин линий скольжения, умноженные на тригонометрические функции характеристического угла, можно записать так:

da - 2k • dф = k (sin ф + cos ф) • dsa вдоль а - линий;

k

da + 2k • dф = — (sin ф + cos ф) • dsn вдоль в - линий, r

Тогда зависимости (5) предстанут в виде

da-2 • k • dф =

k •(sinф + cos ф^^(ф^dф

вдоль a -линий, (15)

ro + Rafa)^ cos ф • dф где ro - радиальная координата от оси симметрии до начала текущего приращения длины линии скольжения;

k •(sinф + cos ф)• ^р(ф)^dф

da + 2 • k • dф

вдоль в -линий, (16)

г0 + ^р(ф)'cos Ф ■ ^Ф где верхние знаки при cos ф числителя относятся к ребру А призмы Треска (vr < 0), а нижние - к ребру B (vr > 0).

Если в выражениях (15) и (16) разделить переменные и проинтегрировать вдоль искомой линии скольжения, то получим

.к '(sinф+cos ф)'Яа(ф)-dф

а-2 • k • ф = j-

а+2 • k • ф = j

ro + Rafa)^ cos ф • dф k •(sinф+cos ф)• ^р(ф)^dф ro + Rp (ф) • cos ф • dф

вдоль a -линий;

(17)

вдоль p -линий (18)

или для двух фиксированных точек линий скольжения, одна из которых совпадает с началом линии скольжения (минимальная радиальная координата), а другая - любая текущая или конечная,

a =ao + 2 • k ^^o) + k'

a =a o - 2 • k ^^o) + k •

ф

j Ra (ф) •sin ф-dФ± ro

_______________________

ф

ro + j Ra (ф) • cos ф^ dф

Фo

ф

j Rp (ф) • sin ф • dф ± ro

9o______________________

ф

т 1

вдоль a -линий; (19)

T1

вдоль p -линий, (2o)

Го + jЯр(ф)'cos ф'dф

фо

где также верхние знаки при cos ф числителя относятся к ребру А призмы Треска (vr < 0), а нижние - к ребру B (vr > 0).

Анализ соотношений (19), (20) показывает, что при значительном удалении исследуемого пластического участка от оси симметрии ( Го ^ да) они, действительно, принимают вид, соответствующий плоскому деформированному состоянию. Таким образом, в общем виде получены характеристические соотношения между условно-средним напряжением и характеристическим углом вдоль линий скольжения, аналогичные интегралам Г енки для плоской задачи идеального пластического течения.

Список литературы

1. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел // Теория пластичности. М.: ИИЛ, 1948. С. 24 - 33.

2. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии // Механика. М.: ИИЛ, 1957. № 1. С. 102 -122.

3. Шилд Р. Пластическое течение металлов в сходящемся коническом канале // Механика. М.: ИИЛ, 1956. № 3. С. 140 - 150.

4. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 6. С. 693 - 713.

5. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 704 с.

6. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. 272 с.

R.Panfilov, R. Paramonov, E. Hvostov

Condition offull plasticity in axisymmetric tasks of the theory ofplasticity

Application of a condition of the full plasticity, realized at use of a condition ofplas-ticity Saint-Venant - Tresca with hypothesis of Haar - Karman, is proved for the solution of axisymmetric tasks of the theory ofplasticity by the method of lines of a slip and the generalized relationships of calculation of average pressure along lines of a slip are received.

Keywords: osesymmetrical the deformation, full plasticity, sliding lines, average pressure.

Получено 07.04.10

УДК 621.983:539.974

А.В. Черняев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.А. Пасынков, асп. (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ ПРЯМОГО ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЫДАВЛИВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТРУБОПРОВОДОВ

Приведены математические модели горячего выдавливания втулок с фланцами в условиях осесимметричного и плоского деформирования. Установлено влияние степени деформации, геометрических параметров инструмента, условий трения и скорости перемещения пуансона на относительное давление операции и повреждаемость материала при прямом изотермическом выдавливании трубных заготовок.

Ключевые слова: прямое выдавливание, давление, поле скоростей, осесимметричное и плоское напряженное и деформированное состояния, повреждаемость.

Космические летательные аппараты и связанное с ними наземное оборудование имеют сложную систему гидротрубопроводов. Высокие