CC BY
240
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 51-60
Математика
УДК 539.374
Применение интегрального преобразования Лапласа-Карсона для решения краевых задач математической физики
Г.В. Панфилов, С.В. Недошивин, Е.Ю. Хвостов
Аннотация. Обоснована целесообразность применения интегрального преобразования Лапласа-Карсона для преодоления математических трудностей при аналитическом решении краевых задач математической физики. Приведены примеры расчетов для задач, описываемых телеграфным уравнением.
Ключевые слова : краевые задачи, аналитическое решение, характеристики, операционное исчисление.
Математические модели многих физических явлений наиболее полно описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнений математической физики. Наиболее важными и хорошо изученными являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Многие краевые задачи теории пластичности, газовой динамики, статики сыпучей среды и других разделов механики описываются линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными и постоянными коэффициентами [1], называемым телеграфным уравнением [2, 3]. Оно имеет вид
где f — искомая функция; а, в — переменные угловые параметры Михлина-Христиановича, характеризующие положение точки в исследуемой области.
Дифференциальное уравнение (1) приводится к системе двух уравнений с частными производными первого порядка
Ша'13)+ А(а,Д = 0. (2)
да
дМа,Р)
д/З
- 1г(а,в) = 0. (2)
В зависимости от способа задания граничных условий для гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными могут быть поставлены следующие краевые задачи: начальная
характеристическая задача (задача Римана, задача Гурса), задача Коши и смешанная краевая задача. Для сложных полей линий скольжения используют метод интегральных преобразований, в частности, преобразование Лапласа или его разновидность — преобразование Лапласа-Карсона [4], лежащие в основе так называемого операционного (символического) исчисления. Это преобразование связывает однозначную функцию 7 (р) комплексной переменной р (изображение) с соответствующей функцией 7 (а) действительной переменной а (оригинал). Таким образом, одномерное представление интеграла Лапласа имеет вид
СО
7(Р) ^ У е~ра ■ 7(а) ■ йа, (4)
о
где 7 (а) — преобразуемая по Лапласу действительная функция
действительного аргумента а; функция 7 (р) — преобразование или
трансформация по Лапласу функции 7(а); р = х + гу — комплексное число (параметр).
В двумерном представлении оно связывает однозначную функцию 7 (Р, 0) комплексных переменных р и д (изображение) с соответствующей функцией 7(а, в) действительных переменных а и в (оригинал).
Двумерное представление интеграла Лапласа имеет вид
СО СО
7(р, 0) ^ J J в-ра-д13 ■ 7(а, в) ■ йа ■ йв, (5)
оо
где а, в — действительные аргументы; р = х + гу, д = т + гп — комплексные параметры.
В дальнейшем будет рассматриваться только одна из разновидностей преобразования Лапласа — преобразование Лапласа-Карсона, интегралы которого в одномерном и двумерном представлении имеют вид соответственно
СО
7(р) ^ р ■ ! е~ра ■ 7(а) ■ йа, (6)
о
СО СО
7(р,д) ^ р ■ д ! J в-ра-д13 ■ 7(а, в) ■ йа ■ йв. (7)
оо
Здесь и далее используются знаки (символы): ^ прямого и ^ обратного интегральных преобразований Лапласа-Карсона.
Функции, с которыми приходится иметь дело инженеру, являются, как правило, решениями функциональных уравнений — дифференциальных, разностных и интегральных, следовательно, над этими функциями должны производиться определенные операции, такие, как дифференцирование, составление разностей, интегрирование. Подлинное значение преобразования Лапласа заключается в том, что оно имеет характер отображения, заменяющего функции из пространства оригиналов и производимые здесь над ними операции функциями и операциями в пространстве изображений, в котором и отображение функций, и выполняемые над ними операции значительно проще и нагляднее. Это приводит к тому, что изображения указанных функциональных уравнений также получаются более простыми, чем исходные уравнения в пространстве оригиналов, и решаются эти отображенные уравнения значительно проще. Также весьма важно, что в плоскости изображений с операторами дифференцирования и интегрирования можно манипулировать, как с простыми алгебраическими выражениями, производя простые арифметические действия. Важной прикладной частью преобразований Лапласа или Лапласа-Карсона является наличие хорошо развитых таблиц соответствия оригиналов и изображений, по которым определяют искомые составляющие из пар 7(а) и 7(р).
Например, система гиперболических квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка относительно неизвестных — среднего напряжения и характеристического угла, получаемая при совместном решении дифференциальных уравнений равновесия и условия пластичности Губера-Мизеса, представленных для условий двумерной (плоской) деформации, описывает два семейства ортогональных характеристик. Уравнения этих характеристик совпадают с уравнениями физических линий скольжения, наблюдаемых на поверхностях заготовок при деформировании реальных металлов и сплавов, представляющих собой линии (следы поверхностей) действия максимальных касательных напряжений, вдоль которых происходит интенсивное скольжение одних тонких слоев материала относительно других. В связи с изложенным, различные конструкции полей линий скольжения, построенные по соответствующим правилам, удобно использовать для схематизации и описания пластических областей при анализе различных технологических операций обработки металлов давлением.
Особую значимость имеет знание величины радиусов кривизны в любой точке пластической области. Это позволит интегрированием вдоль граничных линий скольжения определять геометрические размеры пластической области, распределение напряжений, контактные давления и интегральные значения технологической силы. При рассмотрении начальной характеристической задачи возможны четыре варианта комбинаций знаков радиусов кривизны линий скольжения (рис. 1) [5, 6].
Введем £ = |а| > 0 и п = \в| > 0 — криволинейные параметры, связанные с начальными характеристиками £о = |ао| и по = |во| как криволинейными
осями и определяющие положение произвольной точки в совокупности возможных значений для конкретной краевой характеристической задачи. Переход к всегда положительным криволинейным параметрам £ и п связан с целесообразностью решения телеграфного уравнения (1) или системы уравнений (2), (3) с использованием интегрального преобразования Лапласа-Карсона соответственно (5) или (6), (7), которое также является односторонним, а, следовательно, отрицательные аргументы изображения не имеют.
Р У У р
Рис. 1. Варианты знаков для радиусов кривизны линий скольжения
Пример использования интегрального преобразования Лапласа-Карсона для установления зависимостей в операторной плоскости, определяющих значения текущих радиусов кривизны линий скольжения в исследуемой пластической области, рассмотрим на примере варианта 2 (рис. 1). С учетом введенных криволинейных параметров радиусы кривизны характеристик в поле линий скольжения можно определить из уравнений [2]:
^ (8) Ка два ’ К две '
Следует отметить, что радиусы Ка и Кв являются алгебраическими величинами, знаки которых зависят от знаков производных др и -тщ. Тогда
уравнение (2) и (3) соответственно приводится к виду:
дЯр
дС
дЯа
— Яа — 0, (9)
+ Яр — 0. (10)
дп
Запись телеграфного уравнения получим, дифференцируя (9) и (10 соответственно по п и С,
д2Яр дЯа — 0_ д 2Яа + дЯв — о
д(дп дп д(дп д(
Окончательно
д2Яв „ д2Яа „ , ,
дСдп + в = 0’ дСдп + а — ° (11)
Представим уравнения (9) и (10) в плоскости изображений интегрального преобразования Лапласа-Карсона [4]
Р [Яр (Р, д) - Яв (0, д)] - Яа (р, д) — 0, (12)
д [Яа (р, д) - Яа (р, 0)] + Яр (р, д) — 0, (13)
где р ^ С; д ^ П — изображение в операторной плоскости криволинейных переменных параметров С, П (аргументов в физической плоскости); Яа (р,д) <= Яа (С,п); Яр (р,д) Яр (С,п) - изображение искомых текущих
значений радиусов кривизны характеристик в исследуемой пластической зоне; Яа (р, 0) ^ Яа (С, 0); Яр (0,д) ^ Яр (0,п) — изображение значений радиусов кривизны начальных характеристик в исследуемой пластической зоне, полученных из решения в предыдущей пластической зоне. Преобразуем уравнение (12)
Яр (р, д) — Яр (0, д) + -Яа (р, д) р
и подставим его в (13)
д ■ Ка (р,д) - д ■ Ка (р, 0) + Кв (0, д) + - Ка (р, д) = 0,
р
(д + р^ ■ Ка (р,д) = д ■ Ка (р, 0) - Кв (0, д).
Окончательно для определения текущих радиусов кривизны а-линий
скольжения _________ р _ _
Ка (р, д) = ——- [д ■ Ка (р, 0) - Кв (0, д)]. (14)
рд + 1
Аналогично — для радиусов кривизны Д-линий скольжения
Кв (р, д) = ——- [р ■ Кв (0, д) + Ка (р, 0)]. (15)
рд —1
Алгоритм определения выражений для текущих радиусов кривизны в физической плоскости с использованием операторных соотношений, в частности, (14) или (15) представляется следующим образом:
— найденные из решений в предшествующих областях радиусы кривизны начальных (для исследуемой области) линий скольжения переводят в операторную область Еа (С, 0) ^ Еа (р, 0), Яр (0, п) ^ Яр (0, д) и подставляют в зависимости (14) или (15);
— производят в операторной плоскости простейшие арифметические преобразования;
— полученные операторные соотношения переводят в физическую плоскость Яа (р, д) ^ Яа (С, п), Яр (р, д) ^ Яв (С, п).
Интегральное преобразование Лапласа-Карсона также успешно применяется для нахождения изображений в операторной плоскости сложных функций с использованием разложения этих функций в соответствующие степенные ряды или с помощью известных изображений более простых функций. Так, например, можно найти изображение в операторной плоскости функции Ломмеля нулевого порядка с аргументом двух переменных
Некоторые функции имеют весьма сложные изображения. В частности, модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, имеющая сдвиг обоих переменных аргумента, изображается в операторной плоскости следующим выражением
Соотношения операционного исчисления обеспечивают возможность символически находить значения многих интегралов. При этом подынтегральную функцию приводят к виду, позволяющему произвести
ГО
О 2
ио{ 2С;2^ёП} = £(-1)
П
п=0
Ло { 2'/Щ
Л2 { 2л/Щ +
'к{ 2Щ
... =>
рд + 1 р2 + 1 ’
1о {2у/(£+а)(п+Ь)} = 1+(С+а)(п+Ь)+
(С+а)2 • (п+Ь)2 + (С+а)3 • (п+Ь)3 +
2! • 2! 3! • 3!
интегральную свертку оригиналов в плоскости изображений [4]. Например, процедура вычисления интеграла
J• cos(a - £) • d£ о
имеет следующий алгоритм:
— пусть известно изображение следующих сомножителей подынтегральной функции
b • h{ 2^} ^ p2( exp p - p - l);
— определяется произведение следующих сомножителей подынтегральной функции
£ • ( £ • 12{ 2Tb£}) ^ b • exp p - ^exp p - l) ;
— производится символическое вычисление всего интеграла
a
j £ • b • I2 { 2^} • cos(a - £) • d£ ^
о
p bp2 bp2
^ b • 2 . 1 • exp-----• exp----------T ^
p2 + 1 p p2 + 1 p p2 + 1
^ b • Ui j 2\fabi j - ^ j 2a; 2\fabi j + cos a.
Достаточно известны [5, 6] аналитические описания полей характеристик, примыкающих к прямолинейному и круговому контуру. Представляет интерес обобщение решения краевой задачи Коши при задании свободного от внешних нагрузок гладкого контура любой непрерывной аналитической функцией (рис. 2).
Известно, что угол поворота касательной к характеристике (например, АС) при ее перемещении от точки выхода (А) из гладкого контура (дуга АВ) до любого текущего положения на этой характеристике (например, точки С) равен углу поворота касательной к этому контуру от той же начальной точки (А) до точки (Е), когда радиус кривизны контура пересекает характеристику (АС) в указанной текущей точке (С). При этом пересечение происходит под углом П. Неизменность значения среднего напряжения на свободном контуре обеспечивает равенство углов поворота касательной y = и при перемещении вдоль характеристик, как исходящих из контура и входящих (другого семейства). Поместим начало координат Михлина-Христиановича в точку А. Пусть выпуклый свободный контур задан непрерывной аналитической функцией Ro (t). В этом случае комбинация знаков радиусов кривизны характеристик соответствует варианту 2 рисунка 1. Составим
Рис. 2. Поле характеристик, примыкающее к произвольному свободному
контуру
равенство проекций на ось x длин дуг части свободного контура АЕ и «-характеристики АС
J J
J R0 (t) • cos (и - t) • dt = J Ra (£, 0) • cos ^и - 4 - £^ • d£. (16)
о 0
Тригонометрическую часть подынтегральной функции правого интеграла преобразуем к виду, приемлемому для свертки оригиналов в операторной плоскости
cos (и - 4 - £) = —= • [cos (и - £) + sin (и - £)] .
(17)
Подставим (17) в (16) и переведем интегралы, входящие в выражение (16), в плоскость изображений
1 p2 p
Ro (t) • cos (и - t) • dt ^ - • -2-- • Ro (p) = ~2—7 • Ro (p) .
p p2 + 1
p2 + 1
J J
J Ra£ 0) • cos (и - 4 - £) • d£ = -~—2 ^ j Ra£' 0) ^ cos (и - £) ^ d£-
J
ш
1 ( 11 р2 —
- 1 Ка (С, 0) • 8Ш(Ш - {) • ^ -^2 ' Р ' р2 + 1 ' ^ (р, 0) -
0
1 Р2 -П I п\ 1 Р2 + 1 -п
' Ка (р, 0) —------------^ ' 2 л ' Ка (р, 0) •
у/2 Р2 + 1 ' у/2 Р2 + 1
Приравняем изображения полученных интегралов и разрешим их относительно изображения искомого радиуса кривизны а-характеристики
Ка (р, 0) — -л/2 ■ р-+1 ■ Но (р),
где Ко (р) — изображение функции, аппроксимирующей свободный контур.
Поместив начало координат в точку В и проделав аналогичные преобразования, можно получить соответствующее выражение для ^-характеристики
Кв (0, д) — л/2 ■ ^+1 ■ Ко (<?) •
После представления уравнение контура в операторной плоскости, подстановки полученных соотношений в полученные результирующие зависимости, проведения необходимых упрощающих преобразований и перехода в плоскость оригиналов можно установить выражения для радиусов кривизны характеристик, распределение напряжений и интегрированием вдоль граничных характеристик найти геометрические размеры поля и проекции сил в требуемом направлении.
Таким образом, применение интегрального преобразования Лапласа-Карсона позволяет преодолевать значительные трудности в различных аспектах аналитического решения краевых задач математической физики.
Список литературы
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.
2. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 с.
3. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. 287 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.
5. Панфилов Г.В, Смарагдов И.А. Аналитическое описание полей характеристик в технологических задачах плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. №3. С.157-160.
6. Панфилов Г.В. Аналитическое интегрирование уравнений начальной характеристической задачи плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. №11. С.17-20.
Панфилов Геннадий Васильевич (archon80@mail.ru), д.т.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
Недошивин Сергей Владимирович (archon80@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра аэрологии, охраны труда и окружающей среды, Тульский государственный университет.
Хвостов Евгений Юрьевич (evgenius-13@ya.ru), аспирант, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
Applying Laplace-Carsons integrated transformation for
boundary value problems solution of mathematical physics
G.V. Panfilov, S.V. Nedoshivin, E.Y. Khvostov
Abstract. The expediency of application of an Laplace-Carsons integrated transformation for overcoming mathematical difficulties is justified at an analytical solution of boundary value problems of mathematical physics. Examples of calculations for the problems circumscribed by a telegraph equation are reduced.
Keywords: boundary value problems, analytical solution, performances, an operational calculus.
Panfilov Gennady (archon80@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics of plastic forming, Tula State University.
Nedoshivin Sergey (archon80@mail.ru), candidate of technical sciences, assistant professor, department of aerology, labour an environment safety, Tula State University.
Khvostov Evgeny (evgenius-13@ya.ru), postgraduate student, department of mechanics of plastic forming, Tula State University.
Поступила 10.02.2011
