Особенности аналитического интегрирования вдоль граничных линий скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 374

Р.Г. Панфилов, канд. техн. наук, (4872) 48-24-28,

Archon80@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

Е.Ю. Хвостов, инж., (4872) 35-14-82, evgenius-13@ya.ru (Росси, Тула, ТулГУ)

ОСОБЕННОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВДОЛЬ ГРАНИЧНЫХ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

Приведены правила интегрирования вдоль граничных линий скольжения при аналитическом ооисании пластических зон исследуемых технологических процессов.

Ключевые слова: пластическое деформирование, операционное исчисление, аналитическое интегрирование, технологическая сила.

При аналитическом описании полей линий скольжения, схематизирующих пластические области ис следе мого технологического процесса, значительные трудности возникают при интегрировании вдоль граничных линий скольжения, раделяющих жесткую и пластическую области, с целю установления геометрических рамеров пластической области и определения необходимой технологической силі. Для преодоления математических трудностей все составляющие подынтеграьных функций представляют функциями переменного углового параметра [1, 2], преобразованного для неотрицательных его значений [3, 4], поскольку отрицательные не имеют изображений в операторной плоскости Лапласа - Карсона [5]. Одной из важных теорем операционного исчисления является теорема о свертке [5], позволяюща символьно определять весьма сложные интеграы.

Важной задачей такого решения является приведение подынтегральных функций, включающих трионометрическе, к вид, позволяющему провести свертку оригиналов, т.е. воспользоваться теоремой о свертке подынтеграьных функций в физической плоскости.

Тригонометрические функции всегда возникают вследствие того, что при интегрировании вдоль граничных линий скольжения в заданном направлении можно определить проекции дин этих линий или проекции соответствующих сил от нормаьных средних и касательных напряжений.

Пусть линии скольжения подходят к оси х под характеристическим К 3

углом ф = — или ф = —к (рис. 1). Изменение угла наклона касательной к характеристике при перемещении от точки А до В или наоборот составляет угол ю. Значения характеристического угла ф и криволинейного положительного параметра £, по которому проводится интегрирование при определении проекций дины отрезков линий скольжения и силі, в граничных точках Аи В для возможных вариантов комбинаций радиусов кривизны характеристик и характеристических углов ф^ приедены на рис. 1.

Рис. 1. Возможные варианты комбинаций знаков радиусов кривизны и характеристических углов подхода линий скольжения к оси х

Для этих вариантов знаков радиусов кривизны характеристик и характеристических углов их подхода к оси х имеет место следующее соотношение между текущими угловыми параметрами при интегрировании (перемещении текущей точки) от В к А:

п

ф = — + ш - - вариант 1.

(1)

Тригонометрические функции в виде, позволяющем провести интеграл ную свертку орииналов в плоскости изображений, запишем так:

соб(— + со -£,) = СОБ

п

4 +(о -^)

п

б1п(— + со -£,) = б1п

п

+ (ш -^)

= [соб(ш -о) - Б1п(ш - О)]’

=-д [соб( ш -О)+б1п(ш -О)];

п

ф = —- ю + ^ - вариант 2,

п

соб(— - о + О) = СОБ

п

п

б1п(— -ш + О) = б1п

п

--(ш-5)

3

= 77 [соб(ш - О) + б1п(ш - О)],

=тт [соб(ш -о) - б1п(ш - О)] ’

ф = —п - со + О - вариант 3,

СОБ

Б1П

- п-(ш-О) 3 п-(ш-О)

Б1П

= СОБ

п

п

= [соб(ш - О) - б1и(ю - О)],

л/2

= ~^[соб(ш - О) + б1и(ю - О)];

(2)

(3)

ф = 3п + ш-, - вариант4,

СОБ

Б1П

—п + (ш - ,) .4

3п + (ш - ,)

= Б1П

СОБ

п

4+(ш - ^)

п

+ (ш - О

- ^2 ^соб(ш - О) + §1п(ш - ,)], = 72 ^СОБ(Ш - О) - Б1п(ш - О)] •

Здесь и при последующем интегрировании угол (ш - О) отсчитывается от положительного направления оси х против движения часовой стрелки до касательной к а-характеристике, как и характеристический угол ф, поэтому всегда дф-д,, где Л, - положительный угловой параметр.

Одним из этапов решения является определение проекции длины отрезка характеристики на определенном участке пластической области. Элементарная душ а -характеристики (линии скольжения) выражается зависимостью

Лб - Да (ф)дф - ЯАВ (,, ц)Л,,

где ц - постоонный вдоль а-характеристики криволинейный параметр, значение которого получено из решения в предыдущей области.

а

х

Рис. 2. Схемы для составления уравнения проекций на оси х и у л случае, когда характеристики подходят к оси х

под характеристическим углом: а - фА = —; б - фА = 3 ж

4 4

Проекция длины линии скольжения АВ на ось х в дифференциальной форме

¿XАВ=КАВ(%,Л )С0Бфй^.

В интегральной форме

ю *

ХАВ=\КАВ(^Л )со5фЛ^. (4)

0

Проекция длины линии скольжения АВ на ось y в дифференциальной форме

dYAB = RAB (S, Л ) sin ф .

В интегральной форме

ш

YAB = jRAB(^ Л ) sin Ф^. (5)

0

Для того чтобы при последующем интегрировании было возможно преобразовывать тригонометрические (функции к виду, приемлемому для свертки ориинаов в плоскости изображений, интегрирование (перемещение) необходимо начинать от точки В на линии скольжения, в которой значение характеристического угла уже содержит угол со.

Вторым важным этапом решения задачи является определение проекции силі в требуемом направлении от нормальных и касательных напряж єни, действующи вдоль Граниных характеристик.

Если линия скольжения АВ является а-характеристикой, то при интегрировании от точки В к А текущее значение среднего нормального

безразмерного напряжения а = ^, где к - предел текучести материаа на

сдвиг (пластиеска постоянна) определяется зависимостями

а()= ав — - варианты 1 и 4; (6)

ст()= ав + £, - варианты 2 и 3. (7)

Поскольку АВ является а -характеристикой, то направление касательного напряжения к определяется поворотом положительного направления среднего нормаьного напряжения а на угол 900 по часовой стрелке.

Выражения для определени горизонтаьной составляющей элементарной силы вдоль АВ (см. рис. 2) в безрамерніх величиах напряжения:

варианты 1 и 2 (см. рис. 1)

dPAB =а( £)R ав (, Л*) ф^+0,5Яав(, Л*)п ф-d^; (8)

варианты3 и4

dPXAB =ай) R ab( Л*) cos фd£, - 0,5R ав (, Л * )п фd^.

В итеграьной форме: варианты1 и2

РХАВ = i a(^)RАВ(Л*)os Ф^ + 0,5 i RAB(Л*)in ф^ ; (9)

0 0

варианты3 и4

РАВ = | а(£)-Яав(&Л )собфЛ^-0,51 Кав(,Л ф^ . (10)

0 0 Выражения для определения вертикальной составляющей элементарной силы вдоль АВ (см. рис. 2) в безразмерных величинах напряжения: варианты 1 и 2 (см. рис. 1)

аРАВ = ст(^) КАВ (, Л*) Ф^ +0,5Кав( л*) фй^; варианты 3 и 4

аРАв = а(^КАВ(Л*)пФ^-0,5Кав ( Л ^Ф^.

В интегральной форме: варианты1 и2

РАВ = 1 а(^АВ(Л*)пф^+°,5| КАВ(Л*)со§Ф^; (11)

0 0 варианты3 и4

РАВ = 1 а(^)КАВ(Л*)пф-й^-0,5| КАВ(Л*)^Ф^; (12)

00 Соотношения дя определения проекций дин граничных линий скольжения и си от нормальных и касательных напряжений, действующих вдоль них, удобнее представлять в плоскости изображений с точностью до любых аналитических зависимостей для радиусов кривизны этих граничных линий скольжения.

В выражениях (9) - (12) значение а () текущего безразмерного среднего напряжения как функции криволинейного параметра представлено в общем виде. Для двух вариантов, показанных на рис. 2, значение этого напряжения определяется выражениями (6) и (7). Если в зависимости от варианта (см. рис. 2) выражение (6) или (7) подставить в какую-то формулу из системы (9) - (12), то можно получить результирующие выражения дя определения вертикальных и горизонтальных проекций силы вдоль граничных линий скольжения. Для каждой конкретной задачи в эти результирующие выражения, представленные в плоскости изображений, следет подставить формулы изображений радиусов кривизны Граниной линии скольжения, провести соответствующие преобразования и после перехода в плоскость оригиналов определить проекцию силы.

Приведем пример вывода указанных выше типовых результирующих выражений дя определения проекций Граниных линий скольжения на оси координат. Пусть отрезок линии скольжения АВ соответствует варианту 1 (рис. 1) и является линией скольжения первого семейства

к

(а-характеристикой). Тогда в точке А: характеристический угол фа =~; криволинейный параметр 4а = ю; в точке В характеристический угол

к

ФВ = + со, криволинейный параметр 2, а = 0 . Поскольку угол ф - положи-

тельный, то йф = йЪ,.

Текущее значение характеристического угла при перемещении от точки В к точке А определяется по зависимости (1)

ф = —+ со — Ъ .

4

Текущее значение среднего напряжения а = — при перемещении

2 к

от точки В к точке А опреде лете я по зависимости (6)

а = аВ - Ъ.

Проекция дины линии скольжения АВ на ось х в интегральной форме определится с учетом выражения (1)

о * к

ХАВ = 1КАВ(ЪЛ )со§(- + °-Ъ)йЪ.

0 4

После преобразования тригонометрической функции к вид, приемлемому дя сверки оригиналов (2), получим окончательное выражение в плоскости изображений

хАВ=Р2 1 КАВ(Р,Л*),

<2 р2 +1

где X АВ - изображение проекции длины а -характеристики АВ на горизонтальную ось х; К АВ (Ъ, Л) - изображение радиуса кривизны

*

а -характеристики АВ, вдоль которой параметр л , полученный из решения в преды дщей пластической зоне, является постоянным.

Проекция линии скольжения АВ на ось у в интегральной форме

(5) с учетом (1)

о „

^ к

уАВ = ! 1АВ (ъ Л ) 81п(- + о - Ъ)йЪ 04

После преобразования трионометрической функции (3) и преобразований, аналогичных выполненным ранее, получим выражение дя проекции длины а -характеристики АВ на ось у в плоскости изображений

— 1 р +1 — * уАВ=^КАВ(Р,Л ). л/2 р2 +1

Определим проекции силы на ось х от нормальных и касательных напряжений, действующих вдоль Граниной характеристики АВ.

Выражение проекции элементарной силы на ось х (8) с учетом зависимости дя текущего среднего напряжения (6)

—х — к н« к

йРАВ =(ств-Ъ)со8(4 +со-Ъ)Яав(Ъ,Л )йЪ+0,581п(4 +ю-Ъ)Кав(Ъ,Л)-йЪ В интегральном представлении

—х о — ^ к о ^ к

РАВ =|(аВ~Ъ)К-АВ^Л )с°^(4 + °-Ъ)йЪ+0,5|КАВ(Ъ,Л + о - Ъ)<%.

0 4 0 4 Тригонометрические функции, входящие в интегралы, преобразуем к вид, позволяющему воспользоваться теоремой о свертке оригиналов в плоскости изображений (2), (3),

.л

СОВ^ + СО - &) = СОБ

Л

4 + (° - £,)

Л

БІП(— + СО - &) = БІП

Л

4 + (о -£,)

= 7? [об(О - - віп(о - &)]

= ~^[с0Б(<0 - &) + БІп(о - &)]

Подставив полученные тригонометрические функции в (13), преобразуем интегралы:

1 О -і О

— X 1 I И5

Рав =К‘ЯАВ(& Л*)віп(ю-^)Л^-^2\£Лав(&Л )со8(ю-)Л& +

О

1 — ш * 1 ... + ^= ( ст В + 0,5) \Яав(. & Л )со8(ю-^;) ^-^= (стВ -°,5) \Яав(Ъ л' )

V2 0 V2 0

X

х8т(ю-(!3) Переведем выражение (13) дл определения горизонтальной составляющей силі в плоскость изображений интегрльного преобрлования Лапласа - Карсона, символьно вычислим ингеграы, входящие в данное выражение, проведем несложные упрощения.

В зависимость (14) достаточно подставить любое анаитическое выражение радиуса кривизны линии скольжения, переведенное в операторную плоскость, сделать простейшие арифметические преобраования, перевести полученную зависимость в плоскость оригинаов и получить искомую составляющую силы:

=х 1

Р АВ =

42

(р -1—

р л

2 ■ 1 Ф

р +

1 — * — ■ЯАВ(р,Л ) р

+

+

рв + 0,5)—2Р------------(в - 0,5)—1

р2 +1

р2 +1

Я АВ( р, Л )

=х р ав

где РАВ =-------- - изображение безрамерной горизонтальной составлю-

2к

щей силы вдоль а -характеристики АВ; Яав(р, Л ) - изображение радиу-

са кривизны а-характеристики АВ, вдол которой значение параметра л ,

полученного из предыдущего решения, постоянно; G В = - безразмер-

2 k

ное среднее нормальное напряжение, которое также получено из предыдущего решения и является постоянной величиной.

Производные в плоскости изображений определяются так же, как и обычно в физической плоскости оригинаов.

Полученные зависимости справедливы для случая, когда характеристики выходят или подходят к оси x под углом л /4. Этот вариант весьма актуаен, поскольку под таким углом характеристики подходят к свободным от внешних нагрузок границам пластически областей, к гладкому (без трения) инструменту и к оси симметрии в осесимметричных полях.

В более общем случае, когда характеристики подходят к оси под произвольным углом, конкретные зависимости также определяются по изложенной методике, однако они становятся более громоздкими и, в этом случае обобщение выражений для произвольного радиуса кривизны неце-ле собрано.

Разработанный математический аппарат интегрирования по угловому параметру вдоль граничных линий скольжения позволяет существенно упростить и систематизировать аналитическое описание полей линий скольжения, поскольку до этого решение каждой технологической задач требовао самостоятельной проработки вопросов, изложенных в данной работе, и нередко сопровождаось ошибками ввиду большого объема математически преобраований.

Список литературы

1. Христианович С.А. Плоска задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Математический сборник. 1936. № 4. Т. 1. С. 511.

2. Хилл Р. Математическа теория пластичности. М. : ГИТТЛ, 1956.

407 с.

3. Панфилов Г.В. Анаитическое интегрирование уравнений на-чаьной характеристической задачи плоской теории пластичности // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1987. №2 11. С. 17-20.

4. Панфилов Г.В., Смарагдов Г.В. Анаитическое описание полей характеристик в технологических задачах плоской деформации // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1987. №2 3. С. 157-160.

5. Диткин В.А., Прудников В.А. Справочник по операционному исчислению. М. : Высшая школа, 1965. 232 с.

R. Panfilov, E. Hvostov

Peculiar properties of the analytical integrations along boundary slip-lines

The integration principles along boundary slip-lines for analytic descriptions ofplastic zones of the technological problems being investigated are described.

Внесено 19.01.09.