Аналитическое решение смешанной краевой задачи методом линий скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 374

Г.В. Панфилов, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82,

Archon80@mail.ru, (Росси, Тула, ТулГУ),

С.Л. Ильичев, (4872) 27-04-61, eto1271@yandex.ru, (Россля, Тула, ТулГУ),

А.В. Шуляков, зам. директора, (48753) 2-50-50, aleksin-ask@tula.ru, (Россия, Алексин, Алексинстройконструкция)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

Приведены операционные отношения интегрального преобразования Лапласа-Карсона и возможные схемы решения смешанной краевой xaрактeряcmячecкoй задачи, позволяющие для каждого варианта методом линий скольжения определять конфир-рацию и геометрические размееы пластической области исследуемого процесса.

Ключевые слова: пластическое деформирование, краевые задачи, линии скольжения, аналитическое решение.

Во многих задачах обработки металлов давлением завершающим пластическим участком, в котором необходимо найти решение, является участок, примыкающий к криволинейной, в общем случае, контактной границе инструмента с деформируемым материалом. Практически в этом случае решение известно лишь вдоль одной вещественной линии скольжения, подходящей к контактной границе. Однако, если контур однозначно определен, данных, полученных на основе решений в предыдущих участках пластической области, достаточно, чтобы найти искомое решение.

В этом случае можно поставить следующие начаьные условия для описания конечного исследуемого участка [1]:

- известны радиусы кривизны одной из начаьных характеристик ^(,0) или ^(0, ц) ;

- определяются радиусы кривизны характеристик другого семейства Яр(,0) и Да(0, ц) в точках пересечения ими начаьных характеристик соответственно Яа(,0) и Яр(0,ц);

- известны радиусы кривизны характеристик обоих семейств ^а(0,0)и^}(0,0 ) в начае следящей системы координат Михлина - Хри-

стиановича исследуемого участка пластической области.

В этих случая известными является лишь часть указанных начальных (грантных) условий. При смешанной краевой задаче знание радиуса кривизны вдоль единственной вещественной начаьной характеристики и диапазона изменения криволинейного параметра вдоль нее явно недостаточно (если нельзя воспользоваться условием симметрии при прямолинейном гладком контуре). Тогда необходимо воспользоваться укаанными выше дополнительными (относительно начаьной краевой характеристической задачи) начаьными условиями, связанными с известной существующей начальной характеристикой. В этом случае решение в плоскости

изображений следует искать с помощью непосредственно телеграфных уравнений [2] применительно для радиусов кривизны: линий скольжения (характеристик).

Поскольку при решении смешанной краевой характеристической задачи радиусы1 кривизні одного семейства (а или р) любых характеристик внутри поля выражаются только через радиусы кривизны начальных характеристик другого семейства, то найденные соотношения между начальными условими позволяют вывести более удобные для данного случая зависимости в операторной плоскости. Первое из них представим в операторной форме [2]:

изображение радиусов кривизны а -характеристик вдоль неопределенной (фиктивной) начальной р -характеристики и соответствующий ему орига-

а -характеристики в начале системы координат Михлина - Христиановта со значениями криволинейных параметров £, = 0 и ^ = 0 и соответствующий ему вротикаті.

Преобразуем последнее выражение:

Как и ранее, чтобы оперировать соотношениями (1) - (2), значения радиусов кривизны начаьных характеристик в них необходимо подставлять с учетом их знака («+» или «-»).

Полученные зависимости позволяют установить соотношения между начаьными условиями в плоскости изображений, которыми удобно пользоваться при сведении этих начаьных условий, свойственных различным краевым задачам (в том числе и вырожденным), к наиболее простой для решения методами операционного исчисления начальной краевой характеристической задаче. Приравняем правые части уравнений (1) и (3), скорректированные на возможность подстановки начальных условий без учета знака радиусов кривизны характеристик:

на; Яа(0,0)^ Яа(0,0) - изображение радиусов кривизны

(рд +1)- Яа(р,д)=рд ■ [Яа((,0)+ Яа(, д)- Яа (0,0) .

(1)

Окончательно

рд+1

Аналогично для Р -характеристики

Яа(р,д) = ~Р~ра(р,0) + Яа(рд)- Яа(°,°)].

(2)

Яр(р, д [Яр(р,0) + Яр(0, д )-Яр(0,0)].

рд+1

(3)

р^+і [р-р(0, д )-Яа(р,0)] = [яр(р,0)+Яр(0, д )-Яр(0,0)]х

х • Др(0, д)----• Я а( р,0) _ _^ • Др (р,0) +

рд +1 рд +1 рд + 1

■ Рд Яр(0, д) —Р^г Яр(0,0) х

рд+1 рд+1

хй а( р ,0) = р • р( р,0) — р(0,0)]. (4)

Аналогичные соотношения можно получить для второй начальной характеристики и для других вариантов комбинаций знаков радиусов кривизны .

Поскольку при решении смешанной краевой характеристической задачи радиусы кривизны одного семейства (а или Р) любых характеристик внутри поля выражаются только через радиусы кривизны начальных характеристик другого семейства, то найденные соотношения между начальными условиями позволяют вывести более удобные для данного случая зависимости в операторной плоскости. Если полученную совместным решением уравнений (1) и (3) зависимость (4) подставить в соответствующее общее при решении начальной характеристической задачи уравнение [2] для определения радиуса кривизны а -линии скольжения, когда криволинейные параметры а >0 и Р >0, то получим первое из необходимых соотношений. Для остальных вариантов - аналогично:

Да(р, д) = —^. • {рд • [яР(р,0) - ДР(0,0)]- ДР(0,д)}

рд + 1

Приведем сводные окончательные соотношения для нахождения решения смешанной краевой характеристической задачи с использованием интегрального преобразования Лапласа - Карсона (операционного исчисления) для всех четырех возможных комбинаций знаков радиусов кривизны характеристик. Для исключения необходимости учитывать знак радиуса кривизны эти итоговые зависимости скорректированы таким образом, чтобы в них можно было подставлять значения радиусов кривизны начал ных характеристик без учета знака.

1. Вариант конструкции составляющего локального поля линий скольжения 1, когда [2] а > 0, Р > 0. При переходе к всегда положительным криволинейным координатам 4, Л телеграфное уравнение и соответствующая система уравнений с частными производными первого порядка для радиусов кривизны характеристик принимают вид:

Ща п _ 0 •

р ; ^+Да = °;

Щ-Да + па =0;

д^дл а

Щ2 пР

—р+пр = о.

Щд Л

Выражения для определени радиусов кривизны характеристик в плоскости изображений имеют вид:

Да{p, д)_ ^ [Да(,р,0)+па(0,д)_ Да(0,0)];

рд + 1

Др(р,д)_ --т~г [пр(р,0)+пр(0,д)-Др(°,0)]; 1

рд +

Да( д)_ -р+- • {рд • [Др(р,0) - Др(0,0 )]- Др(0, д)};

рд д

Д р (д)_ -Ч • {рд • [(0,д)- Да(°,0)]- Да((,0)} рд+1

Соотношения между радиусами кривизны началных характеристик: Да(р,0)_ р•[йр(р,0)-Пр(0,0)

Др (0, д) _д • [а (0, д) - Да (0,0)

2. Вариант 2, а<0, р<0. Телеграфное уравнение и соответствующая система уравнений с частными производными первого порядка для радиусов кривизны характеристик принимают вид:

^Да

<Эг|

Щр

+ Др - 0;

па_0;

д2 Да

д2 Др д,дл

+ +^а -0;

+ Др = 0.

Выражения для определения радиусов кривизны характеристик в плоскости изображений имеют вид:

Да (р,д) _ р^т[а((,0) + Да(0, д) - Да (0,0)];

рд + 1

Д р Рp, д) _ [Д р (,0)+Др (0, д) - Др (0,0)];

рд+1

Rа(p, д) _ • {рд • [др(,0) - Др(0,0)]- Др(0, д)};

рд + 1

рд д

RрРp, д )_^~ -{рд • а(0, д )-Д а(0,0)]-Д а( ,0 )}. рд +1

(6)

Соотношения между радиусами кривизны началных характеристик:

Да(р,0) _р -Р?р(р,0) -Др(0,0)]; Др(0, д) _ д • [а (0, д) -Да (0,0)].

3. Вариант 3, а <0, р >0. Телеграфное уравнение и система уравнений с частными производными первого порядка для радиусов кривизны характеристик принимают вид:

д|Да

Эл

дДр

-Др =0; - Да = 0;

д2Д

д<Эл

а-Да = 0;

д2Д

р

Щдл

-Др = 0.

Выражения для определения радиусов кривизны характеристик в плоскости изображений имеют вид:

Да{p,д)_ - ^ [Да((,0)+ Да(0, д)~Да(0,°)];

рд -1 Д р( д) _ —р^г Д р (р° )+Др(0, д) - Д р (0,° Д рд -

Да(р ,д )_^ -{рд • [Др(0,0 ЬДр(р ,0)]-Др(0, д)}; рд -1

рд д

Др(р,д)_ • {рд • Да(0,0)- Да(0,д)]-Да(р,0)}.

рд-1

(7)

Соотношения между радиусами кривизны началных характеристик:

Да (р ,0) _ р • Др(0,0) -Др( р,0)];

Др(0, д) _д-Да(0,0)-Да(0,д)].

4. Вариант 4, а > 0, р < 0 :

дД

дл

а + Др = 0;

+ Да- 0;

д2Д

а

Да_0;

д2 Д

Выражения для определения радиусов кривизны характеристик в плоскости изображений имеют вид:

Да(р,д)_~р~[да(р,0)+ Да(0,д)- Да(°,0)];

рд -

Др( д) _ -^- [Др ((,0) + Др I0, д) - Д р (0,° А

иц 1

Д а(р, д)_ -д- • {рд • Др(0,0)- Др ((,0)]- Др(0, д)};

иц 1

рд д

Д Р(p, д )_^4 -{,рд • Д а(0,0)-Д а(0, д )]-Д а(р ,0)} рд-1

(8)

Соотношения между радиусами кривизны началных характеристик:

Да(р,0) _р -Др(0,0) -Др(р,0)]; Др(0, д) _д -Да (0,0)-Да(0, д)].

Как отмечалось ранее, при решении смешанной краевой задачи, обычно из решения в предыдущей области, вдоль единственной вещественной начальной линии скольжения известна зависимость для определения ее радиуса кривизны, диапазон изменения криволинейного параметра 4 или л вдоль нее и т.д. Информация на конуре (контактная граница рассматриваемого участка пластической области и инструмента) задается соответствующими углами подхода к нему линий скольжения, зависящими от принятых условий трения.

Как и краевую задачу Коши, смешанную краевую задачу удобно привести к начальной характеристической задаче (Римана). Это позволит использовать полученные операционные соотношения (5), (6), (7) и (8) для определения радиусов кривизны линий скольжения в зависимости от четырех возможных вариантов комбинаций знаков радиусов кривизны линий скольжения [2]. Если контактная граница (конур) прямолинейна, то смешанна краевая задача сводится к начальной характеристической задаче с использован ем свойств симметрии, и решение не вызывает проблем [1].

На рисунке приведет: варианты схем решения для смешанной краевой характеристической задачи в зависимости от выпуклости или вогнутости конура АВ, знака радиуса кривизны начальной вещественной линии скольжения, диапазона изменения вдоль нее криволинейного параметра 4 или л, а также относлтельной (к радиусу вещественной линии скольжения) величины радиуса контура. В каждом из вариантов возможны два с луча: начальна вещественна характеристика контактирует с контуром в точке А или в точке В.

Для наглядной ориентации при выборе необходимых операционных соотношений при решении смешанных краевых задач приведем таблицы соответствия вариантов схем рисунка возможным вариантам комбинаций знаков радиусов кривизны линий скольжения, для которых выше получены выражения для лх нахождения.

Табл. 1 соответствует случаю, когда необходимо выбрать операторные соотношения из (5) - (8) для определения радиуса кривизны результирующей линии скольжения, а следовательно, и окончательно определить геометрию пластической области, если есть начльна вещественна характеристика а или р, параметры которой известны из решения в предыдущей области, и она контактирует с контуром в точке А.

Рис. 1. Варианты возможных схем решения смешанной краевой задачи

Таблица 1

Начальная вещественная линия скольжения контактирует с контуром в точке А

Вариант смешанной краевой задачи а б в г д е а Р \ \4 4\

Начальна вещественна хрaктeррстрка Р \ Р \ Р \ Р \ Р \

Вариант знаков радиусов кривизны характеристик т / / т \1 2 ^ / / ^ 4 2 1 т / / т

В частности, если схема решения задачи соответствует варианту, изображенному на рис., б, начальная вещественная хракгеристика является а -линией и контактирует с контуром в точке А, то по табл. 1 это соответствует варианту 1 приведенных выше соотношений в операторной плоскости, которыми в этом случае следует пользоваться при определении радиуса кривизны искомой результирующей линии скольжения.

Табл. 2 соответствует аналогичному случаю, когда начальна вещественна характеристика контактирует с контуром в точке В. Определи из решения в предыдущей пластической области значение характеристического угла выхода результирующей линии сколь жени и из условия трения соответствующий угол ее подхода к контуру АВ, получим диапазон изменения вдоль искомой линии скольжения криволинейного параметра 4 ии Л.

Таблица 2

Начальная вещественная линия скольжения контактирует с контуром в точке В

Вариант смешанной краевой задачи а б в г д е \,а Р \ \3 3 \

Начальная вещественна характеристика X. а Р \ X. а Р \ X. а Р \ X. а Р \ \а Р \

Вариант знаков радиусов кривизны характеристик ^ / / ^ 1 2 3 3 \2 1 ^ / / ^

Известно, радиусы кривизны всегда записывают то же, что и функции указанных криволинейных параметров.

Таким образом, интегрируя величину радиуса кривизны по угловому параметру в заданном направлении, можно установить требуемые проекции ее дин, установить координаты точки ее прихода на контур. Действуя аналогичным образом по всем пластическим участкам, составляющим общее поле линий скольжения, можно полностью установить его конфигурацию и геометрические размеры. Если из граничных условий удается определить значение среднего напряжения в одной точке пластической области, то, интегрируя выражения для радиусов кривизны с учетом нормальных средних напряжений как функций углового параметра и касательных напряжений вдоль граничных линий скольжения, разделяющих жесткую и пластическую области, можно найти требуемые проекции сил в заданном направлении.

Библиографический список

1. Журавлев А.З. Ураждина Л.С., Ураждин В.И. Применение операционного метода к решению начаьной характеристической задачи плоской теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39. Вып. 3. С. 564 - 567.

2. Панфилов Г.В., Смарагдов И.А. Анаитиеское описание полей характеристик в технологических задачах плоской деформации // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 3. С. 157 - 160.

3. Панфилов Г.В. Анаитическое интегрирование уравнений начальной характеристической задач плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. №2 11. С. 17 - 20.

4. Детки В.А., Прудников А.П. Справочник по операционому исчислению. М.: Высшая школа. 1965 . 232 с.

G.V. Panfilov, S.L. Ilichev, A.V. Shuliakov.

The analytical decision of the mixed regional problem a method of lines of sliding.

Operational relations of integrated transformation Laplasa-Karsona and possible schemes of the decision of the mixed regional characteristic problem, allowing for each variant by a method of lines of sliding to define a configuration and the geometrical sizes of plastic area of investigated process are resulted.

Получено 05.08.09