Моделирование пластического течения аналитическим описанием полей линий скольжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

Г.В. Панфилов д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.А. Панов, исп. директор, (4872) 25-09-18, panov@elevator-servis.ru (Россия, Тула, ЭЛЕВАТОР-СЕРВИС)

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМ ОПИСАНИЕМ ПОЛЕЙ ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

На основе операционных соотношений интегрального преобразования Лапласа-Карсона разработаны математический аппарат и методика, позволяющие определять значения радиусов кривизны линий скольжения для начальной характеристической задачи в полях, схематизирующих пластические области процессов обработки металлов давлением.

Ключевые слова: линии скольжения; пластическая область; напряжения.

Математическое моделирование технологических операций обработки металлов давлением в рамках модели изотропного жесткопластического материала и плоского пластического течения успешно проводят с использованием хорошо развитого метода линий скольжения [1]. Сетка линий скольжения образует естественную систему координат, к которой относят уравнения плоского пластического течения материала. Для аналитического описания этой системы, в общем случае криволинейной, используют линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка и двумя независимыми переменными [2], которое называют телеграфным уравнением:

д ^ (а'п в) + Ма Р) = о, (1)

дадр

где /] - искомая функция, I = 1, 2; а, р - переменные криволинейные параметры подвижной (следящей) системы координат [3], характеризующие положение точки в исследуемой области.

В качестве искомых функций телеграфному уравнению, в частности, удовлетворяют: Яа, Яр - радиусы кривизны линий скольжения;

и, V - компоненты скорости перемещения материальных частиц вдоль линий скольжения; х, у - координаты Михлина-Христиановича [3] узловых точек линий скольжения. Особую значимость имеет знание величины радиусов кривизны в любой точке пластической области. В зависимости от способа задания граничных условий различают начальную характеристическую краевую задачу (задачу Римана), задачу Коши и смешанную краевую задачу. При аналитическом описании полей линий скольжения на-

чальная характеристическая задача является наиболее важной, поскольку при решении к ней удобно привести другие краевые задачи.

Применим телеграфное уравнение (1) для определения значений радиусов кривизны характеристик в элементарных пластических участках, из которых формируется интегральная пластическая область, схематизирующая исследуемый процесс, в частности, обработки металлов давлением:

+аа в)=0, (2)

дадр д2Яа(а, р)

+ в) = 0. (3)

Интегрируя уравнения (2) и (3) поочередно по каждой переменной и делая соответствующие замены, получим более удобную (в ряде частных случаев) систему соотношений для радиусов кривизны характеристик:

дЯв дЯ

—в + Яа= 0; Яв= 0. (4)

да а др

В частности, при решении начальной краевой характеристической задачи, когда значения радиусов кривизны заданы вдоль обеих начальных характеристик, для любой комбинации знаков криволинейных параметров а и Р (рисунок) можно поставить в соответствие знаки радиусов кривизны этих характеристик [4, 5]. Учет знаков радиусов кривизны весьма важен при нахождении аналитического решения.

Известно [1], что для многих физических приложений, в которых встречаются линейные гиперболические дифференциальные уравнения, решение предпочтительно искать с помощью методов интегральных преобразований, одним из которых является одностороннее преобразование Лапласа [6]. Оно связывает (в двухмерном представлении) однозначную функцию /(р, д) комплексных переменных р и q (изображение) с соответствующей функцией /(а, Р) действительных переменных а и Р (оригинал).

Одномерное представление интеграла Лапласа имеет вид

_ ГО

/(р) ^ | в~ра/(а)^а,

0

где /(а) - преобразуемая по Лапласу действительная функция действительного аргумента а; функция /(р) - преобразование или трансформация по Лапласу функции /(а); р = х + іу - комплексное число (параметр).

Двухмерное представление интеграла Лапласа

да да

I(р, я) I е-ра-яв/(а, в)с1ах1в,

0 0

где а, в - действительные аргументы; р = х + 1у, я = т + т - комплексные параметры.

Возможные комбинации знаков радиусов кривизны линий скольжения на отдельных пластических участках: а - вариант 1; б - вариант 2; в - вариант 3; г - вариант 4

Вследствие изоморфизма множеств в плоскости оригиналов и в плоскости изображений можно буквой р обозначить изображение, кото-

1 1 гг

рому в плоскости оригиналов соответствует оператор —, т.е. р ^ —. Ио-

аа

скольку р = х + 1у, кроме того, является комплексным параметром в плоскости изображений, то многие операционные преобразования упрощаются. В дальнейшем будем рассматривать только одну из разновидностей преобразования Лапласа - преобразование Лапласа-Карсона, интегралы которого в одномерном и двухмерном представлении имеют соответственно вид

__ да

I(р) ^ р ■ | е-раI(а^а; (5)

0

да да

I(р, Я) ^ р ■ Я ■ I I е-ра-явI(а, р)^а^р . (6)

00

Решение краевых задач математической физики с помощью преобразования Лапласа-Карсона заключается в применении последнего к обеим частям дифференциального уравнения. Получающееся вспомогательное алгебраическое уравнение в плоскости изображений легко преобразуется и разрешается относительно изображения искомого решения I(р, я). При этом применяют теоремы, устанавливающие соответствие между операциями над оригиналами и операциями над их изображениями и обратно (теорема о линейности, дифференцировании и интегрировании оригинала, свертки оригиналов и т. д.). Поиск оригинала искомого решения I(а, /3) проводят путем обращения преобразования Лапласа Карсона (обратного преобразования). Вместе с таблицами прямого и обратного преобразований Лапласа или Лапласа-Карсона это составляют основу операционного исчисления [6].

Введем криволинейные параметры % = | а | > 0 и п = | в | > 0, связанные с начальными характеристиками %% = | а01 и г/0 = | А) |, как с криволинейными осями и определяющие положение произвольной точки в совокупности возможных значений для конкретной краевой характеристической задачи (см. рис.,а,б). Переход к всегда положительным криволинейным параметрам % и п связан с целесообразностью решения телеграфного уравнения (2), (3) или системы уравнений (4) с использованием интегрального преобразования Лапласа-Карсона, которое также является односторонним, а, следовательно, отрицательные аргументы изображения не имеют.

Изменение знаков радиусов кривизны дифференциальных уравнений (2) - (4) и вывод соотношений для определения радиусов кривизны характеристик в плоскости изображений интегрального преобразования Лапласа - Карсона рассмотрим на примере варианта 2 комбинации знаков радиусов кривизны (см. рис., б).

Для начальных характеристик %% и г/0 приращения характеристического угла связаны с приращениями криволинейных параметров соответственно следующими соотношениями: с1ф = -с1% и йф = -йц. Радиусы кривизны характеристик в поле линий скольжения можно определить из следующих зависимостей [7]:

=_% • =П (7)

Ка д 8 а Кв д 8 в

На основании рассуждений, изложенных в работе [7], следует, что поскольку % положительно, Яа отрицателен; поскольку п положительно,

дЯв

Яр отрицателен. Знак производной —— также отрицателен, поскольку

д%

при увеличении положительного параметра % абсолютная величина положительного радиуса кривизны Яр уменьшается. Тогда первое из уравнений (4) приводится к виду

дЯв

-%--Яа= 0. (8)

%

о - дЯа

Знак производной —— отрицателен, поскольку при увеличении

дп

положительного параметра п абсолютная величина отрицательного радиуса кривизны Яа увеличивается. Тогда второе из уравнений (4) приводится к виду

да + Яв= 0. (9)

дп

Запись телеграфного уравнения получим, дифференцируя (8) и (9) соответственно по параметрам п и % :

д2 КР дЯа= 0 ; д2Яа+ дЯ£ = 0.

д%дп дп 5 д%дп д%

Окончательно

д2 Яр д2 Я

----в + Яв= 0 ; ------а + Яа= 0. (10)

д%дп в д%дп а

Представим уравнения (8) и (9) в плоскости изображений инте-разования Лапласа - Карсона [6]:

Яв(р, Ч)- Яр (0, Ч) Яа(р, Ч)- Яа(Р, 0)

-Яа(р, Ч)= 0; (11)

+ Яв(p, Ч)=^ (12)

грального преоб р Ч

где р ^ %; ч - изображение в операторной плоскости криволинейных переменных параметров %, п (аргументов в физической плоскости); Яа(р, Ч)^ Яа(%, п); Яр(Р, Ч)^ Яр(%, п) - изображение искомых текущих значений радиусов кривизны характеристик в исследуемой пластической зоне; Яа(р, 0)^ Яа(%,0); Яр(0, ч)^ Яр(0, п) - изображение

значений радиусов кривизны начальных характеристик в исследуемой пластической зоне, полученных из решения в предыдущей пластической зоне; прямое и обратное интегральные преобразования Лапласа-Карсона. Преобразуем уравнение (11):

Яв (р Ч) = Яв (0, Ч) + — Яа (Р, Ч),

р

подставим его в (12) и окончательно получим

Яа(Р, Ч) = ~^ [ЧЯа^ 0)- ЯР(0, Ч)]•

РЧ +1

(13)

Аналогично получим в операторной плоскости (плоскости изображений) выражение для определения искомого значения радиуса кривизны в-характеристики (линии скольжения). Преобразуем уравнение (12):

Яа Ср Ч) = Яа (Р, 0)-1 Яв (Р, Ч),

Ч

подставим его в (11) и окончательно получим

Яв(Р, Ч) = ^Ч[РЯв(0, Ч)+ Яа(Р, 0)]. РЧ +1

(14)

В данном случае (см. рис., б - вариант 2 комбинаций знаков радиусов кривизны) для нахождения решения в плоскости изображений использовались соотношения между радиусами кривизны характеристик в физической плоскости (8) и (9). Чтобы оперировать соотношениями (13) - (14), значения радиусов кривизны начальных характеристик в них необходимо подставлять с учетом их знака «+» или «-».

Приведем сводные окончательные соотношения для нахождения решения начальной краевой характеристической задачи с использованием интегрального преобразования Лапласа-Карсона (операционного исчисления) для всех четырех возможных комбинаций знаков радиусов кривизны характеристик. Для исключения необходимости учитывать знак радиуса кривизны, эти итоговые зависимости скорректированы таким образом, чтобы в них можно было подставлять значения радиусов кривизны начальных характеристик всегда положительными без учета их знака.

1. Вариант 1 (см. рис., а) - а > 0, в > 0. При переходе к всегда положительным криволинейным координатам %, п телеграфное уравнение и соответствующая система уравнений с частными производными первого порядка для радиусов кривизны характеристик принимают вид

Я

а

п

Я

в

- Яв = 0,

+ Яа = 0.

д2 Я,

д%дп

а + Яа= 0,

2Я

в

+ Яв = 0.

(15)

д%дп

Выражения для определения радиусов кривизны в плоскости изображений:

Яа(Р, Ч) = —^Л [ЧЯа(Р, 0)-Яр(0, Ч)],

РЧ +1

РЧ + Ч

Яв(Р, Ч)=-Ч— [РЯр(0, Ч)+ Яа(Р, 0)] •

РЧ +1

2. Вариант 2 (см. рис., б) - а< 0, в< 0:

Я

п

а + Яв = 0,

Я

в

д%

- Яа= °-

2Я

а

д%дп

д2 Я

в

д%дп

+ Яа = 0 ,

+ Яр= 0.

Яа(Р, Ч)=------^ [ЧЯа(Р, 0)+ ЯР(0, Ч)],

РЧ +1

Яв(p, Ч) = ^Ч[РЯР(0, Ч)-Яа(p, 0)].

РЧ +1

3. Вариант 3 (см. рис., в) - а < 0, в > 0:

Я

п

дЯв

д%

а - Яв = 0,

Яа = 0.

2Я

а

д%дп

д2 Я

в

д%дп

Яа = 0 ,

Яв= 0.

Яа(Р, Ч)=-------^ [ЧЯа(p, 0)+ ЯР(0, Ч)],

РЧ -1

Яв(Р, Ч)=-Ч— [РЯР(0, Ч)+ Яа(Р, 0)].

РЧ -1

4. Вариант 4 (см. рис., г) - а > 0, в < 0 :

Я

п

дЯв

д%

а + Яв = 0,

+ Яа = 0.

2Я

а

д%дп

2Я

в

д%дп

Яа = 0 ,

Яв= 0.

Яа(Р, Ч) = —^ [ЧЯа(Р, 0)- ЯР(0, Ч)] РЧ -1

Яв(Р, Ч) = ^Ч[РЯР(0, Ч)-Яа(Р, 0)]

РЧ -1

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Методика последовательного определения радиусов кривизны характеристик в пластической области, состоящей из определенного количества пластических участков, схематизированных согласованными полями характеристик (линий скольжения), заключается в следующем:

1) значения радиусов кривизны соответствующих граничных линий скольжения, полученные из решения в предшествующих участках пластической области, принимаются в качестве радиусов кривизны Яа(%,0),

Яр (0, п) начальных характеристик для примыкающего к ним исследуемого участка и с помощью таблиц соответствия оригиналов и изображений операционного исчисления (интегрального преобразования Лапласа - Карсона) переводятся в операторную плоскость Яа(р, 0) и Яр(0, д);

2) полученные в операторной плоскости начальные условия подставляются (в зависимости от комбинации знаков радиусов кривизны) в соответствующие соотношения из набора (16), (18), (20), (22), проводятся простые арифметические преобразования, в результате которых соотношения упрощаются и разрешаются относительно искомых текущих радиусов кривизны характеристик Яа(р, д) и Яр(р, д) в исследуемом участке пластической области;

3) с помощью тех же таблиц соответствия по изображениям Яа(р, д) и Яр(р, д) находят оригиналы Яа(%, п) и Яр(%, п);

4) подставляя в найденные оригиналы значения криволинейных параметров % = 8 и п = У, соответствующих характеристикам, ограничивающим исследуемую пластическую зону, определяют их радиусы кривизны, которые являются начальными условиями для поиска решения в последующем пластическом участке.

Приведенные результирующие соотношения в операторной плоскости интегрального преобразования Лапласа-Карсона (в плоскости изображений) и методика, позволяющие находить значения радиусов кривизны текущих и граничных характеристик (линий скольжения) для начальной краевой характеристической задачи, могут быть использованы для нахождения решения и в других краевых задачах (задача Коши, смешанная краевая задача). Для этого они приводятся к начальной характеристической задаче введением фиктивных начальных характеристик [6].

Рассчитанные значения радиусов кривизны позволяют интегрированием вдоль граничных линий скольжения определять геометрические размеры пластической области, распределение напряжений, контактные давления и интегральные значения необходимой для пластического формоизменения технологической силы для широкого класса задач обработки металлов давлением.

Приведенные соотношения в операторной плоскости интегрального преобразования Лапласа-Карсона позволят преодолеть математические трудности при решении краевых характеристических задач в различных разделах механики.

Список литературы

1. Технологическая механика: учеб. пособие / Г.Д. Дель [и др.]. М.: ЦНИИНТИ, 1985. 185 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

3. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Математический сборник. 1936. №4. Т. 1. С. 511.

4. Панфилов Г.В. Аналитическое интегрирование уравнений начальной характеристической задачи плоской теории пластичности // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 11. С. 17-20.

5. Панфилов Г.В., Смарагдов И.А. Аналитическое описание полей характеристик в технологических задачах плоской деформации // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 3. С. 157-160.

6. Диткин В.А. Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 232 с.

7. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956.

407 с.

G. Panfylov, A. Panov

The modeling ofplastic flow by the slip-line fields analytical description

On the basis of Laplace-Carson’s integral transformation operational relations the mathematical apparatus and technique allowing evaluating of slip-line’s radius of curvature values for the initial characteristic problem in the fields schematizing plastic regions of metal deforming processes were investigated.

Получено 07.04.09

УДК 539.374:621.983

Е.Ю. Поликарпов, канд. техн. наук, соискатель, (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

НЕОДНОРОДНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

ПРИ ОБРАТНОМ ВЫДАВЛИВАНИИ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК

Установлено влияние технологических параметров на величину неоднородности интенсивности деформации и сопротивления материала пластическому деформированию в стенке осесимметричной детали, изготовленной обратным выдавливанием толстостенных трубных заготовок из анизотропных материалов.

Ключевые слова: обратное выдавливание, напряжения, деформации, труба, анизотропия.

В работе [1] рассмотрен процесс обратного выдавливания трубной заготовки при установившемся течении анизотропного упрочняющегося материала коническим пуансоном с углом конусности а и степенью деформации s = 1 - Ъ/ F (рис. 1), где F) и F - площади поперечного сечения трубчатой заготовки и полуфабриката соответственно.