CC BY
40
В.Н. Митрошин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННОЙ КАБЕЛЬНОЙ ЖИЛЫ ПРИ ЕЕ ИЗГОТОВЛЕНИИ НА ЭКСТРУЗИОННОЙ ЛИНИИ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Решена задача математического моделирования температурных полей при охлаждении сопряженных физически неоднородных осесимметричных тел. Это позволит получить структурную схему процесса охлаждения кабельной изоляции, накладываемой на экструзионной линии, как объекта управления с распределенными параметрами для последующего синтеза системы управления процессом охлаждения.
Важнейшей технологической операцией производства кабелей связи с пластмассовой изоляцией, на которой формируются основные параметры качества кабеля как канала связи, является операция изолирования. При изготовлении кабелей с полиэтиленовой изоляцией ее наложение осуществляется на экструзионных линиях, содержащих помимо червячных экструдеров охлаждающие ванны. При этом ванны охлаждения обычно рассматриваются как объекты управления с сосредоточенными параметрами (звенья с переменным транспортным запаздыванием [1]), а не как объекты управления с распределенными параметрами. И это несмотря на то, что на технологической линии изолирования предусмотрено распределенное управление температурой воды в ваннах.
В данной работе предпринята попытка математического описания процесса охлаждения кабельной изоляции как объекта с распределенными параметрами.
Система уравнений, описывающая в безразмерной форме температурное поле в системе двух сопряженных цилиндров — внутренний медный проводник (индекс 1) и кабельная полиэтиленовая изоляция (индекс 2), имеет нижеследующий вид [2].
Для металлического проводника (внутреннего цилиндра):
<2 <*-1 г = £!^г^)+1 ы, (х, і .г)+, 1 є[од], х ф, х, ], х, < 1. (1)
дг дх х д х ді
Для изоляции (внешнего цилиндра):
дв2 (х,і, г) д2д2 (х,і, г) 1 дв2 (х,і, г) 2 82в2 (х,і, г) 2 „ дв2 (х,і, г)
---—------- =---—-------- +-----—------- + 7------—------ - 7 • Ре-----—------ (2)
дг дх2 х дх ді2 ді
і є [0,1], х є [х1,1].
В безразмерной форме начальные условия записываются следующим образом:
0 (х,і,0) = 210 (х,і); в2 (х,і,0) = в20 (х,і);
т т (3)
0 (хДг) = 0 (х,т) = т* = 0*0 ; 02 (хАг) = 02 (хг) = т* = 02*1 ;
д0 (0, іг)
и ’ = 0; 0 (0, і ,т)^¥.
дх
На поверхности контакта изоляции и проводника выполняется граничное условие четвертого рода, что соответствует теплообмену тел, находящихся в тепловом контакте (температуры сопрягающихся поверхностей одинаковы), а на внешней поверхности изоляции, охлаждаемой теплоносителем (водой — в ванне охлаждения, либо воздухом — на участке воздушного охлаждения), выполняется граничное условие второго рода [3]:
д02 (^і2 (X1-і-7) 1 (4)
— а— с—^—-, 1=-т; (4)
8х 8х І2
в2 (х1, і, г) = 0 (х1, і, г); (5)
2 д1,1 ,г)=«. (і г=- • [2 (1, і г - в. с, г, (6)
д х 1
где в2 = Т
2 Т
X =
Т
) = л
1 Т *' ь Здесь Т1 — температура проводника; Т2
а(
т =
7 =
Ь
Ре =
Г • Ь
я " яш а яи
из из из
*
температура изоляции; Т — температура приведения (плавления изоляции); в1 и в2 — безразмерная температура проводника и изоляции соответственно; г — текущий радиус; 7 — продольная координата; / — текущее время; Я из — радиус жилы по изоляции; г0 — радиус внутреннего проводника; х,1,т - безразмерные радиус, осевая координата и время соответственно; Ь — общая длина участка охлаждения; х1 — граница сопряжения двух неоднородных сред (изоляции и металлического проводника); Я1 — коэффициент теплопроводности материала проводника; к2 — коэффициент теплопроводности материала изоляции; V — скорость изолирования (вытяжки); Тр — температура расплава изоляции; Тп — температура предварительного подогрева проводника; Ре — число Пекле; а — коэффициент температуропроводности; а п — коэффициент теплоотдачи на поверхности изоляции; 0в — относительная температура охлаждающей среды (например, воды).
При охлаждении расплавленной кабельной изоляции в результате кристаллизации полимера происходит выделение тепла, поэтому в уравнение (2) необходимо добавить член, учитывающий наличие внутренних источников тепла. Но так как толщина кабельной изоляции, как правило, невелика и составляет единицы миллиметров, разность температур наружного и поверхностного слоев изоляции не превышает при охлаждении 40-60 °С и, как показали расчеты, количество тепла, выделяемого при кристаллизации, незначительно, а потому с достаточным обоснованием внутренними источниками тепла можно пренебречь.
Будем искать решение системы уравнений в виде сумм
01 (х, I, т) = вп (х, т) + 012 (х, I, т), в 2 (х, I, т) = 021 (х, т) + 022 (х, I, т), где 011 (х, т) и 021 (х, т) удовлетворяют уравнениям
д0п (х,г) д20п (х,г) 1 д0п (х,г)
(7)
дт
дх2
- + —• х
дх
д021 (х,г) д2021 (х,г) 1 д021 (х,г)
(8)
дт
дх2
дх
а 012 (х, 1,т) и 022 (х, 1,т) —
д012 (х, I, т) = д2012 (х, I, т) +1 ^ д012 (х, I, т)
х
дт
д х
3022 (х, I ,т) д 2022 (х, I, т) 1 3022 (х, I ,т)
-------------- =-------------------1------------------
дт д х х д х
+ 7
д2 012 (х, I, т) д12
д 2022 (х, I ,т)
д 12
, I е[0,1], х е[0, х ], (9)
- 72 • Ре •0(хАт), (10)
д I
I е[0,1],
Краевые условия: Тп
Т
г\ *
10
011 (х,0) =
01 (х,т)= 021 (х,т)
, (х,0) = (
х е [х1,1] . д021 (1,^)
дх
д011 (0,т)
дх
= 0;
д021 (х1,т)= , д011 (х.т).
X
д х
д х
,(х,/,0)= 010 (х, I), 022 (х,/,0)= 020 (х, I), д012 (0,1,т) = 0;
д022 (х1,1,т) д012 (х1, !,т)
X
дх
(x1,/,т)= 0— (х^ 1,т) .
(11)
дх дх
Рассмотрим теперь систему уравнений (8) с краевыми условиями (11), описывающих температурное поле двух разнородных сопряженных бесконечных цилиндров. Применяя преобразование Лапласа [5], получим
д2011 (х Р) , 1 д011 (х Р) р 0
дх2
- + — • х
дх
-- р •011 (х,р) = 0;
(12)
г
0
2
д 2 021 (X, Р) , 1 д021 (X, Р)
дх2
с граничными условиями
________21 '
х дх
д0и(0, Р)
- Р • 021 ( Р)= 0
дх
д021 (1, Р) дх
= 0,
(13)
(14)
(15)
и условиями сопряжения
011 (X1, Р)= 021 (х^ Р), (16)
д021 (х,, p) д0п (х,, p)
21 д 11 = X------. (17)
дх дх
Уравнения (12) и (13) представляют собой однородные модифицированные уравнения Бесселя, имеющие различные граничные условия. Решение (12) с граничным условием (14) относительно изображения 011 (х, p) можно записать в виде [6]
011 (x, Р)= С3 0 (xл/p ) . (18)
Решение уравнения (13) с граничным условием (15) относительно изображения 021 (х, p) можно представить таким образом [3,6]:
021 (X, Р)= C1 (Р)/0 (хVР )+ С2 0 ) . (19)
Здесь Cl (p), C1 (p) и Cз ^ ) — постоянные интегрирования, 10 (xл/p) и K0 (хл[р) — функции Бесселя соответственно I и II рода нулевого порядка от мнимого аргумента. Значения постоянных интегрирования С1 (p), С2 (^) и Cз (Р ) должны удовлетворять граничному условию (15) и условиям сопряжения (16), (17).
Опуская промежуточные преобразования, запишем выражения для постоянных интегрирования:
^ )• а )- K1 ()
С1 (Р )= а( Р )• С 2 (Р ) ,
Cз ^) = [а а)• 10 )+ K0 (х1 )]•
91(p)
p •
а
(20)
(21)
(22)
(23)
где Ц1 ^) — изображение по Лапласу функции 9 (1, т),
а(р )= K1(х1)+ X K 0 (xlл/p )
11 (х^)-х 10 (xlVp)
Тогда полученные в изображениях по Лапласу выражения для температур 011 (х, p) и
021 (х, p) будут иметь вид
а^)• 10 (х1^[р) + K0 )]
011 (х, p) =
1(х p) =
^ • а(p )• 11 )- К1 )] xp)•10 )+ К 0 )]
XР) • 1 )- К1(1
(24)
(25)
Рассмотрим далее уравнения (9), (10). Уравнение (9) есть неоднородное модифицированное уравнение Бесселя. Применим к нему конечное интегральное косинус-преобразование Фурье [3] для граничных условий II рода. Это формально можно допустить, так как кабель —
длинномерное «бесконечное» изделие; тепловые потоки вдоль оси кабеля нулевые, и на границах участка охлаждения справедливо полагать
д012 (х,0,Т) ( ) 0 (26)
—д— д2 (х,т=0; (26)
д019 (х,1,т) / ч
12д/ ’ = 93(х,т) = 0. (27)
д/
Тогда в соответствии с [3] имеем
0(х-"•т)=а2012(х+1 .д012”’т) - 7Р'-п'-0ЛхЛт), (28)
дт д х х д х
где 012 (х, ",т) — изображение 0(х,/, т) по координате /.
Существенным отличием уравнения (10) является наличие транспортного члена
2 д022 (х,/, т)
7 • Ре--------------, который не позволяет непосредственно применять косинус-
д/
преобразование Фурье. Исключим этот член с помощью подстановки [3]:
022 (х,/,т) = Т2 (х,/,т)- Б (/,т) , (29)
где Т2 (х,/, т) есть функция тех же переменных, что и 022 (х,/, т), а Б (/, т) положим равной:
Ре 72 •Ре 2
— •/ •т
Б (/,т) = е[ 2 4 -1 . (30)
Подставляя (29) в (10), получаем после преобразований уравнение, аналогичное (9) (без транспортного члена), но для другой функции Т2 (х,/, т), связанной с искомой функцией
022 (х,1, т) соотношением (29):
дТ21 ^ + 1 дТ 1 т + 7= .д 2 Т (х;1 т , / е[0Д], х е[0, х1 ]. (31)
дт дх х д х д1
Граничные условия с учетом (29) теперь запишутся следующим образом:
, ч дТ2 (х,/т) д01? (х.,/,т)
б(/т) 2д ” ’ = с 12У ’; (32)
дх дх
012 (х1, / т = Т2 (х1, / ,т) • Б (/ ,т); (33)
дТ2 (х,0,т)
■ = 94 (х,т) = 0; (34)
= 95 (х,т)= 0. (35)
д/
дТ2 (х,1,т)
д/
Применяя к (31) косинус-преобразование Фурье, получим теперь для изображения Т2 (х, ",т):
дТ2(х,и, г) 52Т2(х,и, г) 1 дТ(х,и, г) 2 2 2^( ) (36)
—^--------- =------^----- +------^------- - 7 р " Т2 (х,",т) . (36)
дт дх х д х
Теперь необходимо для изображений Фурье найти условия сопряжения на границе раздела двух сопряженных тел, т.е. установить связь между косинус-преобразованиями температуры
012 (х,", т) внутреннего цилиндра (проводника) и Т2 (х, ",т) внешнего цилиндра (кабельной изоляции).
Интегрируя соответствующие условия (11) согласно [4], получим:
д012 (0, ",т)
дх
- = 0; (37)
д01- (х.,",т)
= х • 12 ^1 }; (38)
д х
, дТ (X!,/,г)
Б (/т—п 1 7
1 ’ дх
012 (х1, "т) = Ь [Т2 (х1, / Б (/ ,г)]; (39)
Ь
q12 (x,/,о)=q10 (x,i), q22 (x,/,0)=q20 (x,i), dT2 (0,/,г) = 0. (40)
д x
Принципиальное усложнение здесь получается за счет необходимости искать изображения по Лапласу от произведений в (38) и (39). Представим S(/, г) в виде разложения в ряд по
1
cos pnl. Обозначив Sn (г) = JS(/, г) cos pnl dl, получим [3]:
0
¥
S(/,г) = S0 (г) + 2^ Sn (r)cospni . (41)
n=1
Аналогично представим в12 (x,/, г) и T2 (x, l ,г):
¥
qi2 (x, l,г) = qi20 (x,r) + 2 2012п (x, n,r)cospnl ; (42)
n=1
¥
T2 (x,l, г) = T20 (x, г) + 2^ T2n (x, n^cospnl . (43)
n=1
В соответствии с введенными для задачи (9)—(10) граничными условиями (11) можно показать, что
1
^120 (x,T) = \e12 (x,l,T))l = 0 ; (44)
0
1
T20 (x, г) = J T2 (x, l, г)dl = 0 . (45)
0
Тогда, подставляя (41) и (45) в (39) с учетом соотношения (30), умножая обе части равенства (39) на cos kl и интегрируя полученные равенства по l, получим вместо (39)
J2^012п ( , n, г) cos pnl • cos pkl dl = 2S0 (г )Z T2m (,n,r)Jcosppml • cosTtkl Jl +
0 n=1 m=1 0
¥ ¥ 1
+4EZSn (^)T■ m ((n. r)Jcos pnl • cos pml • cos pkldl. (46)
m=1 n=1 0
Здесь
J cos pnl • cos pkl =
0
1
а интеграл
J cos pnl • cos pml • cos pkldl = 0, "m > 1, n > 1, k > 1.
0
Тогда вместо (46) получаем
012^ (х1,",т) = Б0 О • Т2к (х1,",т, к = 1,2,... , (47)
а вместо (39) —
012 (х1, ",т) = Б0 (т) • Т 2 (х1, ",т). (48)
Аналогично вместо (38) имеем
д019 (х., ",т) / ч дТ2 (х., ",т)
X • 12;1 ’ = Б0 2 V ^ • (49)
дх дх
Таким образом, задача нахождения изображений в (38), (39) решена в условиях (44), (45), которые становятся возможными в рамках модели (36), что и объясняет предлагаемый поиск решений 01 (х, /, т) и 02 (х, /, т), описывающих температурное поле двух разнородных сопряженных бесконечных цилиндров, в форме (7).
Теперь окончательно имеем систему уравнений:
д012 (х,и,г) д2012 (х,и,г) 1 д012 (х,и,г) , . —
, +--------------
дг дх2 x dx
--A(n)q12 (x,n,r), "xe [0,xj]; (50)
д Т (г ”’т) = д 2 Т (г "-г) +1 -д Т (г пт) - А(п Щх, пт), "г е[г„1] (51)
дт д г г дг
с граничными условиями:
дд2 (г, п,т) д г
= 0.
дТ2 (г, п,т)
= 0.
= Х0 Т)
д г
д г
г=1
дТ2 (г, п,т)
д г
(г, п,т) = Бо (т)- Т2 (г, п,т
,(г, п,т) = Т2 (г, п,т) = 0,
Iт=0 Iт=0
(52)
где
А(п ) = у2п2 п2
; Б 0 (т) = к * е-Дт ; к * =
2
Ре
( р± \
е 2 -1
; Д =
у2 Ре2 4
(53)
Применяя к (50) и (52) преобразование Лапласа, получим изображения для составляющих 912 (г, п, р) и Т2 (г, п, р) температурного поля системы двух сопряженных разнородных по те-
плофизическим свойствам осесимметричных цилиндрических тел:
d2ql2 (г,п, р) 1 dв12 (г,п, р)
г
dг2
с граничными условиями:
dг/^ г dг
d2 Т2 (г, п, р) 1 dT2 (г, п, р)
г
dг
-[ р + А (п )]-02 (г,п, р ) = 0; -р + А(п)]-Т2 (г, п, р )= 0
(54)
(55)
д012 (0, n, р) = 0 дТ2 (1, n, р) = 0
д г ’ д г ’
^12 (гі, п, р) = к * Т2 (гі, п, р + Д),
- д^і2 (, п, р) = к * дТ2 (гі, п, р + Д) С- дг дг '
(56)
Решения (54) и (56), как составляющие решения однородных уравнений Бесселя будем вновь искать в виде [6]
Т2 (х,",p) = С4 (",p)0 (^Р + А(")) + С5 (",p)К0 (х^ + А(")) ; (57)
012 (х,", Р ) = С6 (", p)/o (xл/p + А (")). (58)
Введем обозначения:
5 = д/ p + А ("), <г = д/ p + А (")+Д .
Постоянные интегрирования С4 (", p), С5 (" Р) С6 к Р ) находятся из решения системы уравнений (56), составленных для поверхности сопряжения двух цилиндрических тел и условия теплообмена внешнего цилиндра с окружающей средой, но уже для новой переменной
Т2 (г, п, р ):
д0і2(0, n, р) = 0 дТ2(1, n, р) = 0 д г ’ д г ’
^12 (гі, п, р) = к * Т2 (, п, р + Д),
dв12 (г1, п, р) = к * dT2 (г1, п, р + Д) dг dг
С-
(59)
Подставляя в (59) выражения для изображений температурных полей в12 (x, n, p) и
T2 (x, n, p) в точках с координатами x = xi и x = 1, решая (59) относительно С4 (n, p), С5 (n, Р ),
С6(n, Р) и переходя в область оригиналов для косинус-преобразований Фурье, увидим, что
при отсутствии внутренних теплоисточников изображения по Лапласу в12 (x, l, p) и T2 (x, l, p) равны нулю.
Таким образом, в выражениях (18) и (19) для составляющих в11 (x, p) и в21 (x, p) представлено температурное распределение для проводника и кабельной изоляции соответственно. Полученные результаты позволяют построить структурную модель процесса формирования температурного поля при охлаждении изолированной кабельной жилы при ее изготовлении на экструзионной линии как объекта управления с распределенными параметрами для последующего синтеза системы управления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИ СПИСОК
1. Launch K., Muller G., Wallau H. Automatisierungssystem fur kabelummantelungsanlagen // Mess. - Steuern - Regeln, 1979. В. 22. N/ 7. S. 370-374.
2. Митрошин В. Н. Математическое моделирование процессов теплопереноса при охлаждении экструдированной кабельной жилы с учетом фазовых превращений полимерной изоляции // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки, 2005. № 32. С. 184-188.
3. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.
4. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Высш. шк., 1966. 456 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.
6. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 287 с.
Поступила 8.07.2005 г. После переработки 20.09.2005 г.
УДК 66.046.4.001.57 В. В. Копцев, А. В. Копцев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАГРЕВА ГРАНУЛИРОВАННОЙ СРЕДЫ
Предложена математическая модель нагрева при технологическом процессе получения металлургической извести, которая моделируется гранулированной средой, элементами системы которой являются сферы. Вводится кусочно-постоянная аппроксимация коэффициента теплопроводности. Задача решена численно. Наблюдается хорошее согласование с результатами экспериментов.
Для ведения технологического процесса при получении металлургической извести во вращающихся печах необходима достоверная информация о протекании обжига материала. В первую очередь требуются данные о протекании процессов сушки, дегидратации и декарбонизации М^С03 и СаСО3, которые в итоге определяют основной показатель качества производимой извести - потери материала при прокаливании (ПМПП). Эта задача может быть решена с помощью модели нагрева известняка, предлагаемой автором, которая отличается от существующих (например [1]) тем, что обрабатываемый материал рассматривается не как слой, представляющий термически тонкое тело, а как слой, состоящий из частиц сферической формы различного фракционного состава.
При создании модели вся длина вращающейся печи разбивается на N зон малой протяженности (длина каждой зоны равна 1 м). Для каждой зоны рассчитываются скорости движения обрабатываемого материала и газового потока, их температуры и коэффициенты теплообмена. При этом температура материала определяется как среднемассовая температура системы, состоящей из сфер различных радиусов, размеры которых соответствуют размерам частиц фракции известняка (см. таблицу).
