Определение остаточных сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61). 273

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 518:517.944

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ СВАРОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ СТЫКОВОЙ СВАРКЕ ТОНКИХ ПЛАСТИН

© 2007 Е.А.Слепцова, А.Р.Павлов1

Построен алгоритм определения остаточных сварочных напряжений и деформаций, когда температурная задача сварки решена новым способом учета теплоты фазового перехода — путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла. Построен итерационный алгоритм расчета плоской упругопластической задачи в напряжениях. Приведены примеры численных расчетов.

Введение

Математическая модель напряженно-деформированного состояния тела при сварочном нагреве состоит из двух сопряженных задач: температурной и деформационной. Температурная задача рассматривается в двух постановках: первая — в виде линейной задачи теплопроводности. Известные аналитические решения задачи теплопроводности обычно не учитывают влияния теплоты фазовых переходов [1,2]. Достоинство таких решений — простота, недостаток — высокая погрешность результатов расчета в высокотемпературной области. Согласно результатам исследований, теплота плавления существенно влияет на размеры сварочной ванны и шва, особенно при сварке алюминиевых сплавов [3-6] В работе [7] предложен алгоритм решения квазистационарного уравнения теплопроводности аналитическим методом источников, позволяющий учитывать влияние теплоты плавления и кристаллизации на термический КПД процесса проплавления. При решении температурной задачи тепловые характеристики материала (теплопроводность, удельная теплоемкость, плотность и коэффициент поверхностной теплоотдачи) приняты независимыми от температуры.

Второй подход состоит в более точном описании температурного поля сварки с учетом и теплоты фазового перехода, и зависимости теплофизических коэффициентов от температуры, который приводит к постановке задачи Стефана. В такой постановке в работе [8] исследовано температурное поле при сварке встык тонких пластин постоянной толщины и ограниченных размеров.

1 Слепцова Екатерина Анатольевна (katis80@mail.ru), Павлов Алексей Романович (madu@sitc.ru), кафедра математического анализа Якутского государственного университета, 677000, Россия, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48.

Исследование кинетики сварочных напряжений и деформаций проводится на основе либо теории малых упругопластических деформаций, либо по теории течения [9-11].

Одной из первых работ в сварочной литературе, в которой широко используется математический аппарат теории пластичности, является работа [12]. В ней при получении отдельных решений относительно распределения остаточных сварочных напряжений используется теория малых упругопластических деформаций в представлении А.А.Ильюшина [13].

В дальнейшем в работах В.А. Винокурова теория малых упругопластических деформаций была применена для решения задачи по оценке квазистационарного поля упругопластических деформаций и напряжений при сварке встык тонких пластин, а также для получения данных о перераспределении остаточных сварочных напряжений в процессе их релаксации при отпуске [14,15].

Деформационные теории пластичности отличаются простотой и удобством реализации решений для случаев нагружения, близких к простому.

При сварочном нагреве, когда возникает необходимость в учете истории на-гружения, деформационные теории пластичности теряют основное достоинство — простоту, так как их применение связано с рядом специальных приемов, предназначенных учесть историю нагружения [14]. С этой точки зрения более гибкими являются теории пластичности типа теорий течения. Трудоемкость реализации решений на основе этих теорий в случае применения численных методов примерно такая же, как и решений на основе деформационной теории [16], поэтому перспективность физически более обоснованных теорий течения несомненна.

Наиболее общая математическая модель напряженно-деформированного состояния тела предложена в работе В.И.Махненко [11]. Им разработаны алгоритмы определения сварочных напряжений и деформаций по теории течения, которые получены на основе вариационной формулировки задачи. Для расчета температурного поля используются формулы из работы [1], в которых не учитывается теплота фазового перехода.

В настоящей работе разработан алгоритм определения остаточных сварочных напряжений и деформаций на основе постановки температурной задачи сварки в виде задачи Стефана с движущимся источником тепла. Теплота фазового перехода, выделяющаяся на границе плавления (кристаллизации), рассматривается как сосредоточенный источник тепла. Алгоритм определения кинетики сварочных напряжений и деформаций разработан на основе решения упругопластической задачи с условием текучести Мизеса [11], для численного решения которой использована методика работы [17], разработанная для плоских статических задач теории упругости.

1. Температурная задача

Температурное поле при сварочном нагреве и теплота фазового перехода, выделяющаяся на границе плавления (кристаллизации) описываются двухфазной задачей Стефана

С1 ^ = сНу (XI ёгайТ) + /! - Н(Т), Т < Т., (1.1)

дг

С2?= сНУ (Х2 ёпзйТ) + /2 - Н(Т), Т > Т., (1.2)

((^гаёГ)! - (кёгайТ)2, Егас1Ф) + Ь^- = О, Т = Т., (1.3)

дг

где Т = Т(х1, Х2, ..., хр, г) — температура; Ф(х1, Х2, ..., хр, г) = 0 — уравнение поверхности фазового перехода; х = (Х1, Х2, ..., хр) е Кр; г > 0; Т, — температура фазового перехода; /1, /2 — плотности тепловых источников; Н(Т) — непрерывная функция, учитывающая теплоотдачу с поверхности тела; Ь — энтальпия фазового перехода. Для систем (1.1)—(1.3) задаются граничные и начальные условия.

Для численного решения задач типа Стефана широко используется разработанный в [18,19] метод сглаживания, в основе которого положено предположение, что теплота фазового перехода выделяется в некоторой окрестности поверхности фазового перехода (Т,- А, Т, + Д), т.е. принимается допущение, что фазовый переход происходит, начиная с температуры ниже (выше), чем температура плавления (кристаллизации). В этой работе предлагается другой подход, учитывающий более точно реальный процесс тепловыделения на поверхности фазового перехода. Для этого вводится кусочно-непрерывная неотрицательная функция g(T), удовлетворяющая следующим условиям:

1) g(T) определена во всем диапазоне изменения температур, отлична от нуля в промежутке [Т,, Т, + А), а вне его тождественно равняется нулю;

2) е(Т,) = 1; де

3) -ф < 0 для Т е (Г„ Г, + А).

О выборе числа А будет сказано ниже.

Справедлива следующая

Теорема. Сформулированная выше задача Стефана эквивалентна задаче теплопроводности для уравнения:

=div(XgradГ) + /-Я(Г) + L^, (1.4)

с граничными и начальным условием исходной задачи.

Коэффициенты уравнения (1.4) определяются через коэффициенты уравнений (1.1), (1.2): с = С1, к = Х.1, / = /1 при Т < Т, и с = С2, к = "2, / = /2 при Т > Т,.

Доказательство. Следуя методике [20], основанной на идее работы [18], рассмотрим некоторый объем V, ограниченный поверхностью А и содержащий внутри себя поверхность раздела фаз 2 (рис. 1).

В момент времени г поверхность раздела фаз 2 делит область V на две подобласти V!, V2 с внешними поверхностями А1, А2. За некоторое приращение времени Аг поверхность раздела фаз проходит через элементарное приращение объема SV и займет положение 2'. При этом увеличится объем, занятый фазой 2 и соответственно уменьшится объем фазы 1.

Проинтегрируем уравнение (1.4) по объему V и воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского

J = ^(к%т&Т,п)<1А + J + ^(¿-Н(Т))<1У, (1.5)

V А V V

где п — внешняя нормаль к поверхности А.

Преобразуем второй интеграл правой части (1.5):

^^ V2+SV

Уг

1У)

а

Аг

ЬУ

У1

А,

Рис. 1. Объем У, содержащий внутри себя поверхность раздела фаз Е

Здесь интеграл по области У, — ЬУ равен нулю по определению функции g(T), а второй интеграл по У г + ЬУ представим в следующем виде:

, г+Лг — (<?)г, г

Г ьдАс1у = ГАу+Ит [ь^ J & J д! л^о J

Уг+ЬУ Уг ЬУ

Лг

йУ.

Из определения функции g(T) следует, что (£),, г+лг = 0 и g(T) = 1 на фазовой поверхности. При Лг ^ 0 отношение йУ/ Лг стремится к угп ■ йЕ, где угп —локальная скорость элемента йЕ по нормали к ней в сторону первой фазы. Кроме того, объем ЬУ при этом стягивается к поверхности Е, так что областью интегрирования становится Е. Тогда из двух предыдущих соотношений имеем

(1.6)

Напишем соотношения (1.5) для каждой фазы:

J IV = J 0,«гайТ, и), (!Л + ^ I. ^ (IV + ^р/, - [1СГ))(1У,

У1 А,+е У, У1

JС'1 (IV = ^ (\gradT, п)2 (1А + ^ I. ^ (IV + - //('/ )) (IV.

Уг Аг+е Уг Уг

В первом равенстве второе слагаемое правой части равен нулю, а во втором аналогичный член заменим его значением из (1.6). Затем, суммируя полученные соотношения, будем иметь

^ с^йУ = ^(XgradT,n)dA + ^(XgradГ, п)х<т+ ^(XgradГ, п)2<& +

J + J Ь-у'пс1Е + JI

(/ — Н(Т)) йУ.

Теперь, вычитая (1.5) из полученного соотношения, придем к равенству ^(Х grad Т, п)1 йЕ + ^(Х ёгай Т, п)г йЕ + ^ L ■ У*пйЕ = 0.

еее

п

Е

+

Если локальную нормаль к 2, направленную в сторону первой фазы, обозначить через п,, то в первом интеграле п = -п,, а во втором п = п,. Тогда предыдущее равенство запишется в виде:

[((к grad Т)2 - (к, grad Т)1, п,) + Ь ■ у*п] d2 = 0.

2

Отсюда в силу произвольности объема V и соответствующей поверхности 2 следует

((к grad Т)1 - (к grad Т)г, п,) - Ь ■ у*п = 0,

которое с учетом соотношений

1 I dR \ grad Ф IdR \ дФ Л п |gradФ| \ dг ) |grad Ф| \dг ) дг

дает условие (1.3).

Здесь г = Щг) — радиус-вектор точки, лежащей на поверхности фазового перехода.

Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы температурное поле и положение контура сварочной ванны при стыковой сварке двух тонких пластин определится в результате решения следующей задачи:

дТ Л д I дТ \ 2а де

к = а(Т - Тс), X! = 0, (1.8)

дх1

-\%L=a(T-Tc),xl=h, (1.9)

дх1

дТ

— =0,х2 = 0, (1.10)

дХ2

(T-Tc),x2 = h, (1.11)

дх2

Т(х1, х2, 0) = TC = const, (1.12)

где система координат выбрана таким образом, что ее начало находится на кромке пластины, ось Х1 направлена вдоль шва, ось Х2 — по кромке пластины перпендикулярно оси Х1. Кроме того, учтена симметрия области распространения тепла относительно оси Х1.

Функция f, представляющая объемный источник тепла, вносимый сварочной дугой, выражается через параметры дуги в следующем виде [1]:

f = qK/nb exp[K((х1 - vct)2 + х2)],

где q = nUl — эффективная мощность дуги; п — эффективный КПД процесса нагрева изделия; U, I — напряжение и сила тока соответственно; K — коэффициент сосредоточенности теплового потока дуги; vc — скорость сварки; b — толщина пластины; Тс — температура окружающей среды.

Коэффициенты уравнения (1.7), как функции температуры, терпят разрывы при Т = Т, и не определены в этой точке. Последний член правой части его объединим с левой частью, тогда эффективная теплоемкость c - Ldg/d-Т имеет

разрывы в точках T = T, и T = T, + А. Исходя из сказанного, уравнение (1.7) представим в виде

коэффициенты которого определены во всем диапазоне изменения температуры следующим образом:

ci, если T < T,,

0.5 lim c1 + lim c2 - Ldg/dT\, если T = T„,

c = { \T 0 T ^T, + 0 j

c2 - Ldg/dT, если T, < T < T, + А,

C2, если T > T, + А;

IXi, если T < T, — А,

(X1 + X2)/2 — (X2 + X1)(T — T,)/2A, если T, — А < T < T, + А,

X2, если T ^ T, + А.

Для коэффициента теплопроводности принята аппроксимация непрерывной функцией. Так как температурное поле наиболее чувствительно к величине теплоемкости, то он должен быть доопределен так, чтобы наиболее точно соответствовал реальному процессу фазового перехода. Этим обусловлен выбор функции С в приведенном виде.

Теперь для уравнения (1.13) с условиями (1.8)—(1.12) можно построить разностные схемы. Конкретный расчет выполнен локально-одномерным методом в сочетании с итерациями по каждому направлению. Рассмотрим два варианта выбора функции g(T):

1) g(T) = 1 +

2) g(T) = exp(0.69(T, — T + А)/А) — 1.

Заданы следующие значения параметров задачи

c1 = 4000 кДж/м3-К, Х1 = 43 Вт/м-К, c2 = 6000 кДж/м3-К, \2 = 34 Вт/м-К, q = 5400 кДж/ч, vc = 9 м/ч, 6 = 0.003 м, T, = 1530 0C, Tc = 20 0C, L = 5.964-105 кДж/м3, K = 3000 1/м2, а = 400 кДж/м2-ч-К при T >500 0C, а = 80 кДж/м2чК при T <500 0C.

Размеры пластины по xi(li) и X2Q2): li=0,1 м; (l2)=0,08 м.

Полученные значения температуры в различные моменты времени для точки A, лежащей на оси шва и отстоящей от левой кромки пластины на расстоянии 6 см, представлены в табл. 1, где на первых двух строках приведены ее значения, соответствующие первому и второму видам функции g(T). На третьей строке приведены значения, вычисленные традиционным методом сглаживания линейной функцией [18,19]. Из таблицы видно, что в процессе остывания, т.е. после прохождения сварочной дугой рассматриваемой точки, полученные традиционным способом сглаживания значения температуры ниже, чем по предлагаемой методике. Это различие обусловлено выбором величины объемной теплоемкости, которая в методе сглаживания принимается большей, чем ее действительное значение.

На рис. 2 показаны изолинии температурного поля при втором варианте выбора функции g(T) в различные моменты времени сварки.

Таблица 1

Термические циклы сварки в точке А при различных методах решения

X сек 9 18 27 36 45 54

Ти °С 119.006 832.332 1547.538 1440.138 806.254 575.195

т2, °с 119.006 832.332 1547.538 1440.138 807.037 575.798

Т3, °С 119.006 832.332 1547.538 1306.591 763.339 659.846

Рис. 2. Распределения температурного поля Т, при t = 27 и 54 с

Таким образом, предлагаемый метод может быть использован для численного решения прикладных задач теплопроводности, приводящихся к задаче типа Стефана.

При численном решении конкретных задач необходимо выбрать величину А так, чтобы разностная схема учитывала на каждом временном шаге теплоту фазового перехода, выделяющуюся на этом интервале. Пусть, например, поверхность фазового перехода находится между узлами и по направлению х\. То-

гда параметр А должен быть выбран из условия А > Т^ - Т„, где Т^ — значение решения разностной задачи в узле (х1,¡, Х2,/).

При выборе функции g(T) необходимо учитывать направление хода процесса — фазовый переход происходит в результате понижения температуры или ее повышения. Она должна быть выбрана отличной от нуля в области вновь образующейся фазы.

2. Деформационная задача

Алгоритм расчета сварочных деформаций и напряжений разработан на основе математической модели упругопластического деформирования в условиях переменных температур [11]. Исходные уравнения этой модели для плоского напряженного состояния имеют следующие выражения:

- уравнения равновесия и совместности деформаций

Г доц + дап _ 0

I дх\ дх2 ' п \\

да^ + да^=0 (2Л)

I дх\ дх2

d2£ll д2Ё22 _ 2 д2гп

д4

dxi dxidx2'

(2.2)

связь между напряжениями и приращениями деформаций:

Аеп = Дюн + B2O22 — bii, АЕ22 = Bi022 + B2O11 — b22, АЕ12 = VOi2 — bi2, Аезз = B2(Oii + 022) — Ьзз, АЕ13 = АЕ23 = 0,

(2.3)

где о^, е^ — компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно; Ае^ —приращения деформаций за время А?, у = 1/2О+Ф, Ф — функция, зависящая от пластической деформации, О — модуль упругости второго рода.

Bi =

2\|1 +К 3 '

B2 =

K — V

i, j = 1, 2, 3,

К — коэффициент объемного сжатия, ф = а(Т - Тн) — функция свободного температурного удлинения, а — температурный коэффициент расширения, Тн — начальная температура.

Граничные условия заданы в напряжениях

011П1 + О12П2 = g„l, 012 П1 + 022П2 = gn2,

(2.4)

где П1, П2 — направляющие косинусы внешней нормали к границе области.

Для численного решения данной упругопластической задачи в напряжениях воспользуемся методикой работы [17], разработанной для плоских статических задач теории упругости. Использование экстремальных принципов в вариационной постановке задачи приводит к необходимости численного дифференцирования, что связано с возникновением дополнительных погрешностей.

Следуя [17], переходим от системы уравнений равновесия к другой. Дифференцируем первое уравнение системы (2.1) по Х1, а второе — по Х2

д2ои | д2оп _0 dxl дххдхг d2Q2i + д2а22 _ ,

(2.5)

дх\дх2

3*2

= 0.

К этой системе присоединим третье уравнение, получающееся из системы уравнений (2.1) дифференцированием первого уравнения по Х2, а второго — по Х1 и последующего их суммирования

д20П д2022 д2012 д2021 + -—^— +-+-= о.

dx1dx2 dx1 dx2 dx^ dx\

(2.6)

Уравнение совместности деформаций (2.2), написанное для приращений деформаций, преобразуем с помощью их выражений через напряжения (2.3)

д2Оп . 1

—— = г(0ц, 022) - — dx1 dx2 2^

32h дх\

1 d2b22 d2b12 + —— — z-

dx2

dx1dx2

(2.7)

где

Но и, а2г) =

д2 д2 —¿(Вцтп + в2а 22) + —^(^1022 + В2ап) ^ дХ2 дх^

Систему (2.5)-(2.7) с заданными граничными условиями (2.4) численно решаем на разностной сетке, построенной при решении температурной задачи. Разностные аналоги системы уравнений (2.5)-(2.7) напишем в виде

ЛЦОЦ +Л!20!2 = 0, Л12021 + Л22О22 = 0, Л^Оц + Л12022 + Ак 012 = 0,

Л12012 = а22) - ТЩ (АггЬи + Лцй22 - ¿-МгЬп),

(2.8)

где

1

а22) = — (Л22(В10ц + В2о2г) + Лц^агг + В2ац)) • 2у

Здесь введены разностные операторы:

Л11/ = /*Х1, Л22/ = /ад, Ак = Л11 + Л22, Л12/ = /х1 Х2,

Систему (2.8) представим в виде

= Л

АнОн = 0,

(2.9)

Ан =

Л11 0 0 Л22

Л12 Л12

Л12 О11

Л12 , Он = 022

А , о12 ,

Для нее ставятся разностные аналоги граничных условий (2.4). Решение системы (2.9) с указанными граничными условиями ищем по следующей итерационной схеме:

(Е - уЛп)[(011)т+1 + о^1] = [Лц + (Е - уЛц)^ + ЕШ - Щ

(Е - уЛ22)[(022)т+1 + 052+1] = [Л22 + (Е - уЛ22)]0™ + ЕШ - Щ (Е - уЛп)(Е - уЛ22)[(012)%+1 + О^1] =

= [Ан + (Е - уЛп)(Е - уЛ22)]о%2 + Л12(011 + О22У

(2.10)

где у

№ = ^(Л22Ьц + ЛЦЬ22 - 2А12Ь12),

,.т+1 т+1 и -

итерационный параметр, щ =

ЕШ - Щ = Л120%2,

У

Граничные условия для т и т + 1 итераций искомых величин такие же, как и в системе (2.9).

Благодаря выбору итерационной схемы в виде (2.10) удалось получить более экономичный алгоритм, чем в работе [17], где искомый вектор Он ищется в виде суммы двух векторов, каждый из которых находится решением итерационных систем, аналогичных (2.10).

Введем матрицу Сн и вектор Он

' Е - уЛп 0 0 Ет н- Щ

Сн = 0 Е - у Л 22 > Он = Ет Гн Щ

1 0 0 (Е - уЛп)(Е - УЛ22) , \ 0 /

и представим систему (2.10) в виде

Сн[(он)ш+1 + ОШ+1] = (Ан + Сн )< + Он.

(2.11)

т

Исследование сходимости схемы (2.11) проводится применением общей теории двухслойных итерационных схем [21, гл. 10]. Так как операторы Ah, Ch — самосопряженные, Ch — положительный, Ah — положительно определенный, то операторы Ah + Ch и Ch удовлетворяют условиям основной теоремы о сходимости стационарных двухслойных схем. Поэтому повторяя доказательство указанной теоремы, придем к соотношению

где z m = а m - а, 6 = min Хк(Ah), 6, = min Хк(Ch - 0.5yAh), Хк(Ah) — собственное значение к к оператора Ah номера k.

Если выбрать итерационный параметр у из условия

1 + у2 УсУ2

то из последнего соотношения следует сходимость итерационной схемы (2.10).

По разработанному алгоритму выполнены расчеты развития упругопластиче-ских деформаций и напряжений при электродуговой сварке встык двух тонких пластин с размерами 10x8 см и полностью свободными границами. Основные характеристики механических свойств приняты согласно [11]: О = 0.8-1011 Н/м2, К = 0.2-10-4 мм2/Н, а = 1.25-10-5 1/град. Закон изменения предела текучести ох(Т) при о0 = 35-107 Н/м2 представлен в табл. 2.

Таблица 2

Зависимость предела текучести от температуры

1 .. _ 6 ■ 6«

т, °с 100 200 300 400 500 600 650 700 800 900 >900

ог( Т) о? 1,0 0,94 0,90 0,80 0,70 0,56 0,44 0,34 0,20 0,16 0,1

На рис. 3 показаны распределения напряжений Оц (а) и 022 (Ь) в момент времени, когда сварочная ванна отстоит от левой кромки пластины на расстоянии 1 см (при Г = 11,25 с). Из полученных результатов расчета следует, что разработанный алгоритм позволяет исследовать закономерности изменения напряженно-деформированного состояния тел при сварочном нагреве.

Х2 Х2

Рис. 3. Распределения напряжений 011 и 022 Н/м2 при t = 11,25 с

3. Расчет остаточных сварочных напряжений и деформаций

Решение упругопластической задачи до полного выравнивания температуры не дает истинных значений остаточных напряжений и деформаций, так как начиная с некоторой температуры при остывании материал будет работать как упругое тело.

По теореме о разгрузке А.А.Ильюшина [13], остаточные напряжения и деформации определяем по следующему алгоритму:

1) Решая упругопластическую задачу:

Г доп + doi2 _ q

I дх\ дхг

| да21 + до2г _ 0

I дх\ дхг

<Э2АЁЦ (Э2АЁ22 _ 2 д2 АЁ12

дх% д£у дхгдхг'

Оц(М')П1 + 012(М')И2 = gi(M'), 02l(M')ni + 022(M')U2 = g2(M'), где M' € Г, ni, П2 — направляющие косинусы к Г;

£ij = + Aej

где (*) означает значение в предыдущем временном слое;

Аеп = Дюн + B2O22 - bn, Ае22 = Bi022 + B2O11 - ¿22, Aei2 = ^12 - ¿12,

Аеээ = B2(on + 022) - ¿33,

A£13 = Ae23 = 0,

где

и 2t|/ + K D

- -~-, "2 - ---,

b4 = [^) "АФ]> /,7=1,2,3,

'Он \*) 1 ^

до конца процесса сварки (до начала разгрузки) определяем временные напряжения и деформации е^. Полное напряжение (0Н)1 и полная деформация (е^)1 будут соответственно равны временному напряжению о^ и временной деформации е^ в конечный момент сварки, т.е. в момент прохождения сварочной дугой правой кромки пластины.

2) Решаем упругую задачу:

Г доп + доп _ 0

I дх\ дхг

] да2\ + до2г _ 0

I дх\ дхг

д2£ц + <Э2ё22 =

0ц(М')И1 + 012(Ш')П2 = ^1(М'), 021(М')И1 + 022(М')Н2 = g2(M'),

где М € Г, П1, П2 — направляющие косинусы к Г;

' £П = + -^22],

' £22 = +а + 2|Х)022],

£12 = £21 = ¿012 = ¿021,

с конца процесса сварки до полного остывания температуры тела (до полной разгрузки). Полное напряжение (о^)2 будет равно значению напряжения о^ в момент полной разгрузки. Полная деформация определяется по формуле:

(е£)2 = + аЛТ,

где е^ — есть упругая деформация, которая равна значению е^ в полной разгрузке, аЛТ — температурная деформация.

3) Определяем остаточные напряжения и деформации в тонкой пластине после процесса сварки по следующим формулам:

( еО = (еП)1 - (еП)2,

I 00 = Щ)1 - (0П)2.

По разработанному алгоритму получены распределения по пластине остаточных сварочных напряжений и деформаций.

В таблице 3 представлены значения остаточных деформаций ец, е22, е12 в узлах, расположенных вдоль сварочного шва.

Таблица 3

Значения остаточных деформаций

Рис. 4. Распределения остаточного напряжения оо

11

Узлы (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) (5,0) (6, 0) (7, 0) (8, 0) (9, 0)

£11 0.335 0.187 0.168 0.150 0.139 -0.004 0.112 0.095 0.091

Заключение

Основные результаты работы сводятся к следующим:

1) Предложен алгоритм решения температурной задачи сварки новым способом учета теплоты фазового перехода — путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла.

2) Приведены результаты численных расчетов при двух вариантах выбора функции источника тепла и сопоставлены с результатами, вычисленными традиционным методом сглаживания линейной функцией [18,19].

3) На основе математической модели упругопластического деформирования в условиях переменных температур [11] по методике работы [17], разработанной для плоских статических задач теории упругости, построен итерационный алгоритм расчета кинетики сварочных напряжений и деформаций. Исследована сходимость построенной итерационной схемы по общей теории двухслойных итерационных схем [21].

4) Получены картины распределения температурного поля, временных и остаточных сварочных деформаций и напряжений при электродуговой сварке встык двух тонких пластин, и часть результатов приведена на рис. 2-4.

Литература

[1] Рыкалин, Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке / Н.Н. Рыкалин. М.: Машгиз, 1951. 295 с.

[2] Кархин, В.А. Тепловые основы сварки / В.А.Кархин. - Л.: ЛГТУ, 1990. -100 с.

[3] Прохоров, Н.Н. Технологическая прочность сварных швов в процессе кристаллизации / Н.Н.Прохоров. - М.: Металлургия, 1979. - 248 с.

[4] Kou, S. Welding thin plates of aluminium alloys — a quantitative heat-flow analysis / S.Kou, T.Kanevsky, S.Fyfitch // Welding Journal. - 1982. - No. 6. P. 175-181.

[5] Bergmann, H.W. Numerical simulation of centre line not cracks in laser beam welding of aluminium close to the sheet edge / H.W. Bergmann, R.M. Hilbinger // Mathematical Modeling of Weld Phenomena. - London: The Institute of Materials, IOH Communications Ltd, 1998. - P. 658-668.

[6] Кархин, В.А. Решение обратной задачи теплопроводности с учетом теплоты плавления и кристаллизации / В.А.Кархин, А.С.Ильин, В.В.Плошихин // Сварочное производство, 2003. - № 7. С. 3-6.

[7] Влияние теплоты плавления и кристаллизации на термический КПД процесса проплавления / В.А.Кархин [и др.] // Сварочное производство. - 2004. -№10. - С. 3-8.

[8] Применение ЭВМ для численного определения температурного поля при сварке встык тонких пластин / В.П.Ларионов [и др.] // Автоматическая сварка. -1979. - №11. - С. 19-22.

[9] Винокуров, В.А. Теоретическое определение временных и остаточных деформаций и напряжений при сварке пластин применительно к титановым и алюминиевым сплавам / В.А. Винокуров, А.Г. Григорьянц // Сварочное производство. - 1968. - №5. - С. 2-4.

Григорьянц, А.Г. Расчетный метод исследования кинетики сварочных деформаций и напряжений / А.Г. Григорьянц // М.: Известия вузов, Машиностроение. - 1978. - №5. - С. 146-149.

Махненко, В.И. Расчетные методы исследования кинетики сварочных напряжений и деформаций / В.И. Махненко. - Киев: Наукова думка, 1976. - 316 с. Талыпов, Г.Б. Приближенная теория сварочных деформаций и напряжений / Г.Б. Талыпов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

Ильюшин, А.А. Пластичность. Основы общей математической теории /

A.А.Ильюшин. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Винокуров, В.А. Сварочные деформации и напряжения. / В.А. Винокуров. -М.: Машиностроение, 1968.

Винокуров, В.А. Отпуск сварных конструкций для снижения напряжений /

B.А.Винокуров. - М.: Машиностроение, 1973.

Великоиваненко, Е.А. Численное решение плоской задачи теории неизотермического течения применительно к сварочному нагреву / Е.А. Великоиваненко, В.И. Махненко// Физика и химия обработки металлов. - 1968. - №4. Коновалов, А.Н. Итерационные разностные схемы для численного решения плоской статической задачи теории упругости в напряжениях / А.Н. Коновалов // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск, 1975. - Т. 6. - №2. - С. 52-69.

Самарский, А.А. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / А.А. Самарский, Б.Д. Моисеенко // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1965. - Т. 5. - №5. - С. 816-827.

Будак, Б.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана / Б.М. Будак, Е.Н. Соловьева, А.Б. Успенский // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1965. - Т. 5. - №5. - С. 828-840. Шамсундар, Н. Применение метода энтальпии к анализу многомерной задачи теплопроводности при наличии фазового перехода / Н. Шамсундар, Е.М. Спэрроу // Теплопередача. - 1975. - Т. 97. - №3. - С. 14-22. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 653 с.

Поступила в редакцию 11/Х///2007; в окончательном варианте — 11/X///2007.

RESIDUAL WELDING STRESSES AND STRAINS AT JOINT WELDING OF THIN PLATES

© 2007 E.A. Sleptsova, A.R.Pavlov2

The algorithm of finding residual welding stresses and strains is given for the case of solving heat-problem of welding by a new method which consider a heat of phase transfer including wide-spread in the circle of phase limit of heat source. The iteration algorithm is constructed for solving plane elastic-plastic problem. Examples of numerical calculation are given.

Paper received 11/XI//2007. Paper accepted 11/X///2007.

2 Sleptsova Ekaterina Anatoljevna (katis80amail.ru), Pavlov Aleksey Romanovich (madu@sitc.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Yakutsk State University, Yakutsk, 677000, Russia.