CC BY
124
УДК 519.62:539.3
СЛЕПЦОВА Екатерина Анатольевна, аспирант кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Автор 17 научных публикаций
ПАВЛОВ Алексей Романович, доктор технических наук, профессор кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. Почетный работник высшего профессионального образования РФ. Автор 65 работ, в т.ч. монографии, трех учебно-методических пособий
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ СВАРОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ СТЫКОВОЙ СВАРКЕ ТОНКИХ ПЛАСТИН
Построен итерационный алгоритм расчета плоской упругопластической задачи в напряжениях. Приведены примеры численных расчетов.
Математическое моделирование, сварочные напряжения и деформации, итерационный алгоритм
Введение. Математическая модель напряженно-деформированного состояния тела при сварочном нагреве состоит из двух сопряженных задач: температурной и деформационной. Температурная задача рассматривается в двух постановках: первая - в виде линейной задачи теплопроводности. Известные аналитические решения задачи теплопроводности обычно не учитывают влияние теплоты фазовых переходов [1, 2]. Достоинство таких решений - простота, недостаток
- высокая погрешность результатов расчета в высокотемпературной области. Согласно результатам исследований, теплота плавления существенно влияет на размеры сварочной ванны и шва, особенно при сварке алюминиевых сплавов [3-6]. В работе [7] предложен алгоритм решения квазистационарного уравнения теплопроводности аналитическим методом источников, позволяющий учитывать влияние теплоты плавления и кри-
сталлизации на термический кпд процесса проплавления. При решении температурной задачи тепловые характеристики материала (теплопроводность, удельная теплоемкость, плотность и коэффициент поверхностной теплоотдачи) приняты независимыми от температуры.
Второй подход состоит в более точном описании температурного поля сварки с учетом и теплоты фазового перехода, и зависимости теплофизических коэффициентов от температуры, который приводит к постановке задачи Стефана. В такой постановке в работе [8] исследовано температурное поле при сварке встык тонких пластин постоянной толщины и ограниченных размеров.
Исследование кинетики сварочных напряжений и деформаций проводится на основе либо теории малых упругопластических деформаций, либо по теории течения [9-11].
Наиболее общая математическая модель напряженно-деформированного состояния тела предложена в работе В.И. Махненко [11]. Им разработаны алгоритмы определения сварочных напряжений и деформаций по теории течения, которые получены на основе вариационной формулировки задачи. Для расчета температурного поля используются формулы из работы [1], в которых не учитывается теплота фазового перехода.
В [12] разработан алгоритм определения остаточных сварочных напряжений и деформаций на основе постановки температурной задачи сварки в виде задачи Стефана с движущимся источником тепла. Теплота фазового перехода, выделяющаяся на границе плавления (кристаллизации), рассматривается как сосредоточенный источник тепла.
В настоящей работе разработан алгоритм определения кинетики сварочных напряжений и деформаций на основе решения упругопластической задачи с условием текучести Мизеса [11], для численного решения которой использована методика работы [13], разработанная для плоских статических задач теории упругости.
Деформационная задача. Алгоритм расчета сварочных деформаций и напряжений разработан на основе математической модели упругопластического деформирования в условиях переменных температур [11]. Исходные уравнения этой модели для плоского напряженного состояния имеют следующие выражения:
- уравнения равновесия и совместности деформаций:
д011 , д012
дхп
дх1
дст01
- + -
• + -
да
22
дх1 дх2
= 0
= 0,
д 2є,, + дЄ
дхі
д2 є = 2- Є2
дхгдх2
- связь между напряжениями и приращениями деформаций:
Аеи = В1511 ^ В2522 ~ Ь11,
А^22 = В15 22 В2511 ~ Ь22,
А^12 = ^512 _ Ь12 ,
А^33 = В2 (511 ^ 522 ) _ Ь33 ,
А^13 = Аг1Ъ = 0, где 5 ц, - компоненты тензоров напряжений
и деформаций соответственно, Аеп - прираще-
1
ния деформаций за время АХ, ¥ = + Ф, Ф
- функция, зависящая от пластической деформации, G - модуль упругости второго рода.
В =
2У + К 3
В 2 =
3
+ а
1
5*1 К - — | -Др
і,І = 1, 2, 3,
где К - коэффициент объемного сжатия, р = а(Т - Тн ) - функция свободного температурного удлинения, а - температурный коэффициент расширения, Тн - начальная температура, Т - температурное поле, определяемое решением задачи Стефана с движущимся источником тепла [12].
Граничные условия заданы в напряжениях:
011 П1 + 012 П2 ён1 ■
012 п1 + а22 П2 ён2 ,
где п1, п2 - направляющие косинусы внешней нормали к границе области.
Для численного решения данной упругопластической задачи в напряжениях воспользуемся методикой работы [13], разработанной для плоских статических задач теории упругости. Использование экстремальных принципов в вариационной постановке задачи приводит к необходимости численного дифференцирования найденного решения, что связано с возникновением дополнительных погрешностей.
Следуя [13], переходим от системы уравнений равновесия к другой. Дифференцируем первое уравнение по х1, а второе - по х2:
*)
*)
а °п + д 2ст12
гх2
д 2оп
дх1дх2
дх1дх2
■ + -
д 2о,
дх
= 0
= 0.
(1)
К этой системе присоединим третье уравнение, получающееся из системы уравнений равновесия дифференцированием первого уравнения по х2, а второго - по х1 и последующего их суммирования:
д2оп д 2о
дх1дх2
+ -
22
дх1дх2
+ -
д 2о12 д 2о
+ -
21
= 0. (2)
дх2 ах2
Уравнение совместности деформаций, написанное для приращений деформаций, преобразуем с помощью их выражений через напряже-
ния:
д 2о„
- = Р(CTn, О22) -
1 (д26„ д2Ь,.
2^1, дх22
дх,
-2
1 (д2 д2 ^ (3)
Р(^11, ^22) = 2¥1дХУ фОц + В 2^ 22 ) + дХГ (В,^22 + ^2^,,) I- 4 '
Систему (1-3) с заданными граничными условиями численно решаем на разностной сетке, построенной при решении температурной задачи [12].
Разностные аналоги системы уравнений (1-3) напишем в виде
Л* о,, + Л*о +Ао,-, = 0
42^ 11 ^ 1 42^ 22 ^ 12
О
12^12 (^11, СГ22) 24^^^ 22 Ь11 + Л11Ь22 2Л12Ь12 ), (4)
где ^22) = 2^(Л 22(51СТ11 + В2^22) + Л11(В1СТ22 + В2^11)) .
Здесь введены разностные операторы:
Л11./ = /- , Л 22 / = /- , А» =Л„ +Л 22,
Х1 Х1 Х2 Х2
*
Л„! = Л.2-/ =
12 Х1 Х2
Систему (4) представим в виде
А°» = 0, (5)
где
А =
(Л„ 0 Л12 ^ (О > и 11
0 Л22 Л12 , Ок = О 22
А * КЛ12 * Л12 АУ °12 у
Для системы (5) ставятся разностные аналоги граничных условий, заданных для исходной задачи.
Решение системы (5) с указанными граничными условиями ищем по следующей итерационной схеме:
(Е-7Л11) раъ)”+' +ст!’!+1 | = [л„ + (Е-уЛп)] о? + Р? -Ш
•(Е УЛ22 ) ^22)”+' + О2г ^ = [Л22 + (Е-УЛ22)] О? +Рк -Ш
(Е-7Л11)(Е-ГЛ22) Г(о12 )”' +О"’ і = К +(Е-7Л11)(Е 3Л22)] ОГ2 +Л12*(о11 + О22)Г
(6)
Ш = 2^Р(Л22Ь11 +Л11Ь22 2Л12Ь12), Р/і Ш = Л12О12.
где у - итерационный параметр,
иг+1 _ иг г+1 м м
и _ =-------------.
у у
Граничные условия для г и г + 1 итераций искомых величин такие же, как в системе (5).
Благодаря выбору итерационной схемы в виде (6), удалось получить более экономичный алгоритм, чем в работе [13], где искомый вектор Ок ищется в виде суммы двух векторов, каждый из которых находится решением итерационных систем, аналогичных (6).
Введем матрицу Ск и вектор :
(Е - уЛ11 0 0 ^
0 Е - уЛ 22 0
0 0 (Е - уЛп)(Е - уЛ22)
шЛ
0
Е- уЛ22
0
( РГ г к
= РГ к
К
дх1дх2
Л11О11 + Л12О12 0
Л12О21 +Л 22 О 22 = 0
к
представим систему (7) в виде
(°h)
т+\ ^ m+1
h>- +
Исследование сходимости схемы (7) проводится применением общей теории двухслойных итерационных схем [17, гл. 10]. Так как операторы Ль, Ск - самосопряженные, Ск -положительный, Лк - положительно определенный, то операторы Ль + Ск и Ск удовлетворя-
встык двух тонких пластин с размерами 10 х 8 см и полностью свободными границами. Основные характеристики механических свойств приняты согласно [11]: G = 0,8• 1011 Н/м2,
К = 0,2 • 10“11 м2/Н, а = 1,25 • 10 5 1/град.
Закон изменения предела
.0 Т С 1 Г\8 тт / 2ч
текучести
as(T)(as - 3.5 • 10 H/м ) дается в таблице.
Зависимость предела текучести от температуры
и і Э 100 300 400 500 600 700 800 900
^s (T ) 1,0 0,90 0,80 0,70 0,56 0,34 0,20 0,16
ют условиям основной теоремы о сходимости стационарных двухслойных схем. Поэтому, повторяя доказательство указанной теоремы, придем к соотношению
*m+1
Р2 -
1 - 2у
На рис. 1, 2, 3 показаны распределения напряжения (гп в различные моменты времени сварки. Из полученных результатов следует, что разработанный алгоритм позволяет исследовать закономерности изменения напряженно-деформированного состояния тел при сварочном нагреве.
S •8*
1 + yi
\ II и у
где zm = am -<г, 8 = minXk(Ah),
k
8 = mmXk (Ch - 0.5 • Y • Ah), Xk(Ah) - собственное значение оператора Ah номера k.
Если выбрать итерационный параметр Y из условия
Р2 -
1
(
1 + у"
1 - 2у
8 8..
\
< 1
то из последнего соотношения следует сходимость итерационной схемы (6).
По разработанному алгоритму выполнены расчеты развития упругопластических деформаций и напряжений при электродуговой сварке
Рис. 1. Распределение напряжения ап, Н/м2 при t = 11,25 с
2
m
1
2
С
Рис. 2. Распределение напряжения ап, Н/м2 при t = 24,75 с
Заключение. Приведем краткую характеристику основных полученных результатов.
1. На основе математической модели упругопластического деформирования в условиях переменных температур [11] по методике работы [13], разработанной для плоских статических задач теории упругости, построен итерационный алгоритм расчета кинетики свароч-
Рис. 3. Распределение напряжения ап, Н/м2 при t = 38,25 с
ных напряжений и деформаций. Исследована сходимость построенной итерационной схемы по общей теории двухслойных итерационных схем [17].
2. Получены картины развития упругопластических деформаций и напряжений при элект-родуговой сварке встык двух тонких пластин, часть результатов приведена на рис. 1-3.
Список литературы
1. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., 1951.
2. Кархин В.А. Тепловые основы сварки. Л., 1990.
3. Прохоров Н.Н. Технологическая прочность сварных швов в процессе кристаллизации. М., 1979.
4. Kou S. Welding thin plates of aluminum alloys - a quantitative heat-flow analysis / S. Kou, T. Kanevsky, S. Fyfitch // Welding Journal. 1982. №> 6. P 175-181.
5. Bergmann H. W Numerical simulation of centre line not cracks in laser beam welding of aluminum close to the sheet edge / H.W. Bergmann, R.M. Hilbinger // Mathematical Modeling of Weld Phenomena. London, 1998. P 658-668.
6. Кархин В.А. Решение обратной задачи теплопроводности с учетом теплоты плавления и кристаллизации / В.А. Кархин, А.С. Ильин, В.В. Плошихин // М., 2003. N° 7. С. 3-6.
7. Кархин В.А. Влияние теплоты плавления и кристаллизации на термический кпд процесса проплавления / В.А. Кархин, А.С. Ильин, В.В. Плошихин, А.А. Приходовский // М., 2004. N° 10. С. 3-8.
8. Ларионов В.П. Применение ЭВМ для численного определения температурного поля при сварке встык тонких пластин / В.П. Ларионов, А.Р Павлов, А.Г Тихонов, О.И. Слепцов // Автомат. сварка. 1979. № 11. С. 19-22.
9. Винокуров В.А. Теоретическое определение временных и остаточных деформаций и напряжений при сварке пластин применительно к титановым и алюминиевым сплавам / В.А. Винокуров, А.Г. Григорьянц // «Сварочное производство». 1968. № 5. С. 2-4.
10. ГригорьянцА.Г. Расчетный метод исследования кинетики сварочных деформаций и напряжений // Известия вузов, «Машиностроение». 1978. N° 5. С. 146-149.
11. Махненко В.И. Расчетные методы исследования кинетики сварочных напряжений и деформаций. Киев, 1976.
12. Слепцова Е.А. Определение остаточных сварочных напряжений и деформаций при стыковой сварке тонких пластин / Е.А. Слепцова, А.Р. Павлов // Вестник Самарского государственного университета. Самара, 2008. № 2(61). С. 273-287.
13. Коновалов А.Н. Итерационные разностные схемы для численного решения плоской статической задачи теории упругости в напряжениях // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975. Т. 6. № 2. С. 52-69.
14. Самарский А.А. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / А.А. Самарский, Б.Д. Моисеенко // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 816-827.
15. БудакБ.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана / Б.М. Будак, Е.Н. Соловьева, А.Б. Успенский // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 828-840.
16. Шамсундар Н. Применение метода энтальпии к анализу многомерной задачи теплопроводности при наличии фазового перехода / Н. Шамсундар, Е.М. Спэрроу // Теплопередача. 1975. Т. 97. № 3. С. 14-22.
17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.
Sleptsova Ekaterina, Pavlov Alexey
MATHEMATICAL MODELING OF KINETICS OF WELDING TENSIONS AND DEFORMATIONS DURING BUTT WELDING OF THIN PLATES
The iteration algorithm for solving the plane flexible problem of tension is formulated. Some examples of numerical calculation are adduced.
Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова
