Разложение по собственным функциям одной краевой задачи пятого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.984

О.Ю. ДМИТРИЕВ

Разложение по собственным функциям одной краевой задачи

пятого порядка

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

У(5) - Аy = 0 (1)

иг(у) = агу(г-1)(0) + biy(i-1)(1) = 0, i = 175, (2)

А

а1 = а2 = а4 = b1 = b3 = b4 = 1, а3 = b2 = 0, а5 = —3 + 4e+ 3e5г, b5 = 5 — 5e— 5e 5 \

Ранее в литературе изучались случаи распадающихся нерегулярных краевых условий [1] или нерегулярных краевых условий, у которыхbi = 0 i

енты в обоих концах интервала и являются нерегулярными по Биркгофу [4]. Похожая ситуация для четного n (n = 4) рассматривалась в [5].

В данной статье развиваются методы, примененные в [5]. В результате удалось получить новый вид функционального уравнения, позволяющего справиться с экспоненциальным ростом функции Грина G(x,t, А) краевой задачи (1)-(2).

Положим А = —р5, arg р G [—|; |] . Тогда функции yj (x) = yj(x, p) = = exp p&jx^e Uj = exp ni, j = 1, 5 образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Для собственных чисел Ак справедливы асимптотические формулы Ак = — р5к, рк = p°k+h + O (1) , р°к = ,

где h — некоторое целое число, не зависящее от к.

Обозначим

р(х,р) =

у1(х,р) и2 (ух)

Уъ{х,р) (у5)

и (ух) ... и5 (у 5) Если р = р/, то х,р) — собственная функция краевой задачи (1)-(2).

Обозначим через Т1-2а многоугольник, описываемый системой неравенств:

Яе(шзг) < аЯвШ2 + Reсj, ] = 1, 5, Re(шjг) < аЯеш2 ] = 2,3,4. Рассмотрим ряд по собственным функциям:

У^ а/х,рк).

(3)

/=0

Теорема 1. Если ряд (3) сходится в точках х = а, где 0 ^ а < ¿, й = Де Д-Д , то он сходится абсолютно и равномерно внутриТ1-2а к аналитической функции. Сумма ряда (3) / удовлетворяет уравнению:

Ф(/,х) = 0,

(4)

гдеФ(/,х) = а2/(слх)+а3/(с5х)+ЪЦ (с2х+1)+ЪЦ (иАх+1)+ЬЦ (сиз х+1),

а2 = Е &Ф3)'-1, а3 = Е (М^У-1, Ъ\ = Е Ш^У-1, Ъ\ = Е (гЪг£-1,

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1 5 2. • _ _ _ _

Ъ5 = ^ (¿Ъг, £ = е 5 ¿. Для всех х, для которых си1х, си5х, си2х + 1 сс4х + 1,

¿=1

Си5х + 1 принадлежат Т1-2а. & определяется из системы уравнений:

55 :,гaг(£

¿=1 ¿=1 55

:<гаг = 0, У ^.Ъг(£

¿=1 ¿=1

5

^б^4)'-1 = 0, ^¿а*^1 = 0,

= 0, =0,

Е^Г1 = 0.

Теорема 2. Если ряд (3) сходится равномерно на[0,1], f — его сумма

и ß не является собственным значением, то функция g(x) = Rkf = 1

= f G(x,t,ß)f (t)dt аналитически продолжима eT0, ограничена в угле о

| argz\ ^ 5, \z| ^ \z0\ и удовлетворяет уравнению (4)-

Теорема 3. Пусть f (x) G L[0,1} и при некотором натуральном к функция g(x) = Rk^f удовлетворяет следующим условиям:

а) она аналитически продолжима в шестиугольник T0 с вершинами (0; k1Cü 1; 1 + к1й2; 1; 1 + k1cü4; k1ÜJ5), k1 = Re u4;

б) она непрерывна на интервалах (0; k1üj5), (0; k1u)1), (1; 1 + k1cD2),

(1; 1 + k1Ö>4);

в) ограничена в угле \ arg z\ ^ |;

г) при, x G (0; k1) удовлетворяет уравнению (4)-

f(x) (0, 1)

Фурье по собственным и присоединенным функциям, краевой задачи

(1) (S).

Библиографический список

1. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. 1969. Т.70(112).

2. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Мат. и ее приложения. Саратов, 1991. №2.

3. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Мат. и ее приложения. Саратов, 1991. №2.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

5. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи четвертого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.4.

УДК 517.51

Р.Н. ФАДЕЕВ

Условия выполнимости равенства Парсеваля для рядов

Фурье-Уолша

Пусть x Е [0,1) и

ж

X - ^ ^ X i А

i=1

Ехг2-г, хг Е {0,1}, (1)

— двоичное разложение х. Если n Е Z+ и n — ^ = ni2i—\ ni Е {0,1}, то по определению wn(x) — (—1)^==1}niXi. Пусть x,y Е [0,1) записаны в виде (1). Тогда положим х©y — z Е [0,1), где z — ^°=1 zi2—\ zi Е {0,1} и zi —

— xi + yi (mod 2) Известно, что система {wn}^=0, называемая системой Уолша-Пэли, ортонормирована и полна в L1[0,1). Кроме того, функции wn(x) при n < 2k постоянны на всех промежутках If — [i/2k, (i +1)/2k), i — 0,1,..., 2k — 1. Наконец, при фиксиро ванном x и почти всех y Е [0,1) для любого n Е Z+ имеет место равенство wn(x©y) — wn(x)wn(y). В силу ортонормированности {wn}^=0 для f Е L1 [0,1) введем коэффициенты Фурье и частные суммы Фурье формулами

1 n—1

f(n) — f (t)wn(t) dt, n Е Z+; Sn(f )(x) — £ f(i)wi(x), n Е N.

i=o