Разложение по собственным функциям одной краевой задачи четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Харди Г., Литттлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

13. Eisner T. The dyadic Cesaro operators //Acta Sci. Math. (Szeged). 1998. V.64. P.99-111.

14. Тиман М.Ф., Тухлиев К. Свойства некоторых ортонормированных систем // Изв. вузов. Математика. 1983. №9. С.65-73.

УДК 519.984

О.Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

У(4) - Ay = 0 (1)

U(y) = ay(i-1)(0) + by(i-1) = 0, i = 1/4, (2)

где a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 0, b1 = b2 = b4 = 1, b3 = 0, A — спектральный параметр.

Ранее в литературе изучались случаи распадающихся краевых условий [1] или краевых условий, у которых только один из коэффициентов ai равен нулю, а bi = 0 [2-3]. Данные краевые условия носят принципиально новый характер, являясь, как и в ранее изученных случаях, нерегулярными по Биркгофу [4]. Функция Грина G(x,t, A) имеет экспоненциальный рост как при t < x, так и при t > x, что представляет основную трудность при исследовании.

Положим A = —р, arg р е [—|; . Тогда функции yj(x) = yj(x,p) = = exp pjx, где Uj = exp 1 ni, j = 1,4 образуют фундаментальную

систему решений уравнения (1). Для собственных чисел Лк справедливы асимптотические формулы Лк = -рк, рк = р°к+ь_+0 (к) , р°к = \[2п(к+1), где ^ — некоторое целое число, не зависящее от к. Обозначим

Ух(х,р) ... У4(х,р) , , и2 (ух) ... и2(у4)

^4 (ух) ... и4 (у4) Если р = рк, то <р(х,р) — собственная функция краевой задачи (1)-(2).

Обозначим через Тх-2в многоугольник, описываемый системой неравенств:

Re(шjг) < вЯеш3 + Явшх, ] = 1,4, Re(ujг) < вReш3 ] = 2,3. Рассмотрим ряд по собственным функциям:

00

У^а k v(x,l>k).

(3)

k=0

Теорема 1. Если ряд (3) сходится равномерно на [a1,ß1], где 0 ^ а1 < < ß1 ^ 1, то он сходится абсолютно и равномерно внутри Та2 (а2 = = 1 — 2а1) к аналитической функции. Сумма ряда (3) f удовлетворяет уравнению:

Ф(Лх) = 0, (4)

где х) = af (ш4х) + а\f (ш1х) + b*f (1 — ш4х) + b?2f (1 — ш1х), аз = 1, a\ = i, b\ = i+j11 = b*2.

Теорема 2. Если ряд (3) сходится равномерно на [0,1], f — его сумма

и ß не является собственным значением, то функция g(x) = R^f = 1

= f G(x,t,ß)f (t)dt аналитически продолжима в Т0, ограничена в угле 0

| arg z| ^ 4, |z| ^ |z0| и удовлетворяет уравнению (4).

Теорема 3. Пусть f (x) £ [0,1] и при некотором натуральном k функция g(x) = Rf удовлетворяет следующим условиям:

а) она аналитически продолжима в четырехугольник T0 с вершинами (О, ^1, ^;

б) она непрерывна на интервалах ^0, ^^^ , ^0, ^, ^1, ^,

О1, f;

в) она ограничена в угле | argz| ^ |, |z| ^ |z0| и в угле | arg(1-z)| ^ |, |1 - z| ^ |zi|;

г) она удовлетворяет уравнению (4) при x £ (О, 2) .

Тогда функция g(x) разлагается в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям краевой задачи

(1НЮ-

Библиографический список

1. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. 1969. Т.70(112).

2. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Мат. и ее приложения. Саратов, 1991. №2.

3. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Мат. и ее приложения. Саратов, 1991. №2.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.