Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

е > 0 в силу леммы 1 найдется функция /„^ (*) е такая, что II / ~ Л, 11< е (II' II ~ норма в С?[0,1]). Из леммы 2 следует, что существует система функций {/]Сх)}"'21 такая, что /¡(х) е Di и || - ||< е, Отсюда

\\f-fAA\f-L \\+Ъ\Л-Л-1\\<»я*-1=2

Что и требовалось доказать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд. М.: Наука,

1969.

2. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378 - 405.

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

?"-Ьу = 0, (1)

и2(у) = А21У(0) + а22у( 0) + /(1) = 0, (2)

и3(у) = а3,У'( 0) + а32у'(0) + а33у( 0) + у"(1) = 0, где Ду - константы и Я - спектральный параметр.

В данной статье обобщается результат А. П. Хромова при п = 3 [1]. Если выполняются условия

апа21+а21а31+а31ап*0, аи+а21+а31= 0, а22 + а32 = 0, а33= 0,

то краевые условия (2) являются нерегулярными по Биркогофу [2, с. 66 -67]. Функция Грина б(л:,гД)в таком случае имеет экспоненциальный рост при больших | Я,|, причем как при х < ?, так и при х>1. Основные трудности связаны с преодолением такого роста и их удается преодолеть за счёт использования специального функционального уравнения, которому должна удовлетворять разлагаемая функция.

40

Положим X = -р

= ехррш7х, где = ехр|

/ п 71 \

а^ре

V з 3. /

. Тогда у;(х) = у^х,р) =

——- П1 ], _/= 1,3, образуют фундаментальную

систему решений уравнения (1). Для собственных чисел *кк справедливы

асимптотические формулы: Хк = ~р\, рк=р°к+1,+0

П о _ (2к + 1)я

кУ

где Л - некоторое целое число, не зависящее от к. При этом все собственные значения, начиная с некоторого, простые. Обозначим

У\ У2 .Уз ии и13

Ф1(ЛР) = и21 и22 и2 з > Ф2(-«.Р) = У\ У 2 Уз

^31 ^32 ^33 и и ип и13 и31 и32 игъ

Фз(*>Р) = и21 и 22 и23

У\ У 2 Уз

где и у

ф(дг, р) = аф1 (х, р) + Рф2 (х, р) + уф3 (х, р), где а,(3,у - некоторое число. Если р = р^, то ф(х, рА) будет собственной функцией. Имеем

фО,Р*):

|0( р* ехр(р^(о2-«: + рАсо3)), 0(р1 ехр(р4ю1х)),

хе[0,\\ хе[|'1]

(4)

Если г - комплексное, то справедлива оценка Ф,Рк) = 0\ р* | Ц ехр(р4со,г) | +1 ехр(рк(й2г + рАсо3) | +1 ехр(р*ю32) |}). (5) Если х е [о,|) и фиксировано, то

|ф(х,р^)| > С | || ехр(р4со2д: + рксо3) |.

(6)

Если х е [а, Р], где | < а < Р < 1, то для каждого достаточно большого | р* | найдется хк е[а,р] такое, что

|ф<Л>Р*)|^С|Р* Цехр(рАш1хА.)|.

(7)

Обозначим Тг

И)

правильный треугольник в комплексной плос-

кости с центром в точке у и одной из вершин в точке х.

Перейдем теперь к необходимым условиям равномерной сходимости рядов по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.).

ТЕОРЕМА 1. Если ряд

СО

2>*фО>Р*) (8)

к=0

сходится в точке х = а, где а е [0;|), то он сходится абсолютно и равномерно внутри Тх_2а к аналитической функции. Если он сходится равномерно на [а, ß], где у < а < ß < 1, то он сходится абсолютно и равномерно в Та к аналитической функции. Сумма / ряда (8) удовлетворяет функциональному уравнению

Ф(У» = Ьх ЛЩх) + Ь31/(Щх) + Ъп \f{z)dz + Ь32 \f{z)dz +

1/3 1/3

+ 3/(1-*) = 0, (9)

где Й11=вц-а>1в21+«>1«31» ¿31 =ан _c03a2i+®3a3i> ь\г + cofa32,

Z>32 = -ю3а22 + ©3а32.

ТЕОРЕМА 2. Если ряд (8) сходится равномерно на [0,1], / - его сумма и (I не является собственным значением, то функция 1

g(x) = R)1f= ^G(x,t,\i)f(t)dt аналитически продолжима в Г,, ограничена

о

в угле |argz|<y, |z|<|z0| и удовлетворяет уравнению (9). В заключение

сформулируем теорему о разложении.

ТЕОРЕМА 3. Пусть /(х) е ¿[0,1] и при некотором натуральном к

функция g(x) = R*f удовлетворяет следующим условиям:

а) аналитически продолжима в четырехугольник Tt с вершинами

0, \ 1, 2 2

б) непрерывна на интервалах (о;~-|, (о; ---- );

в) ограничена в угле | arg z |< у, | z |< z0;

г) при х е (о,^) удовлетворяет уравнению (9).

Тогда f(x) разлагается в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по с.п.ф. краевой задачи (1), (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Математика и её приложения. Саратов, 1991.

2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.