Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 3, 2018

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.957

Яновская О.С., Сурнева О.Б.

Северо-Каваказский федеральный университет,

г. Ставрополь, Россия

olenka_yan@mail.ru

нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка

Введение:

Материалы и

методы

исследований:

Результаты исследования:

Обсуждение и заключения:

Ключевые слова:

большинство дифференциальных уравнений, связанных с соли-тонной математикой, получены с помощью операторного уравнения Лакса или уравнения нулевой кривизны, которые являются условием совместности пары линейных дифференциальных систем. Глубоко и всесторонне изучен случай, когда для получения таких уравнений использовались системы второго порядка. Повышение порядка систем ведет к сильно переопределенным условиям. В работе изучается возможность использовать линейные системы третьего порядка.

использованы методы построения уравнений в частных производных с применением операторного уравнения Лакса с дифференциальными операторами первого порядка и матричными коэффициентами 3 х 3.

определены необходимые и достаточные условия, накладываемые на параметры и функции, входящие в матрицы-коэффициенты, при которых коммутатор двух дифференциальных операторов представляет оператор умножения. Показано, что уравнение Лакса сводится к системе девяти уравнений, порядок которой можно понизить и свести к одному нелинейному уравнению в частных производных.

авторами продемонстрированы два примера вывода нелинейных уравнений и определение их пары Лакса. В первом примере главный дифференциальный коэффициент рассматривается в виде нижнетреугольной матрицы, а во втором случае постоянная матрица имеет диагональный вид. В результате получены уравнения второго порядка с логарифмической нелинейностью.

нелинейные уравнения в частных производных, операторное уравнение Лакса, пара Лакса, условие совместности системы дифференциальных уравнений.

Yanovskaya O.S., North-Caucasus Federal University, Stavropol, Russia

Surneva O.B. olenka_yan@mail.ru

nonlinear equation with the third order scattering operator

Introduction: most of the differential equations associated with soliton mathematics are

obtained using the Lax operator equation or the zero-curvature equation, which are the compatibility condition for a pair of linear differential systems. The case in which second-order systems were used to obtain such equations was studied in depth and comprehensively. Increasing the order of systems leads to highly overdetermined conditions. The possibility of using third-order linear systems is being studied.

Materials and

methods of research: methods for constructing partial differential equations using the Lax operator equation with differential operators of the first order and matrix coefficients of 3 * 3 were used.

necessary and sufficient conditions imposed on the parameters and functions included in the matrix coefficients, under which the commutator of two differential operators represents the multiplication operator. It is shown that the Lax equation reduces to a system of nine equations, the order of which can be reduced and reduced to one nonlinear partial differential equation.

the authors demonstrated two examples of the derivation of nonlinear equations and the determination of their Lax pair. In the first example, the main differential coefficient is considered as a lower triangular matrix, and in the second case the constant matrix has a diagonal form. As a result, second-order equations with a logarithmic nonlinearity are obtained.

nonlinear partial differential equations, Lax operator equation, Lax pair, compatibility condition for a system of differential equations.

Research results:

Discussion and conclusions:

Keywords:

Введение

Большинство известных нелинейных уравнений, обладающих парой Лакса [1, 7], являются либо точно интегрируемые или уравнения, допускающие богатые классы точных решений. Поэтому наибольший интерес с практической точки зрения вызывают те исследования, которые способствуют развитию новых математических методов анализа нелинейных систем уравнений и в частности теорию, связанную с идеями солитонной математики.

Малоисследованным, но очень обширным классом уравнений являются многокомпонентные уравнения. Для этих уравнений полных списков пока не найдено. Вместе с тем, уравнения этого типа важны с прикладной точки зрения. Покажем, как предложенная схема модифицируется на случай многокомпонентных нелинейных уравнений, в частности, уравнений 3-х волнового взаимодействия [2, 3, 4]. Постановка задачи в этом случае может быть сформулирована следующим образом.

Операторное уравнение Лакса имеет вид Ц=[Ь,А] = ЬА-АЬ,

(1)

где операторы могут быть различной природы (дифференциальные, интегральные, матрицы, проектирующие и др.). Идея, лежащая в основе работы Лакса [6], заключается в том, что нелинейное уравнение (1) является условием совместности системы линейных уравнений:

Ь(р = цф,

<р, = -А(р,

(2)

(3)

для оператора Ь поставлена спектральная задача (ф - собственная функция, - собственное значение оператора Ь), оператор А определяет эволюцию собственных функций по времени t.

Рассмотрим частный случай [5], когда Ь, А дифференциальные операторы первого порядка, заданные в пространстве вектор-функций и имеющие

вид Я я

(4)

Ь = а— + 1/, дх

А = р- + У,

дх

где

Лемма 1.

а = (а,-,), в = Д), ,,, = 1,2,3 - постоянные матрицы 3 х 3, и = ((х,?)), ^ j = 1,2,3 - матрицы 3 х 3 с компонентами, зависящими от х и t.

Правая часть уравнения Лакса (1) представляет собой дифференциальный оператор второго порядка вида:

[Ь,А] = + ([£/,/?] + [Г,а])-^ + [и,Г] + аГг - 017,.

'дх

Следствие. Если матрицы а, в, V и удовлетворяют следующим условиям [а,0\ = 0, [и,р] + [а,У] = 0, (5)

то коммутатор представляет оператор умножения [Ь,А] = [и,¥] + а¥х-/Шх. (6)

Лемма 2. Условия (5) выполняются тогда и только тогда, когда па-

раметры а, в, г,у = 1,2,3, удовлетворяют равенствам

ЯцРц + ОлРи-РуаА-Йкаш = °>и¿к = 1,2,%

(7)

= 1,к = \,2,Ъ,Ык, (8)

]=1

а функциональные компоненты ^.(х,?), г,& = 1,2,3, удовлетворяют равенствам

^Рр+ЩкРы-РМгР^+а^р +а1к»кГ\]ал ~ 10»

¿,./,£ = 1,2,3, 1Ф ]Фк

3

ХМд - + % - V**] = 0. = 1.2,3, г * (10)

7=1

Материалы и методы исследований

Лемма 3: Если параметры матриц а={а^, г,у = 1,2,3 и функциональные матрицы и=(иу(х,{^, у = 1,2,3 такие, что

ап = а13 = а23 = 0, -ап = а22 = а33, (11)

Дг = Дз = Дз = 0» Д1 = 3£«п» Д22 = Дз = >

А1 = кап' Ръ\ = ^«зк Аг = ка32 > (12)

остальные ап,а21, а31, а32,к - произвольные параметры отличные от нуля, а функции 0, г,у =1,2,3 удов-

летворяют связям:

Ъ1' (13)

а.

уи=_у22=узз> Уу=*м14, ^^^(гУц+^Ии-Иц)), 7=2,3,

у23 = ки23, у32 = ¿и32 + ^-(2уп + к(и22 -ии)), (14)

¿ап

тогда выполняются условия (7) - (10) .

Теорема 1: Операторное уравнение Лакса с дифференциальными операторами первого порядка (4) с коэффициентами, удовлетворяющими леммам 1, 2, 3, эквивалентно нелинейному уравнению с частными производными

2апк 13 13,22

(2 2 «31 а32а21

Ч«п 4ап )

(15)

*13г ' . 3 \3г 13 ' ,

4 ап к м13

„. 6 8 8 где 2 кап — + —= —.

дх 5г дг

(16)

Доказательство: Коэффициенты операторов (4) удовлетворяют леммам 1,2,3, для нахождения результата уравнения Лакса (1) воспользуемся равенством

- - Рпи2р - Аз"з;*> *>У = 1,2,3.

(17)

Легко заметить, что можно выделить группы производных и для более компактной записи в уравнениях ввести следующую замену переменных (16).

Уравнение Лакса (1) даст систему:

а.

у2 ап 2ап ,

(2уц + к{и22~ип]}+а11УПх~каии11х' "13 ~ «12 ^П + Ки22 ~ «11 ))>

ип:={2*п+к(и22-ип))ип,

(2уи+к(и22-ип))-а^к(и22+ии)х,

/ ч

2ап 2ап

и„„ =

«32 «21

м2з~ ~ ип ч 2«п 2«п у

М32^—"21 ^ + [2у11 + к (и22~ "11)]+ "31 (2^1+^(К22-М11)) +

у 2ап 2ап 2аик

+А(м22 - ИП)), ~^к{»22 +Иц),,

«32 «31

уи——--— и12

к(Хл 1 ч

(2уп+£(И22-ии))-2а32Уш- к (Ъи22-ип)х

' \

у2ап 2ап)

(1-1)* (2-1) (3-1) (4-1)

(2уп + (5-1)

(6-1)

(7-1)

(8-1) (9-1)

Введена новая нумерация в системе из девяти уравнений. Первая цифра означает порядковый номер в системе, вторая цифра обозначает этап преобразований. В дальнейшем не все уравнения в системе могут участвовать в преобразованиях.

Система (1-1) - (9-1) содержит связь девяти неизвестных функций, функцию и13(х,т) будем считать отличной от нуля вместе с ее производными и постараемся выразить остальные неизвестные функции через нее.

Разделим третье уравнение (3-1) системы на и13, откуда находим

(18)

Подставим полученное выражение для функции Уп в оставшиеся равенства системы. Шестое уравнение полученной системы легко интегрируется, и функция и23 явно выражается через функцию и13

_ «21 «23 ~ «13,

zan

(19)

постоянная интегрирования, для простоты дальнейшего изложения, принята равной нулю (во всех дальнейших шагах этот факт больше не оговаривается).

Уравнение (2-1), с учетом (18), является линейным относительно и12, при этом функция и13 считается известной, после его интегрирования, находим

И,7 =-

.За

2а,

-и131пи13. (20)

Подставим полученные значения в остальные уравнения системы:

v 4ап

ГЬи1з п * ("и + и221 - \an (toM13 L' (1-II)

«21, =-0П"1зХ

«21 + («22 + "ТТгЧз

2 аи 4аи

-^k(u22+un)x, (4-II)

«22z =|«ll(«ll +«22), -^«ll^flsL -^Г-И13г(1 + 1ПИ13). (5-II)

M3i,=-(lnM13)2

„ "21 „ 32 "31 л„,, \ , ,,

32 ~--21 ~--^-7 С111 13/z 31

У 2an 2an 2ank y

2a,,

cc

(7-II)

-(1hm13)z

av

2an 4 11 iL' 2kan

qan

+«32 (1пм13 + "22)x »

(8-II)

«iiz-^ln^L+an^lnt/,,^

r \

«31 «21«32

y2an 4a2n ,

«i3z+ «11 2 К + "22 L (9-II)

Если вычесть из (1-11) (9-11), то группа элементов апк(и22 выражается только через функцию и13,

апк(ип+и22) =

/ \

«32«21дпц «31 «21«32

4а2 13 а 4а2

V "и и11 У

"в^О^вЬ (21)

Выполним подстановку найденного выражения, тогда в (1-III), (5-Ш), (9-Ш) выделились полные производные по переменной г. Тем самым функции ип, и22 однозначно определились через и13

_ аЪ2а2Х

Mi, —

8а,2,

«31 | «21 «32

11 У

4а,

2 Г

(22) (23)

В результате осталось только три нетривиальных равенства

/ \

«31 | «21 «32 «И 2«П

а.

2 к а,.

(4-IV)

"(1пм13)2

«21 1 2а,,

а.

av

2ап 2апк

11т(111"1з)г + мз:

2а,

1(1пм13)а

2а,,

«32 «21 «31 «21 «32

4а2 V нип

а„

4а2

tun у

2ап£

(7-IV)

и„, =

а,.

4а,,

«32 /

2каи

/

+

1«п

а,.

2а,,

«31 V2«n

- + -

«21 «з:

4а2

-

а,

M13zlnM13.

11 у

(8-IV)

Равенство (4-IV) является линейным относительно и2Ь его решение имеет вид

ОС-j 1 ÖTn 1

М21 =-M13z +

2 каи 4аи

i \ «31 + «21 «32

Ч«11

2«п у

(24)

Интегрирование (8-IV) определяет функцию u32:

«32

«32= ~

2а,,

Ч«п

4а2

«32

4а,

«31 , «32 «21 1

V«11

«1

м131пм13 +

П У

(25)

+ 5г(1ПИ1з)г+«32(1п«,з);с-

2ка,

В результате функция и31 осталась произвольной, поэтому доопределим ее так

м„ =

«21 «32

4ка1

(ип -1пм13)г.

(26)

Выполним подстановку в последнее оставшееся равенство (7—IV) и получим (15).

На первый взгляд уравнение (15) удовлетворяет всем требованиям, но если умножить все члены на и13, то тогда можно выполнить интегрирование по комбинированной переменной 2, что приводит к уравнению первого порядка.

Теорема 2: Операторное уравнение Лакса (1) с дифференциальными операторами первого порядка (4) с коэффициентами, удовлетворяющими леммам 1, 2, 3, эквивалентно нелинейному уравнению с частными производными

а 1

+т—(\пип)12=каи(\пип)х

-у /С |

(27)

Доказательство: Очевидно, что исходная система имеет вид (1-1),..., (9— I) предыдущей теоремы. Для того чтобы ход построения уравнения отличался от предыдущего случая, положим

ии = 0,

(28)

при этом (6—Г) дает и23г = 0 тогда положим и23 = 0. В системе остаются равенства

и.,. ="

За 2а,

12 Ы22 "п)) + «11У11х ЦЛь.

"ш = -"12 (2^11 +¿(«22 - "и)).

М21+("22-"п)

«21 2 а„

+ к(и22 -ип))-^к(и22 +ип)х, и22г = -^-"12 (2у„ + к(и22 -ип)) + апупх + капи22х

V 2«п

+ к(и22-ип)\ ~^-к{и22 +ии)х

(1—ГГ) (2—ГГ) (4—ГГ) (5—ГГ)

(7—ГГ)

«31 _ «32

а

(1пмИ)жуп- «32 (2уп+ ^Ид- Иц])х-у ¿("22+"пЬ (8—ГГ)

"згг ~~ ~ 122 ,

"22г + т V,!, = «„V,,, + апки22х. к

(9—ГГ)

Функцию и12 (х,2) будем считать отличной от нуля вместе с ее производными и постараемся выразить остальные неизвестные функции через нее.

физико-математические науки

. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка Яновская О.С., Сурнева О.Б.

Разделим третье уравнение (2—II) системы на и12, откуда находим

-(Ьи12), = 2vn +к(и22 -ип). (29) Приравнивая (5—II) и (9—ГГ), получаем

V,, =-

а21к

"п _ 4а,, "12'

равенство (29) определяет разность функций U22 — Uli

«21 1

"12 -T^un)z.

2ап к

С учетом найденных значений система перепишется в виде

_ «21 «21^ 7

М11 г — _ » И12г . U\2x ~ *«11И11х5

2а,, 4

(30)

(31)

(1—III)

г V а,.

v2«ny а,,

M12z -(1пМ12)г

M2i-т?^(1пгг12)2

2ка,

а.

-Jk(U22 + Uu)x

21 1 *22z ~ ~ "12z ^М12* +Л:«11М22х'

2а,,

-(1пм12)2

«40 «Г

"32 ^ "21 _ „ 31, G11 U12 )z + М31

2а„

2ап 2апА:

2а,

(X

=

«31 | «21 «32 V2«ll 4«П J

ОС

"l2z +«32(ln"l2)zx--^(М22 +М»Ь

(4 III) (5 III)

(7 III) (8—III)

Разность (5—Ш) и (1—Ш) позволяет найти сумму производных и22, ип

(32)

при подстановки в (4—Ш), остается связь между и2Ь и12 которая дает а,, и,,.

(33)

Равенство (8—III), после использования (32), позволяет найти функцию u12

«И 1

м„ =

/" Л

«31 | «21 «32

V2«11 2«,1 у

Иц + «32(1ПМ12)х + -J-—(1пм12)г. (34)

В результате порядок системы снижен до трех

М11г = ~~~~U\2z - - *«ll"ll*> (1-IV)

2ап 4

ос сс к

u22z = -^-U12z —2j-uUx + капи22х, (5-IV) 2ап 4

. ч OCvyOC'j| ^ii Q-ii^ii

-^laT12"12" (7-IV)

причем последнее равенство интегрируется и дает возможность определить u31

2

_ «31 M12z g32«21 Ц12х «21«32 ц

31 2£ап м12 2ап м12 8а3! 12 ()

Последняя пара (1-IV), (5-IV) после перекрестного дифференцирования и избавиться от функции u11, дает одно равенство на функцию u12

а 1

1ГТи 12ZZ +Т-(ЬИц)»

Zu^i /CCíjj

которое можно понизить на порядок и получить (27).

Результаты исследований и их обсуждение

Обсудим некоторые следствия, являющиеся результатом доказанных теорем

Следствие. Уравнение в частных производных (27) обладает парой Лакса (4) с матричными коэффициентами 3 х 3, а21, ап, k -произвольные параметры а31 = а32, = 1, остальные элементы матричных коэффициентов имеют вид (11), (12), функциональные члены выражаются через и12 (х^) и имеют вид:

-TIA", 1 ^ли.,

И,,

1 u12z а21 и12х а21

1

и22=-^ап(1пип\+-(1пм12)г,

1

2кап ип 2 ап и12 8ап

4ап 2 к

и„ =

f 1 ^

1 I «21

v2«„ 2а,3, ,

1 а к

«12 + Опии), +—-(1пи12)г, v„ = -v22 = V33 = ~-^—и12,

2 кап 4аи

1

--1

2

J_ 2к

^33 _ «п(1П"12)* (lnMl2)z „ 2 "12» "23 _ "13 _ "21 - "> "12" "-"12»

4а,,

-и„, v„ =v„ = v„ =0, v,, = ки,.

«21 7 "l2x СС2лк

v„ = -^-к-^ - v32 =

2ап и12 8ап

f i л

1 «21

-+2

v2«n 2а,, j

кип +^(1пм12)1>

для компактности записи производных введен дифференциальный оператор (16).

Теорема 3. Нелинейное уравнение в частных производных

д 8

(36)

эквивалентно операторному уравнению Лакса (!) с дифференциальными операторами вида

L =

1 0 0 0-10 0 0-1

дх

- +

А =

'ßu 0 0 4

0 Д2 0 0 0 ßnJ

r"ll "12 "13 ^

"21 "22 "23

4 "31 "32 "33 J

/ 2vn

— + -дх 2

2vu {ßu-ßiMi (ßu - А2М3

ißn ~ß22> 21 2V22

31 2V32

2v2; 2v,

33 j

(37)

(38)

где у = 1,2,3 - некоторые неизвестные функции

дважды дифференцируемые по своим переменным.

Доказательство. Коэффициенты операторов (37), (38) выбраны так, что леммы 1,2 выполняются, поэтому уравнение Лакса (1) эквивалентно системе (17) выпишем ее в явном виде

"ш+АЛь =v,u.

"m =,, (А" АгНгКг "J+"12 К" VJ+"1

(ßn+ß21)uUx,

Чг^хГ А2К["Ц-"зз]+ «12

1 .

+Uli[vn-v11]--(ßu+ßn)unx,

"21,= "2l[Vll-V22]+2(Ar^22)»2l["22-"ll] +

- v„m.

221 23 32 23 32 K22x f-,22"22x>

-(A,-Ä2)"23-V23

ß22u2

"s-^Ai+^K,.

M23( — V23 tM22 "зз1 + M23 [V33 V221 V23x ß22U2ix'

^(Äl-^22)»32-V32

"31(=»3l[Vll-V33] + "32, = "32 [V22 - V331 + V32 ["33 - "221 - V32x " Ä2"32x >

(1-I (2-I (3-I (4-I (5-I (6-I

"21+^(Al-^22)«3l["33-"ll]-^(Äl+y?22)"31,. (7-1

(8-I

"33<-"32V23 V32M23 V33x ß22U33x'

Так как число переменных превышает число уравнений, то можно ввести дополнительные связи. Пусть выполняется

^32 =\<А\ - А2)"32 > У23 = |(Д, - /?22)М23.

Д1+А2 3 +д_

«ш+ДЛи^ш»

\ г

2 дх

Рп +Р22 д

2 дх

Рп + Р22 а

"12 =

Д1-А2

/

\ /

+-

1

+— 2 а* а?

и„ =

2

Рп -Р22

2

Рп -Р22

(ип-и22) + г22-уп

(ип -М33) + У33 - V,,

(И22 -Ип) + г;11 -У22 "21.

"12,

"13>

и2И — У22х Р2ги22х'

Д1+А2 3 , ГДп-А:

- + — 2 дх 8t

А1+А2 з , ГДп-Д

-+— 2 дх 81

Ри+Рп а | а'

2 дх

"("22 _"зз) + У33 _У22

-(м33-Мп) + Уп-У33

Ри-Рг-.

("зз -"22) + У22 "У33

м33г У33х 022иЪЪх •

(39) (1-11)

(2-11)

(3-11)

(4-11) (5-11)

(6-11)

(7-11)

(8-11) (9-11)

По условию теоремы и12, и13, и21, и31, и32 отличны от нуля, тогда можем выполнить деление уравнений (2, 3, 4, 6, 7, 8-11) на эти функции соответственно:

Рп Р22 ¡., ,, \,„ ,,

-("и - "22) + У22 - У11 :

(мп-м33) + У33-Уп = {и22-ип) + уп-у22 =

2

Рп -Р22

2

Рп -Р22

2

Рп -Р22

РП+Р22 д , а 2 дх Ы

г Рп + Р22 а , 2 дх а*

^д.+д, Й | ал

V 2 ах а? у

("22 ""33) + У33 '

^д.+д, а | дл

2 & 3(

1пм12, 1пм13, 1пм21, 1пм23,

(2-Ш) (3-Ш) (4-Ш) (6-Ш)

Рп-Рк

{иъъ-ип) + мп-угъ =

Рп+Ргг 8

+—

ч 2 дх у

1пи,

(7-Ш)

А, "А;

(«33 ~и22) + ^2 -Узз =

ГР\\ + Ргг 5 , 5Л 2 дх Ы

1пмг

(8-Ш)

Попарные суммы (2-Ш) и (4-Ш), (3-Ш) и (7-Ш), (6-Ш) и (8-Ш) приводят к обратно пропорциональной связи функций

и

1

и.

1

Л21 «31 "23

Найдем сумму (1-11), (5-11) и приведем ее к виду

1

и,.

(40)

гРп +Р22 д , 5Л '

у 2 дх дt у

(«и +«22) =

'' 22 («22 ~ «и) + VII

\

Л

Выполним замену правой части на выражение (4-Ш)

А1+А2 5 , .....,_(Ри+Р22 8 , 5

- + — 2 дх 0*

(«11 +«22) =

+ — 2 дх 0?

О^м),

следовательно, можно определить ип = (1Ш121), -и22.

Аналогично разность (5-11), (9-11) дает

'А1+А2 5 , .. Ч_Г.....Л1-&2, _„ х

^И22 «33 7

- + —

ч 2 дх дt у

("22 -"зз)

Замена правой части на выражение (6-Ш) приводит к виду

(41)

ГР\\ + Р22 0 , 0 V.. .. Ч_ГАп+А22 0 , 0 ^

- + — дх 0?

(«22 -"зз):

- + — 2 0Х 0?

Они*),,

поэтому можно положить

«33 =«22 -(^«гз^-

Выполним замену найденных функций в системе

(42)

Опии)* + "22< + А1 № "12 )* + «22 1* + *11х = 0>

Г 0 ^ \

+ 1п«12 + (Ап - А22К2 = о, ^ дх от у!

(1-IV)

А+А22 0 , . _Ап-А

-+—

V 2 дх 5г>

111 «13=^" 2 22[(1ДМ2ЗХ~ (1ПИ12Х-2И22]+У33-Уи,

«22< Р22и22х'

(3-IV)

у22 - + [Ргг ^ + ¿^"и = "22, - (1им23)й = -У33х - Д2[м22 - (1пм23)х]х.

(6-IV) (9-IV)

Если из (6-IV) выразить V , а из (2-ГУ) функцию V и подставить в (3-ГУ), то можно вынести дифференциальный оператор за скобки

Ри+Рг2 а , а

2 дх а?

(1пм13 - 1пи12 - 1пм23) = 0,

для тождественного выполнения равенства определим следующую связь между функциями

Использование (43) приводит систему к виду

Г Q

~дх + &ГЩ2)х + "2г] + Упх =

"^2+1 Ри ^ + %)Ыи12 + (Рп ~ Ри>22 = 0>

У33~ VI - (Д,-А2)"22" [Р22^+

М22( = ~У22х ~ Рг2и22х'

1пи,

Р\ 1—

, дх аг,

1пм12 = 0,

у22 - ^33 + (Аг ^ + ^^"23 = °>

»22, ~ (Ыи2з)х> = ~УЗЗх ~ Д2[" 22 " ),],•

Из (3-ГV) определим

Р22 — + — дх Ы

1пи,

' а а^

Рп ^ + ~ (Рп ~ р22>2.

(43)

(1-ГV) (2-ГУ) (3-ГУ) (5-ГV) (6-ГУ) (9-ГУ)

(44)

В результате остались уравнения, которые после подстановки (44) совпали

а а

1

Положим У33 =—, и2Ъ=и22=ип=и{х,(). и,,

(1-V)

(45)

Следствие. Нелинейное уравнение в частных производных, заданное на функцию двух переменных u(x,t)

21 о а . а

" \р22~^х+ ри), -и\ + их= 0,

(46)

V = V V

13 12 23

L =

1 0 0

0 -1 0

0 0 -1

эквивалентно операторному уравнению Лакса (1) с дифференциальными операторами вида

Г 2 N

д

--1-

дх

—(In ü)x—u и

-1

(An 0 0 0 Д22 о

о о д

8 1

—+-

дх 2

12)

и

и

2v„

и

и1

и и

и - Qa.u)x

(Д1-А2)"

/

(Ä, -

я л Л

{ßn-ß22W 2м-1- ß22 — + ~ In и (Ai - Аг)" ^ дх dt)

2\

где

v„ = и 1 -

ißn-ß22)u2 (Ai -Аг)""1

[А22 + Ai]|- + 2^1 Ihm - (Д, -ß22)u ох dt ^

2м"1

Выводы

1. В статье использовано операторное уравнение Лакса для построения нелинейного уравнения в частных производных. В качестве пары Лакса выбраны дифференциальные операторы первого порядка с матричными коэффициентами 3 х 3.

2. Определены необходимые и достаточные условия, накладываемые на параметры и функции, при которых коммутатор двух дифференциальных операторов представляет оператор умножения.

3. Доказано, что если в операторах дифференциальный матричный коэффициент имеет нижнетреугольной вид, то система уравнений однозначно сводится к одному уравнению.

4. В случае, когда в операторах дифференциальный матричный коэффициент имеет диагональный вид, то система дифференциальных уравнений допускает вариацию функциональных переменных.

Библиографический список

1. Журавлев В.М. // ЖЭТФ, т. 110. № 6, с. 910-929. 1996.

2. Журавлев В.М. // Письма в ЖЭТФ. 61, в. 4. 254. 1995.

3. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели // Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2001. 256 с.

4. Захаров В.Е. Солитоны // под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. М.: Мир, 1970. 1983.

5. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. / под ред. С.П. Новикова. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

6. Карюк А.И., Редькина Т.В. Квазилинейное волновое уравнение, обладающее парой Лакса // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14, вып. 4. Москва, 2007. С. 717-718.

7. Лакс П.Д. и Ральф Ф.С. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971. 312 с.

References

1. ZHuravlev V.M. // ZHEHTF, t. 110. № 6 s. 910-929. 1996. (in Russ)

2. ZHuravlev V.M. // Pis'ma v ZHEHTF. 61 v. 4. 254. 1995. (in Russ)

3. ZHuravlev V.M. Nelinejnye volny v mnogokomponentnyh sistemah s dispersiej i diffuziej. Tochno reshaemye modeli (Nonlinear waves in multicomponent systems with dispersion and diffusion. Exactly solvable models)//Ul'yanovsk, Izd-vo UlGU, 2001. - 256 s. (in Russ)

4. Zaharov V.E. Solitony (Solitons) // Pod red. R.Bullafa, F.Kodri. M.Mir 270. 1983. (in Russ)

5. Zaharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevskij L.P.; Pod red. S.P. Novikova. Teoriya solitonov: Metod obratnoj zadachi (Soliton theory: The inverse problem method) // - M.: Nauka, 1980. - 319 s. (in Russ)

6. Karyuk A.I., Red'kina T.V. Kvazilinejnoe volnovoe uravnenie, obladayushchee paroj Laksa (A quasilinear wave equation possessing a Lax pair) //Obozrenie prikladnoj i promyshlennoj matematiki. T. 14, vyp. 4. Moskva. 2007. S. 717-718 (in Russ).

7. Laks P.D. i Ral'f F.S. Teoriya rasseyaniya (Theory of scattering). M.: Mir, 1971. 312 s. (in Russ).

Рукопись поступила в редакцию: 18.05.2018, принята к публикации: 26.05.2018

Сведения об авторах

Яновская Ольга Сергеевна, аспирант кафедры общей и теоретической физики, старший преподаватель кафедры прикладной математики и математического моделирования Северо-Кавказского федерального университета.Researcher ID: Q-7014-2018 Телефон: (8652) 33-01-45. Email: olenka_yan@mail.ru. Сурнева Олеся Борисовна, аспирант кафедры общей и теоретической физики, Северо-Кавказского федерального университета. Researcher ID: Q-7009-2018 Телефон: 33-01-45. Email: surnevao@mail.ru.

About the authors

Yanovskaya Olga Sergeevna, postgraduate student of the Department of General and Theoretical Physics, senior lecturer of the Department of Applied Mathematics and Mathematical Modeling of the North Caucasus Federal University. Researcher ID: Q-7014-2018 Phone: (8652) 3301-45. Email: olenka_yan@mail.ru. Surneva Olesya Borisovna, post-graduate student of the Department of General and Theoretical Physics, North-Caucasian Federal University Researcher ID: Q-7009-2018 Phone: (8652) 33-01-45. Email: surnevao@mail.ru.