О ЗАМЫКАНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ C^q [0,1] ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

2. Юрко В. А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 1. С. 143 - 156.

3. Горбунов О. Б. О системе Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 21-24.

УДК 517.984

А. П. Гуревич, А. П, Хромов

О ЗАМЫКАНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С'[0,1] ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА*

Обозначим через DL область определения оператора

L{y) = у(п)(л) + р2(х)у(п'2)(х) + ... + р„ {х)у{х), х е [0;1], с условиями

VJ{y) = U]{y)-{y,vj) = 0, (у = 1,...,л), (1)

где

kj i Uj(y)=^:(ajk/k\0) + bjk/k\\)), (y,<pj)= ¡y(x)<pj(x)dx, <py(x) e С[0;1]. * =0 0 Предполагаем, что формы Uj (у) нормированы [1, с. 65 - 66]. Операторы

такого вида встречаются, например, в [2]. В данной статье найдено замыкание Dl в пространстве С9[0,1], q = 0,1,...,л -1.

Обозначим через п q наименьшее значение j, при котором kj <q.

ЛЕММА 1. Предположим, что /(х) е С [0,1] и удовлетворяет краевым условиям Vj(y) = 0, j = n„,..., л. Тогда существует последовательность такая, что 1) ут(х) е С"[0;1]; 2) Vj(ym) = 0, j = nq,...,n\ 3) ут(х)-^> f{x) в пространстве С9[0,1].

Доказательство. Пусть (/>i,W}¡=1 - последовательность алгебраических многочленов, сходящаяся к f{x) в пространстве С?[0,1]. Тогда Vj(pm)^>Vj(f) = 0 при m->°o, j = nq,...,n. То есть, V¿(рт) = от(1).

Обозначим через {ч/,(х)}"=„ произвольный набор функций из С[0,1], для

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

которых Uj(\\il) = 5jl при j > i (5 j¡ - символ Кронекера). Очевидно, такие функции существуют. Действительно, пусть краевое условие U¡(y) = 0 таково, что aik Ф 0, тогда в качестве у, (х) можно взять интерполяционный

алгебраический многочлен, определяемый условиями v|/-í)(0) = 0, s = 0,l.....k¡ -1, v|/J*')(0) = —; 4/^(1) = 0, s = 0,l,...,k¡ . Легко видеть, что

при таком выборе выполнены условия Uj(v|/,) = 0 при

j >i, £/,-(v|/l-) = l. Случай aik. =0, blk Ф0 рассматривается аналогично. Обозначим через hv(x) е С"[0,1] (v = 1,2,...) функцию такую, что

1) hv(x) = l при хе[0,^-]UР-тг-Д]Í 2) Av(x) = 0 при *е[-,1 --];

2v 2v v v

3) 0<hv(x)<l при X6[-L,1]U[1--,1 --!-]. Пусть v(/IV(л:) = \\i¡(x)hv(x). 2v v v 2v

Очевидно, (v|/,-v,9y-) = ov(l) при v -»со, UJ(\\i,v) = Uj(\\i¡). Поэтому Vj (\\iIV) = Uj (\|/IV) + ov (1) при v —> oo. Будем искать требуемую последовательность в виде ут(х) = рт(х) - VC/mV,v(*)> гДе v выберем позднее,

¡=п„

Для определения С-т] получаем систему уравнений

Vj(.ym) = Vj(pm)- £cí")(C/y(Viv) + 0v( 1)) = 0, j = nq,...,n, т.е.

í="i

¿cH(C/y(v|/,v) + ov(l)) = F/(pm), j = nq,...,n. (2)

Матрица ||C/y(vj/¿v);||"ií= является верхнетреугольной, на её главной диагонали стоят единицы. Следовательно, det || Uj (у,v) ||"i¡=„? = 1 • А так как

элементы матрицы системы (2) являются ограниченными по v, то при v достаточно больших определитель этой матрицы по модулю не меньше

Выберем любое из таких v и зафиксируем. Но тогда, так как Vj (рт ) = от (1), то система (2) имеет единственное решение, причем Cfm) = от(1). Отсюда, ут(х) —> f(x) в норме С7[0,1]. Лемма доказана.

Обозначим D¡ = |у(х) е С"[0,1]: Vj(y) = 0, j = i,i + \,...,n\ i = l,2,...,nq. Пусть далее D¡ - замыкание Di по норме С9 [0,1].

ЛЕММА 2. При i = 2,...,nq справедливы включения D¡ с: .

Доказательство. Предположим для определенности, что к *0. Пусть /(х) е /),. Построим последовательность

{/т М)т=1 С А-1> СХОДЯЩУЮСЯ К /(*) В С9 [0,1]. ПОЛОЖИМ

(1 - д:)*'-1 +1 sin*-1 (тх) , „ „ (к, lW ,

= -- , , к , . т=1,2,... . Тогда <'^(0) = 1,

= уй,т(0) = м/й,т(1) = 0, s =0,...,ki_l -1, и, кроме ТОГО, Ч>,-1,т(*)->0вС'[0,1].

Функции уДя) (í = /,..., л) возьмем те же, что и в лемме 1. Vív(*) =VS(*). Будем искать fm(x) в виде

/„ (х)=/(*) - сйЧ-u (*) -1 cím V JV W ■ (3)

s=i

Обозначим Vj-i(f) = a. Тогда для определения приходим к системе алгебраических уравнений

Ci-fr'(Vi-i.m)+ ¿(i|/JV ) = , / = г-1,...,л. (4)

s-i

Но V¡_i m) = + °m (1) • Поэтому матрица системы (4) имеет вид

i-U,_l + °rn С1) .................................

от( 1) 1 + 0V(1) ....................

0т{ 1) <\(1) .......... 1 +

Элементы этой матрицы, стоящие во 2,...,л-г' + 1 столбцах, не зависят от т и равномерно ограничены по V, поэтому

А = аМАч + от (1) + оу (1). (5)

Выберем V настолько большим, чтобы в формуле (5) последнее слагаемое удовлетворяло условию | ои (1) |< ^ ' ^ и зафиксируем. Но тогда

\а1-\ I

при т достаточно больших |с!еЫ|>-^ , Поэтому система (4) имеет

единственное решение при т достаточно больших такое, что С-"/ = 0(1), С}"1' = от(1), я = г,..., л. С учетом формулы (3) получаем требуемое.

ТЕОРЕМА. Справедливо равенство £), = £>°, где £>° - множество функций из С9[0,1], удовлетворяющих условиям Vj{y) = 0, у = пд,...,п.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что £>° замкнуто в С [0,1], и, следовательно, £>,с Пусть /(х)еП°. Для произвольного

е > 0 в силу леммы 1 найдется функция /„^ (х) е такая, что II / ~ Л, 11< е (II' II ~ норма в С?[0,1]). Из леммы 2 следует, что существует система функций {//Сх)}"'21 такая, что /¡(х) е Di и || - ||< е, Отсюда

\\f-fAA\f-L \\+Ъ\Л-Л-1\\<»я*-1=2

Что и требовалось доказать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд. М.: Наука,

1969.

2. Хромов А. П. Теорема равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378 - 405.

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

?"-Ьу = 0, (1)

и2(у) = А21У(0) + а22у( 0) + /(1) = 0, (2)

и3(у) = а31У(0) + а32у'(0) + а33у( 0) + /'(1) = 0, где Ду - константы и Я - спектральный параметр.

В данной статье обобщается результат А. П. Хромова при п = 3 [1]. Если выполняются условия

апаг1+а2хап+а31ап*0, аи+а21+а31=0, а21 + а32 = 0, а33= 0,

то краевые условия (2) являются нерегулярными по Биркогофу [2, с. 66 -67]. Функция Грина б(л:,гД)в таком случае имеет экспоненциальный рост при больших | Я,|, причем как при х < ?, так и при х>1. Основные трудности связаны с преодолением такого роста и их удается преодолеть за счёт использования специального функционального уравнения, которому должна удовлетворять разлагаемая функция.

40