CC BY
15
ему квантор одного типа, то они меняются местами. Если произошла смена типа кванторов, то применяется принцип идеализации, иначе -принцип стандартизации.
Программа состоит из трех модулей. В основном модуле реализованы: синтаксический анализ, лексический анализ и вычислительный алгоритм. Во втором даны описания лексических и синтаксических структур, а также некоторые вспомогательные функции и процедуры для работы с ними. Третий модуль содержит процедуру, выдающую сообщение об ошибке.
ЛИТЕРАТУРА
Nelson Е. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. Vol. 83, № 6. P. 1165 - 1198.
УДК 517.984
О. Б. Горбунов
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ДИРАКА С ИЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА
1. Рассмотрим краевую задачу для системы Дирака вида
ВГ + (Р(х) + Ру(х))У = ХУ, 0<х<п, уе(0,я), (1)
Г1г(а)7(0) = Г1г(Р)7(тг) = 0, (2)
где
Y(x) =
, P(X)JMX) PW = -ü_iSm2(p C0S2CP
х- у \4C0s2(p -sin2(p
В:
Уг(х)) \Рг(х) -M*).
, У (а) = (Fj (а), V2 (а)) =
г 0 1
/
''cos а -sina^
vsma cosa
T- знак транспони-
0)
рования.
Здесь рк (х) - комплекснозначные функции, ц, а, Р, ср - комплексные числа. Пусть для определенности Яеа, ЯеР, Яе (ре [-я/2, л/2], Яец>0, И + 1/20Ы, и пусть |*-уГ2Кец|/>*М|еЦ0,я), рк( х)е№1\0,п), к = 1,2.
Система Дирака без особенности изучена достаточно полно (см., например, [1]). Цель работы - выявить аналитические и асимптотические свойства характеристической функции (ХФ) задачи (1), (2), исследовать поведение спектра и функции Вейля (ФВ) задачи (1), (2). Для оператора Штурма-Лиувилля подобные результаты получены в [2].
При работе с задачей (1), (2) важную роль играет специальная фундаментальная система решений системы уравнений (1) {ЯДхД)} =12, изучавшаяся в [3]. Эти решения могут быть найдены из следующих интегральных уравнений:
5,.(хД) = С,(хД) + )с(х,Х)С-1(1Л)ВР(!)5^,Х)Л, j = 1,2,
где С(х,X) = (С,(х,X),С2(х,X)), С. (х,Х) = (х- у)ц> Г(-ср)С,(Х(х - у)),
(А(о,С2(О)= +£(2к
к=О
/С,
V
1,2*+1 <-2,2 к 1,24 1с2,2к+\)
<7,2к ~ С]Ъ
с к-1
(-1) 2 А:! +1 + 2^)
V *=0 J
. С!0с20=1, ц=(-1)уц, 7=1,2,
здесь и далее считаем, что = ехр(р.(1п | х |-и аг§х)), а^хе(-я, я ], при этом 5 (хД) - целые по А первого порядка, и <1е1(5'1(хД),5'2(хД))=1, где 5"(х, А.) = (£] (х, X), 52 (х, X)).
В [3] также получена следующая асимптотика при |А(х-у)|>1 и
| Л. |—> оо:
-/Х(дг-г)+/ф
__ \
1
— у)
,7=1,2, (3)
где
V = <
, ЬцД=(«,
-1, а^(Х(х - у)) е П0,
1, Яец>1/2,
, г =
1,ащ(А,(х-у))еСП0,
[2 Яе ц, 0 < 11е ц. < 1 / 2, 1, а^А, е П,,х <у,
-1, аг§А,еП_,,х>у, СП0=Г1_1иП1, О, в остальных случаях, П* = {г : а^г е (я(5к - 3)/(6 - 2£),я(5А: + 3)/(6 + 2£)]}, к = 0,±1.
2. Введем в рассмотрение следующие функци: Ф2(хД) = 5(хД)5-'(0Д)К2(а),
Ч/2(хД) = 5(ХД)5-1^ЛЖ2(Р).
Д Д) = (|3)Ф2 (я, X) = (а)у2(0, X) = (р)5(я, А)^1 (О, Х)У2 (а), Ф,(хД) = -м/2(хД)/ДД), М (X) = К2Г (а)Ф, (О Д),
функцию Л(Х) назовем ХФ задачи (1), (2), её нули совпадают с собственными значениями (СЗ) задачи (1), (2), поскольку det(02,M/2)= ДМ; Функция М(Х) называется ФВ задачи (1), (2).
ТЕОРЕМА 1. ХФ Д(Х) обладает следующими свойствами:
1) Д(Л) = + ±е-'0А+а-Ю[ц-/8тяцвй^"-^-2'-в-Юр],
2 i 2 i
где [1] = (l + o\x\'v)), при |Х| да, / =
1, argÄ.en0> 1, argA. e СП0;
2) существуют h>0,Ch > О, что A(X) > Ch ехр(я|1тХ.|), при |lmX| > h, следовательно, весь спектр задачи (1), (2) лежит в полосе \1тЛ\ < h;
3) число нулей Na ХФ Д(А) в Ra = (Х.: |lmA.| < h, ReA. е [а,а + 1]} равномерно ограничено по а;
4) обозначим G5 = {Л.: |А. - | > 5, к е zj, где {Х,^ - СЗ задачи /, тогда А(Х) > С5 ехр(я|1шХ.|), X е Gs;
5) существует Rn —> -к», что при достаточно малом 5, все окружности Ш = Rn лежат в G& при всех п;
6) Д(Я.) однозначно определяется своими нулями \Хк с учетом кратности.
Для определённости ограничимся случаем простого спектра, то есть случаем, когда ХФ имеет только простые нули.
ТЕОРЕМА 2. ФВ М(Х) обладает следующими свойствами:
1) М(Х)~ мероморфна, и имеет полюса в СЗ задачи (1), (2);
2) справедлива асимптотика
8т(яХ + а-р) + /5тяце''(Х(,1-21')-2<р-а-|3) * 1 '
при ¡Х| —> оо, XeGs;
3) имеет место разложение
М(Х) = М°(Х)+ X
f о \
gк ак
где СЗ, М°(Х)~ ФВ задачи (1), (2) с Р(х) = О, причём ряд схо-
-ко
дится «со скобками», то есть £ = lim ^ ;
4) ФВ однозначно определяется заданием вычетов {ак и СЗ \Хк
36
-ИХ)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.
2. Юрко В. А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 1. С. 143 - 156.
3. Горбунов О. Б. О системе Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 21-24.
УДК 517.984
А. П. Гуревич, А. П, Хромов
О ЗАМЫКАНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С'[0,1] ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА*
Обозначим через DL область определения оператора
L{y) = у(п)(х) + р2(х)у(п'2)(х) + ... + р„ {х)у{х), х е [0;1], с условиями
VJ{y) = U]{y)-{y,vj) = 0, (у = 1,...,л), (1)
где
kj i Uj(y)=^:(ajk/k\0) + bjk/k\\)), (y,<pj)= ¡y(x)<pj(x)dx, <py(x) e С[0;1]. * =0 0 Предполагаем, что формы Uj (у) нормированы [1, с. 65 - 66]. Операторы
такого вида встречаются, например, в [2]. В данной статье найдено замыкание Dl в пространстве С9[0,1], q = 0,1,...,л -1.
Обозначим через п q наименьшее значение j, при котором kj <q.
ЛЕММА 1. Предположим, что /(х) е С [ОД] и удовлетворяет краевым условиям Vj(y) = 0, j = n„,..., л. Тогда существует последовательность такая, что 1) ут(х) е С"[0;1]; 2) Vj(ym) = 0, j = nq,...,n\ 3) ут(х)-^> f{x) в пространстве С9[0,1].
Доказательство. Пусть (/>i,W}¡=1 - последовательность алгебраических многочленов, сходящаяся к f{x) в пространстве С?[0,1]. Тогда Vj(pm)^>Vj(f) = 0 при m->°o, j = nq,...,n. То есть, V¿(рт) = от(1).
Обозначим через {ч/,(х)}"=„ произвольный набор функций из С"[0,1], для
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.
