CC BY
15
Пусть VE<je¿ = Tcabec, У&п+аеь = Ccabec, тогда
Гab =^gCd(ZaZdb +48da ~^dgab), Cab = ^g^igdba + gda-b ~ gab-d)-
Теперь рассмотрим на связность без кручения для допустимых полей, согласованную уже с римановой структурой g:
Vg = 0, VeA ев = r¿B£c, А,В,С = l..m,(n + l)...n + m . Её коэффициентами будут
с п+с с
ГоА = ТсаЬ, Tab = -~gcd[gab.d-Sdf^ab )' Га'П+ь = \sCd{sda-b + gbfR-dX
п+с с
Ta,n+b =ГаС„ +~gCd(gdfBfab-ghfB}ad\ T„+a,b =~gCd{gbd-a + gaf4d)>
n+c n+c
г n+a,b =-\gcd{gfaBfbd+gafBi), Тп+а,п+ь = Ccab, где В'л=ил-Гл.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VII Междунар. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. Казань, 1939. С. 195-262.
2 Вагнер В. В. Геометрия (и-1)-мерного неголономного многообразия в «-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М : ГТТИ, 1941. Вып. 5. С. 173 - 225
3. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука,
1981.
УДК 517.984
О. Б. Горбунов
О СИСТЕМЕ ДИРАКА С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА
Рассмотрим систему Дирака вида
ВУ'+ (Р(х)+Р0(х))У = - со < * < +со, (1)
где
Здесь рк(х) - комплекснозначные функции, р.- комплексное число. Пусть для определенности Кер>0,р + 1/2 £ N и пусть
Система Дирака без особенности изучена достаточно полно (см., например, [1]). Целью работы является построение специальных фундаментальных систем решений (ФСР) для системы (1) и изучение их аналитических и асимптотических свойств и свойств соответствующих множителей Стокса. Эти ФСР могут быть использованы при изучении прямых и обратных задач для системы Дирака с особенностью внутри. Для оператора Штурма-Лиувилля подобные результаты получены в [2].
Для краткости удобно из векторов ФСР составить фундаментальную матрицу (ФМ), договоримся, что если некоторый символ обозначает ФМ, то этот же символ с индексом у = 1,2 - ее вектор-столбцы.
1. Сначала рассмотрим следующую систему в комплексной х -плоскости:
ВУ + Р0(х)У = У. (2)
Система (2) имеет ФМ С(х) = (С1(х),С2(х)), где Су(х) = х^С;(х),
г к
¿=о
хс1,2к+\ с2,2к
» с10с20 ~ ^ >
ц, = ну'ц, у = 1,2, (<?,(*)д(*))=
А=0 V ~ с1,2к хс2,2к+1
( 4-1 V1
С],2к = (-1/^0 2^!П(2цу + 1 + 2^) , с]Лк+1 = ст(2цу. +1 + 2к)~\
причем с!е1 С(х) =1, С;- (х) - целые по х.
Здесь и далее считаем, что хц = ехр(ц(1п|х|+г а^х)), argx е(- л,л ]. ТЕОРЕМА 1.1. Существует ФМ е(х) = (е1(х),е2(х)), где е (х) могут быть найдены из системы интегральных уравнений:
. / X
еу° (х) +1 е° (х) ¡е0-'1^ (0 ~ ВР02 (*))«, (*)Л
2. г*
е^х) = \1--Р0(х)
где Сх=и = х + £,£>()}, е°(х) =
Я,х
причем с!е1 е(х) = 2/ и еу (х) = е
1е - ш
\е е
-ФМ системы ВУ = У, при |х|-> со,|а^х|< я -5,
1 + 0(х-1) где Яу = г,Я2 = -/.
2. ПустьС(х) = е(х)р°, тогда р?у = (-1)'+1 ехр(-тцу)р°у,.у = 1,2, Р21Р22 = (4'С03ЛЦГ1.
Рассмотрим систему Дирака (1) с Р(х) = О
ВУ' + Р0(х)У = ХУ. (3)
Обозначим е(х, Х):= е(хХ) и Су (х,X): = Су (хХ) = С.} (хХ), тогда, очевидно, что е(х,Х), С(х,Х) = (С1(х,Х),С2(х,Х)) - ФМ системы (3),
причем, е,(х,Х) = е > 7 , при шс -> оо, агшлл:) £ л - о < л,
; V ^ОССАд:)"1) )■
и С(х,А,) - целая по А..
Пусть С(хД) = е(хД)Р°(А.),то =\,2.
2. Рассмотрим систему (1) как возмущение системы (3). Построим ФМ Б(х,Х) = (5!1(х,Х),Б2(х,Х)) системы (1) из решений систем интегральных уравнений
Б^х.Х) = С}(х,X) + ¡С(х,Х)С'1(I,Х)ВР(1)Б]<7,Х)Ж, j = 1,2, о
причем с1е(:5(;с,А.) = 1, Б(х,Х) - целая по X и Б(х,Х) = 0(х?') при х и X из компактов.
ТЕОРЕМА 2. При х>0 система (1) имеет ФМ
Е(х,Х) = (Е1(х,Х),Е2 (х,Х)) такую, чтoEJ■ (х,Х) - регулярна в секторе
aIgЯ е (0,я-е) при фиксированном х ф 0 и достаточно большом |Л|, и
1, Яец >1/2, 211ер, 0 < Яец <1/2.
при |Ъс|>2|ц| ЕЛх,Х) = е '
оо, равномерно по х из
/
компакта, где у = ' ^ ^ Функции EJ■(x,X) удовлетворя-
ют соответствующим системам интегральных уравнений
#
при х<аг -2\ц!Х\
/
]А{х,1,Х)Е1{1,Х)сИ-\11е-\ах,Х)0{ах,Х)Е1{ах,Х)
2
Е1 (х, Х) = ех(х,Х) + е(х, X)
Л
Е2 (х,Х) = е2 (х, X) + е(х, А,) { 0^,Х)Е2
при х>ах
Л {
\А(х,1,Х)Е1(1,Х)Ж +
1 С
Ех(х,Х) = е,(х,Х) - -^2{х,Х)Ех{х,Х) + е(х,Х)
о
+ Х-11е-\ах,ХШах,Х)Е1{ах,Х) \,
Е2 (х,Х) = е2 (х, А.)-- ßO, Я.) Е2 (х, К) + е(х, X)
¡G(t,X)E2(t,X)dt
\о
где
1 -I2G(t,X),t>x, ^ \\l2e~\t,X)L(t,X),t>ax, 1 lo О/
/2 = 1(хД) = ß'(*A) + + Q(x,X)B(P(x) + Р0(х) - XI),
Q(x,\) = (P0(x)-ljylP(x).
ТЕОРЕМА 3. Пусть S(.x,A.) = £(;c,X)ß(A.), тогда для множителей Стокса при arg Я е (0, я- - е) имеет место асимптотика
О /1 , V \ч____ л I
ТЕОРЕМА 4 При \hc\> 1
_(_! уе'^'е^
kj
\
i
1 0,
,7=1,2,
где
= е-'
V
(а,-) -12 = (ау + 0(1 )) j 2. > 00 равномерно по х из компак-
та, ß?ß°
/=Г-1,агё(^)еП0, т \ 1, arg(.xX,) е П_! и П15
4,COS7^ i—^ 0,ост.сл
Щ ={z:argz е (л(5к - 3)/(6 - 2к),л(5к + 3)/(6 + 2к)\ к = 0,±\.
1, argX-en^JccO, 1, arg^en_1,x>0,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРАЫ
1. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.
2. Юрко В. А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. заметки. 1998. Т. 64 № 1. С. 143 - 156.
