CC BY
11
g12=ia,ß2, g22 = ¿ot|p¡. Откуда получаем: |gj = &2a,ß2(oc2ß, -a^2). Если ¡gj^O, то, в частности, мы получаем: a2ß|-o!|ß2*0, что противоречит
, Ik а2 0||
тому, что гапк\\ < I.
II 0 а1 a2¡
Итак, справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Если первый тензор кривизны Схоутена обращается в ноль, то аффинная связность V, заданная в неголономном многообразии X], метризуема тогда и только тогда, когда ранг матрицы (9) равен нулю.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Eisenhart L. Р., Vehlen Ü. The Riemannian geometry and ist generalization // Proc. Nat. Acad. Sc. 1922. Vol. 8. P. 19-23.
2. Golab S. Über die Metrisierbarkeit der Affmzusammenhängenden Räumt // Tensor. 1959. Vol. 9. P. 1 -7.
3. Галаев С. В., Гохман А. В. К геометрии динамики со связями одного класса точек переменной массы // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 18 - 22.
4. Вагнер В. В. Геметрия (гс-1)-мерного неголономного многообразия в гс-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
5. Галаев С. В., Гохман А. В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика: Сб. науч. гр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.
УДК 517.984
О. Б. Горбунов
О ПУЧКАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида ^ „
+ + + ^ + = - оо < х < +оо, (1)
где Рк(х) - комплекснозначные функции, ук — комплексные числа. Пусть для определенности Яе у > 0, у г !Ч, у + 0.5 г N, где у2 = 1 /4 - у2 и
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).
|1р(0,1-2Яе,)|лМ|еД_щ р1(х)ЕЖ11(-«,оо), р2{х) еЦ-00,00), к - 1,2, ] 1шу, |< 1.
Пучки дифференциальных операторов без особенности изучены достаточно полно [1 - 3]. Целью статьи является построение специальных фундаментальных систем решений (ФСР) для (1) и изучение их аналитических и асимптотических свойств, а также свойств соответствующих множителей Стокса. Эти ФСР могут быть использованы при изучении прямых и обратных задач для пучков с особенностью внутри.
1. Сначала рассмотрим следующее уравнение в комплексной л:-плоскости:
+ ~ + = (2) Уравнение (2) имеет ФСР {С^(х),С2(х)}, где СДх) = СДх), / = 1,2,
А - / 14/ / N ^ к V! ^\С],к-\+С].к-2
ц,.=0.5 + (-1 УУ,С7(*) = £*Х о- <>=" к(2^-1 + к) '
2ус10с20 = 1. причём (С,(х),С2(х)) = 1, (у,г) = уг'-у'г, Су(х) - целые по х. Здесь и далее считаем, что хй = ехр(ц(1п | х \ +/'а^х)), а^х е(- л, я ]. ТЕОРЕМА 1.1. Существует ФСР {е,(х),е2(х) } такая, что
е]т\х) = Я^х^'/2е^х(] + 0([ х Г1)), т = 0,1 при | * |-> оо, | аг§ л: |< тс - 5,
где Л, = г, Я2 = -г, причём (е, (х),е2 (х)) = -2г.
2. Пусть Су(х) = (3>1(х) + Э°2е2(х), тогда Р°2=Г;Р°„ у =1,2,
Р°,Р°, =(-2/(Г2 - Г,))"', где Г,- =2"*' Г(ц, + /у, /2)/Г(цу-/у,/2)е^ .
Для доказательства обозначим у,(х) = у(х), у2(х) = -у'(х) и уравнение (2) преобразуем в систему Дирака
ВУ'(х) - (0 (х) + б2(х))Г(х) = 0О (х)У,
Го П у, Л о^ V,Г1 (Л
Решения этой системы строятся возмущением решений системы ЯУ'(х) = <2{)(х)У'(х). Второе утверждение теоремы доказывается методами теории специальных функций.
Рассмотрим уравнение (1) с р\(х) = 0, р2(х) = О
у\х) + ^р2 + р^- + ^||у(х) = 0, -°о<х<+оо. (3)
Обозначим еу(х,р):=еДхр) и СДх,р):=р Ц;Су(хр) = х^СДхр), тогда очевидно, что{е,(х,р),е2(*,Р) },{С,(х,р),С2(х,р)} - ФСР уравнения (3), причём, е(/т\х,Р) = (р^ГСхр)^|/2/^р(1 + 0(|хрГ1)) т = 0,1, при | хр |-> оо, | а^(хр) |< п - 6 < л, и С(х, р) - целая по р.
Пусть С7(х,р) = Р°1(р)е|(х,р) + Р°2(р)е2(х,р),то р°(р) = р^р° .
2. Рассмотрим уравнение (1) как возмущение уравнения (3). Построим ФСР {¿'¡(х.рХ.^х.р) } уравнения (1) из решений интегральных уравнений
X
5/*,р) = С,(*,р) + \С(х,1,р){ррх(?) + р2{ф^,р)<Ь, 7 = 1,2, о
где С(х,^р) = С,(Г,р)С2(х,р)-С|(х,р)С2(?,р), причём 5у(х,р) - целые по
р, Sj(x,p) = 0(xiiJ) при лир из компактов и (х, р), (лг, р)) = 1.
ТЕОРЕМА 2. При д: > 0 уравнение (1) имеет ФСР {£,(х,р),£2(х,р)} такую, что Е) (х, р) - регулярна в секторе а^ре(0,я-е) при фиксированном х*0 и достаточно большом |р| и при | хр |> 2шах{ [ V, |,| V |,1} £}">(*,р) = {рИ^'Чрх^^е^^^ + ОЦ рхГ1)), т = 0,1, | р оо равномерно по х из компакта, где = 2, причём
{Е\(х, р), Е2 (х, р)) = -2;'р.
Для доказательства этой теоремы от уравнения (1) переходим также к эквивалентной системе Дирака.
ТЕОРЕМА 3. Пусть 5у(х,р) = ру1(р)£,(х,р) + ру2(р)£2(х,р), тогда
для множителей Стокса при аг£р е (0,7г-е) имеет место асимптотика Р*, (р) = Э& ■ (1 + 0(1 Р г1 )) при I р |-> оо, к,} = 1,2. ТЕОРЕМА 4. При |хр|>1
= (г(ц,- -/V, 12)ет^+к^12(1р)т{2хр)ы*12е'рх+>^х\\]0 +
+ Г(цу- + /V,/2)е'п^'2е~т' +к^\-{р)т(2хрУ^ пеЧрхЧ^х)Ц]0), т = 0,1,
где [1]0 = (1 + 0(| хрр1)), [ р |—оо равномерно по х из компакта,
39
1, реП,,х<0,
, т-г л Г -1, *реП0> , 0, х > О,
-1, реП,, х>0, 17 = < к,={
1 1, хреГЦиП,, [1, х<0,
О, ост. сл.,
/2
к2=и \peTlj},
Пк = {г : агё г е (п(5к - 3) /(6 - 2к), л(5к + 3) /(6 + 2к)]}, к-0,±1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений//ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1.С. 11 - 14.
2. Шкаликов. А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190 - 229.
3. Юрко В. А. О восстановлении пучков дифференциальных операторов на полуоси // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вып.2. С. 316-319.
УДК 517.51
Е. В. Гудошникова
КОНСТРУКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ *
Рассмотрим линейные положительные операторы вида
к =0 уп\х)
определённые на [0,оо)и удовлетворяющие условиям:
1) ип к{х)> 0, у„(х)>0 для х > 0 и у„(0) = 1;
00
2) !>„,*(*)•** =у„0); *=о
3) £«я,*(хМ-Х)4=^-;
к =0 vи(2x)
ипк(х) к
4) для с[п к (х) = —1—х выполняется соотношение
/ к-пх
Чп,к(х) = —г:г<1п,к(х)> Мх)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00060).
