О метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии x^2_3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. В. Галаев, А. В. Гохман

УДК 514.764

О МЕТРИЗУЕМОСТИ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ В НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ X]

Проблема метризуемости аффинной связности V, заданной на гладком многообразии Хп, впервые обсуждалась в работе [1]. Эта проблема сводится к интегрируемости системы дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Полное решение задачи о метризуемости аффинной связности удалось получить только в отдельных случаях. Так, например, условия метризуемости аффинной связности, заданной на двумерном многообразии, получены в [2]. Как показано в [3], задача о метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии является весьма актуальной с точки зрения применения дифференциальной геометрии к изучению движения точки переменной массы. В настоящей статье находятся условия метризуемости аффинной связности, заданной в оснащённом неголономном многообразии X3 , для которой первый тензор кривизны Схоутена Я [4] обращается в ноль. При этом, как показано ниже, условие Я = О не влечёт обращение в ноль тензора кривизны, полученного В.В. Вагнером в [4].

1. Пусть Хп — гладкое класса С°° многообразие, на котором задано вместе со своим оснащением Х\ неголономное многообразие Хпп~' (см. [4]). Задание оснащения позволяет ограничиться рассмотрением на Хп специальных систем координат

(ха)=(ха,х") (а,Р,у = 1.....и; вАс = 1,...,и-1).

Для таких систем всегда дп =-^—eF(}(x'n). Две специальные карты

дх"

связаны между собой преобразованиями вида

ха'=ха'(ха), х"' = х" (ха,х").

Допустимые векторные поля [5]

ёа= рг{{да) = да- Га"Э„, где рг, :/г0'(Л,„)—> /*о (-^и ') - естественный оператор проектирования, линейно независимы в каждой точке и определяют в Х"~ 1 линейную систему координат [4]. Имеет место равенство \ёа,ёь\= М"аЬдп, где М"аЬ - тензор неголономности многообразия Х"п '. Обращение М"ь в ноль эквивалентно интегрируемости ХЦ 1 Пусть далее V - симметричная аффинная связ-

34

ность с коэффициентами Г£с в неголономном многообразии X" 1. В специальных координатах мы имеем Гл" = Г"ь. Связность V определяет два допустимых тензорных поля, которые, следуя [4], будем называть соответственно первым и вторым тензорами кривизны Схоутена, Их координатные представления имеют вид

КаЬс - Ща^ Ь]с + ~^{а\ГрЬ]с> (*)

ОапЬс=дпГаьс- (2)

Мы будем искать условия, при которых существует поле допустимого метрического тензора g такого, что Vg = 0 и сИ £ ^ 0. В координатах, таким образом, мы имеем

еа8Ьс - ТаЬ8с1с - Гас8Ь<1 = 0 • (3)

Дифференцируя (3) повторно, а затем альтернируя, получаем

= (4)

Пусть теперь X — форма, определяющая многообразие ХЦ~1 '■Х\х„-\ =0. В специальных координатах X = Хп[скп + Г"ск"). Имеет

место равенство М"ЬХ„ = юЬа, где со = с[к, используя которое, приводим (4) к виду

д„8ьс=8/сРп/ь+8/ЬРпс> (5)

где Р/ь К^аЬ- Мы предполагаем, что с!е11| ¡| 0. Собирая вместе

(3) и (5), получим систему уравнений в полных дифференциалах, которая является следствием системы (3). Условия интегрируемости такой системы имеют вид

| С?аь8<к + С?ас8Ьс1 = °> ^

\8dcPnah + ёьаРпас = 0>

где Оаш = Каш - ШпЬсРапЛ, РЛпас = С"пас - VаР^с.

2. Рассмотрим случай, когда и = 3 . Предположим, что первый тензор кривизны Схоутена равен нулю: /? = 0. В том случае, когда п >

3 и Х"п~х не

содержит голономное многообразие Хпп2, равенство Л = 0 влечёт обращение в ноль тензора С (см. [4]). Рассмотрим пример, демонстрирующий существование связности V в случае п = 3, для которой Я = 0, но О * 0 . Пусть Х3 = Р3 и многообразие х\ определяется как линейная оболочка векторных полей е, = <3] -х2д3,ё2 = д2 ■ Зададим в X2 связность, отличные от нуля коэффициенты которой имеют вид

ги = Г21 Гц =Х2(Х3)2 . (7)

Вычисления показывают, что для такой связности Л = 0,но(7*0.В случае, когда Я-0, система (6) принимает более простой вид

SdcGtb+ SbdCLc=Q-

(8)

а2 0

р, р2 0

У] У2 0

0 а. а2

0 Pi Р2

0 Yi У 2

Если ввести обозначения Суи = (*,, =Р;> С322 = у( (/ = 1,2), то матрица системы (8) примет вид

(9)

Пусть г - ранг матрицы (9). Если г = 0, то это означает, что 0"Ьс = З31 Цс = 0 . Можно показать, что последнее условие означает существование такой специальной системы координат, относительно которой =0. В случае, когда г = 0, любой набор констант gcb будет являться решением системы (3). Ясно, что мы всегда можем подобрать gab таким образом, чтобы (1еЛ ^ 0. Окончательно заключаем, что если г = 0, то связность V метризуема. Легко видеть, что случай г = 1 невозможен. Если г = 3, то система (8) имеет единственное нулевое решение и связность V не метризуема. Пусть г = 2, Мы имеем 15 подматриц (у каждой по три столбца) матрицы (9), каждая из которых может иметь ранг, равный двум. Разобьём эти матрицы на три группы. К первой группе относятся матрицы

а, а2 0 Р, Р2 0 У\ 72 0

0 ctj а2 5 0 Р. р2 9 0 Yi У 2

Пусть ранг одной из них равен двум. Например, rank Введём обозначения: =

¡а, а2 0

0 а, а

= 2.

а 2 0 0 а. а1 а2

а, <*2 ' AI2 ~ а2 0 , — 0

. В этом

случае имеем gab =кЛаЬ к - любое. Отсюда следует, что с1ег [[,£,'|| = 0. Во

вторую группу входят шесть матриц. Каждая их этих матриц имеет нулевой столбец. Если ранг такой матрицы равен двум, то соответствующая система имеет единственное нулевое решение. Пусть теперь ранги всех предшествующих матриц отличны от двух. Возьмём любую из шести ос-

тавшихся матриц, например, матрицу

а, а2

0!

. Если её ранг равен двум,

|0 Р, P2I!

то мы получаем решение соответствующей системы в виде g), = А'а2р2,

g12=ia,ß2, g22 = ¿ot|p¡. Откуда получаем: |gj = &2a,ß2(oc2ß, -a^2). Если ¡gj^O, то, в частности, мы получаем: a2ß|-o!|ß2*0, что противоречит

, Ik а2 0||

тому, что гапк\\ < I.

II 0 а1 a2¡

Итак, справедлива следующая

ТЕОРЕМА. Если первый тензор кривизны Схоутена обращается в ноль, то аффинная связность V, заданная в неголономном многообразии X], метризуема тогда и только тогда, когда ранг матрицы (9) равен нулю.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Eisenhart L. Р., Vehlen Ü. The Riemannian geometry and ist generalization // Proc. Nat. Acad. Sc. 1922. Vol. 8. P. 19-23.

2. Golab S. Über die Metrisierbarkeit der Affmzusammenhängenden Räumt // Tensor. 1959. Vol. 9. P. 1 -7.

3. Галаев С. В., Гохман А. В. К геометрии динамики со связями одного класса точек переменной массы // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 18 - 22.

4. Вагнер В. В. Геметрия (гс-1)-мерного неголономного многообразия в гс-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.

5. Галаев С. В., Гохман А. В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.

УДК 517.984

О. Б. Горбунов

О ПУЧКАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида ^ „

+ + + ^ + = - оо < х < +оо, (1)

где Рк(х) - комплекснозначные функции, ук — комплексные числа. Пусть для определенности Яе у > 0, у г !Ч, у + 0.5 г N, где у2 = 1 /4 - у2 и

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).