Условие метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии х2_3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

(п + l) узлов сетки Т, перебирая на каждой выборке двоичные наборы параметров к е[0:и], qk <£ М, и проверяя каждый раз равенство (3). Таких решений системы (2) конечное число, следовательно, множество 9? имеет конечное число крайних точек: ¡ £(5R )j<9]. По лемме 1 для каждого

фиксированного набора из п узлов сетки Г (их С" 7 ) существует не более двух крайних точек. Учитывая теперь, что каждая точка подсчитана и+1-Л/ раз, получаем нужную оценку. Теорема доказана.

Пример. Пусть п = 2, N = 3, Т = {0<1<2<3}, \М\ = 1. В таком случае 60 = 3,02 = 6. Если ф(0')=[-1;1], Ф(1)=[-1;0], Ф(2)= Ф(з)= [0;1 ], то число крайних точек множества решений задачи (1) есть 3 и достигается оценка 0О. Если же Ф(0) = [ -1; 1 ], Ф(1) = Ф(2) = Ф(3) = {О}, то число крайних точек равно 6 и достигается оценка 02.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. О наилучшем приближении дискретного мультио гобра-жения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 25 - 27.

2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

3. Выгодчикова И.Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2003. Вып. 5. С. 15-18.

4. Выгодчикова И. Ю. Процедура решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 12-й Сарат. зимней мат. гак. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 48 50.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

УСЛОВИЕ МЕТРИЗУЕМОСТИ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ В НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ X¡

Проблема метризуемости аффинной связности V, заданной на гладком многообразии Хп, была обозначена в работе [1]. Эта проблема сводится к интегрируемости системы дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Условия метризуемости аффинной связности, заданной на двумерном многообразии, получены в [2]. Как показано в [3], задача о метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии [4] является весьма актуальной с точки зрения применения дифференциальной геометрии к изучению движения точки переменной массы. В настоящей

статье находятся условия метризуемости аффинной связности, заданной в оснащенном неголономном многообразии Х- .

1. Пусть Хп - гладкое класса С многообразие, на котором задано вместе со своим оснащением Х\ неголономное многообразие Х"~! [4]. Мы полагаем, что многообразие Х"~1 задается фиксированной дифференциальной 1-формой X. Задание оснащения позволяет ограничиться рассмотрением на Х„ специальных систем координат

(ха )= (л-а,х")(а,Р,у = 1,...,«; а,Ь,с = \,...,п -1).

Для таких систем всегда д„=-~^еР^[х1„), где - модуль

векторных полей, принимающих значения в распределении Хп. Допустимые векторные поля ёа = рг1(да)=8а-Т"дп, где ргх :) —> ^ДлГ"-1) -естественный оператор проектирования, линейно независимы в каждой точке и определяют в Х"~1 линейную систему координат [4]. Имеет место равенство \ёа,ёь]= М"ьд„, где М"ь - тензор неголономности многообразия А','" '. Пусть далее V - симметричная аффинная связность с коэффициентами ГЦС в неголономном многообразии X" '. Связность V определяет два допустимых тензорных поля, которые, следуя [4], будем называть соответственно первым и вторым тензорами кривизны Схоутена. Их координатные представления имеют вид КаЬс = 2ё[аГ^с, Р"Ьс = 5„Г£С.

Будем искать условия, при которых существует поле допустимого метрического тензора g такого, что = 0, ; £: * 0. В случае, когда эти условия выполняются, будем называть связность V и пространство Хпп'1 метризуемыми. Уравнение = 0 в координатах примет вид

ёаЯЬс - Г*Ь&*С - Гас8ь<1 = 0 • (1)

2. Система (1) не является системой уфавнений в полных дифференциалах. Для того чтобы получить систему дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, построим связность

осуществляющую параллельный перенос допустимых векторов вдоль произвольных кривых многообразия Хп. Потребуем от связности V, чтобы системы уравнений Уg = 0, Vg = 0 были равносильны.

Пусть п=3. Дифференцируя (1) повторно, а затем альтернируя, получаем

М]ад^ьс =8ГсК^ь + . (2)

Форма X, определяющая многообразие Х2 хг =0, в специальных координатах имеет вид Х = + Гдй6с"), где >„3 - гладкая на многообразии Х3 функция. Имеет место равенство М3аЬкъ ~(0Ьа, где со = <1к, используя которое, приводим (2) к виду

dlgbc = gfcP3b+gfbPl>

(3)

Pjk = ~—<ädaK{,.. Мы воспользовались здесь тем, что 0 и

где

зь

vdab

0)аЬсо с= дса. Собирая вместе (1) и (3), получаем систему уравнений в полных дифференциалах. Условия интегрируемости такой системы имеют вид

gdcR3bc + gU*L ~ 0'

(4)

где Rdbc -KJabc-2Ml„P3dc, RL~PL~VaP?c. Учитывая, что Rdabc = 3Kdabc, перепишем систему (4) в виде

\Ktab8dc + KfacSbd = °>

[gdcXL+gbdXL=0-

(5)

Система (5) дает условия интегрируемости системы уравнений Vg = 0. Коэффициенты связности V, V связаны соотношениями ГХ = Tbc,t°b = P"h. Функции Rdbc, Rdbc являются компонентами тензора кривизны R связности V в базисе (ij,e2,93).

Матрица системы (5) имеет восемь строк, первые три из которых образуют матрицу вида

ab 0

с а + d b , (6)

0 cd

К\2, = а, К{2\ = Ь, К\22 - с, Ку22 = d. Определитель D матрицы (6) равен

D = (a + d)(ad-bc). (7)

Введем два комитанта тензора К:

Vab = Kabd> Kab = Kcab ■

Пусть D = det \Kah j|. Тогда можно проверить справедливость следующего равенства:

Ii дх"

D' = DdeÜ

I 8ха

(9)

где £> = (1е1||Л"0.л.|. Вводя обозначения /) = Р|2> получаем аналогичное равенство

D' = £>det

дх"

(10)

Из (7) следует, что £> = ББ. Равенства (9), (10) указывают на то, что О -комитант связности V.

Пуетт. г - ряиг матрицы системы (5). Если г = 0, то система (1) вполне интегрируема, и, следовательно, V - метризуемая связность. Легко убедиться в том, что случай г = ] невозможен. Если г - 3, то система (5) Имеет единственное нулевое решение и, таким образом, V - не метризуе-ма. Рассмотрим случаи г-2.11усть г - ранг матрицы (6). Есди г = 0, то, как показано в [5], связность V не метризуема. Случай г = 1 невозможен при любом г, а случай г = 3 невозможен при условии, что г = 2. Пусть

г = 2 и D Ф 0. Тогда либо rank Введем обозначения:

4.=

ъ

a + d

!, либо rank

а с с

Ь 0 d

Ви= I

ъ о

a + d b b 0

0 а a b

' 4 2 ~ Ъ с > ^22 — с a + d

d

0 а а Ь\

d 0 ' ^22 = 0 с\

В первом случае = кАсЬ, к - любое, во втором - = кВсЬ. Вычисляя, получим

| Aj2 2 — b D,

42

э2

BuB22-Bf2=-adD.

(И)

Таким образом, если связность V с отличным от нуля тензором кривизны метризуема, то должны выполняться условия г = г = 2, £> * 0.

3. Пусть г' - ранг системы, которая получается из системы (5) добавлением уравнений вида

+ g(VR{й,y),w,z) = 0 .

Если г' - 3, то V - не метризуема. Если г' = 2, то согласно общей теории [1], система уравнений Vg = 0 = имеет решение, зависящее от одного параметра, т.е., другими словами, среди решений этой системы есть ненулевые, что приводит к теореме.

ТЕОРЕМА. Связность V метризуема тогда и только тогда, когда г = 0 или г -г - г' = 2 и

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Eisenhart L. Р., Vehlen D. The Riemannian geometry' and its generalization 11 Proc. Nat. Acad. Sc. 1922. Vol. 8. P. 19 - 23.

2. Golab S. Über die Metrisierbarkeit der Affinzusammenhängenden Räume /7 Tensor. 1959. Vol. 9. P. 1 -7.

3. Галаев С. В., Гохман A.B. К геометрии динамики со связами одного класса точек переменной массы // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar ун-та, 2003. Вып. 5. С. 18 - 22.

4 .Вагнер В. В. Геометрия (п-1)-мерного неголономного многообразия » (?-мсрном пространстве // Тр. семинара но векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Выл. 5. С. 173 - 225.

5. Гаюев С. В., Гохман А. В. О метризуемости аффинной связности в неголо-^ 2

номном многообразии X - //Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 6. С, 34 - 37.

УДК 517.984

О. Б. Горбунов

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА'

Рассмотрим краевую задачу Ь = Ь{рх(х), р2(д:),У1,у2,а1,а2,Р1,Р2)

вида

у\х) +

Р2 + Р -— + Р\ (*) I + , "\2 + Р7 (х)

у(х) - 0, xe(0,7t), (1)

(х-у)

и {у) '■= /(0) - (с^р + а2 )>'(0) = 0, .

КО>):=/(7С) + (Р1Р + Р2М71) = 0, где уе(0,п),рк(х) - комилекснозначные функции, комплексные числа. Пусть для определенности Яеу>0, где у2=1/4-у2, и пусть ¡х_т«1-2Яе«}|л(;с)|бд0;Я); Мх)е(¥] 1(0) я)> к -1,2, 11т V, |< 1.

Пучки дифференциальных операторов без особенности изучены достаточно полно [1 - 3]. В данной статье производится постановка обратной спектральной задачи по функции Вейля и доказывается теорема единственности решения поставленной задачи. Эти результаты являются обобщением [3].

* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376), РФФИ (проект 04-01-00007). гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

32