К геометрии динамики со связями одного класса точек переменной массы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Возьмём е > 0 достаточно малым. Тогда ввиду рассуждений предыдущего

пункта max /U',¿)=p'. Следовательно, Л' е91, при этом А' ФЛ ,i = 1,2

Ae[0:/V]

и А1 ФА2.

4. Заметим, что V X е R, \fk е [0: ЛГ]\ МК ,

Рп(ы1 + (1 - X)A2,tk )= ^„(¿V* )+ (1 - X)pn(A2,tk f=Pn(A\tk). Далее, ввиду (10) X = 1/2 удовлетворяет уравнению p„(u1+(\-X)A2,tJ=pn(A\tJ.

5. Итак, значения полиномов + A2\t j и Рп(а',/) совпадают

в (л +1) точках, значит, эти полиномы совпадают. Тогда

* 1 / i 2 \ 1 2 1 2

А + ^ б 9?, Д * А . Получили противоречие тому, что

А е £(S-R). Теорема доказана полностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображе-ния алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2001. Выи. 3. С. 25 27.

2.Демьянов В.Ф., Мапоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

3. Выгодчикова И.Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002. Вып. 4. С. 27 - 31.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

К ГЕОМЕТРИИ ДИНАМИКИ СО СВЯЗЯМИ ОДНОГО КЛАССА ТОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

В работе [1] было показано, что движение материальной точки переменной массы совпадает с геодезической эквипроективной связности. Используя условия [2], при которых эквипроективная связность является ри-мановой, был выделен класс точек, эквивалентных голономным системам постоянной массы. В первой части настоящей статьи находятся условия метризуемости связности специального вида, заданной в неголономном многообразии [3]. Во второй части приводятся пример из динамики точки с переменной массой, демонстрирующий важность проблемы метризуемости допустимой связности [3].

1. Рассмотрим неголономное многообразие X™, заданное вместе с инволютивным оснащением Х"~т (см., напр., [3]). Интегрируемость оснащения позволяет обобщить некоторые результаты из работы [4], где оснащение интегрируемо уже потому, что его размерность равна единице. Пусть V : ™ )х Р*(*")-> F¿(*")- допустимая связность, где Р^ {х'пл) - модуль допустимых тензорных полей типа (р, q) (см. [3]). Помимо связности V введем в рассмотрение два ковариантных дифференцирования V: ^(х: )х Р0г(Х„)Р* (Х„), V: ^[х"п~т)х ^(х?)^ Г'\\(х™), полагая по определению V(й,\>)=У(й, ргг\?)+ рг2[й, рг2у], У(й, у) = рг}\й, V], где операторы ргх :(*„)-> ^(лг;), рг2 : F0, (*„)->т) определяются обычным образом. Действия V, V естественным образом продолжаются на тензорные поля произвольного типа. Используя специальные системы координат [3], приходим к равенствам вида

Ч^цУ +»(>,6^',

V,?* Ус-ЧьЧрУс=РсрьУе.

Обобщая известные определения (см. [4]) на случай произвольной коразмерности, назовём К и Р первым и вторым тензорами Схоутсна соответственно. Многообразие X™ с симметричной связностью будем обозначать через А™. Назовём пространство А™ локально-аффинным, если К=Р = 0.

ТЕОРЕМА 1. Пространство А™ является локально-аффинным тогда и только тогда, когда найдётся такая (специальная) карта ае (л'"), относительно которой =0 (а, р, у =\,..,п\ а,Ь,с = \,..,гп; р,д = т + \,..,п).

Будем называть А™ симметрическим пространством, если УК = УР = 0. Предположим, что в данном X™ введены две различные допустимые симметричные связности V, V. Тогда мы получим два неголо-номных многообразия А™ и А„т, соответствующих одному и тому же X". Предположим, что геодезические для А™ и А™ совпадают. Тогда, также как и в голономном случае, можно показать, что коэффициенты связностей V, V должны находиться в следующей зависимости (см. [4]):

Г<£,=Гас„+5>ь +5£срц, где <ра - допустимый ковектор.

Такие А™, А™ будем называть находящимися в проективном соответствии. В случае, когда А™ - локально-аффинное, тензоры Схоутена связности V представимы в виде

Кьс = ~Ща8ь\с + 2%\аЬ]К> РрЬс=^рс +5^, где =ёаф6-фаф6, Б рЬ = Зрфь, е„ = Эа -Г/Зр е ^(я^).

Пусть теперь А™ — симметрическое пространство. Имеет место

ТЕОРЕМА 2. Проективно-аффинное пространство является симметрическим тогда и только тогда, когда = О, У5 = 0.

Учитывая легко проверяемое равенство Уе5рЬ = д^к^, получим следствие теоремы 2.

Следствие. Для того чтобы проективно-аффинное пространство было симметричным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства У£ = 0,оря=0.

Потребуем дополнительно выполнения условия 5/)фс =0. В этом случае Ррсай = 0 и )>аЬ =да(рь — ФаФ/, • Повторяя с этого момента почти дословно рассуждения П. А. Широкова [2], получаем, что условия интегрируемости уравнений сводятся к тому, что ковектор фа является градиентом: фа = <Заф, 5рф = 0. Если положить ф = / >го оказывается, что ф является решением уравнения = 0 тогда и только тогда, когда / = ХаЬХ"Хь + 2ХаХа + А,. Имеет место

ТЕОРЕМА 3. Проективно-аффинное симметрическое пространство А™, связность которого определяется градиентом фа с условием фр =0,

является римановым пространством тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель

X ... Хт

А., л.ц ...

^т — ^-тт

2. Назовём (см. [1]) точку м[х1 ,Х2 ,ХЪ) евклидова пространства положением материальной точки М с переменной массой /«(л"01), где т(;Га) интерпретируется как положительная функция т: К3 —> Н. Движением точки М под действием силы Т7 называется интегральная кривая

уравнения —тг = 1;, где /*■ - гладкое векторное поле на й3. Предполо-Л

жим, что на движение точки наложена связь, что означает, что траектория движения всюду касается некоторого неголономного многообразия х\.

20

Для определённости будем считать, что в Я3 задана естественная орто-нормированная система координат и что многообразие

Л'з порождается полями вида ё1=д1 -Х2д3, ё2=д2-Таким образом, на движение точки М наложена связь X7, = -Л'1 X2. Мы полагаем, что движение точки М подчиняется закону —тг=Хп, где п -х2д^ +Э3, а X не-определённый множитель. Используя уравнение связи, находим, что Я. = —Х. ^ . Уравнения движения принимают следующий вид:

2 -1 -2

..I , .(5.1 - х тх х

тх + Оптлг х =-

р 1+(*2)

тх2 + х 2датх^ = О,

(1)

Следуя [1], введём в 7?3 связность с коэффициентами

Грау=5|Р¥+8?Рй, где Р,=

1 д\пт

2р

т = е . Проецируя эту связность

-"р у тиу'р

2 ах1

вдоль <л > на Л'з, а затем симметрируя полученную допустимую связность, получаем следующие выражения для коэффициентов допустимой симметричной связности:

Г1с=2д°{„Рс)+Тьас, (2)

где Рс = —ёс 1п ш, а отличными от нуля компанентами Т£с являются лишь

2 ^и™

21 + (х )

ТЕОРЕМА 4. Уравнения движения точки М (1) совпадают с уравнениями геодезической связности (2):

г' - т> _ 1

'21 - М2 ~~

<1 А

—гпг = Ал, Л <=>

х3=-х1х2.

Ьх" ¿1

= 0,

•3 12 X --XX.

Предположим, что связность (2) - метрическая и # - соответствующий допустимый метрический тензор: У# = 0. Соответствующую точку назовем точкой типа К. Определим в /?3 метрический тензор С, полагая С(ёв.ё6)=5(ё0,ёЛ)> 0(ёа,п) = 0, в(п,п)= 1.

ТЕОРЕМА 5. Материальная точка типа К эквивалентна механической системе постоянной массы с кинетической энергией Т = Х^"

и связью .

Доказательство теоремы следует из известных результатов [5J о траекториях динамических систем со связями и из того, что ортогональная проекция связности Леви-Чивита метрики G на многообразие х\ совпадает с исходной связностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гохман A.B. К геометрии динамики одного класса точек переменной массы // Дифференциальная геометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Выи. 1. С. 15-19.

2. Широкие П.А. 11росктивно-евклидовы симметрические пространства: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1950. Вып. В. С. 73 - 81.

3. Галаев С.В., Гохман A.B. Обобщённые гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2000. Выи. 2. С. 16- 19.

4. Вагнер В В. Геометрия (л-1)-мерного неголономного многообразия и п-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-225.

5. Вершик A.M., Фаддеев ЛД. Ла1ранжева механика в инвариантном изложении // Проблемы теоретической физики: Сб. статей / Под ред. М.Г. Веселова и др. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. Вып. И. С. 129 - 141.

УДК 517.84

О. Б. Горбунов

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА*

Рассмотрим краевую задачу Ь = ¿(2(дс),ц,г|,у,(х,Р) вида

Ву'{х) + (Яу (*) + = Ых), *е(0,7с), (1)

У1г(а)у(0) = К1г (РМ*) = 0, (2)

где у(х)~

(-VlMl ^ / ч д Гsin2rl cos2rl (9i(*) 4

.У г (*) )

x-y

4cos2r| -sin2r|

, ö(*) =

<72 (*) -9iW.

" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1) и Министерства образования РФ (проект Е02-1.0-186).