CC BY
20
а(М)= -Р*)+ 0 - -Р*) Л е[0: и + фг, А * Ао. (10)
Нетрудно увидеть, в силу теоремы 3, что найдётся е[0: л +1 и набор параметров ц*е{0,1}, Ае[0:и + 1], к*к0, при которых решение А* системы (9) - (10) будет одновременно решением задачи (1), то есть А' б Критерием распознавания решения служит условие /(л*,£0)< р* Таким образом, для нахождения А* требуется решить не более чем (и + 2 -12 |)- 2л+1 1/1 систем линейных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Демьянов В Ф , Мапоземов В.Н Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
2 Выгодчикова И.Ю О наилучшем приближении дискретного мультиотобра-жения алгебраическим полиномом // Математика Механика: Сб науч тр Саратов:
Изд-во Сарат. ун-та, 2001 Вып. 3 С. 25-27
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
НЕГОЛОНОМНЫЕ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ
1. Пусть (Х",со) - неголономнос почти симплектическое многообразие с интегрируемым оснащением Х"„'т [1]. Обобщая голономный случай [2], рассмотрим допустимую связность на X™ [1] V такую, что
Уш = цОсо, (1)
где цеЛ, ГМ(й, V, *) = с/ш(ЯЙ,Яу,Я Н : Т(Хп ) X™ - проектор вдоль оснащения Х"п'т. Связность V назовем присоединенной связностью. Расписывая уравнение (1) в специальных координатах [1] и циклируя его, получаем, что в случае, когда ¿)со*0, присоединенная
связность может быть симметричной только при М- = ~ Если при этом
/)со = 0, то присоединенная симметричная связность оказывается почти симплектической симметричной связностью [1].
В настоящей статье рассматривается (Х™,со) с присоединенной
связностью V в случае ц = ^. В специальных координатах, таким образом,
мы имеем
где a,b,c- 1 ,...,m
Непосредственным вычислением проверяется справедливость следующих утверждений.
0 1 Предложение 1. Пусть Уш = 0, тогда связность V, определяемая равенством
1 о
ГД = ГА°с--ЮЛОсо4с(/, (3)
о
является присоединенной.
1
Предложение 2. Если V - присоединенная связность, то связность 2 2
V с коэффициентами ГЬс , удовлетворяющими равенству
Г£ = С-со "°Bbcd, (4)
является присоединенной тогда и только тогда, когда Rbcj = Bbj-C.
2. Рассмотрим (Х"~1,ю), п> 5 с симметричной присоединенной связностью V нулевой кривизны [3]. При этом мы имеем в виду, что в рассматриваемом случае обращение в ноль тензора кривизны Вагнера [3] эквивалентно равенству R = 0, где
<Ьс = + 2Г,1к1Г^ (5)
- тензор кривизны Схоутена [3]. Следуя Лемлейну [4], введем в рассмотрение объект
У abc = ~ еь®ас + 3(ùad ГЬс > (6)
с помощью которого коэффициенты присоединенной связности запишутся в виде
гьс = j ©0£/ (ec(ùdb - eb(ùcd + ydbc ) (7)
Используя (2) и (7), получаем
У abc =-®d(aVbc)- (8)
В пространстве X™ нулевой кривизны [3] введем специальную систему координат таким образом, чтобы
Г?с=0. (9)
Из (8) мы получаем, что
УаЬс = О (Ю)
Из (7), (9) и (10) получаем
eaabc = eb(ùca=ec(ûab. (11)
Откуда следует а из (11)-
Учитывая (2) и (7) и предполагая, что др(йаЬ = 0, (р = 1), получаем
О = иаЬ Rbcdt = ]-(e,ecwda - eeed(üca)+ ~(edyacf - ecyade) +-
^ Г/Лс) - \i^afä^'L - Оиа/сФ (12)
eaeb(£>cd =eaec(übd, (13)
eaeb(£>cd =-eaectobd (14)
- -
Из (13) и (14) следует, что еа ec(übd =-— = О .
дх'дх
Отсюда мы заключаем, что в случае пространства нулевой кривизны допустимая почти симплектическая структура, удовлетворяющая дополнительному условию
¿Vüai=0, (15)
в специальных координатах представима в виде
1 2
(йаЬ=(йаЬсХС +(üab, (16)
1 2
где ЮаЬс, (¿ab - постоянные, кососимметричные по любой паре индексов формы
Если Da> = Vco = 0, то условие (9) влечет равенство еаи>Ьс = 0 и, как следствие, равенство
М1дроы=0, (17)
здесь М- тензор неголономности [3].
В рассматриваемом нами случае многообразия Xкоразмерности 1 условия (15) и (17) эквивалентны и влекут замкнутость формы
со: с/со = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галаев С В., Гохман А В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика Механика: Сб науч тр. Саратов. Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 3 С 28-31
2. Левин Ю.И Об аффинных свячностях, присоединенных к косо-симметрическому тензору//ДАН СССР. 1959 Т. 128, №4 С. 668-671
3 Вагнер В В Геометрия (л-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве //Тр семинара по векторному и тензорному анализу М :Гос изд-во техн -теорет лит., 1941 Вып. 5 С 173 - 225.
4. Лемлейн В Г Тензор кривизны и некоторые типы пространств симметричной почти симплектической связности // ДАН СССР 1957. Т 1 15, № 4. С. 655 - 658
