CC BY
18
h > max —:-—, (10)
i Е [о : n+l] 2
где h определено в (8), то решение задачи (3) единственно.
Простые примеры показывают, что неравенство (10) не является необходимым условием единственности решения задачи (3). Пример. Пусть
п = 0, i0 = 0, f, = 1,
У\,о=1> У1,1=°> •Уг.о = !> Уг\ = 1
В этом случае условие (10) не выполняется, но задача (3) имеет единственное решение - полином р0{л*, i)= 1, t е [0 ; l],
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СВЯЗНОСТИ НА НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ
На гладком многообразии Хп рассматривается неголономное многообразие X", заданное вместе с оснащением Хпп~т. Вводится понятие допустимой тензорной структуры, в том числе, - допустимой почти сим-плектической и допустимой симплектической структур. Определяются симплектическая и почти симплектическая допустимые связности. Доказывается, что в отличие от голономного случая существуют не замкнутые почти симплектические формы, допускающие симметричные почти сим-плектические связности.
Под неголономным многообразием будем понимать тотальное пространство X" векторного подрасслоения ц = (Х",Р,Х„) касательного расслоения т = (Т(Хп), л, Хп) гладкого класса С°° многообразия Хп. Многообразие X"' задано вместе со своим оснащением Х"~т. Число т называется размерностью, а (п-т) - коразмерностью многообразия X™ . Под допустимыми тензорными структурами типа (я, г) будем понимать гладкие
сечения тензорных расслоений X™ ®...®Х™ <8> (X™)' , где в
■___' ^_^__1
1 I
каждой точке х е Хп пространство (X™ )* является пространством линей-
ных форм, заданных на (Х™)х. Будем обозначать с помощью F¡s(Xn) {Fts (X™)) модуль тензорных полей (допустимых тензорных полей) типа (s, t), заданных (может быть локально) на Xп. Имеет место естественное вложение F¡5(X") <z. F,s(Хп). Например, дифференциальную форму X е F]°(Xn) мы будем называть допустимой, если X \ „_т .
л
Под допустимой аффинной связностью на Хп будем понимать закон V, ставящий в соответствие каждому U е F0'(X") линейное отображение Vy модуля Fq (X™) в себя, удовлетворяющее следующим условиям:
1) v/a+/2¿72 =/i%, +№2; 2) v^/F)=/%F+(t7/)F.
Пару (X™, со), где со - дифференциальная допустимая 2-форма ранга т, назовем неголономным почти симплектическим многообразием, а форму со - допустимой почти симплектической формой. Если форма со замкнута, то со называется допустимой симплектической формой. Форма со может быть замкнутой только в случае интегрируемости оснащения Х"~т [1]. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением (Х",а) с инво-лютивным оснащением, что позволяет использовать атлас карт % (ха) (а,Р,у = 1 ,.••,«; a,b,c = \,...,т\ p,q = m + \,...,ri) таких, что векторные
5 п~т поля д =----- в каждой точке принадлежат (Xп )х. В этом случае век-
дхр торные поля
ёа=н(да) = да-г/др, (i)
где Н : T(Xn) -» X™ - проектор, являются допустимыми и линейно независимыми [1]. Кроме того, имеет место равенство
[ёа,ёь] = МраЪдр. (2)
Допустимая аффинная связность V называется почти симплектической, если Veo = 0 . Следующие два предложения являются обобщениями на неголономный случай известных результатов [2] о почти симплектиче-ских связностях.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть V - произвольная допустимая связность с о i i
коэффициентами Г аЪс. Тогда связность V, коэффициенты Г аЬс которой определяются равенствами
Flc = rlc+^daVbmcd, (3)
является почти симплектической.
2
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Связность Vc с коэффициентами
29
= (4)
является почти симплектической, если Bbcd = Bbdc.
Если deо = 0, то почти симплектическая связность с нулевым тензором кручения
Т(й, v) = V^v - - Н[й, v] (5)
называется симплектической связностью. Как следует из (2), (5), коэффициенты ГЬс симметричной связности относительно системы координат, определяемой базисом (1), симметричны: ГЦС = Г°ь. Имеет место
i
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть V - симметричная связность, тогда V симметрична тогда и только тогда, когда выполняется равенство
о
(V¡7 co)(v, w) = D® (и, V, w) = da (Ни, Hv, Hw). (6)
ТЕОРЕМА 1. Если почти симплектическая форма со допускает симметричную почти симплектическую связность, то Da = 0.
Доказательство. Пусть V- симметричная почти симплектиче-
I о
екая связность, тогда равенство (3) примет вид Г аЬс = ГаЬс. Следователь-1
но, V - симметричная связность и выполняется (6), что и доказывает теорему.
ТЕОРЕМА 2. Если форма со замкнута, то (X™, а) допускает симплектическую связность.
Доказательство. По теореме Дарбу замкнутая форма является интегрируемой. Полагая ГЬс = 0 в адаптированной к со карте, мы получаем искомую связность.
В отличие от голономного случая [2], замкнутость формы не эквивалентна существованию совместимой с ней симметричной связности. Для подтверждения этого приведем пример допустимой не замкнутой формы со с симметричной связностью V такой, что Veo = 0.
Пример. Пусть Х3 - гладкое многообразие, получающееся из R3 исключением точек (х\х2,х3), для которых х2 =0 или х3 = 0. Рассмотрим на Хг неголономное многообразие X2, определяемое полями e¡ = d¡ -х2д3, ё2=д2, и его оснащение, определяемое полем Э3. Форма со = x3dxl a dx2 является почти симплектической формой:
da = dxl a dx2 л dx^ Ф 0. Связность V зададим, полагая Г аЬс= 0. Тензор
х2
ВаЬс определим равенствами Вп[ = , ВП2=Ь2, ВШ=ЬЪ, В2п=Ь2+~, В2Х2 =¿3, В222 =¿>4, где ЬЬЬ2,Ь3,¿4 - произвольные функции. Используя
(4), найдем явное выражение для ГаЬс. Учитывая, что со12 =х3, со21 =—-,
х
2, 2 Ь 2 2 х2 Ъ получаем Г21= Г 12=-|-, Г21=Г 12=-—- —.
х 2х х
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галаев С. В., Гохман А. В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Вып. 2. Изд-во Сарат. ут-та. С. 16-19.
2. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильто-новых дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1995.
УДК 517.11
А. Н. Гамова ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ВНУТРЕННИХ ФОРМУЛ
Появление нестандартного анализа потребовало его теоретико-множественного обоснования. Теория Э. Нельсона (IST) рассматривает множества канторовского универсума как стандартные и нестандартные. Стандартные множества - это то, с чем имеет дело классическая математика, не оперирующая с константами, являющимися отличными от нуля бесконечно малыми, и что описывается в рамках теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC), консервативным расширением которой является IST.
В язык теории IST добавляется новый предикатный символ st(x) (х стандартно) и кванторы vst, зя. Формулы (строящиеся обычным образом) различаются как внутренние (формулы ZFC) и внешние (не являющиеся формулами ZFC). Аксиомы IST наряду с аксиомами ZFC содержат три новые аксиомы:
Принцип переноса (Т) Vя Г, ... Vя fk (\/*xA(x,tu.--A) -+vxA(x,th...,tk)), где A(x,t ,,...,(k) внутренняя формула со свободными переменными х, tu ... А , не содержащая других свободных переменных.
Принцип идеализации (I) vst fin z зх vyez В(хху) зх Vя В(ху)у где В(х,у) внутренняя формула со свободными переменными х, у и, возможно, другими свободными переменными.
Принцип стандартизации (S) Vя X 3я ^ VStZ ( zey ZeX & C(z)),
где C(z) внутренняя или внешняя формула со свободной переменной z и, возможно, другими свободными переменными.
