CC BY
29
20 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
MSC 53D15, 53В05
О ГЕОМЕТРИИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
С ^-СВЯЗНОСТЬЮ
А.В. Букушева
Саратовский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия, e-mail: bukushevaQlist.ru
Аннотация. На многообразии с контактной метрической структурой (ф, £, п, g, X, D) определяется и исследуется ф-связность. Находятся условия, при которых ф-связность является адаптированной к контактной метрической структуре.
Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, внутренняя связноств, тензор кривизны Схоутена, ф-связноств.
1. Введение. Понятия Х-продолженной связности и Х-связности на многообразии с почти контактной метрической структурой введены в работах [1,2]. Связности Танака-Вебстера и Схоутена-ван Кампена [3,4] являются частными случаями Х-связности. В основе определения Х-связности лежат внутренняя связность [5,6] и эндоморфизм Х : D ^ D распределения почти контактной метрической структуры. Выбирая эндоморфизм Х, мы получаем связность с нужными свойствами. В настоящей работе мы останавливаемся на изучении случая Х = ф.
Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1, Г TX - CX(X)-модуль гладких векторных полей на X. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса CX Рассмотрим на X почти контактную метрическую структуру (ф, У, п, д) [5], где ф - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, (ип~ вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, д - (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор П(Х,у) = д(х,фу), x,y Е ГTX, называется фундаментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим многообразием. В случае, когда П = dn, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой n D± = span (У) его оснащение: TX = D ф DX Если ограничение формы ш = dn на распределении D дает невырожденную форму, то в этом случае вектор У однозначно определяется из условий п(У) = 1 кегш = span (У) и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры.
На протяжении всей работы мы будем использовать адаптированные координаты. Карту K(xa) (a,e,Y = 1,...,n) (a,b,c,e = 1,...,n — 1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если dn = У [5]. Пусть P : TX ^ D - проектор, определяемый разложением TX = D ф Dx, и K(ха) - адаптированная карта. Векторные поля P(da) = ea = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D = span(ea). На многообразии X, таким
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 21
образом, определены неголономное поле базисов (ea,dn) и соответствующее ему поле кобазисов (dxa, 0n = dxn + rndxa). Непосредственно проверяется, что [eaeb] = 2ubadn. Адаптированным будем называть также базис ea = da — rndn, как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство dnrn = 0. Пусть K(ха) и K'(ха )-адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат: xa = xa(xa ), xn = xn + xn(xa ).
Тензорное поле t тип a (p, q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, называется допустимым (к распределению И), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ или у. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:
t = t^a4i 0 ... 0eap 0 dxbl 0 ... 0 dxbq.
Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:
ta = Aa Ab'ta'
^b Aa! Ab ^b! ,
где Aaa, = dxa/dxa'.
Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами hx = 2(L^)(x), С(x,y) = 2(L^g)(x,y), g(Cx,y) = C(x,y), g(x,фу) = ш(x,y), Lx =
Cx — фx, x,y E ГТХ. В случае контактного метрического пространства эндоморфизм ф совпадает с эндоморфизмом ф В адаптированных координатах получаем: ha = 2dnpOa-, Cab = 2dngab, С = gdaCdb, ФЬ = gdauda. Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g: V, Г^.
Теорема 1 [7]. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: Гab = rab, Гnb = wba — Cab,
Гban = ГПь = Ca — фЬа, Кa = 0 ГПп = 0, Чс = 1 gad(ebgcd + Xgbd — ^bc)-
Под внутренней линейной связностью на многообразии с почти контактной метрической структурой [5] понимается отображение V : ГИ х Г И ^ ГИ, удовлетворяющее следующим условиям:
^ Vfix+f2y flVX + f2V y 2) Vxfy = f Vxy + (xf )y,
где Г И - модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определятся из соотношения Veaeb = ГЬьсС. Кручение внутренней линейной связности S то определению полагается равным S(x,y) = Vxy — Vyx — P[x,y]. Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем Sab = Г(ьЬ — ГСь.
Координатное представление тензора кручения внутренней связности указывает на целесообразность называть внутреннюю связность с нулевым кручением симметричной связностью. Действие внутренней линейной связности естественным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. Если кручение внутренней связности равно нулю и Vg = 0, то соответствующую связность будем называть внутренней метрической связностью без кручения.
22 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (D,n,X). Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение D = n-^D), где п : D ^ X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида D = HD ф VD, где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D.
Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(ха) на многообразии X сверхкарту K(xa,xn+a) на многообразии D, где xn+a - координаты допустимого вектора в базисе ea = да — ГПдп. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта Ga(xa,xn+a) такого, что HD = Span(ea), где £a = da—ГПдп— Gbadn+b. В случае, когда Ga(xa, xn+a) = Fac(xa)xn+c, связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. Пусть V - внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N : D ^ D - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью называется [1,2] связность в векторном расслоении (D,n,X), определяемую разложением TD = HDф VD, такую, что HD = HD ф Span(u), где ux = £ — (Nx)v, £ = dn, x Е D, (Nx)v - вертикальный лифт. Относительно базиса (£a, dn, dn+a) толе u получает следующее координатное представление: u = dn — Nbaxn+bdn+a.
Кручением N-продолженной связности называется кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: VN = (V,N) где V - внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если V - внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство Vj^gab = dnQab — NCgcb — Ngac = 0.
Допустимое тензорное поле, определяемое равенством R(x,y)z = VxVyz — VyVxz — VP [x,y\£ — P[Q[x,y\,z\, где Q = 1 — P, названо Вагнером [8] тензором кривизны Схо-утена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: Rabc = 2 е^Г^ + 2r|a|e|r|\c. Тензор кривизны Схоутена возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных: 2V\aVb\vc = Rrabeve + 4ubadnvc.
В случае, когда распределение D не содержит интегрируемое распределение размерности n — 2, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена равносильно тому, что параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых не зависит от пути переноса [8]. Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.
Векторные поля (£a = da—rndn—Tbacxn+cdn+b, u = dn—Vndn+a, dn+a), определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dxa, &n = dxn + Tndxa, Qn+a = dxn+a + Tlcxn+cdxb + Naxn+bdxn) - соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:
[£a, &Ъ\ = 2^bau + x'n+<d(2^baNd + Rcad)dn+c , (1)
[£a, U\ = xn+d(dnTcad — VaNCd)dn+c , (2)
\£a, dn+b\ rabdn+c ,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 23
[и, дп+а] = Nдп+с .
Из (1), (2) получаем выражение для тензора кривизны N-продолженной связности:
K (X,y)z = 2u(X,y)Nz + R(X,y)z, (3)
K(i,x)y = P(x,y) — (VxN)y,
где X,y,z E TD.
Говорят, что классическая связность V с компонентами G^ соответствует N-продолженной связности VN, если в адаптированных координатах все компоненты G^ равны нулю, за исключением Gbc = ГЬС, Gnc = N0-
Бежанку [9] определяет связность VB на многообразии Сасаки с помощью формулы VB = Vxy — п(x)VyZ — п(y)VxZ + (& + c)(X,y)Z• В адаптированных коорди-
натах отличными от нуля компонентами ГВ" связноети VB являются Г^ = Г^с = 2gad(ebgcd + ecgbd — edgbc). Тензор кривизны связности Бежанку совпадает с тензором кривизны Схоутена. Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической. Так как VBgab = dngab, то метричность связности Бежанку эквивалентна (почти) K-контактности почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с контактной метрической структурой классическую связность Vv с помощью равенства V^y = VBy + n(x)фу. Назовем введенную связность ф-связностью. Отличными от нуля компонентами ф-связности будут Г^а = Г<ас = |gad(ebgcd + ecgbd — edgbc), Г^ = фО Таким образом, ф-связность соответствует ф-продолженной связности с внутренней метрической связностью без кручения. Тензоры кручения и кривизны ф-связности определяются равенствами S(X,y) = 2ш(X,y)Z + п(Х)фу — п(У)фХ, K(X,y)z = 2ш(Х,у)фz + R(X, y) z + п(x)(P(y,z) — (V руф) z) — п(y)(P(X,z) — (Vpx^)z), X,y,z E ГТХ (cm. (2) (3)).
Найдем условия, при которых ф-связность является адаптированной к контактной метрической структуре. Проведем для этого необходимые вычисления. Равенство Vvg = 0 сведется к следующем двум равенствам, записанным в адаптированных координатах: V^gbc = 0 V‘Zgbc = 0. Первое из этих равенств выполняется в силу метричности исходной внутренней связности. Второе равенство перепишем в виде: V%gbc = dngbc — фagac — фcagba = 0. Из определения контактного метрического пространства непосредственно следует, что последнее равенство эквивалентно равенству VZgbc = dngbc = 0. Аналогично, равенство W = 0 эквивалентно равенство дпфьа = 0. Таким образом, справедлива следующая
Теорема 2. ф-связность, заданная на контактном метрическом многообразии, адаптирована к контактной метрической структуре тогда и только тогда, когда пространство является K-контактным.
Литература
1. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностыо // Современные научные исследования и инновации. - 2015. - 4 [Элек-
24 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
тронный ресурс]. URL: http: //web.snauka.ru/issues/2015/04/52011 (дата обращения: 25.06.2015).
2. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современник научные исследования и инновации. - 2015. -5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53580 (дата обращения: 25.06.2015).
3. Tanno S. Variational problems on contact Riemannian manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. - 1989. -314 - P.349-379.
4. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Kriimmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. -1930. - 103. - P.752-783.
5. Галаев C.B. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - 12:1. - С. 16-22.
6. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2013. - 4. - С.1-9.
7. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2014. - 8. -С.42-52.
8. Вагнер В.В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М.: Изд-во Моек, ун-та. - 1941. - 5. - С. 173-255.
9. Bejancu A. Kahler contact distributions // Journal of Geometry and Physics. - 2010. - 60. -P.1958-1967.
THE GEOMETRY OF THE CONTACT METRIC SPACES ^-CONNECTION
A.V. Bukusheva Saratov State University,
Astrakhanskaya St., Saratov, Russia, e-mail: bukushevaQlist.ru
Abstract. The ^-connectedness is defined on the manifold possessed the contact metric structure (ф,£,ц, g, X, D) which is studied. The sufficient conditions when such a connectedness is adapted with contact metric structure.
Key words: almost contact metric structure, interior connection, Schouten curvature tensor, Ф connection.
