Единственность решения обратной задачи для оператора Штурма -Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

2k — 1 в (xk n,n) _ 3ч

n + , v С/ c\2 + O(n-3).

2(- + п) 7 (хк , п ,-)(- + п) Осталось получить (5). Подставим Хк,п в (4).

с 1

и'(хк,п) = в(хк,п,п)^тпк + 7(Хк,п,п)(п + -) сое пк + 0(-) =

с1

= (-1)к (- + - )т (хк,п,-) + 0(-).

-Таким образом пункт 1 леммы доказан. Аналогично пункту 1 доказаваются пункты 2, 3 и 4.

Таким образом лемма доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отчетов Уиттекера — Котельникова — Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат. еб. 2009. Т. 200, 11. С. 72-79.

2. Левитан Б. Л/.. Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию // М. : Наука, 1970.

3. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов, 2001.

УДК 517.984

А. Е. Федосеев

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ НА ПОЛУОСИ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

В данной статье исследуется обратная задача спектрального анализа для оператора Штурма Лиувилля на полуоси, имеющего неинтегриру-емую особенность во внутренней точке. Рассмотрим краевую задачу L вида

iy = -y" + ( V0 + q(x)) y = Ay, x > 0, (1)

V(x — a)2 J

y(o) = 0

a > 0

где q(x) — комплекснозначная функция, v0 — комплексное число. Положим A = р2, v0 = v2 — 1/4 и, для определенноети, Imp > 0 Rev > 0,

V = 1, 2,... Предположим, чтод(х)|х — а|тш(0,1-2Де^) ^ Ь(0,Т) при некотором Т > а и д(х) € Ь(Т, ж). Уравнение (1) с другими краевыми условиями ранее исследовалось в [1]. Рассмотрим функции

ж

С(х, А) = (х — а)* ^ с]к(р(х — а))2к, ; = 1, 2,

к=0

где

ßj = (—1)jV + 1/2, С10С20 = (2v)-1,

Cjk = (-1)kCj0 (П((2s + ßj)(2s + ßj - 1) - Vo)) .

s=1

Здесь и в дальнейшем zM = exp(ß(ln|z| + i arg z)), arg z G (—п,п]. При x > a и x < a функции Cj (ж,А) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj (х,А) j = 1, 2, являются решениями

x > a x < a

px

■Sj(х,А) = Cj(х, А) + / g(x,t,A)q(t)sj(t, А) dt,

J a

где g(x,t^) = C1(t, A)C2(x, А) — C1(x, А)С2(^ А). При каждом фиксированном x функции Sj (x, А) являются целы ми по А порядка 1/2 и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пусть задана матрица A = [ajk]j,k=1j2, det A = 0 с комплексными ajk. Введем функции {aj(x,A)}j=1;2, x G J— U J+ J± = {±(x — a) > 0} по формуле

( Sj(x, А), x G J—,

a (x, А) = < ^

| akjSk(x, А), x G J+.

Фундаментальная система решений {aj(x, А)} будет использоваться для

x=a

Введем числа ¿jk (j, k = 1, 2) по формуле

"¿11 ¿12" 1 " — ane2nw + a22e—2niV —i(aneniV — a22e—)

.¿21 ¿22_ 2 sin nv —i(a11eniV — a22e—) a11 — a22

Поведение спектра краевой задачи С зависит от величин ^к■ Для определенности в дальнейшем будем рассматривать наиболее важный частный случай, когда ^| > |<^12| > 0 и а12 = 0. В этом случае, в отличие от

классических операторов Штурма — Лиувилля, дискретный спектр является неограниченным, и возникают новые качественные эффекты при исследовании прямых и обратных задач спектрального анализа.

Обозначим через П+ А — плоскость с двухсторонним разрезом По вдоль луча Л+ := {А : А > 0} и положим П := П+ \ {0}. Тогда при отображении р ^ р2 = А множества П+, П0 и П соответствуют множествам = {р : Imр > 0} = {р : Imр = 0} и П = {р : Imр > 0, р = 0}. Пусть в(х,р), x > 0,1тр > 0 — разрывное решение Поста, введенное в [1], для уравнения (1). Обозначим Sk° = |р : arg р £ (Щп, |,

k0 = 0,1 и

Д(р) = e(0,р), Imр > 0.

Функция Д(р) называется характеристической функцией краевой задачи L и имеет счетное множество нулей вида

рк = р± + O(k-1), k ^ ±го,

где р± = a (k + 9±) — нули функций ±/

Д (р) = £12 - £jj ехр^гра^ р £ 52-, j = 1 2

и

9+ = -— ln 2п

£12

+ 1 (£12 + 2П arH j

(" — " при ] = 1, " + " при ] = 2). Для определенности пусть аг^е [0,2п). Обозначим Л = {А = р2 : р е Д(р) = 0},

Л' = "{А = р2 : р е П+, Д(р) = 0} Л" = {А = р2 : р е

р = 0, Д(р) = 0} Тогда Л = Л' и Л", Л' — счетное неограниченное Л//

Ф(х, А) = е(х,р)/Д(р), М(А) := Ф'(0, А).

Функция Ф(х, А) удовлетворяет уравнению (1) и условиям Ф(0,А) = 1, Ф(х, А) = 0(ехр(2рх)), х ^ го, р е ^ и называется решением Вейля для Функцию М(А) будем называть функцией Вейля для Пусть заданы фиксированные матрица А и число

М(А)

д(х).

Функция Вейля М(А) является аналитической в П+ \ Л' и непрерывной в П\Л. Множество особенностей М(А) (как аналитической функции совпадает с множеством Л0 := Л+ и Л. Введем область

С5 := {р : 1тр > 0, |р — рк| > 8, рк е Л}.

Функция Вейля имеет следующую асимптотику при |А| ^ ж, р € С5 П 2 = 1, 2:

М (А) = гр(м±(А) + 0( - )), (2)

Мо± (А) =

г±мх _ ¿12 + ¿зз ехр(2^ра)

¿12 — ¿зз ехр(2^ра)' где " — " соответствует ] = 1, " + " соответствует ] = 2.

М(А)

задачу С.

Доказательство теоремы дает процедуру решения обратной задачи 1. Кроме того, получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости. При этом используются и развиваются идеи метода спектральных отображений [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Юрко В. А. О восстановлении сингулярных несамосопряженных дифференциальных операторов с особенностью внутри интервала // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 645-659.

2. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007.

УДК 517.984

В. А. Халова ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ РАВНОСХОДИМОСТИ

Пусть А — оператор вида

0(ж)

А/ = / А(0(х),£)/(£)

где ядро А(х, £) непрерывно по х и £ вместе с производными Аж, А^, А^, А^2 (Л&и = А(х, £)) при 0 < £ < х и А(х, х) = 1, функция

, , , 1—1 х + 1, х € [0,7], ,

^(х) = ? х 1) €[ , 1], 7< 1/2, ^—Г(х — 1), х € [7,1],