О единственности решения обратной задачи на конечном отрезке для оператора Штурма-Лиувилля с неинтегрируемой особенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

3, Конюшков А. А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат, сборник, 1958, Т. 44, № 1, С, 53-84,

УДК 517.984

А. Е. Федосеев

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА^ЛИУВИЛЛЯ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ

ОСОБЕННОСТЬЮ

В данной статье исследуется обратная задача на конечном отрезке для оператора Штурма Лиушыля. имеющего неинтегрируемую особенность во внутренней точке.

Рассмотрим краевую задачу L на конечном от резке 0 < x < T вида

iy = -y" + ( VQ + q(x}) y = Ay, 0 < x < T, (1)

V(x — a)2 J

y(0) = y (T) = 0

с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя в точке a > 0, где q(x) -комплекснозначная функция, v0 - комплексное число. Положим A = р2, v0 = V2 — 1/4 и, для определенное ти, Imp > 0 Rev > 0, v = 1, 2,.... Предположим, что q(x)|x — a|min(0,1—2Rev) g L(0,T).

Теоремы единственности разрешимости обратной задачи для уравнения (1), заданного на конечном отрезке для различных краевых условий и с условием склейки частного вида, рассматривались в работах [1, 2]. В данной работе рассматриваются произвольные условия склейки, а также предполагается, что спектр краевой задачи L может состоять из кратных собственных значений.

Рассмотрим функции

то

Cj(x, A) = (x — a)Mj ^ Cjk(p(x — a))2k, j = 1, 2,

k=0

где

= (—1)jv + 1/2, C10C20 = (2v)—1,

k

Cjk = (—1)kcjo ( n((2s + Mj)(2s + Mj — 1) — Vo)

s=1

Здесь и в дальнейшем zM = exp(^(ln |z| + i arg z)), arg z £ (—п,п]. При x > a и x < a функции Cj (ж,Л) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj (х,Л), j = 1, 2, являются решениями

x > a x < a

px

■Sj(х,Л) = Cj(х, Л) + / g(x, t, (¿,Л) dt,

J a

где g(x, t, Л) = Ci(t, Л)C2(x, Л) - Ci(x, Л^, Л).

Функции Sj (x, Л) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) и при каждом фиксированном x являются целыми по Л порядка 1/2.

Пусть задана матрица A = [ajk]j,k=1,2, det A = 0 с комплексными ajk. Введем функции {aj(x,Л)}j=1;2, x £ J_ U J+ J± = {±(x — a) > 0} по формуле

Sj(x,Л), x £ J—,

aj (^Л) = S x2

XI akjSk(x, Л), x £ J+.

.к=\

Фундаментальная система решений {а^(х, Л)} будет использоваться для склейки решений в окрестности особой точки х = а.

Определение 1. Будем говорить, что решение у(х, Л) уравнения (1) удовлетворяет условию склейки порожденному матрицей перехода А, если у(х, Л), может быть представлено в виде

2

у(х, Л) = Xj (Л)^'(х, Л) для всех х £ </_ и </+, j=1

где коэффициенты Xj (Л) не зависят от х.

Введем функцию Б(х, Л) являющуюся решением дифференциального уравнения (1) при х < а, х > а и удовлетворяющую начальным условиям

Б'(0,Л) = 1 Б (0,Л) = 0.

Обозначим Д(Л) = Б(Т, Л) Функция А(Л) является целой по Л, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи С.

Обозначим через тп кратность собственного з начения Лп (Лп = Лп+1 = ... = Лп+ТОп-1) и положим § = {п : п _ 1 £ М, Лп_1 = Лп} и {1} "

Пусть Ф(х, Л) - решение уравнения (1) при условиях Ф(0,Л) = 1, Ф(Т, Л) = 0. Обозначим М(Л) = Ф'(0, Л). Функции Ф(х, Л) и М(Л) называются решением Вейля и функцией Вейля для С соответственно.

Лемма 1. Зафиксируем n G S В окрестности точки A = An функция Вейля M(A) имеет представление

mn 1 Mn

М (А)=£(лМ^ + K(A),

V=0

г<?е mn - кратноеть An, МП (Л) регулярна при, Л = Лп.

Определение 2. Последовательность {Mn}n>1 называется последовательностью Вейля, а набор D := {An,Mn}n>1 называется спектральными данными.

Задача 1. По заданным спектральным данным D := {An, Mn}n>1 построить потенциал q(x).

Теорема 1. Спектральные данные {An,Mn}n>1 однозначно определяют краевую задачу L.

Доказательство теоремы конструктивно и дает процедуру решения обратной задачи 1. При этом используются и развиваются идеи метода спектральных отображений [3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проект 13-01-00134)-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Yurko V. A. Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval // Integral Transforms and Special Functions, 1997, Vol, 5, №3,4. P. 309-322.

2. Yurko V. A. Spectral analysis for differential operators with singularities // Abstract and Applied Analysis. 2004. Vol. 9, №2. P. 165-182.

3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

УДК 517.51

А. А. Хромов

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ С ПОМОЩЬЮ МОДИФИЦИРОВАННОГО ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА

В данной работе на базе оператора, приведенного в [1], строится модификация оператора Стеклова, позволяющая получать приближения, равномерно сходящиеся к функции и ее производной на всем отрезке задания функции.

Пусть /(х) е С:[0,1].