Единственность решения обратной задачи для дифференциального уравнения с особенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Е. Федосеев

УДК 517.984

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ

В данной статье исследуется обратная задача спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольных порядков на полуоси, имеющих неинтегрируемую особенность во внутренней точке. Получена теорема единственности решения обратной задачи.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

£у(ж) := у(п)(ж) + ^ (. Ч + у (ж)) у(%) = Лу(ж), ж > 0, (1)

¿=о (Х а)

с неинтегрируемой особенностью в точке 0 < а < то, где qj(ж) - ком-плекснозначные функции и Vj - комплексные числа. Ранее уравнение вида (1) при а = 0 рассматривалось в работе [1]. При а > 0 уравнение (1) на конечном отрезке рассматривалось в работах [2,3]. Пусть корни характеристического многочлена

п j-l

А(м) = 5^ V П (М - к), Уп = 1, ^п-1 = 0. j=0 к=0

Для определенности будем считать, что п = 2т, Мк — Мj = вп, в € Ъ\ Кед1 < ... < Иемп, Мк = 0,1, 2,..., п — 3. Обозпачим в = Ие(мп — Мг) 0j = п — 1 — в — Мы будем предполагать, что qj(ж)|ж — а|^' € Ь(0,Т) и qj(ж) € Ь(Т, то) при ^ = 0, п — 2 для пекоторого Т > а.

Пусть Л = рп, вj(ж, Л) ^ = 1,п, решение следующей системы интегральных уравнений при ж > а и ж < а:

п-2

—£(ж,*,Л)( ^ qp(t)вjp)(t,Л^ V = 07^—1 р=0

где #(ж, £, Л) - функция Грина следующей задачи Коши: £0у — Лу = /(ж),

уМ(а) = ^ V = 0,п — ^ %0 = ^У1 (x)=0,j=0^-^5

оо , к ,

пк 1

Cj(ж, Л) = (ж — а)^' ^ с^ (р(ж — а)) , с^ = с,0 ( ^ + вп)

к=0 в=1 106

Здесь и далее считаем, что = eM(ln|z+argz), arg z G (—п,п].

Пусть задана матрица A = [akj]k det A = 0, где akj - комплексные числа. Обозначим

Sj(x, Л), x < a,

aj (x, Л) =

n

^akjSk(x, Л),

x > a.

k=1

Фундаментальная система решений {aj(x, Л)} используется для склейки

x=a

рить, что решение y(x, Л) уравнения (1) удовлетворяет условию склейки, образованному матрицей A, если y(x, Л) может быть представлено в виде

n

= Xj(Л)а(x,Л) для всех x = a, j=l

где коэффициентах Xj (Л) не зависят x.

Пусть Sko = | р : arg р G (^, (ko+1)n) В каждом секторе Sko корни

yn

Як, к = 1, п, уравнения Яп — 1 = 0 могут быть занумерованы так, что

Ие^Я^ < Ие(рЯ2) < ... < Ие(рЯп), р е Sko.

Рассмотрим случай, когда а^ = 0 при к < Обозначим

-1 п

[djкЬ',к=1П = , = ^ аввЯк8dsjе .

в=1

Предположим, что

4 = det[4j]k=M;j =n-s+1,n = 0, S = ^ n - 1. (2)

Условие (2) называется условием регулярности склейки.

В работе [4] было показано, что в каждом секторе Sko, при х > 0, х = а существует фундаментальная система решений {ук(х,р)}£=т"п дифференциального уравнения (1) такая, что для каждого х < а и достаточно большого р* > 0 функции у^^(х, р), V = 0, п — 1, аналитические по р при р е Sko, |р| > р*, непрерывные при р е Sko, |р| > р* и

}(х,р)(—рЯГе-рДк— 1| < С(|р(х — а)|—1 + |р|—),

при x < a, р G Sko, |p(x — a)| > 1, где £0 := min(1, 0).

107

Положим

,0-!)^ ^ £+ ГЛ t+ГЛ IT

Aj(р) = det[yk(0,р),... ,ykj-1)(0,p),^+j+1(p),... ,4+(р)]^,; = 1,n - 1,

Дп(р) = det[ykv^^рЖ^щ

где £+в(р) определены в [4] и обладают асимпотическим представлением S+* = + °(P-il)> ¿1 = min(1, minRe(pi+i - p)).

i

Обозначим := {р : |р — ру | > где р^- ^ нули функции Aj (р). Пусть Фj (ж, Л) 7 = 1,п, — решения уравнения (1) при условиях

Ф^—1)(0, Л) = ЬУЗ, V = 1,7, Ф,-(ж, Л) = 0(бр^х), ж ^ то, 7 = Т~п, р € Я

и удовлетворяющие условиям склейки, образованными матрицей Л.

Теорема 1. При |р(ж — а)| > 17 р € 5к0 П |р| ^ то7 7, V = 1,п7 имеют место оценки

—1)(ж, Л)| < Ср-х|.

Пусть M(Л) = [Mjk(A)]j.Ä=^, Mjk(Л) = Ф0к-1)(0,А), 1 < j < k < n, Mjk(Л) := при j > k. Будем называть M(Л) матрицей Вейля.

Обратная задача ставится следующим образом. По заданной матрице Вейля M(А) нужно восстановить числа vj и функции qj (x) в уравнении

И-

Теорема 2. Задание матрицы Вейля M(А) однозначно определяет дифференциальное уравнение (1).

Для доказательства используется метод спектральных отображений [5] и теорема 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных уравнений е особенностью // Дифференциальные уравнения. 1992 Т. 28, JVS 8. С. 1355-1362.

2. Yurko V. A. Integral transforms connected with higher-order differential operators with a singularity // Integral Transforms and Special Functions. 2002. Vol. 13, №6. P. 497511.

3. Yurko V. A. Higher-order differential equations having a singularity in an interior point // Results in Mathematics. 2002. Vol.42. C. 177-191.

4. Fedoseev A. Higher-order differential equations on the half-line having a singularity in an interior point / Preprint. Schriftenreihe der Fakultät für Mathematik. Universität Duisburg-Essen, SM-DU-734. 2011. 12p.

5. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 2007.