Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984 ББК 22,162

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Бутерин С. А., Юрко В. А.

Исследуется обратная задача спектрального анализа для дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура решения обратной задачи.

Введение. В заметке исследуется обратная спектральная задача восстановления коэффициентов краевой задачи Ь := (1,и, V) вида

1у := / + (Г + ЇРЧі(х) + 4°(x))У = °, 0 < X <Р, (1)

и(у) := у'(0) + (ір1\ + Н°)у(0) = °, V(у) := у'(р) + (ірНі + Н°)у(р) = °, (2)

где (х) Є Ж/ [°, Р] - комплекснозначные функции, а И}., Н ■ - комплексные числа, Н Ф+1, Н1 Ф+1.

Последние условия исключают из рассмотрения задачи типа Редже, которые требуют отдельного исследования (см. [1]). Рассматриваются три вида спектральных характеристик: функция Вейля, являющаяся обобщением классической функции Вейля для оператора Штурма-Лиувилля [2], спектры двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием и спектр вместе с так называемыми весовыми числами. Отметим, что последние являются обобщением классических спектральных данных для оператора Штурма-Лиувилля, задание которых равносильно заданию его спектральной функции [3], [4]. Показана эквивалентность задания всех рассматриваемых типов спектральных характеристик. Развивая идеи метода спектральных отображений [5]-[7], мы доказываем теорему единственности и даем конструктивную процедуру решения обратной задачи. Отметим, что некоторые аспекты теории обратных спектральных задач для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале исследовались в [1], [8]-[12] и других работах. В [13] решена обратная задача восстановления дифференциального уравнения (1) на полуоси по функции Вейля. Отметим, что прямые задачи спектрального анализа для пучков операторов исследовались в [14]-[19] и других работах.

Постановка обратной задачи. Теорема единственности. Пусть функции р(X, р), у(X, р), $(X, р) и Ф( х,р) являются решениями уравнения (1) при условиях

р(°, р) = у(р, р) = Я' (°, р) = и (Ф) = 1, и (р) = V (у) = $ (°, р) = V (Ф) = °. (3)

Функцию Ф(X, р) будем называть решением Вейля, а М(р) := Ф(°, р) - функцией Вейля для Ь. При каждом фиксированном X Є [°,Р] функции р(X, р), у(X,р), $(X, р) вместе со своими производными по X являются целыми аналитическими по р. Собственные значения {рп} задачи Ь с учётом кратностей совпадают с нулями ее характеристической функции А(р) := (у(X,р),р(X, р)), где (у, := уг — у г. Ясно,

что А(гНо) = V (р) = — и (у). Функция А °(р) := у(°, р) является характеристической функцией краевой

задачи для уравнения (1) с краевыми условиями у(°) = °, V(у) = °. Пусть {р°п} - ее собственные значения. Очевидно, что

Ф( X р) = —у( X р)(А(р))—1 = $(X р)+М р)р( X рХ (4)

(р( x,р),ф( ^р)) °l, (5)

М (р) = —А° (р)(А(р))—1. (6)

Таким образом, М(р) - мероморфная функция, с полюсами в точках рп, а нулями в точках рп, причем

ясно, что {рп} О{р°} = 0. Удобно занумеровать собственные значения Ь следующим образом: {рп}пЄН,

где Н = {п :п =+°,+1,+2,...}. Известным методом (см., например, [4]) можно показать, что {рп} имеют асимптотику:

ҐЛІ 1 \ _1_ 1/1 (1 + Н, )(1 — Н1) ГР

рп = п + ^° + 0(-1п ^° = —0% + +1° 41 О) Ж). (7)

п 2іР (1 — НД1 + Н1) -,°

Обозначим тп - кратность рп (рп = рп+1 = ... = рп+щ —1), $ := {п :пЄ Н,рп—1 Ф рп}. Заметим, что в

силу (7) для достаточно больших | п | имеем тп = 1.

ТЕОРЕМА 1. Справедливо представление

тп—1 М

м (р)=££ р р\,-.1. (8)

пє8 п=° (Р Рп)

причём коэффициенты {Мп} Н имеют асимптотику

Мп = * (1 + 0(^)), п ®±¥. (9)

пр(1 — Н1) п

Кроме того, при | р |—— ¥, ± рЄ [Є, Р —Є], где Є > ° фиксировано,

м(р)=. р! ±п(1+°(^»- «о)

ір(Н1±1) р

Из (7), (1°), в частности, вытекает

<55° = 1іт(рп — п), Н1=— Ііт^М (ix))—1 — 1. (11)

п — ¥ X—¥

Числа {рп, Мп} будем называть спектральными данными пучка Ь. Отметим, что так введенные спектральные данные обобщают те, что были использованы в [9], а также классические спектральные данные для оператора Штурма-Лиувилля [3]. Рассмотрим следующие обратные задачи.

Задача 1. По заданной функции Вейля М (р) найти коэффициенты пучка Ь.

Задача 2. По двум спектрам {рп }, {р?(°} найти коэффициенты пучка Ь.

Задача 3. По спектральным данным {рп, Мп } найти коэффициенты пучка Ь.

Заметим, что задачи 1-3 эквивалентны. В самом деле, в силу (8) задание функции Вейля равносильно заданию спектральных данных. Вместе с тем, согласно (6) М(р) однозначно определяется заданием двух спектров {рп }, {р° } и наоборот.

Введем обозначения

1

рп(x,р)=-'~гпР(Xрх п>° п! Жрп

о^) =1 Га(?) ^, Оа= {р:|р — к — а\>д, к є I и {—а}}, [1] = 1 + 0(-).

2 ■’° р

Известным методом (см., например, [4], [18]) доказывается следующая

ЛЕММА 1) При | р |—— ¥, р = °,1 равномерно по X Є [°,Р]

р<‘>(x,р) = ]Н — ((—1)кір)' ехр((—1)к(iрx—0(x)))[1],

к=1 2

2 1 I (_1 )к Н

У" (X, р) = ^ ( 1 1 ((—1)к+ ір)‘ ехр((—1)к (ір(Р — X)—Є(Р) + Є(x)))[1].

к=1 2

2) При | р |—— ¥, р є О5 , 8 > ° функция А(р) имеет вид

А(р) = —рг *іп((р—5°ЮИ

где Г = УІ (1 — Н2)(1 — Н12) при надлежащем выборе значения корня.

Наряду с Ь будем рассматривать пучок Ь того же вида, но с другими коэффициентами (%р(X), Н., Н р Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к Ь, то ОС обозначает аналогичный объект, относящийся к Ь, и ОС = а — СС. Докажем теорему единственности решения обратной задачи.

Теорема 2. Если М(р) = М(р), то Ь = Ь. Таким образом, задание функции Вейля однозначно определяет коэффициенты пучка (1), (2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим матрицу Р(X, р) = [Р.к (X, р)]. к=1 2, определяемую равенством

Р( х, р)

Учитывая (5), вычисляем

ф (х,р) <Ф (х,р) " Ф(х,р) Ф(х,р) "

ф/(х,р) 01 ,х р) 1 _ Ф'( х,р) е ,х р) 1

Р}1 (х, р) = ф(1 1) (х, р)Ф'(х, р) - Ф(1 1) (х, р)(р (х, р)

Р2 (^ Р) = Ф(1 -1) (^ Р)Ф(X Р) - Ф'1-1) (х, Р)Ф(^ р).

( 1 -1)

12

Обозначим

^(х) = ^2(ехр((3(х)) + ехр(-(3(х))), Л(х) = - 2 (ехр((3(х)) - ехр(-(3(х))).

(12)

(13)

(14)

Согласно (8), (11) в условиях теоремы имеем (О0 = Щ0, Ь = %г Тогда с помощью (4), (7), (13), (14) и лем-

мы 1 приходим к асимптотике

Р1 (X р) = ^(х) + 0(р~х), Р12 (х, р) = р~-Л(х) + 0(р-2)

Р21 (х. Р) = -РЛ(х) + 0(1) Р22 (^ Р) = ^(х) + 0(Р“' )

(15)

при | р |® ¥, ре , 3 > 0 равномерно по хЕ [0,р]. С другой стороны, используя (4) и (13), вы-

числяем

Р-,( х,р) = ф>-"( х,р)5'( х,р) - 5‘'-'’( х,р)ф'(х,р) + (М (р) - М (р))ф>-'\х,р)ф( х,р), р 2 (х,р) = 5 <'-Г)( х,р)ф( х,р)-ф1-»( х,р)$ (х,р)+(М (р) - М (р))ф'-Г)( х,р)ф (х,р).

Так как М(р) ° М(р), то при каждом фиксированном х Е [0, р] функции Р^к (х, р) являются целыми аналитическими по р. Вместе с (15) это дает, в частности, Р1(х, р) ° ^(х), Р12(х,р) ° 0, и Л(х) ° 0. Следовательно, в силу (14) (9(х) ° 1РХ, где СХЕ Z. Дифференцируя, получаем С[1(х) ° 0, то есть б(х) ° 0, ^(х) ° 1. Подставляя Р1(х,р) = 1, Р12(х,р) = 0 в (12), находим, что при всех х и р ф(х, р) = ф(х,р), Ф(х, р) = Ф(х, р), и следовательно, Ь = 11.

Следствие 1. Если р}={р „), р}={р!) , то Ь = 1. Таким образом, задание двух спектров однозначно определяет коэффициенты пучка (1), (2).

Следствие 2. Если {рп } = {рп} {Мп } = {М п} , то 1 = 11. Таким образом, задание спектральных данных однозначно определяет коэффициенты пучка (1), (2).

Основное уравнение. Решение обратной задачи. Пусть {рп, Мп} - спектральные данные задачи Ь. Вычислим ЬЛ,Ю0 по формулам (8), (11) и выберем задачу 1 так, чтобы /%1 = И1, Щ0 = Щ, а в остальном произвольно. Тогда согласно (7), (9) имеем £п :=| рп -р |+(| п |+1) | Мп -Мп |= 0(п). Обозначим

рп0 =рп ,рп1 = Рn, Мп0 = Мп , Мп1 = М^ тп0 = тп , тп1 = Лп и 50 = 5, 51 = 5 Пусть ', 1 Е {0,1},

п Е , тогда для V = а тп -1 положим (рп+У1 (х) = (ру (x, рт ), фп+^(х) = фу(х рт ),

’ 1 Эр-п фф(х,р),ф(х,в))

Мп+Р,' ( Р-п)!

р=п

а п+пА х,р) = X М>

р=п

тп1-1

Вп+п,'(х,р) = X М

(Р-п)!Эв

р-п

р-в

п+ Р,'

р =п

1 Эр-п (<Ъ(х,р\ ф(х,в))

(р -п)!ЭвР-п р-в

в=рщ

, Л 1 Эп _ , р Р п+п'1х) = V! Эрп А к х,р)

, к Е Ч.

р=рп

Пусть V - множество индексов и = (п,'), п Е Ч, ' = 0,1. При каждом фиксированном х Е [0,р] определим вектор

У(х) = [Уи (х)]иЕ V = [Уп0 (x), Уп1 (х)]

]Т , ■ЛпЕЧ ’

"y«0( х)" 1 « -с«" р« 0(х)

_У«1( х) _ 0 1 _р«1( х) _

Х«

где Т - знак транспонирования, по формулам

X * °,

„ о, X = о.

Без ущерба для общности считаем, что если рп = рп и рп Х { = рп { при некотором /, то рп Х = рп_г Это, в частности, обеспечивает Фп°(х) = Фп1(х) при Х = °- ПоэтомУ, зная уы (х), можно восстановить фы (х). Аналогично вводятся у (х),у(х) заменой в предыдущем определении фи (х) на ф (х). Рассмотрим также блочную матрицу

Й п°,к °( х) Й п°,к1( х)

Й п1,к °(х) Й п1,к1(х)

H (X) = [Й Л Х)]и

t.kew

u = («, /), v = (к, j), где

Й «0,к 0( х) Й «0,к1( х) ~х« с 1 P «0,к 0( х) P «0,к1( х) 1 1

_ Й «1,к0(х) Й «1,к1( х) _ 0 1 _ P «1,к 0( х) P «1,к1( х) _ 0 -1

Используя лемму 1, получаем оценки

I У «г (Х) |£ C, Iy «i( x) |< С, sup X\Й «ijx) \< ¥

«,г к, j

где С не зависит от «, X. Используя метод спектральных отображений (см. [7]), получаем следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3. Для каждого фиксированного X£ [0,p] справедливы соотношения

W( xj ( х, р) = р( х р)+X(A к о( х рЖ о(x) - a ki( х r)jki(х))

к

W( х)Ф (х, р) = Ф( х, р) + X (в к о( х р)рк о(х) - в ki( х р)рк1(х))

к

W(X)¥ «г(х) = У«г (Х) + X (Й% «г,к 0( Х)Ук 0( х) + Й «г,к1(х)У«г,к1( х))

(16)

(17)

(18)

где г = 0,1, «, к £ W. При этом ряды сходятся абсолютно и равномерно по X £ [0,p] и по р на компактах.

При каждом фиксированном X £ [0,p] правая часть (18) порождает ограниченный оператор в пространстве m ограниченных последовательностей С = [Cu ]u£V с нормой d = supu£V \Си |. Пусть для простоты L и L таковы, что при всех X £ [0, p] W(х) Ф 0. Например, это всегда выполняется, если С[1(х) - вещественнозначная функция. Обозначим z(х) = (W(x))-1y(х), v(X, р) = (W(х))-1р(Х,р),

w( х,р) = (W( х))-1 Ф( х,р). Умножая обе части (18) на (W( х)) 1, получаем

У ( х) = z ( х) + Й ( х) z ( х). (19)

Соотношение (19) называется основным уравнением обратной задачи. Методом, изложенным в [7], доказывается следующая

ТЕОРЕМА 4. При каждом фиксированном X £ [0,p] уравнение (19) имеет единственное решение z(х) £ т.

Так как функции р(X, р), Ф(X, р) являются решениями уравнения (1), то функции v(Х,р), w(X, р) удовлетворяют уравнениям

a(x)v' + (грЦу (х) + h(x))v = -v" - р1v, j a( x)w' + (грЦу (x) + h( x))w = -w" - р2 w,J

где

a(x) = 2W'(x)/W( x), h(x) = q0( x) + a( x)/2 + a2( x)/4. (21)

Ясно, что зная z(x), можно получить v(Х,р), w(X, р) при помощи формул (16), (17) соответственно. Заметим также, что в силу (5) ^v(Х,р), w(X, р)^ = W 2(х). Итак, приходим к следующей процедуре решения обратной задачи.

(20)

к

АЛГОРИТМ 1. Пусть даны {р«, М« } — спектральные данные пучка L.

1) Вычисляем hj, W0 по формулам (8), (11).

2) Выбираем L так, чтобы %1 = hpWo = W0, и строим функции р(х,р), Ф(х,р), A «г(X, р),

B«г(х,р% Й(x), У(х).

3) Решая основное уравнение (19), находим z(х).

4) Используя (16), (17) строим v(Х,р), w(X, р).

5) Вычисляем функции a(х), q1(х), h(х), решая систему линейных алгебраических уравнений (20) с определителем -W 2(х) Ф 0.

6) Строим q0(х), используя (21).

7) Находим функции р(X, р) = W(x)v(Х,р), Ф(Х,р) = W(x)w(X, р), где W(х) — решение задачи Коши

2W'( х) = a( x)W( х), W(0) = 1,

и, наконец, вычисляем константы h, й 0, Й1 из соотношений (3).

Замечание 1. Алгоритм 1 можно модифицировать так, чтобы им охватывался и случай, когда W(х) может обращаться в нуль.

ЛИТЕРАТУРА

1. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Известия АН Арм. ССР. Сер. Ма-тем. 1984. Т.19. №5. С.398-409.

2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

4. Freiling G., Yurko V.A. Inverse Sturm-Liouville Problems and their Applications. New York: NOVA Science Publishers, 2001.

5. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: изд-во СПИ, 2001.

6. Yurko V. Inverse Spectral Problems for Linear Differential Operators and Their Applications. New York: Gordon and Breach, 2000.

7. Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

8. Баранова Е. А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях // Дифферен. уравнения. 1972. Т.8. №12. С.2130-2139.

9. Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т.37. №2. С.19-23.

10. Губреев Г.М., Пивоварчик В.Н. Спектральный анализ задачи Редже с параметрами //Функ. ан. и при-лож. 1997. Т.31. №1. С.70-74.

11. Юрко В. А. Обратная задача для систем дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Дифферен. уравнения. 1997. Т.33. №3. С.390-395.

12. Yamamoto M. Inverse eigenvalue problem for a vibration of a string with viscous drag // J. Math. Anal. Appl. 1990. V.152. №1. P.20-34.

13. Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Математический сб. 2000. T.191. №10. C.137-160.

14. Вагабов А.И. Об уточнении одной асимптотической теоремы Тамаркина // Дифферен. уравнения. 1993. T.29. №1. C.41-49.

15. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т.77. С.11-14.

16. Костюченко А.Г., Шкаликов А. А. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи // Функц. анализ и его прилож. 1983. Т.17. №2. С .38-61.

17. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиница, 1986.

18. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

19. Шкаликов А. А. О базисности собственных векторов квадратичных операторных пучков // Математ. заметки. 1981. Т.30. №3. С.371-385.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 04-01-00007

Поступила в редакцию 06.06.2006 г.