Разложение по собственным функциям одной краевой задачи десятого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

е,/?2*.2 + е2р2П2. Второе утверждение доказано

Следствие.

IУ-'Т

/У \ Р

= НГ

I

(7П,Л а 2т _

ра ехр —лв.)

[ Р ) 1 р )

где 10,,/ = !>'"] - множество всех решений системы уравнений (3), принадлежащих О х О и ввиду (5)

О, = ¿а

дх2 ' дхду

е(/„,а>2.

ч дуйх ' Эу

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Боревич 3 И., Шафаревич И Р. Теория чисел. М Наука, 1964

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

и,Су) = а,/'"4(0) + /(1) = о, / = 1,ю,

где о, - константы и К - спектральный параметр Пусть

ш

м-1

(О (2)

(3)

Как известно, краевые условия являются нерегулярными по Биркго-фу [1, с. 66 - 67], если некоторые коэффициенты при экспонентах в разложении характеристического определителя Д(р) обращаются в ноль. Однако количество нулевых коэффициентов влияет на экспоненциальный рост функции Грина 0(х,1 Д) и поэтому представляет интерес для исследования. Случаи, когда один коэффициент равен нулю, или около половины коэффициентов равны нулю, рассмотрены в статьях [2, 3]. Там же показана связь между Ь) и определителями в разложении Д(р). Если все Ь), кроме

одного, равны нулю, то почти все определители равны нулю и задача становится вырожденной. Случай, когда все Ь,, кроме двух, равны нулю, ранее не рассматривался. Чтобы этот случай существенно отличался от случая, когда половина Ь, равна нулю, требуем, по крайней мере, двукратного

различия между количеством ненулевых Ьу в первом и втором случаях: ^ >2-2, то есть «>10. Поэтому в данной статье предполагается, что м -10 и

ЬХ=Ь2=Ь* 0, Ь;= 0, 7=3,10. (4)

Условие (4) означает, что большая часть определителей в разложении характеристического определителя Л(р) обращается в ноль

ю

Изучим этот случай Положим Х = -р

27-1.

а^ре

я л

То То

Тогда

Уj(x) = _уу (х,р) = ехрра)ул, где соу = 7с/J, у = 1,10 образуют фун-

даментальную систему решений уравнения (1). Для собственных чисел Хк справедливы асимптотические формулы:

8 и

\ „1° Ч =-Р* .

(2^ + 1)лсоз — р2="-

81П

п 10

Обозначим ф, (.х,р) =

10

У1

ию(У\)

^.(Ую)

У\о

^ю(Ую)

- / строка Д(р), / = 1,10.

Пусть ф(*,р) = £р' о,«', ф,(д:,р). Если р = рА.,то ф(х,р*) - собственная 1=1

функция краевой задачи (1)- (2).

Обозначим через Та многоугольник, описываемый системой неравенств

Яе(Е12-Е[ -Е3а) <0, Ке(е2г - е10 - е3а) < 0, Ке(е82 - б2 - е10 - е3а) < 0, Ке(е9г-е,0 -Е3а) < 0, Ке(е1()г-е1О-Е3а)<0,

Ке(еуг-е3а)<0, 7 = 3,7, где г) = ехр(7я;75). 46

ТЕОРЕМА 1. Если ряд

ос

¿а*Ф(*>Р*)

<г=О

Ree

сходи гея в точке х = а, где а е [0, d), d =---—-, то он сходится аб-

ReeI0 — Ree3

солютно и равномерно внутри 7а к аналитической функции. Если ряд (5)

сходится равномерно на [a,ß], где d < а < ß <1, то он сходится абсолютно

~ Ree.a - Res-, „ .

и равномерно внутри где а =---!--к аналитической функции.

Ree3

Сумма ряда (5) удовлетворяет функциональному уравнению

г>,/(ш10дг) + Ь2 /(©,*) + 10/(1 - ш9д:) = 0 (6)

ТЕОРЕМА 2. Если ряд (5) сходится равномерно на [0,1], / - его

сумма и ц не является собственным значением задачи (1) - (2), то функ-1

ция g(jr) = R f = ^G(x,l,\i)f(t)dt аналитически продолжима в 7¡, офани-

о

чена в угле |argz|<^, ¡ z |<| z0 | и удовлетворяет уравнению (6) при л

sin —

«(о./)./-—

sin — 10

ТЕОРЕМА 3. Пусть /(jc) е/.[0,1] и при некотором натуральном к функция g(jr)= Ä*/ удовлетворяет следующим условиям:

а) аналитически продолжима в четырехугольник 7j с вершинами

0,/,0,,/,<0,0.1;

. Зл

SU1-

б) непрерывна на интервалах (О.^со,), (0, /,со,0) ,(1,/,сэ10), l{=-j^-;

4л

sin--

10

в) ограничена в угле | argz |< ^, | z |<j z0 |;

г) при Jte[0,/] удовлетворяет уравнению (6).

Тогда f(x) разлагается в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям краевой задачи (1), (2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Наймарк М.А Линейные дифференциальные операторы М, 1969

2. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Математика и ее приложения Саратов, 1991 С. 70 - 72

3. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора л-го порядка с нерегулярными краевыми условиями И Современные проблемы теории функций и их приложения Саратов, 1996. С. 41 - 42.

УДК 519.853

С. И. Дудов

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВНУТРЕННЕЙ ОЦЕНКЕ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ"

1. Пусть D - выпуклый телесный компакт из конечномерного действительного пространства Rp, а функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы. Задачу о вложении в данный компакт D шара нормы л(-) максимального радиуса можно записать в виде

df

рп(л) s min п(х ->)—> max , (1)

уе О xeD

где Q = Rp \ D. Эта, так называемая, задача о внутренней оценке компакта D шаром нормы п( ) рассматривалась в работе [1] В ней получено необходимое и достаточное условие решения, доказана единственность решения для случая строго выпуклого компакта D, предложена схема алгоритма приближенного решения задачи для оценки произвольного выпуклого компакта.

Здесь мы рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи (1) относительно погрешности задания компакта D .

Приведем используемые далее обозначения, вспомогательные понятия и факты Под Kv(Rp) будем понимать пространство всех выпуклых

компактов из Rp с метрикой h(A,B) = maxi supinf п(а - />),sup inf n(a - b) L

{ аеАь*в ЬеВа*А I

G(xo) = e RP ■ PnO) * Pn(*o)}. Gc(x„) = {* 6 RP : pn(jc) < pn(*0)}, о =(0,...,0)eRp, ||-|j - евклидова норма в Rp, p(D) = max pn(x),

x e D

X(D) = {yeD:pn(y) = p(D)}, А - В - {с e Rp : с + В с A},

Работа выполнена при поддержке программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123