Разложение по собственным функциям одной краевой задачи шестого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

1 - 7 - а)/-.:./) ■ а + Т

/) = + )(1 + :)Ц* + (1 - ^)(1 - :) ) (1 + Р"#)(1 - :)Ш + (1 - ^)(1 + :).

р (/) [с - < 2(1 - а)|1 - 71

/1( ) I 2(1 - а)|1 - 7^ 5дп(-^). > 2(1 - а)|1 - 71

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

3, Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций, М, :Наука, 1976, 344 с,

1, Васильев А. Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций,- Мач. !а.\н'1 кн.-Н)8">.-Т.38..\"" 1 .-¡•."¡(¡-О").

2, Васильев А. Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций, -Выч,методы и программирование, - Саратов, :Изд-во Сарат, ун-та,1985,-с,55-64,

4, Разумовская Е. В. Об одном коэффициентном функционале в подклассе однолистных ограниченных «типично» вещественных функций // Сб. науч. тр. Механика, Математика, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2009, С, 52-54,

УДК 517.984

О. Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0.1] рассмотрим краевую задачу

У(6) - Ау = 0. (1)

ВД = агу(г-1)(0) + у (г-1)(1) = 0. г = 1.6. (2)

где а — константы и А - спектральный параметр. Эта задача порождается соответствующим дифференциальным оператором шестого порядка Ь, заданным дифференциальным выражением у(6) и краевыми условиями (2).

В данной статье продолжается изучение условий разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям линейного дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями. Ранее в литературе изучались случаи распадающихся краевых условий [1] или случаи нечетных значениий п [2, 3].

Рассматриваемый случай четного n отличается от соответствующих нечетных случаев, кроме того, и уровнем нерегулярности. При этом функция Грина G(x, t, Л) имеет экспоненциальный рост как при t < x, так и при t > ж, что представляет основную трудность при исследовании.

Лемма 1. Пусть bj = ^ ak {ujeni/6)k 1, где Uj = exp 2jj—1ni,

_ k=1 6

j = 1,6. Если b3 = b4 = b5 = b6 = 0 b1 = 0 b2 = 07 то краевые

условия (2) нерегулярны по БиркгофуЩ.

Положим Л = —p6, argp G [—п/6,п/6]. Тогда функции yj(x,p) = = exp puj x, j = 1,6 образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Лемма 2. Для собственных чисел Лk данного дифференциального оператора L справедливы асимптотические формулы

Лk = —р6, pk = 2nk + O(1/k), k = ko,ko + 1,...

Обозначим

yi(x,p) . . /6(x,p)

v(x,p) = U2(yi) . . U2 (/б)

UU6 (у/1) . . U6(/6)

Если р = рк, то ф(х,р) — собственные функции краевой задачи (1)-(2).

Обозначим через Т многоугольник, описываемый системой неравенств:

Re(ujz) < 0, j = 1,4,

Re (ujz) < Re (uj), j = 5, 6. Рассмотрим ряд по собственным функциям

то

^ak ^(x,pk). (3)

k=1

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если ряд (3) сходится равномерно на [0,1], f — его

сумма и ß не является собственным значением краевой задачи (1)-(2);

1

то функция g(x) = Rf = f G(x,t,ß)f (t) dt удовлетворяет следующим

о

условиям:

1) аналитически продолжима eT1;'

2) ограничена в угле | arg z + п/3| < п/3;

3) удовлетворяет уравнению

Ф(/.ж) = 0.

где Ф(/. ж) = 61/(^ж) + 62/(^ж) + 6/(1 - ж).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. 1966. Т. 70(112), № 3. С. 310—329.

2. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Математика и ее приложения : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 17-24.

3. Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Математика и ее приложения : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 70-72.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ НА НЕКОМПАКТНОМ А-ГРАФЕ

А-графом называется связный геометрический граф, в котором любые два цикла имеют не более одной общей вершины. Обратная задача Штурма - Лиувилля на компактных А-графах подробно исследована в [1]. Рассмотрим некомпактный А-граф О с множеством вершин V и множеством ребер Е и где Е - множество компактных ребер и ^ - множество лучей. Пусть у(-) - некоторая функция, определенная па О. Следующее условие во внутренней вершине V назовем стандартным условием склейки МС(V):

Е дг) = 0 (1)

г€1(-)

где I(V) - множество ребер, инцидентных вершине V, дгу^) - производная по направлению внутрь ребра г. Пусть множество граничных вершин дО

дО = дкО и ддО. Для вершин V € дкО мы определим условие склейки МС(V) соотношением (1) (что, очевидно, эквивалентно, однородному условию Неймана), для V € ддО мы определим условие МС(V) как однородное условие Дирихле