CC BY
15
В. А. Юрко
УДК 517.984
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНЫХ ГРАФАХ
1. Исследуется обратная задача восстановления сингулярных дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями и с обобщенными граничными условиями Дирихле на некомпактных звездообразных графах по заданным спектральным данным. Приведена теорема единственности и получена конструктивная процедура решения обратной задачи.
Рассмотрим некомпактный звездообразный граф Т в с множеством вершин V = (и0,..., ир} и множеством ребер Е = (во,..., вр}, где в3 = [и3, и0], 3 = 1,р - конечные отрезки, а в0 = [и0,ир+1) - луч, ир+1 := то. Пусть /у - длина ре бра в3, 3 = 1, р. Каждое ребро в3, 3 = 1,р, параметризуется параметром х3 € [0,/3] так, что начальная точка и3 соответствует х3 = 0, а конечная точка и0 соответствует х3 = /3. Луч в0 = [и0, то) параметризуется параметром х0 € [0, то) так, что х0 = 0 соответствует вершине и0. Функция У па Т имеет вид У = {у3 =0тр, где функция у3 (х3) определена на ребре в3. Пусть д = {д3 }=^р - интегриру-
Т. Т
-У^/(х^) + Яз(х?)Уу(х?) = ЛУу(х?), Яз(х?) = ^ + У(х?)> 3 =0^, (1)
х5
где Л - спектральный параметр, ш3 - вещественные числа, Я = = (Яу ^^"р _ вегцественнозначная фупкция па графе Т. Пусть для опре-
делеппости ш3 = V,2 — 1/4, Яв^3 > 0, ц € N, = 1/2 (остальные слу-
чаи исследуются аналогично). Предположим, что д3 (х3)х_- 3, 3 = 1,р,
и (1 + х0)д0(х0) интегрируемы. Функция Я на графе Т называется потенциалом. В статье исследуется краевая задача Ь = Ь(Я) для диф-
Т
склейки [1] во внутренней вершине и0 и с краевыми условиями
Уу (ху) = 0(х;+1/2), ху ^ 0, 3 = 1^, (2)
в граничных вершинах и3. Пусть (5'зт(х3 ,Л)}ТО=1;2 - фундаментальная система решений Бесселя уравнения (1) на ребре в3 такая, что
128
Sjm(Xj, Л) - CjmX j, Xj ^ 0, j = (-1)mVj + 1/2, CjiCj2 = (2Vj) (Sj, Sj2) = 1, гдe (y, z> := yz/ - tfz [2]. Рассмотрим функции
^с(Л) = П Sj2(1j, Л), рс(Л) = Сс(Л) SHM. (3)
7=1 Sj2 (1j ,Л)
Пусть функции Gk (Л) и gk (Л) получаются из Go (Л) и go (Л) соответственно заменой S^^k, Л) на sfM,Л), £ = 0, 1. Пусть Л = р2, Imp > 0. Положим П0 = {р : Imp > 0}, П = {р : Imp > 0, р = 0}, П+ = {р : Im р = 0}. Через П0 обозначим Л - плоскость с двухсторонним разрезом П+ вдоль луча y := {Л : Л > 0}, а П = П0 \ {0}. Тогда при отображении р ^ р2 = Л множества П, П+ и П0 соответствуют множествам П, П+ и П0. Пусть е(х0,р), x0 > 0, Im р > 0 - решение Йоста для уравнения (1) на ребре e0 (см. [1]). Обозначим
Д(р) = Go(Л)e/(0, р) - g0(Л)е(0,р),
Ak(р) = Gk(Л)е/(0, р) - gk(Л)е(0, р). (4)
Теорема 1. Функции Д(р) и Ak (р), k = 1,p7 являются аналитическими в Q0 и непрерывными в Q0. При вещественном р = 0,
ДР) = д(-р), Д^Р) = д^(-р).
Зафиксируем k = 1,... ,p. Пусть ф = {^kj-} =orp - решение уравнения (1) на T, удовлетворяющее условиям склейки
p
^(j,А) = ^ko(0,A), j = 17, ^^(j,А) = ^ko(0,A) (5)
j=i
и граничным условиям
^kk(xk, А) = Ckix-Vk+1/2(1 + o(1)), Xk ^ 0, ^kj(xj, А) = O(xv+1/2),Xj ^ 0, j = 17p \ k, ? (6)
^ko(xo,A) = O(exp(ipxo)), xo ^ то.
Учитывая (6), получаем
^kk(xk, А) = Ski(xk, А) + Mkk(A)Sk2(xk, A),
^kj(xj, А) = Mkj(А)^(xj, А), j = 1"P \ k, ^ (7)
^ko(xo, А) = Mko^e^p), 129
где коэффициенты М^-(Л) не зависят от ху. Функцию Мк(Л) := Мкк(Л) будем называть функцией Вейля относительно вершины ик, а вектор М(Л) = [Мк(Л)]к=1р - вектором Вейля. Подставляя (7) в условия склейки (5), получаем систему линейных алгебраических уравнений вк относительно Мку(Л), 3 = 0,р. Определитель системы вк равен Д(р). Решая вк
Мк (Л)=— ,
Мк(Л) = ПььлшшИЛ), 3 \к (8)
2. Рассмотрим компактный граф Т0 := Т \ {в0} с множеством ребер в1,..., вр и множеством вершин и0,..., ир. Пусть Ь0 - краевая задача
Т0
граничными условиями (2).
Теорема 2. Нули целой функции, д0(Л) совпадают, с собственны-
Ь0
Ь0
значения равна, его геометрической кратности.
Пусть А* := {Л = р2 : р € Д(р) = 0} - множество нулей функции Д(р) в Тогда Л* = Л/ и Л//, где
Л/ := {Л = р2 : р € ^0, Д(р) = 0},
Л// := {Л = р2 : /шр = 0, р = 0, Д(р) = 0}.
Функции Вейля Мк (Л), к = 1,р, являются аналитичес кими в П0 \ Л/ и непрерывными в П \ Л*. Множество особенностей М(Л) (как аналитической функции) совпадает с множеством Б * := 7 и Л* и называется Ь.
Ук(Л) = 2Пг(м—(Л) — М+(Л)), Л> 0, к = 1,р,
1
2~Пг
М± (Л) :=Иш Мк (Л ± ге), Яве > 0.
е^0
Теорема 3. Пусть Л0 = р0, р0 € т.е. Л0 € [0, то). Для, того Л0 Ь Т
точно, чтобы Л0 € Л/. Каждое собственное значение из Л/ вещественно, его алгебраическая кратность равна, геометрической кратности, и каждый полюс Мк(Л) является простым.
Теорема 4. Пусть А0 = р2 > 0. Для того чтобы А0 было собственным значением L, необходимо и достаточно, чтобы А0 £ Л".
Отметим, что множество Л" положительных собственных значений может быть пустым, конечным или бесконечным неограниченным.
Пусть Л+ - множество неотрицательных собственных значений L. Тогда Л+ = Л", если А0 = 0 не является собственным значением L, и Л+ = Л// U {0}, если А0 = 0 является собственным значением L. Обозначим Л- := Тогда Л := Л- U Л+ - множество всех собственных значений L, причем Л ограничено снизу и не имеет конечных предельных
Л- L
состоит из положительной полуоси y = {А : А > 0}и дискретного вещественного ограниченного снизу множества Л = {Ап}п6^ собственных значений. Множество индексов в £ N может быть пустым, конечным пли бесконечным. Тогда Л± = {Ап}п£$±, где в = в- U в+.
Теорема 5. Зафиксируем Ап £ Л. Существуют конечные пределы
mkn := lim (А - (А), k = 1,p.
Л^Л„, ЛбП
Обозначим m = {mkn}k=ip,ne0> V(А) = {Vk(А)}л=т;^, А > 0. Данные S = {V(А), Л, m} кжыв&ются спектральными данными для L.
Обратная задача 1. Даны S, построить потенциал Q на графе T.
S
потенциал q на T. Решение обратной задачи 1 строится по следующему алгоритму.
S.
I) Для каждого k = 1,p решаем, вспомогательную обратную задачу: по S построить Mk(А) и потенциал Qk на ek. При, этом используем, метод спектральных отображений [1, 2].
5) Вычисляем Skm(xk, А), m = 1, 2, w ^kk(xk, А) из (7).
6) Находим, (j, А) при j, k = 1,p7 используя (5).
7) Строим Mkj(А), j = 1,p \ k по (7).
8) Вычисляем Д(р)/е(0, р) из (8).
9) Строим С0(А) w #0(А) по
löj Находим, М0(А) := e/(0, р)/е(0, р)7 используя (4)-
II) Строим потенциал Q на в0? решая классическую обратную задачу Штурма — Лиувилля на полуоси по функции, Вейля М0(А) (см.
т
Таким образом, выполняя алгоритм 1, мы получаем решение обратной задачи 1 и доказываем его единственность.
Аналогичным образом исследуется обратная задача восстановления потенциала по вектору Вейля M(Л).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты, 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М, : Физматлит, 2007.
2. Yurko V. А. Singular differential Operators on noneompaet spatial networks // Preprint. Sehriftenreiehe des Fachbereichs Für Mathematik Universitaet Duisburg-Essen, SM-DU-728, Duisb-Essen, 2011. P. 1-17.
