Единственность решения обратной задачи Штурма - Лиувилля на некомпактном А-графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

3) удовлетворяет уравнению

Ф(/,х) = 0,

где Ф(/, х) = (й1х) + 62/(^х) + 6/(1 - ж).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Мат. сб. 1966. Т. 70(112), № 3. С. 310—329.

2. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Математика и ее приложения : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 17-24.

3. Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Математика и ее приложения : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 70-72.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ НА НЕКОМПАКТНОМ А-ГРАФЕ

А-графом называется связный геометрический граф, в котором любые два цикла имеют не более одной общей вершины. Обратная задача Штурма - Лиувилля на компактных А-графах подробно исследована в [1]. Рассмотрим некомпактный А-граф О с множеством вершин V и множеством ребер Е и где Е - множество компактных ребер и ^ - множество лучей. Пусть у( ) - некоторая функция, определенная на О. Следующее условие во внутренней вершине V назовем стандартным условием склейки МС(V):

Е дгУ^) = 0 (1)

г€1(у)

где I(V) - множество ребер, инцидентных вершине V, дгу^) - производная по направлению внутрь ребра г. Пусть множество граничных вершин дО

дО = дкО и двО. Для вершин V € дкО мы определим условие склейки МС(V) соотношением (1) (что, очевидно, эквивалентно, однородному условию Неймана), для V € двО мы определим условие МС(V) как однородное условие Дирихле

У^) = 0.

Пусть я(х) - вещественнозначная суммируемая на О функция, удовлетворяющая условию:

/(1 + | х 1 ) 1 Я(х) 1 х к -

г

для всех г Е где |х| - натуральный параметр наг, отсчитываемый от

О

денный дифференциальным выражением

^У := -У'' + Я(х)У,

условием непрерывности и условиями склейки МС(-и), V Е V.

Рассмотрим произвольный луч г Е Функция фг(х,р), х Е О, р Е := {1тр > 0} называется решением типа Вейля, ассоциирован-г

1) непрерывна по х па О и удовлетворяет условиям МС(-) для всех V Е V;

2) является решением уравнения £фг = р2фг, х Е ^ г', г' Е Е и

3) фг(х, р) = О (ехр(гр|х|)) при х ^ —, х Е г', г'Е^ \ {г};

4) фг(х,р) = ехр(-гр|х|)(1 + о(1)) при х ^ —, х Е г.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 1. Длл х Е г фг(х,р) мероморфна по р в с конечным (возможно пустым) множеством полюсов Z-. Все полюса простые и лежат на мнимой оси. Для вычетов те$р=р0фг(х,р)7 р0 Е Z- справедливы асимптотические представления:

те$р=р0фг(х, р) = ¿аг(ро) ехр(гр0|х|)(1 + о(1)),х ^ —, х Е г,

г<?е аг(р0) Е (0, +—).

Лемма 2. Для р0 Е И \ ({0} и Z0Ь) существуют предельные значения фг(х,р0) := Нш фг(х,р). £ели р0 Е Z+7 то фг(х,р) м фГ(х,р)

р^ро,р€0+

ограничены при, р ^ р0,р Е Здесь Z+ - некоторое не более,

чем счетное множество вещественных чисел, обладающее следующим свойством: число элементов Z+ на отрезке [£,£ + 1] ограничено кон-

Су СУ /

стантои, не зависящей от ъ.

Лемма 3. Длл фг(х,р)7 р Е И \ ({0} и Z+) справедливо следующее асимптотическое представление:

фг(х, р) = ехр(-гр|х|) + йг(р) ехр(гр|х|) + о(1), х Е г, х ^ —.

Набор Jr := {sr(•),Z__,ar(p),p G Z_} назовем данными рассеяния, ассоциированными с r.

Для однозначного восстановления оператора Штурма - Лиувилля на А-графе G, помимо данных рассеяния, ассоциированных с лучами графа, требуется также задание некоторых спектральных характеристик, связанных с частью его вершин.

Рассмотрим произвольную вершину v G V. Фупкцию Ф^(x, A, G), назовем решением Вейля, ассоциированным с v, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна по x на G и удовлетворяет условиям MC(и) для всех и G V \{v};

2) является решением уравнения £ФУ = АФ^, x G int r, r G E UR;

3) Ф^(•, A, G) G L2(G);

4) Ф^(v,A,G) = 1. Величину

Mv(A,G) := E drФv(v, A, G)

rGl (v)

v

Предположим для определенности, что множество граничных вер-G

графа. Обозначим ее v°. Обозначим через C множество всех циклов графа. Для данного цикла c G C определим граф Gc следующим образом. Пусть c состоит из ребер (последовательно) г1,г2, ... ,rpj соединяющих v0 с v\, vi с v2, ..., vp-\ с v^e vo =: uc ближайшая к корню из вершин c Gc G

^соединяют, его vp_i и v0 ребро м r'p той же длины, соедин яющим vp-i

vc

Сформулируем основной результат статьи.

Теорема 1. Задание набора данных Jr, r gR, Mv (•, G), v G dG\{v0} MVc(•,Gc), c G C однозначно определяет noтенциалд(^) почти всюду на G.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Yurko V. A. Uniqueness of recovering of Sturm - Liouville operators on A-graphs from spectra// Results in Mathematics. 2009. Vol. 55, № 1-2. P. 199-207.