Единственность восстановления дифференциального оператора переменного порядка на простейшем некомпактном графе с циклом Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Гудошникова Е. В. Конструкция линейных положительных операторов // Математика, Механика : еб, науч.трудов, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып.9, С. 20-22.

2, Гудошникова Е. В. Конструкции ЛПО и их аппроксимативные свойства // Математика, Механика : сб. науч. трудов, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып.10, С. 18-20.

3, Гудошникова Е. В. Порядок приближения дифференцируемых функций классом линейных операторов // Математика, Механика : сб. науч. трудов, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2009, Вып.11, С, 18-20,

УДК 517.984

М. Ю. Игнатьев

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА НА ПРОСТЕЙШЕМ НЕКОМПАКТНОМ ГРАФЕ

С ЦИКЛОМ

Пусть Г - геометрический граф с в ершиной v\ и ребрами ro, ri, где r\ - луч с начал ом в vi, ro - цик л [v1, v1] длин ы п. Будем считать, что ребро ro параметризовано параметром xo £ [0,п], а r1 - параметром x1 £ [0, го). Функцню y на графе Г будем трактовать как пару функций {yo{xo),Vi{xi)).

На ребрах rj, j = 0,1 рассмотрим дифференциальные уравнения:

%o := -У? + qo(xo)yo = p2Уo, (1)

n-2

У1 := yin) + £ q1j (X1)yij) = pn У1, (2)

j=o

где qo £ L(0, п) - вещественнозначная функция, n > 2, q1j _ комилексно-значные, вообще говоря, функции, такие, что q1j (x1)exp(rx1) £ L(0, го) для некоторого т > 0. Пусть üv = {p : arg p £ п, Пп)} и , k = 1,n - корни n-й степени из 1, упорядоченные таким об разом, что Re(pw1) < < Re(pw2) < ... < Re(pwn) при p £ Для k = 2, n определим решение типа Вейля г = (^ko(xo, p), ^k1(x1, p)) как функцию со следующими свойствами:

1) г^ко является решением уравнения (1), является решением уравнения (2);

2) выполнены условия склейки:

^ko(0, p) = Ып, p) = (0, p),

фк0(П р) = фко(0, р) + фк 1(0, р),

3) справедлива асимптотика:

фм(жър) = ехр(р^кХ1)(1 + о(1)),Х1 ^

Для к = 1 определим фц (ж15 р) как решение уравнения (2), нормированное асимптотикой ф11(х1,р) = ехр(ры1 х1)(1 + о(1)),х1 ^ то.

Теорема 1. При каждом v = 1, 2n7 k = 1,n голоморфна

в \ kkv и непрерывна в \ kkv, где Akv - некоторое не более чем счетное подмножество не имеющее конечных предельных точек. При р ^ 0 справедлива оцемка, ^k1(x1,p) = 0(р—N), где N - некоторое целое число.

Определим матрицу Ф(ж1,р) := фк! ^ k, v = 1,n.

Теорема 2. Существует р* такое, что: 1) Akv п Amv п{|р| >р*} = 0;

n

для любого ро Е Av П {|р| > р*}7 где Av := У Akv существует един-

k=1

ственная строго верхнетреугольная матрица а(р0) такая, что

Ф(ж1, р) (/ - (р - ро)-1а(ро))

ограничена в окрестности р0.

Лемма 1. При р ^ то, р Е GV;j := {р Е : dist^, Av) > £}, Ö > 0, имеет место асимптотика:

Ф(ж1, р) = Dp [W] ехр(рж^)А(р), А(р) = O(1),

где Dp = diag(1^,... ,рп-1) w = diag(wb ^2,..., ^n) W = (wjk)j,k=1> Wjk = w>k[W] = W + 0(р—1), А(р) - верхнетреугольная, матрица с 1 на главной диагонали. Далее, пусть 13/(ж1,р) построена аналогично Ф(жьр) по решениям типа Вейля уравнений вида (1), (2), удовлетворяющим условиям 1)-3), но с другими коэффициентами q0, q10,... <?1;П-2. Тогда, для А(р) := А(р) — А(р) справедлива оценка А(р) = 0(р-1)7 р ^ то7 р Е Gu,s-

Пусть = {р : arg р = Пп}. Для р0 Е \ (Av U Av+1) определим

Ф—(х1,р0)= lim Ф(ж1,р), Ф+(ж1,р0)= lim Ф(ж1,р).

р^р0,рЕйи р^р0,рЕйи+1

Тогда существует единственная матрица ^(р0) такая, что Ф+(ж1,р0) = = Ф—(Ж1,р0)^ (р0).

Будем говорить, что набор функций {д0, д10,... д1,п-2} принадлежит классу О, если утверждение теоремы 2 справедливо при р* = 0. В этом случае определим данные рассеяния, ассоциированные с ребром г1; как набор 71 = {^(ро),ро е \ (А^ и Л^+0; Л^; а(ро),ро е Л^, V = 1,2п}.

Теорема 3. Если, {д0, д10,... д1,п-2} е О и {д0, д10,... дг1,п-2} е О таковы, что = 31; то = д^, ^ = 0,п — 2. Таким образом,, задание данных рассеяния, ассоциированных с ребромт1} однозначно определяет коэффициенты уравнения (2).

Для восстановления коэффициента уравнения (1) требуются задания некоторых дополнительных данных, связанных с периодической задачей па г0. А именно, пусть 50(ж0, Л) - решение уравнения £0у = Лу с начальными условиями типа синуса, Р(Л) - дискриминант Хилла периодической задачи для этого уравнения [3]. Пусть, далее, {Лт}ГО=1 - спектр краевой задачи для уравнения £0у = Лу с условиями Дирихле на концах интервала (0, п) и ат е {—1,0,1}, т = 1, го - числа такие, что [3]:

50 (п, Лт) = 1 Р (Лт) + ^ /Р2 (Лт) — 4.

Обозначим через N0 множество всех индексов т таких, что Лт является собственным значением периодической задачи.

Определим данные рассеяния как набор 3 = {71; ат,т = = 1, го; N0; Лт, т е N0}.

Теорема 4. Если {д0, д10,... д1,п—2} е О и {д0, д10,... д1,п—2} е О таковы, что 3 = 3, то д^ = д^,^ = 0,п — 2 и д0 = д0. Таким образом, задание данных рассеяния однозначно определяет коэффициенты уравнений (1), (2).

Работа выполнена при, поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00134)-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Beals R., Deift P., Tomei С. Direct and inverse scattering on the line // Math. Surveys and Monographs. 1988. Vol.28. Amer. Math. Soc, Providence : EI.

2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

3. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля, М,: Наука, 1984.