РАСШИРЕНИЯ ПСЕВДОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФОВ ДЛЯ $pG_{s-4}(s,t)$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 1, С. 21-30

УДК 519.17

РАСШИРЕНИЯ ПСЕВДОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФОВ ДЛЯ рС3-4(з,г)1

А. К. Гутнова, А. А. Махнев

В работе найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — исключительные псевдогеометрические графы для рСа-4(в,£).

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, псевдогеометрический граф, собственное значение графа.

Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а граф а Г через Г^(а) обозначим ¿-окрестность вершины а, т. е., подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии та. Подграф Г(а) = Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначавтся [а], если граф Г фиксирован. Положим а^ = {а} и [а].

Г

регулярным степени к, если степень любой вершины из Г равна к. Граф Г назовем реберно регулярным с параметрами (у, к, А), если он содержит V вершин, регулярен степени к, и каждое его ребро лежит в А треугольниках. Граф Г — вполне регулярный граф с параметрами (у, к, А, у), если он реберно регулярен с соответствующими параметрами, и [а] П [Ь] содержит у вершин для любых двух вершин а, Ь, находящихся на Г

графом. Пусть ^ — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально ^-графом, если [а] лежит в ^ для любой вер шины а граф а Г.

Если вершины и, т находятся та расстоянии ¿в Г то чер ез Ьг(и, т) (через Сг(и,т)) обозначим число вершин в пересечении Г^+1(и) (Г^-1 (и)) с [т]. Граф Г диаметра й называется дистанционно регулярным с массивом, пересечений {Ь0, Ь1,..., Ь^-1; с1,... }, если значения Ьг(и, т) и а(и, т) те зависят от выбора вершин и, т на расстоянии í в Г для любого í = 0,..., й. Положим а» = к — Ь» — с».

Система инцидентности с множеством точек Р и множеством прямых £ называется а-частичной геометрией порядка (з, Ь), если каждая прямая содержит ровно з + 1 точку, каждая точка лежит ровно на Ь+1 прямой, любые две точки лежат не более чем на одной прямой, и для любого антифлага (а, I) £ (Р, £) найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих I (обозначение рОа(з, ¿)). В случае а = 1 геометрия называется обобщенным четырехугольником, и обозначается GQ(з,t). Точечный граф геометрии

Р

Точечный граф геометрии (з, Ь) сильно регулярен с V = (з + 1)(1 + зЬ/а), к = з(Ь + 1),

© 2015 Гутнова А. К., Махнев А. А.

1 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, со-

глашение № 02.А03.21.0006 от 27.08.2013.

А = в — 1 + Ь(а — 1), у = а(Ь + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел а, в, Ь называется псевдогеометрическим графом для рОа (в,Ь).

Дж. Кулен предложил задачу изучения дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственным значением ^ Ь для данного натурального числа Ь. Заметим, что сильно регулярный граф с нецелым собственным значением является графом в половинном случае, а вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы в половинном случае, либо имеет диаметр 2, либо является графом Тэйлора. Таким образом, задача Кулена сводится к описанию дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственным значением Ь для Ь = 1, 2,...

В [1] завершено решение задачи Кулена для Ь = 3. В работе [2] получена редукция задачи Кулена для Ь = 4 к случаю когда окрестности вершин — исключительные графы с неглавным собственным значением 4. В данной работе рассматриваются вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин — псевдогеометрические графы для pGs-4(в,t).

Теорема 1. Пусть Г — вполне регулярный граф диаметра, большего 2, в котором окрестности вершин — псевдогеометрические графы для pGs-4 (в, Ь). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) диаметр Г больше 3, либо в = 5 и Ь £ {3, 5, 7} либо в = 6 и Ь = 1;

(2) 1(Г) = 3, либо в = 8 и Г — граф Тэйлора, либо 5 ^ в ^ 7.

Г

псевдогеометрические графы для GQ(5, Ь), Ь £ {3, 5, 7,10,15,19, 20, 25}. Тогда верно одно из утверждений:

(1) Г

Ь = 3 и Г имеет параметры (322, 96, 20, 32) или (697, 96, 20,12), либо (н) Ь = 5 и Г имеет параметры (1782,156, 30,12) или (532,156, 30, 52), либо (¡И) Ь = 7 и Г имеет параметры (1792, 216,40, 24), либо (¡у) Ь = 20 и Г имеет параметры (2107, 606,105, 202);

(2) ¿(Г) = 3 и либо

(Г) Ь = 3 и у £ {6, 8, 9,10,12,15,16,18, 20, 25, 30, 32, 36,40,45,48, 50}, либо (и) Ь = 5 и у £ {13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50, 52, 60, 65, 75, 78}, либо (Ш) Ь = 7 и у £ {25, 27, 28, 30, 35, 36,40,42,45, 50, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 75, 84, 90,100, 105,108,120,126,135,140}, либо

(¡V) Ь = 10 и у £ {50, 60, 68, 90,100,102,150,170,180, 204}, либо (у) Ь = 15 и у £ {75,76, 90, 95,100,114,120,125,150,152,171,180,190,200, 228, 250, 285, 300}

(у1) Ь = 19 и у £ {100,120,125,128,144,150,180,192, 200, 225, 240, 250, 256, 288, 300, 360,375,384,400}, либо

(уН) Ь = 20 и у £ {120,150, 200, 202, 250, 300, 404}, либо

(уш) Ь = 25 и у £ {125,126,135,140,150,180,189, 210, 250, 252, 270, 300, 315, 350, 375, 378, 420, 450, 500, 525, 540}

(3) ¿(Г) > 3 и Ь £ {3, 5, 7}.

Следствие. Пусть Г — дистанционно регулярный граф диаметра 1 ^ 3, в котором окрестности вершин — псевдогеометрические графы для pGs-4(в,t). Тогда верно одно из утверждений:

(1) в = 8 Г

(2) в = 6, Ь = 1 и Г — половинный 8-куб;

(3) в = 5 и либо Ь = 1 ж Г — граф Джонсона /(12, 6) или его стандартное частное, либо Ь = 3 и Г — граф с массивом пересечений {96, 75,16,1; 1,16, 75, 96} на 644 вершинах.

2. Вполне регулярные локально псевдо pGs-4(в, ¿)-графы

Лемма 1. Пусть Г — псевдогеометрический граф для pGs-4(в,t), А — регулярный подграф степени (в — 4)(Ь + 1) на ш вершинах. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) «(вЬ — 4Ь + в — 8)/(вЬ + в — 4) ^ ш ^ (в — 3)^/(в + 1), если одно из этих нестрогих неравенств превращается в равенство, то любая вершина из Г — А смежна с 4(Ь +1) ш / (V — ш) вершинами из А;

(2) если X, — множество вершин из Г — А, смежных точно с I вершинами из А, ж, = |Х,|, то (2вЬ + 2в + Ь — 3)2ш ■ ж0 ^ (V — ш)(« — ж0)(Ь + 5)2;

(3) если ш = ж0, то 2(вЬ + Ь + в + 1)ж0 ^ «(Ь + 5).

< Ввиду [3] верны неравенства —(Ь + 1) ^ (в — 4)(Ь + 1) — 4(Ь + 1)ш/(« — ш) ^ 4. Отсюда «(вЬ — 4Ь + в — 8)/(вЬ + в — 4) ^ ш ^ (в — 3)«/(в + 1). Если одно из этих

Г—А

смежна точно с 4(Ь + 1)ш/(« — ш) вершинами из А.

По предложению 4.6.1 из [4] имеем ш-ж0 ^ (V — ш)(«—ж0)(Ь+5)2/(2в(Ь+ 1)—4+(Ь+1))2. Поэтому (2вЬ + 2в + Ь — 3)2ш ■ ж0 ^ (V — ш)(« — ж0)(Ь + 5)2.

Если ш = ж0, то (2вЬ + 2в + Ь — 3)ж0 ^ (V — ж0)(Ь + 5), поэтому (2вЬ + 2в + 2Ь + 2)ж0 ^ «(Ь + 5) >

Лемма 2. Если диаметр Г больше 3, то либо в = 5 ж Ь £ {3, 5, 7} либо в = 6 и Ь = 1.

< Пусть Г содержит геодезический 4-путь и, ш, ж, У ¿.Тогда в графе [ж] между [и] П [ж] и [ж] П [г] нет ребер п ввиду леммы 1 имеем — 4Ь + в — 8)/(вЬ + в — 4) ^ ш ^

+ 5)/(2вЬ + 2в + 2Ь + 2). Поэтому 2(вЬ + в + Ь + 1)(вЬ — 4Ь + в — 8) ^ (вЬ + в — 4)(Ь + 5). В случае в = 5 имеем 12(Ь+1)(Ь—3) ^ (5Ь+1)(Ь+5), поэтому Ь ^ 7. Ввиду предложения Ь £ {3, 5, 7}.

В случае в = 6 имеем 14(Ь + 1)2(Ь — 1) ^ 2(3Ь + 1)(Ь + 5), поэтому Ь ^ 2. Так как псевдогеометрический граф для pG2(6, 2) не является исключительным графом, то Ь = 1. В случае в = 7 имеем 16(Ь + 1)4Ь ^ 4(2Ь — 1)(Ь + 5), противоречие. > Лемма 3. Если диаметр Г равен 3, то либо в = 8 и Г — граф Тэйлора, либо 5 ^ в ^ 7.

< Если в = 8, то Г — граф Тэйлора.

Пусть в = 8. Тогда к = V7 = (в + 1)(1 + вЬ/(в — 4)), А = к' = в(Ь + 1) и 61 = 5вЬ/(в — 4). Ввиду леммы 1 имеем (в + 1)(1 + вЬ/(в — 4))(вЬ — 4Ь + в — 8)/(вЬ + в — 4) < 5вЬ/(в — 4), поэтому (в + 1)(вЬ — 4Ь + в — 8) < 5вЬ. Отсюда в ^ 7. Лемма, а вместе с ней и теорема 1 доказаны. >

3. Вполне регулярные локально псевдо GQ(5, ¿)-графы

Г

(V, к, А, у), в котором окрестности вершин — псевдогеометрические графы для GQ(5,t)

с параметрами (30Ь + 6, 5Ь + 5,4,Ь +1) и неглавными собственными значениями 4, —(Ь + 1).

Случай Ь = 3 рассмотрен в [5].

Лемма 4. Пусть и, т — вершины из Г с й(и, т) = 2. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) 6(Ь — 3) < у < 5(Ь + 1)(5Ь + 1)/(Ь + 3);

(2) если Хг — множество вершин из [т] — [и], смежных точно с í вершинами из [и] П [т], Хг = |Х*|, то Хо ■ у ^ (у' — Хо)(у' — у)(Ь + 5)2/(Ш + 7)2;

(3) если х0 = у, то у ^ (Ь + 5)(5Ь + 1)/(2Ь + 2).

< Ввиду леммы 1 верны неравенства — (Ь + 1) ^ (Ь +1) — 4(Ь + 1)у/(30Ь + 6 — у) ^ 4.

Отсюда 6(Ь — 3) ^ у ^ 5(Ь + 1)(5Ь + 1)/(Ь + 3). Если одно из этих нестрогих неравенств

превращается в равенство, то любая вершина из [т] — [и] П [т] смежна точно с 4(Ь + 1)у/(30Ь + 6 — у) вершинами из [и] П [т].

Имеем у ■ х0 ^ (у' — у)(у' — Х0)(Ь + 5)2/(10(Ь + 1) — 4 + (Ь + 1))2. Поэтому х0 ■ у ^ (у' — Х0 )(у' — у)(Ь + 5)2/(Ш + 7)2.

Если х0 = у, то (Ш + 7)у ^ (30Ь + 6 — у)(Ь + 5), поэтому у ^ (Ь + 5)(5Ь + 1)/(2Ь + 2) >

Лемма 5. Если Г — сильно регулярный локально псевдо GQ(5, Ь)-граф, то верно одно из утверждений:

(1) Ь = 3 и Г имеет параметры (322,96, 20, 32) или (697, 96, 20,12);

(2) Ь = 5 и Г имеет параметры (1782,156, 30,12) или (532,156, 30, 52);

(3) Ь = 7 и Г имеет параметры (1792, 216,40, 24);

(4) Ь = 20 Г (2107, 606, 105, 202)

< Пусть (у', к', А', у') — параметры псевдо GQ(5, Ь)-графа п Г имеет неглавные собственные значения п — ш, — ш. Тогда ш — 1 делит у' — к' — 1 = 25Ь. Далее, ш ^ Ь + 1, п — ш = 25Ь/(ш — 1) — 1 и п — ш ^ 4, поэтому ш — 1 ^ 5Ь.

В случае параметров (96, 20,4,4) число ш — 1 делит 75, поэтому ш — 1 = 5,15, соответственно п — ш = 14,4, Г имеет параметры (697, 96, 20,12) или (322, 96, 20,32) и заключение леммы выполняется.

(156, 30, 4, 6) ш — 1 125 ш — 1 = 5, 25

соответственно п — ш = 24,4 и Г имеет параметры (1782,156, 30,12) или (532,156, 30, 52) и заключение леммы выполняется.

В случае параметров (216,40,4, 8) числ о ш — 1 делит 175, поэтому ш — 1 = 5, 7, 25, 35, соответственно п — ш = 34, 24, 6,4, Г имеет параметры (у, 216,40,12), (у, 216,40, 24), (у, 216,40, 60) или (у, 216,40, 72). Во всех случаях, кроме второго, кратность п — ш не целая, поэтому заключение леммы выполняется.

В случае параметров (306, 55,4,11) числ о ш—1 делит 250, поэтому ш—1 = 5,10, 25, 50, соответственно п — ш = 49, 24, 9,4 и Г имеет параметры (у, 306, 55,12), (у, 306, 55,42), (у, 306, 55, 72) или (у, 306, 55,102). Так как у делит 306 ■ 250, то у = 12,102. В обоих п — ш

В случае параметров (450, 80,4,16) числ о ш — 1 делит 375, поэтому ш — 1 = 15, 25, 75, соответственно п — ш = 24,14,4, Г имеет параметры (у, 450, 80, 66), (у, 450, 80, 86) или (у, 450, 80,146). Противоречие с тем, что у не делит 450 ■ 375.

В случае параметров (576,100,4,20) числ о ш — 1 делит 19 ■ 25 = 475, поэтому ш — 1 = 19, 25, 95, соответственно п — ш = 24,18,4, Г имеет параметры (у, 576,100, 90), (у, 576,100,102) или (у, 576,100,186). Так как у делит 576 ■ 475, то у = 90, противоречие с тем, что кратность 24 равна 19 ■ 576 ■ 596/(44 ■ 90).

В случае параметров (606,105,4,21) числ о ш — 1 делит 500, поэтому ш — 1 = 20, 25, 50,100, соответственно п — ш = 24,19, 9,4, Г имеет параметры (у, 606,105,102), (у, 606,105,112), (у, 606,105,147) или (у, 606,105, 202). Так как у делит 606 ■ 500, то у = 202.

В случае параметров (756,130,4,26) число т — 1 делит 25 ■ 25 = 625, поэтому т — 1 = 25,125 соответственно п — т = 24,4, Г имеет параметры (V, 756,130,132) пли (V, 756,130, 252). Так как у делит 756 ■ 625, то у = 252, противоречие с тем, что кратность 4 равна 125 ■ 756 ■ 882/(130 ■ 252). >

Г2

дый у-подграф регулярен степени Ь + 1, поэтому в случае четного Ь параметр у четен.

Лемма 6. Если Ь = 3, то верны следующие утверждения:

(1) у £ {6, 8, 9,10,12,15,16,18, 20, 25,30, 32, 36,40, 45,48, 50}

(2) если диаметр Г больше 3, то у ^ 16.

< В случае параметров (96, 20,4,4) по лемме 6 имеем 0 < у < 20 ■ 16/6, поэтому 5 < у < 53. Так как у делит 96 ■ 75, то у £ {6, 8, 9,10,12,15,16,18, 20, 25, 30, 32, 36,40,45, 48, 50}

Если диаметр Г больше 3, то ввиду утверждения (3) леммы 6 имеем у ^ 8 ■ 16/8, поэтому у ^ 16 >

Аналогично доказываются следующие две леммы.

Лемма 7. Если Ь = 5, то верны следующие утверждения:

(1) у £ {13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50, 52, 60, 65, 75, 78};

(2) Г 3 у £ {13, 15, 20}

Лемма 8. Если Ь = 7, то верны следующие утверждения:

(1)у £ {25, 27, 28, 30, 35, 36,40,42,45, 50, 54, 56, 60, 63, 70, 72, 75, 84, 90,100,105,108,120, 126, 135, 140};

(2) Г 3 у £ {25, 27}

Лемма 9. Пусть Ь > 7. Тогда диаметр Г равен 3 и верны следующие утверждения:

(1) если Ь = 10, то у £ {50, 60, 68, 90,100,102,150,170,180, 204};

(2) если г = 15, то у £ {75,76, 90, 95,100,114,120,125,150,152,171,180,190,200,228, 250,285,300};

(3) еслиЬ = 19, то у £ {100,114,120,144,150,152,160,171,180,190,192, 200, 225, 228, 240, 250, 285,288, 300, 304, 320, 342, 360, 380, 400};

(4) если Ь = 20, то у £ {120,150, 200, 202, 250, 300,404};

(5) еслиЬ = 25, то у £ {125,126,135,140,150,180,189, 210, 250, 252, 270, 300, 315, 350, 375,378,420,450, 500, 525, 540}.

< Если Ь ^ 10, то нарушается неравенство 6(Ь — 3) ^ у ^ (Ь + 5)(5Ь + 1)/(2Ь + 2),

Г3

В случае параметров (306, 55,4,11) имеем 42 < у < 55 ■ 51/13, поэтому 42 < у < 216. Так как у делит 306 ■ 250, то у £ {50, 60, 68, 90,100,102,150,170,180, 204}.

В случае параметров (456,80,4,16) имеем 72 < у < 80 ■ 76/18, поэтому 72 < у < 338. Так как у делит 456 ■ 15 ■ 25, то у £ {75, 76, 90, 95,100,114,120,125,150,152, 171,180,190,200, 228, 250, 285,300}.

В случае параметров (576,100,4, 20) имеем 96 < у < 100-96/22, поэтому 96 < у < 437. Так как у делит 576 • 475, то у £ {100,114,120,144,150,152,160,171,180,190,192, 200, 225,228,240,250, 285, 288, 300,304,320, 342, 360,380,400}.

В случае параметров (606,105,4, 21) имеем 102 < у < 105 ■ 101/23, поэтому 102 < у < 461. Так как у делит 606 ■ 500, то у £ {120,150, 200, 202, 250, 300,404}.

В случае параметров (756,130,4, 26) имеем 132 < у < 130 ■ 126/28, поэтому 132 < у < 585. Так как у делит 756-625, то у £ {125,126,135,140,150,180,189, 210, 250, 252, 270, 300, 315,350,375,378,420, 450, 500, 525, 540}.

Лемма и теорема 2 доказаны. >

2. Дистанционно регулярные локально псевдо р^5_4(з, Ь)-графы

Г

й ^ 3, в котором окрестности вершин — псевдогеометрические графы для р^5_4(з,Ь). Пусть в0 > в1 > ... > в ^ — собственные значения шрафа Г. Зафиксируем вер шину и £ Г и положим кг = |Г^(и)|.

Лемма 10. Если й ^ 4, то верно одно из утверждений:

(1) з = 5 и Г — граф с массивом пересечений {96, 75,16,1; 1,16, 75, 96} на 644 вершинах;

(2) з = 6 Г 8

< Пусть диаметр Г больше 3 и и, т, х — геодезический путь в Г. В случае з = 6 по лемме 2 имеем Ь = 1 и 28у ^ 28 ■ 6, поэтому у = 6 и у-подграфы в Г — октаэдры. Далее, для вершины и £ Г граф А = [и] — треугольный граф Т(8). В этом случае Г —

8

Если з = 5, то по лемме 1 имеем Ь £ {3, 5, 7} и 6(Ь — 3) ^ у ^ 2(5Ь + 1).

В случае Ь = 3 имеем у ^ 32 и Г является локально псевдо GQ(5, 3)-графом. Ввиду теоремы из [7] выполняется заключение леммы.

В случае Ь = 5 имеем 12 ^ у ^ 52. Так как у делит 156 ■ 125, то у £ {13,15, 20, 21, 25, 26, 30, 39, 50} Ь1 = 125

неравенства —6 ^ Ь_ = —1 — Ь1/(в1 + 1), 4 ^ Ь+ = —1 — Ь1/(в^ + 1). Поэтому в1 ^ 24 и в^ ^ — 26. Компьютерные вычисления показывают, что в1 > 34, противоречие.

В случае Ь = 7 имеем 24 ^ у ^ 72 Так как ^даит 6 ■ 36 ■ 175, то у £ {25, 28, 30, 35, 36, 40,42,45,50,54,56,60,63, 70}. Далее, Ь1 = 175, по теореме Тервиллигера [8, теорема 4.4.3] выполняются неравенства —8 ^ Ь_ = — 1 — Ьх/(в1 + 1), 4 ^ Ь+ = — 1 — Ь1 /(в^ + 1)- Поэтому в1 ^ 24 и в^ ^ — 36. В любом случае имеем в1 > 44, противоречие. >

й = 3 з = 6 Г

< Пусть диаметр Г равен 3. Если з = 6, то то лемме 1 имеем 7(Ь — 1) < у < 3(3Ь + 1) и Ь £ {1, 5, 7, 9,10,15,16, 23, 25, 30, 37}. Далее, к = 7(1 + 3Ь), Ь1 = Ш, у делит 105Ь(1 + 3ь) и у-подграфы регулярны степени 2(Ь + 1). По теореме Тервиллигера [8, теорема 4.4.3] выполняются неравенства —(Ь + 1) ^ Ь_ = —1 — Ь1 /(в1 + 1), 4 ^ Ь+ = —1 — ^/(в^ + 1). Поэтому в1 ^ 14 и вЛ ^ — (3Ь + 1).

Если Ь = 1, то 5 ^ у ^ 12 В этом случае у £ {6, 7,10}. Пусть у = 6. Тогда Ь2 четно, к2 = 70 и сз делит 70Ь^. Пусть у = 7. Тогда Ь2 делится на 7, к2 = 60 и сз делит 60Ь2. Пусть у = 10. Тогд а Ь2 четно, к2 = 42 и сз дели т 42Ь2. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если Ь = 5, то 28 ^ у ^ 48. В этом слу чае у £ {30, 35,40,42} и в^ ^ —16. Пусть у = 30. Тогда Ь2 четно, к2 = 280 и сз делит 280Ь2- Пусть у = 35 Тогда Ь2 делится на 7, к2 = 240 сз 240Ь2 у = 40 Ь2 к2 = 210 сз

210Ь2 у = 42 Ь2 к2 = 200 сз 200Ь2

в1 > 15

Если Ь = 7, то 42 ^ у ^ 66 В этом случае у £ {49, 55}. Пусть у = 49. Тогда Ь2 к2 = 330 сз 330Ь2 у = 55 Ь2 к2 = 294

и сз делит 294Ь^. В любом случае в1 > 18, противоречие.

Если Ь = 9, то 56 ^ у ^ 84 В этом слу чае у £ {60, 63, 70}. Пусть у = 60. Тогд а Ь2 делится на 4, к2 = 441 и сз делит 441Ь^. Пуст ь у = 63. Тогд а Ь2 делится н а 7, к2 = 420 и сз делит 420Ь2- Пусть у = 70. Тогда Ь2 делится на 14, к2 = 378 и сз делит 378Ь2. В любом в1 > 18

Если Ь = 10, то 63 ^ у ^ 93. В этом случае у £ {70, 75} и 64 ^ — 31. Пусть у = 70. Тогда 62 делится на 7, к2 = 465, Сз делит 46562 и 61 > 14 Пусть у = 75. Тогда к2 = 434 и Сз делит 43462. В этом случае либо 61 > 14 либо 61 ^ 2. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если Ь = 15, то 98 ^ у ^ 138 В этом случае у £ {105,115} и 64 ^ —46. Пусть у = 105. Тогда 62 делится на 7, к2 = 690, Сз делит 69062 и 61 > 24. Пусть у = 115. Тогда

62 делится на 23, к2 = 630 и 61 > 34.

Если Ь = 16, то 105 ^ у ^ 147 В этом случае у £ {112,120,140} и 64 ^ —49. Пусть у = 112. Тогда 62 делится на 7, к2 = 735, Сз делит 73562 и 61 > 24. Пусть у = 120. Тогда к2 = 686 и Сз делит 68662. В этом случае либо 61 > 14 либо 61 ^ 2. Пусть у = 140. Тогда 62 делится на 7, к2 = 588, Сз делит 58862 и 61 > 17. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если Ь = 23, то 154 ^ у ^ 210. В этом случае у £ {161,175} и 64 ^ —70. Пусть у = 161. Тогда 62 делится на 7, к2 = 1050 и Сз делит 105062. В этом случае 61 > 28. Пусть у = 175. Тогда 62 делится на 3 5 и 61 > 49.

Если Ь = 25, то 168 ^ у ^ 228. В этом случае у £ {175,190, 210} и 64 ^ —76. Пусть у = 175. Тогда 62 делится на 7, к2 = 1140 и Сз делит 114062- В этом случае 61 > 28. Пусть у = 190. Тогд а 62 делится на 3 8 и 61 > 38. Пуст ь у = 210. Тогд а 62 делится на 14 61 > 28

Если Ь = 30, то 203 ^ у ^ 273. В этом случае у £ {175,190, 260} и 64 ^ —76. Пусть у = 175. Тогд а 62 делится на 7, к2 = 1140 и Сз дели т 114062- В этом случае 61 > 45. Пусть у = 190. Тогд а 62 делится на 3 8 и 61 > 70. Пуст ь у = 210. Тогд а 62 делится на 14 61 > 41

Если Ь = 37, то 252 < у < 336. В этом случае у £ {259, 280, 294, 296} и 64 ^ —112. Пусть у = 259. Тогда 62 делится на 7, к2 = 1680 и Сз делит 168062. В этом случае 61 > 32. Пусть у = 280. Тогда 62 делится на 56 и 61 > 75. Пусть у = 294. Тогда 62 делится на 98 и 61 > 92. Пусть у = 296. Тогда 62 делится на 8 и 61 > 25. >

Лемма 12. Если 1 = 3 и в = 7, то граф Г не является дистанционно регулярным.

< Пусть диаметр Г равен 3. Если в = 7, то по лемме 1 имеем 8(3Ь — 1)/3 ^ у < 4(7Ь/3 + 1) и Ь £ {9,15, 27, 30,51, 75}. Далее, к = 8(7Ь/3 + 1), 61 = 35Ь/3 + 1, у делит 8(7Ь/3+1)(35Ь/3+1) и у-подграфы регулярны степени 3(Ь + 1). По теореме Тервиллигера [8, теорема 4.4.3] выполняются неравенства —(Ь + 1) ^ 6- = —1 — 61/(61 + 1), 4 ^ 6+ = —1 — 61/(64 + 1). Поэтому 61 < (35Ь/3 + 1)/Ь — 1 и 64 ^ — ((35Ь/3 + 1)/5 + 1).

Если Ь = 9, то 70 ^ у < 88. В этом случае у делит 32 ■ 11 ■ 53, противоречие. Если Ь = 15, то 118 < у < 144. В этом случае у £ {128,132} 61 < 161/15 и 64 ^ —181/5. Пусть у = 128. Тогд а 62 делится н а 8, к2 = 396 и Сз дели т 39662. В этом слу чае 61 > 23. Пусть у = 132. Тогд а 62 делится на 3 и 61 > 14.

Если Ь = 27, то 214 ^ у < 256. В этом случае у делит 79 ■ 2048, противоречие. Если Ь = 30, то 238 ^ у < 287. В этом слу чае у делит 8 ■ 27 ■ 13 ■ 7} противоречие. Если Ь = 51, то 406 ^ у < 480. В этом слу чае у = 447, 61 ^ 545/51 и 64 ^ — 601/5 Дале е, 62 делится на 3, к2 = 1280 и Сз делит 128062. В этом слу чае 61 > 17.

Если Ь = 75, то 598 ^ у < 704. В этом случае у делит 512 ■ 11 ■ 219 противоречие. >

в=5

Лемма 13. Если 5 ^ Ь ^ 10 то граф Г не является дистанционно регулярным.

< Пусть Ь = 5. Тогда по теореме Тервиллигера [8, теорема 4.4.3] выполняются неравенства —4 ^ 6- = —1 — 61 /(61 + 1) 3 ^ 6+ = —1 — 61/(64 + 1). Поэтому 61 ^ 24 и

63 ^ —26.

Если у = 13, то Ь2 делится на 13 и в1 > 24, противоречие. Если у = 15, то Ь2 делится на 3 и либо в1 > 24, либо сз ^ 144. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если у = 20, то Ь2 делится на 4 и либо в1 > 24, либо сз ^ 138. В любом случае допустимых массивов пересечений нет. Если у = 25, при Ь2 = 18, сз = 148 имеем в1 > 24 и вз < —26, противоречие. Поэтому Ь2 ^ 17. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если у = 26, то Ь2 делится на 26 и либо в1 > 24, либо Ь2 = 26 и сз = 155,156. В любом случае допустимых массивов пересечений нет. Если у = 30, то Ь2 делится на 6 и либо в1 > 24, либ о сз ^ 136. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.

Если у = 39, то Ь2 делится на 39, противоречие. Если у = 50, то при Ь2 = 2, сз = 131 в1 > 24 вз < —26 у = 52 Ь2

Если у = 60, то Ь2 делится на 12 и при Ь2 = 12, сз = 130 имеем в1 > 24 и вз < —26, противоречие. Если у = 65, то Ь2 делится на 13 и при Ь2 = 13, сз = 130 имеем в1 > 24 и вз < —26, противоречие. Если у = 75, то Ь2 делится на 3 и при Ь2 = 3, сз = 130 имеем в1 > 24 вз < —26 у = 78 Ь2

Пусть Ь = 7. Тогда по теореме Тервиллигера выполняются неравенства в1 ^ 24 и вЛ > —36.

Если у = 25, то либ о в1 > 24, либо Ь1 = 1, сз = 216 и некоторое собственное значение имеет нецелую кратность, противоречие. Если у = 27, то Ь2 делится на 27 и в1 > 24 у = 28 в1 > 24 Ь1 = 4, сз = 216

собственное значение имеет нецелую кратность, противоречие. Если у = 30, то либо в1 > 24 Ь1 = 6, сз = 216 противоречие.

Если у = 35, то либ о в1 > 24, либ о сз ^ 195. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у £ {36,54,72,108} то Ь2 делится на у, противоречие. Если у £ {40,45, 60, 90,120,135}, то Ь2 делится на у/5 и допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у £ {42, 56, 63, 84,126}, то Ь2 делится на у/7 и допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 50, то Ь2 делится на 2 и либо в1 > 24, либ о сз ^ 194. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 70, то Ь2 делится на 2 и либо в1 > 24, либ о сз ^ 194. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Аналогично рассматриваются оставшиеся значения у £ {75,100,105,140}.

Пусть Ь = 10. Тогда по теореме Тервиллигера выполняются неравенства в1 ^ 24 и вЛ > —51.

Если у = 50, то либо в1 > 24, либо сз ^ 288. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 60, то Ь2 делится на 3 и либо в1 > 24, либо сз ^ 289. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 68, то Ь2 делится на 34 и в1 > 24, противоречие. Если у = 90, то Ь2 делится Ь2 = 9 сз = 289 в1 > 24 вз < —51 у = 100

Ь2 Ь2 = 2 сз = 280 в1 > 24 вз < —51

у = 102, то Ь2 делится на 51, противоречие.

Если у = 150, то Ь2 делится на 3 и при Ь2 = 3 сз = 280 имеем в1 > 24 и вз < —51, противоречие. Если у = 170, то Ь2 делится на 17 и при Ь2 = 3 сз = 280 имеем в1 > 24 и вз < —51, противоречие. Если у = 180, то Ь2 делится на 18 и при Ь2 =3 сз = 280 имеем в1 > 24 и вз < —51, противоречие. Если у = 204, то Ь2 делится на 102, противоречие. >

Лемма 14. Если 15 ^ Ь ^ 25, то граф Г не является дистанционно регулярным.

< Пусть Ь = 15. Тогда то теореме Тервиллигера выполняются неравенства 61 ^ 24 и 6Л > —76.

Если у = 75 то либо 61 > 24, либо 62 = 1, Сз = 456 и некоторое собственное значение имеет нецелую кратность, противоречие. Если у = 76, то 62 делится на 76, противоречие.

Если у = 90, то 62 делится на 6, либо 61 > 24, либ о 62 = 1, Сз = 456 и некоторое собственное значение имеет нецелую кратность, противоречие. Если у = 95, то 62 делится на 19 и 61 > 24. Есл и у = 100, то 62 делится на 4 и либо 61 > 24, либ о Сз ^ 443. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 114, то 62 делится на 38, противоречие. Если у = 120, то 62 делится на 8 и либо 61 > 24, либ о Сз ^ 444. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 125, то либо 61 > 24, либ о Сз ^ 434. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 150, то 62 делится на 2 и при 62 = 2, Сз = 433 имеем 61 > 24 и 6з < —76, противоречие. Аналогичное противоречие получится и для оставшихся у £ {152,171,180,190, 200,228, 250, 285, 300}.

Пусть Ь = 19. Тогда по теореме Тервиллигера выполняются неравенства 61 ^ 24 и 6Л > —96.

Если у = 100, то 62 делится на 4, а если у = 114, то 62 делится на 6. В любом случае 61 > 24, противоречие. Аналогичное противоречие получится при у £ {120,144, 160,180,192}.

Если у = 152, то 62 делится на 8, либо 61 > 24, либо Сз ^ 566. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 171, то 62 делится на 9, либо 61 > 24, либ о Сз ^ 564. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 190, то 62 делится на 2 и при 62 = 2, Сз = 554 имеем 61 > 24 и 6з < —96, противоречие. Аналогичное противоречие получится при оставшихся у £ {200, 225, 228, 240, 250, 285,288, 300, 304, 320, 342, 360, 380, 400}.

Пусть Ь = 20. Тогда по теореме Тервиллигера выполняют ся неравенства 61 ^ 24 и 6Л > —101.

Если у = 120, то 62 делится на 6 и 61 > 24, противоречие. Если у = 150, то 62 делится на 3 и либо 61 > 24, либо Сз ^ 589. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие.

Если у = 200, то 62 делится на 2 и при 62 = 2,Сз = 584 имеем 61 > 24 и 6з < —101, у £ {202, 404} 62 у = 250

62 = 1, Сз = 580 61 > 24 6з < —101 у = 300 62

62 = 3, Сз = 580 61 > 24 6з < —101

Пусть Ь = 25. Тогда по теореме Тервиллигера выполняют ся неравенства 61 ^ 24 и 64 ^ —126.

Если у = 125, то 61 > 24, противоречие. Если у не делится на 5, то 62 делится на у/4 у/2 или у, противоречие. Если у не делится на 25, то (62, у) делит 20 и 61 > 24,

противоречие.

Если у = 150, то 62 делится на 3 и либо 61 > 24, либ о Сз ^ 754. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 250, то либо 61 > 24, либо 62 = 1, Сз ^ 734. В любом случае допустимых массивов пересечений нет, противоречие. Если у = 300, то 62 делится на 3 и при 62 = 3 Сз = 734 имеем 61 > 24 и 6з < —126, противоречие. Аналогичное противоречие получится при оставшихся у £ {350, 375,450, 500, 525}. Лемма и следствие до казаны. >

Литература

1. Махнев А. А., Падучих Д. В. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 3 // Докл. АН.—2014.—Т. 457, № 4.—С. 447-449.

2. Махнев А. А. Сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 4 и их расширения // Изв. Гомельского гос. ун-та.—2014.—Т. 84.—С. 84-85.

3. Bromver А. Е., Haemers W. Н. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb.-1993.-Vol. 14.-P. 397-407.

4. Bromver A. E., Haemers W. H. Spectra of graphs (course notes).—http://www.win.tue.nl/ aeb/.

5. Махнев А. А., Падучих Д. В., Хамгокова М. М. Дистанционно регулярные локально псевдо GQ(5, 3)-графы // Докл. АН—2014—Т. 458, № 5.-С. 475-478.

6. Bromver А. Е., Cohen А. М., Neumaier A. Distance-regular graphs.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1989.

Статья поступила 17 октября 2014 г. Гутнова Алина Казвековна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: gutnovaalinaflgmail. com

Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отделом алгебры и топологии

РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev®imm.uran.ru

EXTENSIONS OF PSEUDO-GEOMETRIC GRAPHS OF THE PARTIAL GEOMETRIES pGs_4(s,t)

Gutnova A. K., Makhnev A. A.

Intersection arrays of distance-regular graphs the neighbourhoods of whose vertices are exceptional pseudo-geometric graphs of the partial geometries pOa-4(s,t) are obtained in this paper.

Key words: distance regular graphs, pseudo-geometric graph, eigenvalue of a graph.