CC BY
22
Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 2, С. 27-37
УДК 519.17
DOI 10.23671/VNC.2019.2.32115
О ДИСТАНЦИОННО РЕГУЛЯРНОМ ГРАФЕ С МАССИВОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ {35, 28, 6; 1, 2, 30}#
А. А. Махнев1'2, А. А. Токбаева3
1 Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Россия, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16; 2 Уральский федеральный университет, Россия, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19; 3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Вербекова, Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: makhnev0imm. uran. ru. [email protected]
Аннотация. Доказано, что для дистанционно регулярного графа Г диаметра 3 с собственным значением в2 = — 1 дополнительный граф для Г3 является псевдогеометрическим для pGC3 (k,b1/c2). Ванг и Кулен изучали дистанционно регулярные графы с массивами пересечений (t + 1)s,ts, (s + 1 — ф);1, 2, (t + 1)ф. При t = 4, s = 7 ф = 6 получим массив 35, 28, 6; 1, 2, 30. Дистанционно регулярный граф Г с массивом пересечений {35, 28, 6; 1, 2, 30} имеет спектр 351, 9168, — I182, —5273, v = 1 + 35 + 490 + 98 = 624 вершин, и Гз является псевдогеометрическим графом для pG3о(35,14). Ввиду границы Дельсарта порядок клики в Г не больше 8. Доказано, что либо окрест-Г
вершины в Г те содержит 7-клик и является связным графом. Изучено строение группы G автоморфизмов графа Г с массивом пересечений {35, 28, 6; 1, 2, 30}. В частности, n(G) С {2, 3, 5, 7,13} и
Г
Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, клика Дельсарта, геометрический граф. Mathematical Subject Classification (2010): 20D45.
Образец цитирования: Махнев А. А., Токбаева А. А. О дистанционно регулярном графе с массивом пересечений {35, 28, 6; 1, 2, 30} // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 2.—С. 27-37. DOI: 10.23671/VNC.2019.2.32115.
1. Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b — вершины графа Г т0 чеРез d(a, b) обозначается расстояние между а и b, а через Гг(о) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии г в Г от вершины а. Подграф Г1 (а) называется окрестностью вершины а и обозначается через [а].
Если вершины u, w находятся та расстоянии г в Г т0 чеРез bi(u,w) (через Ci(u, w)) обозначим число вершин в пересечении ri+i(u) (в пересечении ri-i(u))
# Работа выполнена при поддержке соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.А03.21.0006. © 2019 Махнев А. А., Токбаева А. А.
с [эд]. Граф диаметра й называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {Ъ0,..., Ъа-\] в\,..., е^], если значения Ъ^и, и вг(и, -ш) не зависят от выбора вершин и, и> на расстоянии г (см. [1]). Положим а = к — Ъ — в^ и к = |Г(и)| (значение к не зависит от выбора вершины и). Пусть Г — граф диаметра й, 2 ^ г ^ й. Тогда граф Г имеет то же множество вершин, что и Г, и вершины и, и> смежны в Г тогда и только тогда, когда
Гг
Порядок клики в дистанционно регулярном графе степени к, имеющем наименьшее собственное значение — ш, не больше 1 + к/т. Клика К с 1 + к/т вершинами называется кликой Дельсарта. Дистанционно регулярный граф называется геометрическим, если он содержит такое семейство Б клик Дельсарта, что каждое ребро графа содержится в единственной клике из Б.
Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется частичным, пространством прямых, если любые две точки лежат не более чем на одной прямой.
Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется а-частичной геометрией порядка, (в, Ь), если каждая прямая содержит в + 1 точку, каждая точка лежит на Ь +1 прямой (прямые пересекаются не более, чем в одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой Ь, найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих Ь (обозначение pGa(в,t)).
Точечным, графом, геометрии точек и прямых называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой. Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(в,t) сильно регулярен с параметрами: V = (в + 1)(1 + вЬ/а), к = в(Ь + 1), Л = (в — 1) + (а — 1)Ь, ц = а(Ь+1). Сильно регулярный граф, имеющий вышеуказанные параметры, называется псевдогеометрическим графом для pGa(в,t).
Пусть Г — дистанционно регулярны й граф с в2 = 2, Д — окрестность вер шины а в Г. Тогда любые две несмежные вершины из Д имеют в Д не более одного общего соседа, поэтому любое ребро из Д лежит в единственной максимальной клике из Д и Д — граф коллинеарности частичного пространства прямых, имеющий обхват по крайней мере 5. Далее, Д — регулярный граф степени а^ на к вершинах. Броувер и Ноймайер [2; теорема 1.1] получили следующее утверждение.
Предложение 1.1. Связное частичное пространство прямых обхвата по крайней мере 5, имеющего более чем одну прямую, в котором каждая точка имеет Л соседей, содержит к ^ Л(Л + 3)/2 точек. Равенство выполняется только в случае к = 5 Л = 2.
Дистанционно регулярный граф Г с месивом пересечений {35, 28, 6;1, 2, 30] имеет спектр 351, 9168, —I182, —5273, V = 1 + 35 + 490 + 98 = 624 вершин, и Гз является псевдогеометрическим графом для pGзo(35,14). Ввиду границы Дельсарта порядок клики в Г не больше 8.
Г
сивом персечений {35, 28, 6; 1, 2, 30]. В [3] изучается класс графов G(в,t,ф) с массивом пересечений {(Ь + 1)в, (Ь — 1)(в + 1 — ф); 1, 2, (Ь +1)^} (наш массив получается при Ь = 4,
в = 7 Ф = 6).
2. Доказательство теоремы 2.1
Г
чений {35, 28, 6; 1, 2, 30]. Тогда либо Г — геометрический граф, либо окрестность любой вершины в Г не содержит 7-клик и является связным графом.
В этом параграфе предполагается, что дистанционно регулярный граф Г имеет массив пересечений {35, 28, 6; 1, 2, 30}, и окрестность вершины а в графе Г не является объединением пяти изолированных 7-клик. Так как а1 = 6, с2 = 2, то Д = [а] является регулярным графом степени 6 на 35 вершинах. Максимальную клику С из Д с |С| = г назовем ¿-прямой. Фиксируем вершину Ь € Д и пусть число ¿-прямых, проходящих через Ь, равно Хг.
Ь
(1) Х2 = 4, Х3 = !и |Д2(Ь)| =28;
(2) Х2 = 3, Х4 = 1 я |Д2(Ь)| =24;
(3) Х2 = 2, хз = 2 я |Д2(Ь)| =26;
(4) Х2 = 2, Х5 = 1 я |Д2(Ь)| = 18;
(5) Х2 = 1, Хз = Х4 = 1 я |Д2(Ь)| = 22;
(6) Х2 = 1, Х6 = 1 я |Д2(ь)| = 10;
(7) Х2 = 0, хз = 3 я |Д2(ь)| = 24;
(8) Х2 = 0, хз = Х5 = 1 я |Д2(Ь)| = 16;
(9) Х2 = 0 Х4 = 2 и |Д2(Ь)| = 18;
(10) Х2 = 0 Х7 = 1и |Д2(Ь)| = 0.
< Если Х2 = 6, то |Д2(Ь) | = 30, противоречие. Если х2 = 4, то х3 = 1 и |Д2(Ь)| = 28.
Если х2 = 3, то х4 = 1 и |Д2(Ь)| = 24.
Если х2 = 2, то либо х3 = 2 и |Д2(Ь)| = 26 либо х5 = 1 и |Д2(Ь)| = 20. Если х2 = 1, то либо х3 = х4 = 1 и |Д2(Ь)| = 22, либо х6 = 1 и |Д2(Ь)| = 10. Если х2 = 0 т0 либо х3 = 3 и |Д2(Ь)| = 24, либо х3 = х5 = 1 и |Д2(Ь)| = 16, либо х4 = 2 и |Д2(Ь)| = 18 либ о х7 = 1 и |Д2(Ь)| =0 >
Лемма 2.2. Пусть уг — число вершин, лежащих на (г)-прямых из Д, г € {1, 2,..., 10}, — число $-прямых в Д, $ € {2, 3,..., 6}. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) У1 + У2 + ... + У10 = 35;
(2) гб = Уб/6 н г5 = (у4 + Уз)/5;
(3) 24 = (У2 + У5 + 2Уд)/4 И г3 = (У1 + 2У3 + У5 + 3У7)/3;
(4) 22 = (4У1 + 2У3 + 2У4 + У5 + Уб)/2.
< Все утверждения леммы следуют из леммы 2.1. >
У6 У5
У2
Лемма 2.3. Пусть К является кликой в Д и |К| = ¿. Тогда выполняются следующие у тв ерждения:
(1) ¿ = 6, Д 6 К коклику;
(2) ¿ = 5, Д 5 К, из разных пар не смежны.
< Пуст ь г = 6. Тогда Д содержит 6 вершин, смежных с верши нами из К. Если две
Д
Пусть г = 5. Тогда Д содержит 5 пар верши, смежных с вершинами из К. Если
Д
речие. >
У10 = 0
< Допустим, что Ъ лежит та 7-прямой К. Ввиду предложения 1.1 граф Д0 = Д — К связен, поэтому ую = 7 Далее, для любой вершины в € Д0 имеем | Д2(в) | ^ 21, поэтому У1 = У2 = уз = 0 и У5 = У7 = 0. По лемме 2.2 пол учим у 4 + уе + уз + У9 = 28 ¿6 = Ув/6, ¿5 = (у4 + уз)/5, ¿3 = 0 ¿4 = уд/2 и ¿2 = (2у4 + уб)/2.
Если Д0 содержит максимальную 5-клику Ь, то ввиду леммы 2.1 и равенства ¿з = 0 Д0 5 Ь
10-коклику, противоречие с предложением 1.1, примененным к Д0. Значит, у4 = уз = 0. Противоречие с тем, что
Д0
является несвязным графом с компонентами, индуцированными вершинами типа уб и уд. >
Из лемм 2.1-2.4 следует теорема 2.1.
Г
{35, 28, 6; 1, 2, 30] Г
либо окрестность любой вершины является вполне регулярным графом с параметрами (35, 6,1,1).
< Пусть G = Аи^Г) и а — вершина графа Г. Тогда Ga действует транзитавно на [а].
Пусть Д = [а] не является объединением изолированных 7-клик и у^ — число вершин
типа (г) из Д. Тогда у% = 35 для некоторого г.
По лемме 2.2 имеем ¿6 = уб/6, ¿5 = (у4 + уз)/5, ¿4 = (у2 + у5 + 2уд)/4, ¿з = (уг +2уз + у5 + 3у7)/3 и ¿2 = (4у1 + 2уз + 2у4 + у5 + уб)/2.
Если г = 1, то ¿4 = ¿5 = ¿6 = 0 и ¿з = 35/3, противоречие.
Если г = 2, то ¿5 = ¿6 = 0 и ¿4 = 35/4, противоречие.
Если г = 3, то ¿4 = ¿5 = ¿6 = 0 и ¿з = 70/3, противоречие.
Если г = 4, то ¿з = ¿4 = ¿6 = 0 ¿5 = 7 и х2 = 35 В этом случае имеем разбиение Д семью 5-кликами. Пусть К является 5-кликой из Д. Тогда вершины из К имеют 10 соседей вне К. Две из этих 10 вершин попадают в 5-клику Кпротиворечие с тем, что К и К' содержит четырехугольник, противоречие.
Если г = 5, то ¿5 = ¿6 = 0 и ¿4 = 35/4, противоречие.
Если г = 6, то ¿6 = 35/6, противоречие.
Если г = 7, то ¿з = 35 и = 0 да я г = 3. В этом случае Д является вполне регулярным графом с параметрами (35,6,1,1).
Если г = 8, то ¿2 = ¿з = ¿4 = ¿6 = 0 и ¿5 = 7 Снова имеем разбиение Д семью 5-кликами, противоречие как и выше.
Если г = 9, то ¿4 = 70/4, противоречие. >
{35, 28, 6; 1, 2, 30]
Г
ченпй {35, 28, 6; 1, 2, 30} G = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из G и О = Пх(д). Тогда п^) С {2, 3, 5, 7,13] и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) о _ пустой граф, либо р = 2, аз(д) = 40в + 24 и аг(д) = 8в — 4 + 28Ь, либо р = 3, аз(д) = 601 + 24 и аг(д) = 42Ь + 121 + 24, либо р = 13, аз(д) = 260в + 104 и аг(д) = 52в + 26 + 182Ь;
(2) О является п-кликой, либо р = 7, п = 1,8, аз(д) = 1401 + 104 — 6п, аг(д) = 98Ь + 40 — 5п, либо р = 2, п € {2,4,6], аз(д) = 104 + 40в — 6п и аг(д) = 8в + 40 — 5п + 28Ь;
(3) О является ш-кокликой, ш > 1, вершины из О находятся на расстоянии 3 в Г и либор = 5, ш € {4, 9,14], аз(д) = — 6т + 100в + 44 и аг(д) = —5т + 20в + 70Ь, либо р = 7, т € {8,15], аз(д) = —6т + 140в — 36 и аг(д) = —5т + 28в + 98Ь + 12;
(4) Q содержит ребро и является объединением по крайней мере двух изолированных клик, p = 2 и |Q| ^ 18;
(5) Q содержит геодезический 2-путь и p ^ 5.
В этом параграфе будем предполагать, что Г является дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {35, 28, 6; 1, 2, 30} и G = Aut(r).
Лемма 3.1. Граф Гз является сильно регулярным с параметрами (624, 98, 22,14) и Г имеет следующие ненулевые числа пересечений:
(1) ph = 6, p2i = 28, pi2 = 378, р1з = 84, р^з = 14;
(2) p2i = 2, р22 = 27, р2з = 6, р22 = 384, р2з = 78, р2з = 14;
(3) рз2 = 30, рз2 = 390, рзз = 5, р2з = 70 и рзз = 22.
< Напомним, что для вершин u, w, находящихся на расстоянии l, через pj обозначается число вершин z с d(u, z) = in d(z,w) = ./.Заметим, что p22 = a2, p^ = аз. По лемме 4.1.7 из [1] получим
pi¿-1 = c¿kí/k) pii = a¿k¿/k) pii+i = bi
p¿-22 = Ci-lCi/^ pl+12 = bi-lbi/^ pf-ii+i = kiCibi/(fcbl),
p'-1 = bi-i(ai + ai-i - ai)/^ pi+1 = Ci+i(ai + ai+i - ai)/u.
Имеем a1 =6 a2 = 29 и aз = 5. Далее, k1 = 35 k2 = 490 и йз = 98. Поэтому pii = bi = 28 и pi2 = сзйз/k = 84.
Аналогично pi1 = a1 = 6, p22 = a2k2/k = 378 и p^ = a^/k = 14. Далее, pf2 = сз = 30 P2з = b2 = 6, p22 = p^fe + aз - ai)/u = 390 и p22 = + a2 -a1)/^ = 78 Поэтому p3з = 20 - p2з - p132 = 14.
Снова по лемме 4.1.7 из [1] получим p22 = (p21b1 + p22(a2 - a1)+ p23c3 -p^bo)/^ = 384, p2з = 70 и p3з = 22.
Теперь граф Гз является сильно регулярным с параметрами (624, 98, 22,14) > Доказательство теоремы 3.1 опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами дистанционно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [4]. При этом графу Г диаметра d на n вершинах отвечает симметричная схема отношений (X, R) с d классами, где X — множество вершин графа, Ro — отношение равенства на X, и для i ^ 1 класс Ri состоит из пар (u, w) таких, что d(u, w) = i. Для u € Г положим ki = ^(u). Классу Ri отвечает граф Г на множестве вершин X, в котором вершины u, w смежны, если (u, w) € Ri. Пусть Ai — матрица смежности графа Г i для i > 0и Ao = I — единичная матрица. Тогда AiAj = ^ pj A¿ для чисел пересечений pj.
Пусть Pi — матрица, в которой на месте (j, l) стойт pj. Тогда собственные значения k = pi(0),..., pi (d) матрицы Pi являются собственными значениями графа Г кратностей m0 = 1,..., m¿. Матрицы P и Q, v которых на месте (i,j) стоят pj(i) и qj(i) = mjpi(j)/ni соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством PQ = QP = |X|/, где I — единичная матрица порядка d + 1. Пусть uj и wj — левый и правый собственные векторы матрицы Pi, отвечающие собственному значению pi(j) и имеюпще первую координату 1. Тогда wj являются столбцами матрицы P и mj uj являются строками м атрицы Q [4, теорема 17.12].
Подстановочное представление группы G = Аи^Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ^группы G в GL(v, C). Пространство Cv является ортогональной прямой суммой собственных подпространств Wo,..., Wd матрицы смежности Ai граф а Г Для любого g € G матрица ^(g) перестановоч на с Ai, поэтому подпространство Wi является ^^^инвариантным. Пусть Xi — характер представления Тогда [4, §3.7] для g € G получим Xi (g) = v-1 Xj=0 Qj aj (g) где aj (g) _ число точек x из X таких, что d(x,xg) = j. Заметим, что значения характеров являются
целыми алгебраическими числами, и если правая часть выражения для Хг(д) — число рациональное, то \г(д) _ целое число.
Лемма 3.2. Пусть д € ^ Хг — характер проекции представления ф па подпространство размерности 168, Х2 — характер проекции предетавлепия ф на подпространство размерности 182. Тогда хг(д) = (19а0(д) + 5аг(д) — аз(д) — 96)/70,
Х2(д) = (6а0(д) + аз(д) — 104)/20, и числа хг(д) — 168 Х2(д) — 182 делятся на р, ес-др
< Имеем
д =
1 1 1 1
168 216 -48 -72
-
5 35 7
-26 -26
182 26
5 5
^273 39 —117
—39 У 7 /
Поэтому Хг(д) = (245а0 (д) + 63аг(д) — 2а2(д) — 15аз (д))/910. Подставляя а2(д) = 624 — а0(д) — аг(д) — аз(д), получим хг(д) = (19а0(д) + 5аг(д) — аз(д) — 96)/70.
Аналогично, х2(д) = (35а0(д)—аг(д)—а2(д) + 5аз(д))/120. Подставляя аг(д)+а2(д) = 624 — а0(д) — аз(д), получим х2(д) = (6а0(д) + аз(д) — 104)/20.
Последнее утверждение следует из [5, лемма 2]. >
Выберем вершину а € Г и положим к = |Г^(а)|. Тогда ^2 = 490 и кз = 98. Пусть д — элемент простого порядка ^ из ^ и О = Е1х(д). По [6, теорема 3.2] имеем |О| < 624 ■ 22/84 = 163.
Лемма 3.3. Выполняются следующие утверждения:
(1) если О — пустой граф, то либо р = 2, аз(д) = 408 + 24 и аг(д) =88 — 4 + 28*, либо р = 3 аз(д) = 601 + 24 и аг(д) = 42^ + 121 + 24, либо р = 13 аз(д) = 2608 + 104 и аг(д) = 52в + 26 + 182*;
(2) если О является п-кликой, то либо р = 7, п = 1, 8 аз(д) = 1401 + 104 — 6п, аг(д) = 98* + 40 — 5п, либо р = 2 п € {2,4,6] аз(д) = 104 + 408 — 6п и аг(д) = 8в + 40 — 5п + 28*;
(3) если О является т-кокликой, т > 1, то р = 5 т € {4, 9,14] аз(д) = —6т + 1008 + 44 и аг(д) = —5т + 20в + 70* или р = 7 т € {8,15] аз(д) = —6т + 1408 — 36 и аг(д) = —5т + 28в + 98* + 12;
(4) О р = 2 и |О| < 18.
< Пусть О — пустой граф. Так как V = 16 ■ 39, то р равно 2, 3 или 13.
В случае р = 2 число х2(д) = (аз(д) — 104)/20 четно и аз(д) = 408 + 24. Далее, число Хг(д) = (аг(д) — 8в — 24)/14 четно, поэтому аг(д) =88 — 4 + 28*.
В случае р = 3 числ о х2(д) = (аз(д) — 104)/20 сравнимо с 2 по модулю 3 и аз(д) = 601 + 24. Далее, Хг(д) = (5аг(д) — (601 + 24) — 96)/70 = (аг(д) — 121 — 24)/14, поэтому аг(д) = 42* + 121 + 24.
В случае р = 13 числ о х2(д) = (аз(д) — 104)/20 делится на 13 и аз(д) = 260в + 104. Далее, число Хг(д) = (аг(д) — 52в — 40)/14 сравнимо с —1 по модулю 13, поэтому аг(д) = 52в + 26 + 182*.
Пусть О является п-кликой. Если п = 1, то р делит 35 и 98, поэтому р = 7. Если п > 1, то для двух вершин а, Ъ € О элемент д действует без неподвижных точек на [а] П [Ъ] — О и на [а] — Ъ^. Отсюда р делит 8 — п и 28, поэтому либо р = 7 и п = 8 либо р = 2 и п € {2, 4, 6, 8].
Если p = 7, то x2(g) = (6n + аз (g) — 104)/20 и a3(g) = 1401 + 104 — 6n, число Xi (g) = (19n + 5ai(g) — (1401 + 104 — 6n) — 96)/70 = (ai (g) — 40 + 5n)/14 делится на 7, поэтому a1(g) = 98t + 40 — 5n.
Если p = 2, то число x2(g) = (6n + a3(g) — 104)/20 четно, и a3(g) = 104 + 40s — 6n, число xi (g) = (19n + 5a1(g) — (104 + 40s — 6n) — 96)/70 = (5n + a1(g) — 8s — 40)/14 четно, поэтому a1(g) = 8s + 40 — 5n + 28t.
Пусть Q является m-кокликой, m > 1. Если две вершины a, b € Q находятся на расстоянии 2, то g действует без неподвижных точек на [a] П [b] и на [a], поэтому p делит 2 и 35, противоречие. Значит, любые две вершины из Q находятся на расстоянии 3, и p делит 35 и 99 — m, поэтому p € {5, 7}. Заметим, что порядок клики в Гз не больше 17.
В случае p = 5 имеем m € {4, 9,14}. Число X2(g) = (6m + a3(g) — 104)/20 сравнимо с 2 по модулю 5 и a3(g) = —6m + 100s + 44. Далее, чиело x1(g) = (19m + 5a1(g) — (—6m + 100s + 44) — 96)/70 = (5m + a1(g) — 20s — 28)/14 сравнимо с 3 по модулю 5, поэтому a1(g) = —5m + 20s + 70t.
В случае p = ^eм m € {8,15}. Число x2(g) = (6m + a3(g) — 104)/20 делится на 7 и a3(g) = —6m+140s — 36. Далее, число x1 (g) = (19m + 5a1(g) —(—6m + 140s — 36) — 96)/70 = (5m + a1(g) — 28s — 12)/14 делится та 7, поэтому a1(g) = —5m + 28s + 98t + 12.
Пусть Q содержит ребро и является объединением изолированных клик. Так как p^1 = 28, то p = 2, 7. Если вершины из разных клик графа Q находятся на расстоянии 3
Г p312 = 30 p = 2 p133 = 5
максимальных клик в Q равны 2, 4 ми 6. Наконец, p33 = 14, поэтому |Q| ^ 18.
Пусть Q содержит две вер шины a, b на расстояни и 2, [a] П [b] = {u, u9}. Тогд а p = 2 и Q(a) содержит нечетное число вершин из r2(b) и четное число вершин из r3(b). Если Q(a) содержит две вершины c, d из r3(b), то [с] П [u] = {a, e} = [c] П [u9] для некоторой вершины e € Q, а степень b в Q не больше 5. В этом случае |Q| ^ 18.
Если же Q( a) не пересекает r3(b) и Q(b) та пересекает r3(a), то [u] П [u9] содержит не более 6 вершин из Q. Для тершины c € Q(a) — [u] подграф [c] П [u] содержит две вершины из Q и [с] П [b] = {w,w9}. Поэтому |Q(a) — [u]| ^ 4, степени вершин a,b в Q не больше 5 и снова |Q| ^ 18.
(1) p11 = 6 p21 = 28 p22 = 378 p23 = 84, p33 = 14;
(2) p?1 = 2 p?2 = 27 p23 = 6 p22 = 384 p23 = 78 p23 = 14;
(3) p?2 = 30 p32 = 390, p33 = 5 p23 = 70 и p33 = 22 >
Лемма 3.4. Если [a] С Q для некоторой вершины a, то для любой вершины u € r2(a) — Q орбита, u^ является кликой или кокликой, p ^ 3 и в случае a± = Q либо p = 3, a3(g) = 601 — 72 и a1(g) = 42t + 121 — 132, либо p = 2, a3(g) =401 + 8 и a1(g) = 28t + 81 — 116.
< ^тст ь [a] С Q для некоторой вер шины a. Тогда для любой вершины u € ^(a) — Q орбита u^ не содержит геодезических 2-путей и является кликой или кокликой. В любом
[a] П [u] b, c € [a] П [u]
[b] П [с] содержит a и p вершин из vS9\ поэтому p ^ 5.
В случае p = 5 подграф u^ является кликой, иначе [b] П [с] является 6-кокликой, противоречие с леммой 2.1. Теперь граф А = [b] содержит максимальную 6-клику K = u^ U {c} A(ugi) — K содержит единственную вершину di и по лемме 2.3 подграф {d1,..., d5} является кокликой. Отсюда di € Q и {d1,..., d5} ^^дается (g)-op6nToft, противоречие. Итак, p ^ 3.
Пусть a± = Q. Тогда ao(g) = 36 В етучае p = 3 ^тало x2(g) = (216 + a3(g) — 104)/20 сравнимо с 2 по модулю 3 и a3(g) = 601 — 72. Далее, x1(g) = (132 + a1(g) — 121)/14 и a1(g) = 42t + 121 — 132.
В случае р = 2 число х2(д) = (216 + а3(д) — 104)/20 четно и а3(д) = 401 + 8. Далее, число х1(д) = (116 + а1(д) — 81) /14 четно и а1(д) = 28^ + 81 — 116 >
Лемма 3.5. Если О содержит геодезический 2-путь Ь, а, С то р ^ 5.
< Пусть О содержит геодезический 2-иуть Ь, а, с. Если р > 7, то [а] С О, противоречие с леммой 3.4.
Пусть р = 7. Тогда д фиксирует то 6 вершин из [а] П [Ь], [а] П [с] и вторую вершину е из [Ь] П [с]. Если [а] не является объединением пяти изолированных 7-клик, то ввиду теоремы 2.1 имеем [а] С О, противоречие с леммой 3.4. Значит [а] является объединением пяти изолированных 7-клик. Аналогично каждый из графов [е], [Ь], [с] является объеди-
ДО
регулярный граф с параметрами (-и', 7в, 6, 2). Если О не является связным графом, то степень графа Д не больше 5, противоречие. Итак, Д = О |П| ^ 163, поэтому в = 2.
Если О — сильно регулярный граф, то О является 8 х 8-решеткой, число ребер между О и Г — О равно 64 ■ 21 противоречие. Значит, можно считать, что О содержит вершину е
Г3(а) О
{14, 7, 6;1, 2, 8}, противоречие. >
Теорема 3.1 доказана.
4. Доказательство следствия
Следствие 1. Пусть дистанционно регулярный граф с массивом персечений {35, 28, 6; 1, 2, 30} являетсяреберно симметричным. Тогда группа С = Аи^Г) разрешима.
Г
станцпонно регулярным графом с массивом пересечений {35, 28, 6;1, 2, 30} С = Аи^Г) и а Ь — смежные вершины графа Г. Тогд а Са действует транзита вно на [а], |С : Са| = 624 и |Са : Са,ь| =35. По теореме 2.1 имеем |С| = 2а3в577й13.
Лемма 4.1. Если / — элемент порядка 13 из С, д — элемент простого порядка р ^ 7 из Сс(/) и О = Е1х(д), то р ^ 3 и О — пустой граф или О содержит геодезический 2-путь.
< Пусть / — элемент порядка 13 из С д — элемент простого порядка р ^ 7 из Сс(/) и О = Пх(д).
Если О — пустой граф, то по теореме 3.1 либо р = 2, а3(д) = 40в + 24 и а1(д) = 8в — 4 + 28*, либо р = 3, а3(д) = 601 + 24 и а1(д) = 42^ + 121 + 24. Так как числа аг(д) делятся на 13, то либо р = 2, а3(д) = 624 или а3(д) = 104, а1(д) = 208, либо р = 3, а3(д) = 624.
Если О — непустой граф, то |О| = 13е, по теореме 3.1 О содержит геодезический 2-путь и р ^ 5.
Если р = 5, то е — 3 делится на 5, число х2(д) = (78е + а3(д) — 104)/20 сравнимо с 2 по модулю 5, а3(д) = 100в + 144 — 78е и в + 3 делится та 13. Отсюда в = 10 е = 8 и а3(д) = 1144 — 624 = 520. В этом случае а1(д) = 0 Х1(д) = (1976 — 616)/70 = 136/7, противоречие.
Если р = 3, то е делится на 3, е ^ 12 число х2(д) = (78е + а3(д) — 104)/20 сравнимо с 2 по модулю 3, а3(д) = 60в + 144 — 78е и 5в — 1 делится на 13. Отсюда либо в = 8 и а3(д) = 624 — 78е, либо в = 21 и а3(д) = 1404 — 78е. В первом случае х1(д) = (19 ■ 13е + 5а1 (д) — (624 — 78е) — 96)/70 = (13 ■ 104 + 5а1 (д) + 78е — 96)/70 = (1256 + 5а1 (д) + 78е)/70. Отсюда 3е + 1 делится на 5 и е = 3,8. Если е = 3, то х1(д) = (258 + а1(д))/14 и а1(д) = 6(7* — 43). Если е = 8, то х1(д) = (376 + а1(д))/14 и а1(д) = 42* + 2.
Во втором случае %i(g) = (19 ■ 104 + 5a1 (g) - (1404 - 78e) - 96)/70 = (13 ■ 104 + 5a1 (g) + 78e — 96)/70 = (1256 + 5a1 (g) + 78e)/70. Отсюда 3e +1 делится на 5 и e = 3,8. Если e = 3, то X1(g) = (258 + a1(g))/14 и a1(g) = 6(7t - 43). Если e = 8, то %1(g) = (376 + a1(g))/14 и 01(g) = 42t + 2 и 01(g) = 42t + 121 + 24. Так как чиела Oi(g) делятся на 13, то либо p = 2, a3(g) = 624 или 03(g) = 104, a1(g) = 208, либо p = 3, 03(g) = 624 — пустой граф, то, противоречие с леммой 2.4. Значит, [а] является объединением пяти изолированных 7-клик. Аналогично каждый из графов [e], [b], [c] является объединением пяти изолированных 7-клик. Отсюда связная компонента Д графа О — вполне регулярный граф с параметрами (v', 7s, 6, 2). Если О не является связным графом, то степень графа Д не больше 5, противоречие. Итак, Д = О, |О| ^ 163, поэтому s = 2.
Если О — сильно регулярный граф, то О является 8 х 8-решеткой, число ребер между О и Г - О равно 64 ■ 21 противоречие. Значит, можно считать, что О содержит вершину e из Гз(а). В этом случае О — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {14, 7, 6; 1, 2, 8}, противоречие. >
Лемма 4.2. Группа G разрешима.
< Если G — неразрешимая группа, Т — цоколь группы G = G/S(G), то ввиду леммы 4.1 число 13 делит \Т\. По [7, таблица 1] группа Т изоморфна Sz(8), ¿2(64), Г/4(5), L3(9), PSp6(3), PQ7(3), G2(4), Sp4(8), PQ+(3). *
Так как T содержит подгруппу индекса, делящего 64 ■ 39, то с помощью Атласа получим Т = [/4(5), (8).
Если Т изоморфна группе [/4(5) порядка 2734567 • 13, то Та — максимальная 5-локальная подгруппа, изоморфная либо расширению группы порядка 55 с помощью расширения группы SU2(5) посредством группы порядка 24, либо расширению группы порядка 54 с помощью расширения группы SL2(25) посредством группы порядка 4, противоречие.
Если T изоморфна группе Sp4 (8) порядка 212345-7213, то максимальные 2-локальные подгруппы имеют индекс, кратный 5, подгруппы O-(8), Sz(8) и Sp2(64).2 имеют индекс, не кратный 13, Sp4(2).3 имеет индекс, кратный 7, ¿2(8), O+(8) имеют индекс, кратный 5, противоречие. >
Из леммы 4.2 получаем следствие 1.
Литература
1. Brouwer А. Е., Cohen А. М., Neumaier A. Distance-Regular Graphs.—Berlin-Heidelberg-N. Y.: Springer-Verlag.-1989. DOI: 10.1007/978-3-642-74341-2.
2. Brouwer A. E., Neumaier A. A remark on partial linear spaces with girth 5 with an application to strongly regular graphs // Combinatorica.-1988.-Vol. 8.-P. 57-61. DOI: 10.1007/BF02122552.
3. Bang S., Koolen J. H. On geometric distance-regular graphs with diameter three // European J. Combin.—2014.—Vol. 36.-P. 331-341. DOI: 10.1016/j.ejc.2013.06.044.
4. Cameron P. J. Permutation Groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.—(London Math. Soc. Student Texts, № 45). DOI: 10.1017/CB09780511623677.
5. Gavrilyuk A. L., Makhnev A. A. On automorphisms of distance-regular graphs with intersection array {56,45,1; 1,9,56} // Doklady Mathematics.-2010.-Vol. 81, № 3.-P. 439-442. DOI: 10.1134/S1064562410030282.
6. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math.— 2011.—Vol. 311—P. 132-144. DOI: 10.1016/j.disc.2010.10.005
7. Zavarnitsine A. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electr. Math. Reports.—2009.—Vol. 6.—P. 1-12.
Статья поступила 19 февраля 2019 г. Махнев Александр Алексеевич
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, за в. отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;
Уральский федеральный университет,
профессор кафедры алгебры и топологии
РОССИЯ, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
E-mail: makhnev0imm.uran. ru
https: //orcid. org/0000-0003-2868-6713
Токбаева Альбина Аниуаровна
Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Вербекова, старший преподаватель кафедры алгебры и диф. уравнений РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173 E-mail: [email protected]
Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 2, P. 27-37
ON A DISTANCE-REGULAR GRAPH WITH AN INTERSECTION ARRAY {35, 28, 6; 1, 2, 30}
Makhnev, A. A.1'2 and Tokbaeva, A. A.3
1 N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, 16 S. Kovalevskaja St., Ekaterinburg 620990, Russia;
Ural Federal University, 19 Mira St., 620002 Ekaterinburg, Russia;
3 Kh. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevsky St., Nalchik 360004, Russia E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. It is proved that for a distance-regular graph r of diameter 3 with eigenvalue 62 = —1 the complement graph of r3 is pseudo-geometric for pGc3 (k, bi/ca). Bang and Koolen investigated distance-regular graphs with intersection arrays (t + 1)s, ts, (s + 1 — 1, 2, (t + 1)^. If t = 4, s = 7 ^ = 6 then we have array 35, 28, 6; 1, 2, 30. Distance-regular graph r with intersection array {35, 28, 6; 1, 2, 30} has spectrum of 351, 9168, — I182, — 5273, v = 1 + 35 + 490 + 98 = 624 vertices and 1^3 is a pseudogeometric graph for pG3o(35,14). Due to the border of Delsarte, the order of clicks in r is not more than 8. It is also proved that either a neighborhood of any vertex in r is the union of an isolated 7-click, or the neighborhood of any vertex in r does not contain a 7-click and is a connected graph. The structure of the group G of automorphisms of a graph r with an intersection array {35, 28, 6;1, 2, 30} has been studied. In particular, n(G) C {2, 3, 5, 7,13} and the edge symmetric graph r has a solvable group automorphisms.
Key words: distance-regular graph, Delsarte clique, geometric graph.
Mathematical Subject Classification (2000): 20D05.
For citation: Makhnev, A. A. and Tokbaeva, A. A. On a Distance-Regular Graph with an Intersection {35, 28, 6; 1, 2, 30} 10.23671/VNC.2019.2.32115.
References
1. Brouwer, A. E., Cohen, A. M. and Neurnaier, A. Distance-Regular Graphs, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1989. DOI: 10.1007/978-3-642-74341-2.
2. Brouwer, A. E. and Neurnaier, A. A Remark on Partial Linear Spaces with Girth 5 with an Application to Strongly Regular Graphs, Combinatorica, 1988, vol. 8, pp. 57-61. DOI: 10.1007/BF02122552.
3. Bang, S. and Koolen, J. H. On Geometric Distance-Regular Graphs with Diameter Three, European J. Combin., 2014, vol. 36, pp. 331-341. DOI: 10.1016/j.ejc.2013.06.044.
4. Cameron, P. J. Permutation Groups, London Math. Soe. Student Texts, no. 45, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1999. DOI: 10.1017/CB09780511623677.
5. Gavrilyuk, A. L. and Makhnev, A. A. On Automorphisms of Distance-Regular Graphs with Intersection Array {56, 45,1; 1, 9, 56}, Doklady Mathematics, 2010, vol. 81, no. 3, pp. 439-442. DOI: 10.1134/S1064562410030282.
6. Behbahani, M. and Lam, C. Strongly Regular Graphs with Nontrivial Automorphisms, Discrete Math,., 2011, vol. 311, pp. 132-144. DOI: 10.1016/j.disc.2010.10.005.
7. Zavarnitsine, A. V. Finite Simple Groups with Narrow Prime Spectrum, Siberian Electr. Math. Reports, 2009, vol. 6, pp. 1-12.
Received February 19, 2019 Alexander A. Makhnev
N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,
16 S. Kovalevskaja St., Ekaterinburg 620990, Russia,
Head of Departement of Algebra and Topology-
Ural Federal University,
19 Mira St., 620002 Ekaterinburg, Russia,
Professor of the Department of Algebra and Topology
E-mail: makhnev®imm. uran. ru
https://orcid.org/0000-0003-2868-6713
Albina A. Tokbaeva
Kh. M. Berbekov Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevsky St., Nalchik 360004, Russia,
Senior Lecturer of the Department of Algebra and Differential Equations E-mail: [email protected]
