CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 59-69
УДК 519.17+512.54
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (320,99,18,36)1
А. А. Махнев, А. М. Кагазежева
Псевдогеометрический граф для р02 (5, 32) имеет сильно регулярные подграфы — окрестность вершины (псевдогеометрический граф для GQ (4, 8)) и вторую окрестность вершины (граф с параметрами (320, 99, 18, 36)). В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (320, 99, 18, 36).
Ключевые слова: сильно регулярный граф, автоморфизм.
Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а графа Г через Г^(а) обозначим подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии % от а. Подграф [а] = Г1(а) называется окрестностью вершины а. Для подмножества вершин Б графа Г через Г(5) обозначим Паея([а] - Б).
Через ка обозначим степень вершины а, т. е. число вершин в [а]. Граф Г называется регулярным степени к, если ка = к для любой вершины а из Г. Граф Г называется сильно регулярным с параметрами (у, к, А,^), если Г — регулярный граф степени к на у вершинах, в котором каждое ребро лежит точно в А треугольниках и для любых двух несмежных вершин а, Ь верно равенство | [а] П [Ь] | =
Через Ктхп обозначим полный двудольный граф с т долями порядка п. Граф на множестве пар X х У называется р х ц-решеткой,, если |Х| = р, |У| = ц, а пары (ж1,у1) и (х2, у2) смежны тогда и только тогда, когда х1 = х2 или у1 = у2.
Пусть Г — псевдогеометрический граф для рС2(5, 32), а — вершина графа Г. Тогда Г имеет собственные значения к = 165, г = 3, в = -33 и достигается равенство во втором условии Крейна
(в + 1)(к + в + 2гв) ^ (к + в)(г + 1)2.
Поэтому [а] является сильно регулярным графом с параметрами (165, 36, 3, 9) (псевдогеометрический граф для GQ(4, 8)), и Г2(а) — сильно регулярный граф с параметрами (320,99,18,36) (см. [1, теорема 8.15]). В работе найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (320, 99,18, 36).
© 2013 Махнев А. А., Кагазежева А. М.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проекты № 12-01-00012, № 12-01-91155-ГФЕН.
Теорема 1. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36), С = Аи^С), д — элемент простого порядка р из С, П = Их(д). Тогда п(С) С {2, 3, 5, 7,11} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) П — пустой граф, р = 5 и а1(д) £ {0,120} или р = 2 и а1(д) £ {0,48, 96,144,192, 240, 288};
(2) П является одновершинным графом, р = 11 и а1(д) = 66;
(3) П является т-кокликой, р = 3, т = 34 + 2, 3 ^ 4 ^ 14 и а1(д) — 9т — 6 делится
(4) П — объединение I изолированных ребер, 2 ^ I ^ 29, р = 2 и а1(д) — 61 делится
(5) р = 11 и либо
(1) |П| =67 и а1 (д) = 33, либо (п) |П| = 78 и а1(д) = 66, либо (ш) |П| = 89 и а1 (д) = 99;
(6) р = 7 и либо
ф П = К3х4 и а1(д) £ {84, 252}, либо
(п) |П| = 7^ + 5, 2 ^ в ^ 10, а1 (д) = 21г и в — г + 3 делится на 8, либо (ш) |П| = 96 и а1 (д) = 0;
(7) р = 5 и либо
(i) |П| = 90, а1(д) = 90, на Г — П имеются 36 пятиугольных (д)-орбит и 10 кокликовых;
(п) |П| = 85, а1 (д) = 15, на Г — П имеются 6 пятиугольных (д)-орбит и 41 кокли-
ковая;
(ш) |П| = 80, а1(д) £ {0,120}, на Г — П имеются 48 пятиугольных (д)-орбит или 48 кокликовых;
(гу) |П| = 5в, 3 < в < 15, а1 (д) = 120г + 15в, г £ {—2, —1, 0,1, 2};
(8) р = 3, |П| =34 + 2, П не содержит вершин степени |П| — 2 и либо
(1) П является объединением двух изолированных вершин и Кз,з-подграфа, а1 (д) делится на 72, либо
(и) |П| = 80 или |П| = 140 и а1 (д) = 0, либо
(ш) |П| =34 + 2, 3 < 4 < 25, а1 (д) = 72в + 94 + 54 и в £ {—3, — 2,..., 4};
(9) р = 2 и либо
(г) П — куб и а1(д)/24 — нечетное натуральное число, либо
(и) а1(д) = 0, |П| = 16в, в £ {1, 2,... , 9}, либо
(ш) а1(д) = 0, |П| =24, 5 < 4 < 70 и а1(д) = 48г + 64.
В этом параграфе приведены некоторые вспомогательные результаты. Лемма 1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (V, к, А, А — индуцированный подграф с N вершинами, М ребрами и степенями вершин ,..., йн. Тогда
на 72;
на 48;
1. Предварительные результаты
(V — N) — (Ш — 2М) + АМ + ^
и
где Хг — число вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А.
< Подсчитав число вершин в Г — А, число ребер между А и Г — А и число 2-путей с концами в А и средней вершиной в Г — А, получим равенства V — N = £ х*, А^ — 2М = £ гХг и АМ + ^ ® — М) — £¡=1 (*) = £ (2)х*.
Вычитая второе равенство из суммы первого и третьего, получим равенство из заключения леммы.
Квадратный трехчлен £ (г — х)2хг = £ г2хг — 2х £ гхг + х2 £ хг неотрицателен. Поэтому дискриминант квадратного трехчлена (£ гхг)2 — £ хг £ г2хг неположителен. >
Лемма 2 [2, лемма 2]. Пусть Г является сильно регулярным графом с целыми собственными значениями, д — автоморфизм графа Г простого порядка р, и х — характер проекции мономиального представления на подпространство размерности т собственных векторов матрицы смежности графа, отвечающих неглавному собственному значению. Тогда аг(д) = аг(д1) для любого I, не кратного р и т — х(д), делится на р.
Лемма 3. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99, 18, 36) . Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) порядок коклики в Г не больше 44 и порядок клики в Г не больше 4;
(2) если Г содержит регулярный подграф А степени б на V вершинах, то —21 ^ б — (99 — б)ад/(320 — ад) ^ 3, причем в случае равенства каждая вершина из Г — А смежна точно с (99 — б)ад/(320 — ад) вершинами из А;
(3) значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ Аи^Г) равно х2(д) = (3а0(д) — а1(д))/24 + 4, и 44 — х2(д) делится на р.
< Ввиду границы Цветковича [3] порядок коклики в Г не больше 44. Ввиду границы Хофмана для клик порядок клики в Г не больше 5. Пусть Ь является 5-кликой из Г, X* — множество вершин из Г — Ь, смежных точно с г вершинами из Ь, х* = |Х*|. Тогда £хг = 315, £ гхг = 475, £ (2)хг = 150, поэтому х0 + £ (г-1)хг = —10, противоречие.
Если Г содержит регулярный подграф А степени б на V вершинах, то по лемме 1.2 из [4] имеем —21 < б — (99 — б)ад/(320 — ад) < 3.
По лемме 2.6 из [4] значение характера, полученного при проектировании мономиального представления на подпространство размерности 44, на элементе д £ А^(Г) равно Х2(д) = (3а0(д) — а1(д))/24 + 4. По лемме 2 число 44 — х2(д) делится на р. >
Лемма 4. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36), и — трехвершинный подграф из Г, У* — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у* = | У* |. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) для двух вершин и, V подграф Г2(и) П Г2(ад) содержит 156 вершин, если и, V не смежны; 140 вершин, если и, V смежны;
(2) число уо + уз равно 128, если и является кокликой; равно 77, если и является кликой;
(3) число уо + Уз равно 95, если и является 2-путем; равно 112, если и — объединение изолированной вершины и ребра.
< Для двух несмежных вершин и, V граф Г содержит 36 вершин из [и] П [ад], по 63 вершины из [и] — [ад], [ад] — [и] и 156 вершин из Г2(и) П Г2(и»). Для смежных вершин и, V граф Г содержит 18 вершин из [и] П [ад], по 80 вершин из [и] — V±, [ад] — и± и 140 вершин из Г2 (и) П Г2 (и»).
Если и является 3-кокликой, то Г содержит 3(36 — уз) вершин из У2, 3(27+уз) вершин из У и 128 — уз вершин из У0, поэтому уо + уз = 128. Аналогично доказывается, что у0 + уз = 77, если и является кликой.
Если и является геодезическим 2-путем П1П2из, то У2 содержит 35 — уз вершин из [и1 ] П [и3] и по 18 — у3 вершин из [и1 ] П [и2], [и2] П [и3], У1 содержит 61 + у3 вершин из [и2] и по 45 + у3 вершин из [и1 ], [и3], У0 содержит 95 — у3 вершин, поэтому у0 + у3 = 95.
Если и объединение изолированной вершины и1 и ребра {и2,и3}, то У2 содержит 18 — у3 вершин из [и2] П [и3] и по 36 — у3 вершин из [и1] П [и2], [и1 ] П [и3], У1 содержит 27 + у3 вершин из [и1 ] и по 44 + у3 вершин из [и2], [и3], У0 содержит 112 — у3 вершин, поэтому у0 + у3 = 112. >
2. Автоморфизмы графа с параметрами (320, 99,18, 36)
До конца работы будем предполагать, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36). Пусть д — автоморфизм простого порядка р графа Г и П = Нх(д).
Лемма 5. Выполняются следующие утверждения:
(1) если П — пустой граф, то либо р = 5 и а1 (д) £ {0,120}, либо р = 2 и а1(д) £ {0,48, 96,144,192, 240, 288};
(2) если П является п-кликой, то п = 1, р =11 и а1 (д) = 66;
(3) если П является т-кокликой, т ^ 2, то р = 3, т = 3^+2, 3 ^ £ ^ 14 и а1(д)—9т—6 делится на 72;
(4) если П — объединение I ^ 2 изолированных клик, но П не является кокликой, то р = 2, П является объединением изолированных ребер, I ^ 29 и а1 (д) — 61 делится на 48.
< Пусть П — пустой граф. Тогда р £ {2, 5}. Если р = 5, то по целочисленности х2(д) число а1 (д) делится на 24. Но в случае а1 (д) = 240 на Г возникает кликовая (д) орбита длины 5, противоречие с леммой 3.
Если р = 2, то число 44 — х2(д) = 40 + а1 (д)/24 четно, поэтому а1(д) делится на 48. Утверждение (1) доказано.
Пусть X» — множество вершин из Г —П, смежных точно с г вершинами из П, х» = |Х»|.
Пусть П является п-кликой. Тогда п ^ 4. Если п = 1, то р делит 99 и 220, поэтому р = 11. По целочисленности х2(д) число а1 (д) — 3 делится на 24, поэтому а1 (д) = 99.
Если п ^ 2, то р делит 80 и 140, поэтому р £ {2, 5}. Но в случае р = 5 число 18 — (п — 2) делится на 5, противоречие. Поэтому р = 2 и п £ {2,4}. Так как каждая вершина из Г — П смежна с четным числом вершин из П, то п = 4. Отсюда хо + Х2 + Х4 = 316, х2 + 2х4 = 192 и х2 + 6х4 = 96, противоречие. Утверждение (2) доказано.
Пусть П является т-кокликой, т ^ 2. Тогда р делит 36 и 63, поэтому р = 3 и т = 3£ + 2. По целочисленности х2(д) число а1(д) — 9т — 6 делится на 24, поэтому а1(д) = 24г + 9т + 6, х2(д) = г + 4. По лемме 3 число 44 — х2(д) = г делится на 3. Утверждение (3) доказано.
Пусть П содержит ребро и является объединением I изолированных клик, I ^ 2. Тогда р делит 80 и 36, поэтому р = 2. Если П содержит изолированную вершину, то р делит 99, противоречие. Пусть П содержит изолированную 4-клику У» — множество вершин из Г — смежных точно с г вершинами из у» = |У»|. Тогда уо + у2 = 316, 2у2 =4 ■ 96 = 384, у2 = 6 ■ 16 = 96, противоречие. Итак, П является объединением I изолированных ребер, и по лемме 3 имеем I ^ 29. По целочисленности Х2(д) число а1(д) — 61 делится на 24, поэтому а1(д) = 24г + 61, х2(д) = —г + 4. По лемме 3 число 44 — х2 (д) = 40 + г четно. >
В леммах 6-8 предполагается, что П содержит геодезический 2-путь Ьас.
Лемма 6. Выполняются следующие утверждения:
(1) Г не содержит собственных сильно регулярных подграфов с А = 18,^ = 36 и |П| не больше 156 (не больше 140, если а1 (д) = 0);
(2) если р > 2 и |П| > 95, то а1 (д) = 0;
(3) если а1 (д) = 0, то а0(д) делится на 8, а по лемме 3 число 40 — а0(д)/8 делится на р;
(4) для любой вершины а £ П подграф [а] не содержится в П.
< Пусть Г содержит собственный сильно регулярный подграф А с параметрами (у', к', 18, 36). Тогда 4(к' — 36) + 182 = п2 для некоторого натурального числа п. Отсюда п £ {18, 20, 22} и к' £ {36, 55, 76} соответственно. Но в последнем случае 36 не делит к'(к' — 19), а во втором А имеет собственные значения 1, —19 и кратность 1 равна 18 ■ 55 ■ 74/(20 ■ 36), противоречие. Значит, п = 18 и А = К2Х1в, получили противоречие с леммой 3. Теперь утверждение (1) следует из леммы 4.
Пусть и — трехвершинный подграф из и^, У — множество вершин из Г — и, смежных точно с г вершинами из и, у» = |У |. Из леммы 4 следует, что |П| ^ 95, если и^ содержит геодезический 2-путь, и |П| ^ 77, если и^ содержит 3-клику. В случае |П| > 95 подграф и^ не содержит геодезических 2-путей и является кокликой. Утверждение (2) доказано.
Пусть а1 (д) = 0. Тогда по целочисленности х2 (д) число а0 (д) делится на 8, а по лемме 3 число 40 — а0(д)/8 делится на р. Утверждение (3) доказано.
Пусть для некоторой вершины а £ П имеем [а] С П. Тогда для и £ Г — П получим |[и] П П| =36 и и^ является кокликой, поэтому а1 (д) = 0, и по утверждению (3) имеем |П| ^ 104. Теперь для Ь £ П — а± подграф [Ь] не пересекает Г — П, поэтому [и] П [Ь] содержится в П и совпадает с [а] П [и] = [а] П [Ь]. Противоречие с тем, что любые две вершины из [и] П (Г — П) смежны с и и с 36 вершинами из [а] П [Ь]. >
Лемма 7. Если р ^ 3, то |П| ^ тах{95,131 — р}. Далее, р ^ 17.
< Если р > 36, то П — сильно регулярный подграф с параметрами (у',к', 18, 36), противоречие с леммой 6. Если р > 17, то П — подграф с Ап = 18.
Пусть р ^ 3. Если |П| > 95, то по лемме 6 любая орбита и^ является кокликой. Поэтому для любой 3-коклики и из и^ подграф Х0 (и) и Х3(и) содержит П и р — 3 вершин из и^ — и. Значит, |П| ^ 128 — (р — 3).
Пусть р = 31. Тогда степень вершины в графе П равна 37 или 68, |П| £ {72,103} и ^п £ {5, 36}. Если |П| = 72, то П — регулярный граф степени 37 (иначе П содержит по крайней мере 2 вершины а,Ь степени 68 и |П(а) и П(Ь)| > 72). В этом случае П — сильно регулярный граф с параметрами (72, 37,18, 36), получили противоречие. Значит, |П| = 103. По целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 делится на 24, — противоречие.
Пусть р = 29. Тогда степень вершины в графе П равна 41 или 70, |П| £ {59, 88} и ^п £ {7, 36}. Если |П| = 59, то П — регулярный граф степени 41, получили противоречие. Значит, |П| = 88. По целочисленности Х2(д) число а1(д) делится на 24, противоречие.
Пусть р = 23. Тогда степень вершины в графе П равна 30, 53 или 76, |П| £ {44, 67, 90} и ^п £ {13,36}. Если |П| = 44, то П — сильно регулярный граф с параметрами (44, 30,18,13), получили противоречие с тем, что 13 не делит 30 ■ 11. Если |П| = 67, то П — регулярный граф степени 30 и число ребер между П(а) и П — а^ равно 30 ■ 11, но не меньше 36 ■ 13, — противоречие. Значит, |П| = 90. По целочисленности Х2(д) число а1(д) — 6 делится на 24, — противоречие.
Пусть р = 19. Тогда степень вершины в графе П равна 23, 42, 61 или 80, |П| £
{54, 73, 92} и £ {17, 36}. Если |П| = 54, то по целочисленности х2(д) число а1(д) — 6 делится на 24, получили противоречие.
Если |П| = 92, то по целочисленности Х2(д) число а1 (д) — 12 делится на 24, поэтому а1 (д) = 228. Противоречие с тем, что каждая (д)-орбита длины 19 является кликой.
Пусть |П| = 73. Тогда степень каждой вершины в П равна 23 или 42. Допустим, что П содержит вершину а степени 23. Тогда число ребер между П(а) и П — а^ не больше 23-23+18-17, но не меньше 49-17, — противоречие. Значит, П — регулярный граф степени 42 на 73 вершинах. Тогда число ребер между П(а) и П — а± равно 23■ 42 = 36х+17(30—х). Отсюда х = 24 и П — а^ содержит 6 вершин степени 25. Для двух смежных вершин б, е степени 25 в П — а^ подграф П(б) П [е] содержит не менее 20 вершин из П — а^, — противоречие. >
Лемма 8. Верно неравенство р = 17.
< Пусть р = 17. Тогда степень вершины в графе П равна 14, 31, 48, 65 или 82, |П| £ {31,48, 65, 82}, Ап £ {1,18} и £ {2,19, 36}.
Если |П| = 31, то П — сильно регулярный граф с параметрами (31,14,1, 2), получили противоречие с тем, что 31 ■ 14 ■ 1 не делится на 3.
Если |П| = 48, то по целочисленности Х2(д) число а1(д) делится на 24, — противоречие.
Если |П| = 65, то по целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 делится на 24, поэтому а1(д) = 51. Далее, степень вершины в П равна 14, 31 или 48. Допустим, что П содержит вершину а степени 14. Тогда число ребер между П(а) и П — а^ равно 50, но не меньше 14■ 12, — противоречие. Значит, П содержит вершину а степени 48. Тогда любая вершина из П(а) имеет степень 31 в П, и число ребер между П(а) и П — а^ равно 48 ■ 12, но не больше 16 ■ 36. Поэтому степень каждой вершины из П — а^ в П равна 48, получили противоречие.
Если |П| = 82, то по целочисленности Х2(д) число а1(д) — 6 делится на 24, поэтому а1(д) = 102. Далее, степень вершины в П равна 31, 48 или 65. Допустим, что П содержит вершину а степени 65. Тогда любая вершина из П(а) имеет степень 31 в П, и число ребер между П(а) и П — а^ равно 65 ■ 12, но не больше 16 ■ 36, — противоречие.
Если П — регулярный граф степени 31 на 82 вершинах, то ввиду леммы 3 имеем 31 — 68 ■ 82/238 ^ 3, получили противоречие.
Значит, П содержит вершину а степени 48. Пусть П — а^ содержит вершину е, смежную точно с двумя вершинами из П(а). Тогда [е] содержит 29 вершин из П — аи для Ь £ П(а) П [е] подграф П(Ь) П [е] содержит 0 или 1 вершину из [а] и от 9 до 12 вершин из П — а^, — противоречие.
Пусть По подграф из П, индуцированный вершинами, имеющими степень 48 в П, А = По (а), В = По — а^, Ао — множество вершин из П(а), смежных с 29 вершинами из П — а^, Во — множество вершин из П — а^, смежных с 36 вершинами из П(а). Тогда Ао и Во являются кокликами и число ребер между П(а) и П — а^ равно 29х + 12(48 — х) = 36у + 19(33 — у), поэтому х = у + 3. Если с, б — две вершины из А, то П(с) П [б] содержит от 25 до 29 вершин из П — а^, поэтому А = Ао и П(а) — регулярный граф степени 18, содержащий х вершин из По.
Покажем, что если |П(а) П [е]| = 19 для е £ П — а^, то степень е в П равна 31. В противном случае П содержит 19 вершин из [а] П [е], по 29 вершин из [а] — [е], [е] — [а] и 3 вершины /1, /2, /з вне а^ и е^. Ясно, что [а] П [е] состоит из вершин степени 31 в П. Пусть П(е) содержит ] вершин Ьх,..., Ь^ из В. Без ограничения общности ] ^ х. Противоречие с тем, что х = у + 3.
Итак, По содержит у + 3 вершин из [а] и у вершин вне а^, получили противоречие с тем, что По (с) содержит у + 2 вершин для с £ П0 (а). >
Лемма 9. Число р не равно 13.
< Пусть р = 13. Тогда степень вершины в графе П равна 21, 34, 47, 60, 73 или 86, |П| £ {34,47, 60, 73, 86,112}, Ап £ {5,18} и ^п £ {10, 23, 36}.
Если |П| = 34, то П — сильно регулярный граф с параметрами (34, 21,18,10), противоречие.
Пусть |П| = 47. Тогда степень вершины в П равна 21 или 34. По целочисленности Х2 (д) число а1 (д) + 3 делится на 24, поэтому а1(д) = 117. Если П содержит вершину а степени 21, то число ребер между П(а) и П — а^ равно 250 = 15х + 2(21 — х), поэтому х = 16. Пусть С1,..., С5 — вершины из П(а), смежные с парами вершин из П—а^. Так как Г не содержит 5-клик, то можно считать, что вершины С1, С2 не смежны, — противоречие с тем, что [с1 ] П [с2] содержит не менее 17 вершин из П(а). Значит, П — регулярный граф степени 34, поэтому П — сильно регулярный граф с параметрами (47, 34,18, 23), получили противоречие.
Если |П| = 60, то по целочисленности Х2(д) число а1 (д) — 12 делится на 24, поэтому а1(д) = 156. Далее, степень вершины в П равна 21, 34 или 47. Если П содержит вершину а степени 47, то число ребер между П(а) и П—а± равно 94 = 36х+23у+10(12—х—у), — противоречие. Если П содержит вершину а степени 21, то число ребер между П(а) и П — а± равно 380 = 28х + 15у + 2(21 — х — у), поэтому 2х + у = 26 и 21 — х — у = х — 5. Так как П(а) содержит х вершин степени 5, то х четно. В случае х ^ 9 противоречие получается как и в предыдущем абзаце. Значит, х ^ 8, П(а) содержит 13 вершин степени 18, поэтому П(а) содержит 4-клику, получили противоречие. Значит, П — регулярный граф степени 34, и число ребер между П(а) и П — а^ равно 34 ■ 15 = 23х + 10(25 — х), поэтому х = 20 и П — а^ содержит 5 вершин степени 24, образующих клику, — противоречие.
Если |П| = 73, то |Г — П| = 13 ■ 19, по целочисленности Х2(д) число а1 (д) — 3 делится на 24, поэтому а1 (д) = 195. Для любой четверки индексов ¿1,... ,¿4 £ {1, 2,..., 6} найдутся три (д)-орбиты длины 13, в которых вершина и смежна с и° для ] £ {¿1,... ,¿4}. Ввиду леммы 1.5 из [5] каждая такая орбита содержит 4-клику и не попадает в окрестность никакой вершины из П. Так как число четверок в {1, 2,..., 6} равно 15, то 45 орбит вида и^ не попадают в окрестность никакой вершины из П. Противоречие с тем, что число (д)-орбит длины 13 равно 19.
Если |П| = 86, то по целочисленности Х2(д) число а1 (д) + 6 делится на 24, поэтому а1(д) = 306, — противоречие.
Если |П| = 112, то |Г — П| = 13 ■ 16 и а1 (д) = 0. Пусть и является 3-кокликой из и^. Тогда Х0(и) и Х3(и) содержит 112 вершин из П, 10 вершин из и^ и еще 6 вершин. Пусть т £ Г — (П и ). Если т смежна не более чем с 2 вершинами из и^, то Хо(и) содержит не менее 7 вершин из т^. Если т смежна точно с 3 вершинами из и^, то для и = [т] П и^ подграф Хо(и) и Х3 (и) содержит 7 вершин из т^. В обоих случаях имеем противоречие.
Допустим, что т смежна точно с 4 вершинами из и^. Тогда Хо(и) содержит вершину из т^. Поэтому для по крайней мере 9 орбит т ^ вершина т смежна по крайней мере с 5 вершинами из и^. Таким образом, число 3-лап с концевыми вершинами в и^ и центральной вершиной в Г — (и^ и П) не меньше 4 ■ 13 ■ 6 + 10 ■ 13 ■ 9 = 13 ■ 114. Число троек вершин в и^ равно 13 ■ 22, поэтому некоторая 3-коклика и из и^ попадает в окрестности 6 вершин из Г — (и^ и П). Противоречие с тем, что Хо (и) содержит вершину из Г — и П).
Теперь каждая вершина из Г— (и'»' иП) смежна по крайней мере с 5 вершинами из и'»', число 3-лап с концевыми вершинами в и'»' и центральной вершиной в Г — (и'»' и П) не меньше 10 ■ 13 ■ 15. Противоречие с тем, что некоторая 3-коклика и из и'»' попадает в окрестности по крайней мере 7 вершин из Г — (и'»' и П). >
Лемма 10. Если р = 11, то верно одно из утверждений:
(1) |П| =67 и а1(д) =33;
(2) |П| = 78 и а1(д) =66;
(3) |П| = 89 и а1(д) = 99.
< Пусть р = 11. Тогда степень вершины в графе П равна 114, 4 £ {2, 3,..., 8}, |П| £ {34,45, 56, 67, 78, 89}, Ап £ {7,18} и £ {3,14, 25, 36}. Заметим, что П не содержит вершин степени |П| — 1. Если П содержит вершину а степени |П| — 12, то П — а^ — регулярный граф степени 8 на 11 вершинах. Противоречие с тем, что П — а^ содержит 5-клику. Отсюда, в частности, |П| = 34.
Пусть |П| = 45. По целочисленности Х2(д) число а1(д) + 9 делится на 24, поэтому а1(д) = 231. Противоречие с тем, что на Г — П имеется кликовая (д)-орбита.
Пусть |П| = 56. По целочисленности Х2(д) число а1(д) делится на 24, поэтому а1(д) = 264. Противоречие с тем, что на Г — П имеется кликовая (д)-орбита.
Пусть |П| = 67. Тогда степень вершины в П равна 22, 33 или 44. По целочисленности Х2 (д) число а1(д) — 9 делится на 24, поэтому а1(д) = 33.
Если |П| = 78, то по целочисленности Х2(д) число а1(д) + 6 делится на 24, поэтому а1(д) = 66. Далее, степень вершины в П равна 22, 33, 44 или 56.
Если |П| = 89, то |Г — П| = 11 ■ 23, по целочисленности Х2(д) число а1(д) — 3 делится на 24, поэтому а1 (д) = 99. >
Лемма 11. Если р = 7, то верно одно из утверждений:
(1) П = КзХ4 и а1(д) £ {84, 252};
(2) |П| = 75 + 5, 2 ^ 5 ^ 10, а1 (д) = 21г и з — г + 3 делится на 8;
(3) |п| = 96 и а1(д) = 0.
< Пусть р = 7. Тогда степень вершины в графе П равна 74 + 1, 4 £ {1, 2,... , 13}, |П| = 7з + 5, з £ {1, 2,... , 11} или з = 13, Ап £ {4,11,18} и ^п £ {1, 8,15, 22, 29, 36}.
Пусть |П| = 12. Тогда любая связная компонента графа П является одновершинным графом или сильно регулярным графом с параметрами (V', 8,4, 8). Поэтому П = Кзх4. По целочисленности х2(д) число а1(д) — 12 делится на 24, поэтому а1(д) £ {84, 252}.
Пусть |П| = 96. По лемме 6 имеем а1(д) = 0.
Пусть |П| = 7з + 5, 2 ^ з ^ 11. По целочисленности х2(д) число а1 (д) + 3з + 9 делится на 24, поэтому а1(д) = 21г и з — г + 3 делится на 8.
Пусть |П| = 82. Тогда (д)-орбиты длины 7 не содержат треугольников. Далее, г = 6 и а1(д) = 126, поэтому найдутся две (д)-орбиты длины 7, являющиеся графами степени 4. Противоречие с тем, что такая орбита содержит треугольник. >
3. Автоморфизмы малых порядков
В этом параграфе предполагается, что Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36), д — автоморфизм простого порядка р графа Г, и подграф П = Пх(д) содержит геодезический 2-путь.
Лемма 12. Пусть р = 5 и |П| = 5з. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) |П| = 90, а1(д) = 90, на Г—П имеются 36 пятиугольных (д)-орбит и 10 кокликовых;
(2) |П| = 85, а (д) = 15, на Г — П имеются 6 пятиугольных (д)-орбит и 41 кокликовая;
(3) |П| = 80, а1(д) £ {0,120}, на Г — П имеются 48 пятиугольных (д)-орбит или 48 кокликовых;
(4) |П| =55, 3 ^ 5 ^ 15, а1(д) = 120г + 155, г £ {—2, —1,0,1, 2}.
< Пусть р = 5. Тогда степень вершины в графе П равна 5£ + 4, £ £ {1, 2,..., 18}, |П| =55, 5 £ {3,4,... , 19} или 5 = 24, Ап £ {3, 8,13,18} и ^п £ {1, 6,11,16, 21, 26, 31, 36}.
Пусть П содержит вершину а степени 9. Тогда П(а) содержит вершину с степени 8. Поэтому либо П(а) — сумма 3-клики и 6-коклики, либо П(а) П [Ь] — восьмиугольник или объединение двух четырехугольников.
Если |П| = 120, то по лемме 6 имеем а1 (д) = 0. Если и является 3-кокликой из и^, то Хо (и) и Х3 (и) содержит 120 вершин из П и 2 вершины из и^. Пусть т £ Г — (П и и^). Если [т] содержит не более 1 вершины из и^, то Хо(и) содержит не менее 2 вершин из т^. Если [т] содержит не менее 3 вершин из и^, то для и С [т] подграф Х3(и) содержит т. В обоих случаях имеем противоречие. Значит, [т] содержит точно 2 вершины из и^, граф Г — П регулярен степени 78. По лемме 3 выполняются неравенства —21 ^ 78 — 21 ■ 200/120 ^ 3, — противоречие.
Если |П| £ {80, 85, 90, 95}, то по лемме 6 на Г — П нет кликовых (д)-орбит.
Пусть |П| = 95. По целочисленности Х2(д) число а1(д) + 3 делится на 24, поэтому а1(д) £ {45,165}. Но в случае а1(д) = 165 на Г — П найдется кликовая (д)-орбита. Значит, на Г — П имеются 18 пятиугольных (д)-орбит и 27 кокликовых, причем ввиду леммы 4 пятиугольная орбита не попадает в окрестность никакой вершины из П. Пусть А (В) — множество вершин из Г — П, лежащих в пятиугольных (кликовых) (д)-орбитах. Тогда |А| = 90, |В| = 135. Для и £ А имеется 95 ■ 36 2-путей с началом в и, концом в П и средней вершиной в В. Поэтому |[и] П В| ^ 95. Противоречие с тем, что |[и] П [иа]| содержит не менее 55 вершин из В.
Пусть |П| = 90. По целочисленности Х2(д) число а1(д) + 6 делится на 24, поэтому а1 (д) = 90, на Г—П имеются 36 пятиугольных (д)-орбит и 10 кокликовых. Ввиду леммы 4 пятиугольная орбита попадает в окрестности не более 5 вершин из П.
Пусть |П| = 85. По целочисленности Х2(д) число а1(д) + 9 делится на 24, поэтому а1(д) = 15, на Г — П имеются 6 пятиугольных (д)-орбит и 41 кокликовая. Ввиду леммы 4 пятиугольная орбита попадает в окрестности не более 10 вершин из П.
Пусть |П| = 80. По целочисленности х2(д) число а1(д) делится на 24, поэтому а1(д) £ {0,120}. В случае а1 (д) = 120 на Г — П имеются 48 пятиугольных (д)-орбит, и ввиду леммы 4 пятиугольная орбита попадает в окрестности не более 15 вершин из П.
Пусть |П| =55, 5 ^ 15. По целочисленности Х2(д) число а1 (д) — 155 делится на 24, поэтому а1 (д) = 120г + 155, г £ {—2, —1,0,1, 2}. >
Лемма 13. Если р = 3 и |П| = 3£ + 2, то П не содержит вершин степени |П| — 2 и выполняются следующие утверждения:
(1) П является объединением двух изолированных вершин и ^3,3 -подграфа, а1(д) делится на 72;
(2) |П| = 80 или |П| = 140 и а1(д) = 0;
(3) |п| = 3£ + 2, 3 ^ £ ^ 25, а1 (д) = 725 + 9£ + 54 и 5 £ {—3, — 2,... , 4}.
< Пусть р = 3 и |П| = 3£ + 2. Тогда степень вершины в графе П равна 3г, любое ребро графа П лежит в 3^ треугольниках из П, а для любых двух вершин а, Ь, находящихся на расстоянии 2 в П, имеем |П(а) П [Ь]| = 31.
Если П содержит вершину а степени |П| — 2, то для Ь £ П(а) подграф П(Ь) содержит а, кратное 3 число вершин из П(а) и еще не более одной вершины, — противоречие.
Пусть |П| = 8. Тогда степень вершины в П равна 0 или 3, поэтому П является
объединением двух изолированных вершин и Кз,з-подграфа. Далее, al(g) = 24r и 44 — X2 (g) = 39 + r делится на 3.
Пусть t > 2Б. Тогда al(g) = 0, поэтому |П| G {80,104}.
Пусть |П| = 3t+2, t ^ 2Б. Тогда al (g)—9t—б делится на 24, поэтому al (g) = 24r+9t+6 и r G {—9, —8,..., 12}. Далее 44 — x2(g) = 40 + r делится на 3, поэтому r = 3s + 2. >
Лемма 14. Пусть p = 2. Тогда верны следующие утверждения:
(1) П — куб и al (g)/24 — нечетное натуральное число;
(2) al(g) = 0, |П| = 16s, s G {1, 2,... , 9};
(3) al (g) = 0, |п| = 2t, Б ^ t ^ T0, и al (g) = 48r + бt.
< Пусть p = 2 и |П| = 2t. Тогда степень вершины в графе П равна 2i +1, любое ребро графа П лежит в 2j треугольниках из П, а для любых двух вершин a, b, находящихся на расстоянии 2 в П, имеем |^(a) П [b]| = 2l.
Пусть |П| = б. Если П содержит вершину a степени Б, то подграф fi(a) имеет нечетные параметры Л/ и — противоречие. Значит, любая вершина имеет степень 1 или 3 в П, снова получили противоречие. Пусть |П| = 8. Если П содержит вершину a степени T, то подграф fi(a) имеет нечетные параметры Л/ и — противоречие. Если любая вершина имеет степень 1 или 3 в П, то П получается удалением из К4,4 максимального паросочетания (П — куб). Если П содержит вершину a степени Б, то подграф n(a) имеет нечетные параметры Л/ и противоречие. Далее, x2(g) = Б — al(g)/24, 44 — x2(g) = 39 + al(g)/24, поэтому al(g)/24 — нечетное натуральное число. Утверждение (1) доказано.
Пусть al(g) = 0. По лемме 6 имеем |П| = 16s, s G {1, 2,..., 9}. Утверждение (2) доказано.
Пусть al(g) = 0. По лемме 6 имеем |П| ^ 140. Далее, x2(g) = ^t — al(g))/24 + 4 и число 44 — x2(g) =40 — ^t — al (g))/24 четно. Поэтому al (g) = 48r + бt. Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны. >
Литература
1. Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1981.—240 p.—(London Math. Soc. Student Texts. Vol. 22).
2. Гаврилюк А. Л., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56, 45, 1; 1, 9, 56} // Докл. АН.—2010.—Т. 432, № 5.—С. 512-515.
3. Brouwer A., van Lint J. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Ed. by M. Jackson, S. Vanstone.—New York: Academic Press, 1984.—P. 85-122.
4. Журтов А. Х., Махнев А. А., Нирова М. С. Об автоморфизмах 4-изорегулярных графов // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО PAH.—2010.—Vol. 16, № 3.—С. 94-102.
5. Cameron P. Permutation Groups.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.—220 p.—(London Math. Soc. Student Texts. Vol. 45).
Статья поступила 23 мая 2012 г.
Кагазежева Алена Мухамедовна Кабардино-Балкарский государственный университет, математический факультет, ассистент кафедры алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: [email protected]
ON AUTOMORPHISMS OF STRONGLY REGULAR GRAPHS WITH PARAMETERS (320, 99,18, 36)
Kagazezheva A. M., Makhnev A. A.
Pseudo-geometric graph for pG2 (5, 32) has strongly regular subgraphs — local subgraph (pseudo-geometric graph for GQ(4, 8)) and second neighborhood of vertex (graph with parameters (320, 99, 18, 36)). In this paper it is founded orders and fixed-point subgraphs of automorphisms of strongly regular graphs with parameters (320, 99, 18, 36).
Key words: strongly regular graph, automorphism.
