CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 4, С. 43^49
УДК 519.17
DOI 10.23671/VNC.2018.4.23386
ОБ АВТОМОРФИЗМАХ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С ПАРАМЕТРАМИ (117,36,15,9)
А. К. Гутнова1, А. А. Махнев2
1 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46; 2 Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского, Россия, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: gutnovaalina@gmail.com, makhnev@imm.uran.ru
Аннотация. В предшествующих работах авторов найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графамии для pGss(s, t). В частности, локально псевдо pG2 (5, 2)-граф является сильно регулярным графом с параметрами (117, 36,15, 9). Основным результатом данной статьи является теорема, в которой найдены возможные порядки и строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (117, 36,15, 9). Этот граф имеет спектр 361, 926, — 390. Порядок клики в Г не превосходит 1 + 36/3 = 13, порядок коклики в Г те превосходит 117 • 3/39 = 9. Далее из это-
G
с параметрами (117, 36,15, 9) действует трапзитивпо на множестве вершин, то цоколь T группы G изоморфен либо Ьэ(3) и Ta = GL2(3) — подгруппа индекса 117 либо T = L^3) и Ta = D4(2).Z2 — 117
Ключевые слова: сильно регулярный граф, симметричный граф, группа автоморфизмов графа. Mathematical Subject Classification (2010): 20D45.
Образец цитирования: Гутнова А. К., Махнев А. А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (117, 36,15, 9) // Владикавк. мат. журн.—2018.—Т. 20, вып. 4.—С. 43-49. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23386.
1. Введение
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а граф а Г через ГДа) обозначим ¿-окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии г от а. Положим [а] = Г1(а) а± = {а} U [а].
Г
ся регулярным степени k, если степень любой вершины из Г равнa k. Граф Г назовем реберно регулярным с параметрами (v, k, X), если от содержит v вершин, регулярен степени k, и каждое его ребро лежит в X треугольниках. Граф Г — вполне регулярный граф с параметрами (v, k, X, у), если он реберно регулярен с соответствующими параметрами, и [а] П [b] содержит у вершин для любых двух вершин а, b, находящихся на расстоянии 2 Г
© 2018 Гутнова А. К., Махнев А. А.
В работах А. А. Махнева и А. К. Гутновой [1-3] найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин являются псевдогеометрическими графамии для £). В частности, локально псевдо рО2(5, 2)-граф является сильно регулярным графом с параметрами (117, 36,15, 9).
В данной работе найдены возможные автоморфизмы для сильно регулярного графа с параметрами (117, 36,15, 9). Этот граф имеет спектр 361, 926, — 390. Порядок клики в Г не превосходит 1 + 36/3 = 13, порядок коклики в Г не превосходит 117 ■ 3/39 = 9.
Лемма 1. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с параметрами (117, 36,15, 9), О = Аи^Г). Если д € О, Х1 — характер проекции предетавления ф на подпространство размерности 26, то аг(д) = аг(д1) для любого натурального числа I, взаимно простого с\дЬ Х1(д) = (а0(д) + а1 (д)/3 — 13)/4 Если |д| = р — простое число, то х1(д) — 26 делится па р. Если \д\ = р2, р — простое число, то р2 делит х1(др) — 26.
Поэтому х1(д) = (8а0(д) + 2а1 (д) — а2(д))/36. Подставляя а2(д) = 117 — а0(д) — а1 (д), получим х1(д) = (а0(д) + а1(д)/3 — 13)/4.
Остальные утверждения леммы следуют из [5, лемма 1]. >
Лемма 2. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с параметрами (117, 36,15, 9), А — трехвершинный подграф из Г Уг — число вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А. Если А — коклика, то У0 = 33—уз, если А — объединение изолированной вершины и ребра, то у0 = 40 — у3, если А — геодезический путь, то у0 = 47 — у3, а если А У0 = 54 — Уз
< Пусть А — коклика. Тогда у1 = 54 + 3у3, у2 = 27 — 3у3 и у0 = 33 — 3у3. Пусть А — клика. Тогда у1 = 18 + 3у3, у2 = 42 — 3у3 и у0 = 54 — 3у3. Аналогично рассматриваются оставшиеся случаи. >
Пусть до конца работы Г — сильно регулярный граф с параметрами (117, 36,15, 9), О = Аи1(Г), д — элемент простого порядка р из О и О = Е1х(д). Заметим, что если а, Ь — две вершины из О и р > 13, то [а] П [Ь] С О.
Лемма 3. Выполняются следующие утверждения:
(1) в Г нет собственных сильно регулярных подграфов с параметрами (-и', к', 15, 9);
(2) если О — пустой граф, тор = 13 а1 (д) = 39 и а2(д) = 78 илир = 3, а1 (д) = 361 — 9 1г«2(д) = 126 — 361;
(3) если О является п-кликой, то п > 1 и либо р = 5, п = 2, 7,12 а1 (д) = 601 + 75 — 15п и а2(д) = 42 + 14п — 60/, либо р = 2 п = 5, 7,9,11,13 а1(д) = 241 + 39 — 3п и а2(д) = 78 + 2п — 241;
(4) О О 2-путь и р ^ 13.
< ^тсть А — сильно регулярный граф с параметрами (-',к', 15, 9^. Так как п2 = 36 + 4(к' — п = 2и, к' = и2 и А имеет собственные значения и + 3 —(и — 3). Кратность и + 3 равна (и — 4)и(и2 + и — 3)/18, поэтому и ^ 6.
Пусть О — пустой граф. Так как 117 = 13 ■ 9, то р € {3,13}. Положим аг(д) = род. Пусть р = 13. Тогда х1(д) = 13(^1 /3 — 1)/4 поэтому а1(д) = 39 и а2(д) = 78. Пусть
2. Вспомогательные результаты
< Имеем
р = 3. Тогда %1 ($) = (-Ш1 — 13)/4 сравнимо с 2 то модулю 3, поэтому «1(5) = 361 — 9 и 02(5) = 126 — 361.
Пусть П является п-кликой, а — вершина из П. Если п = 1, то p делит 36 и 80, поэтому p = 2, противоречие с тем, что для вершины п € Г — й\ подграф [и] П [пй] пересекает П.
Если п > 1, то р делит 20, 50 и 17 — п, поэтому либо р = 5 и п = 2, 7,12 либо р = 2 и п = 3, 5,..., 13. В любом случае х1(^) = (п + рад1/3 — 13)/4.
В случае р = 5 имеем а1(^) = 601 + 75 — 15п и а2(#) = 42 + 14п — 601. В случае р = 2 число (п + 2ад1/3 — 13)/4 четно, поэт ому а1(^) = 241 + 39 — 3п и а2(#) = 78 + 2п — 241. Если п = 3 т0 некоторая вершина из Г — П не смежна с вершинами из П, противоречие.
Пусть П является т-кликой, т > 1. Тогда р делит 9 и 26, противоречие.
Пусть П содержит ребро и является обьединением í ^ 2 изолированных клик. Тогда р делит 9 и 20, противоречие.
Пусть П содержит геодезический 2-путь. Если р > 13, то П — сильно регулярный граф с А = 15 и ц = 9, противоречие с утверждением (1). >
Лемма 4. Пусть П содержит геодезический путь Ь, а, с. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) если П содержит вершину а степени 36, то либо р = 3 и ао($) = 45, либо р = 2, 37 ^ а0(д) ^ 63 и число а0(д) + а1(^)/3 — 13 делится на 8;
(2) р 7
(3) р = 7 П (26, 15, 8, 9) и а1(^) = 24.
< Пуст ь П содержит верш пну а степени 36. Ввиду леммы 2 любая (д)-орбита дли ны р не содержит 3-коклик. Так как любая вершина из Г — а^ смежна с 9 вершина ми из [а], то любая (д)-орбита длины р не содержит геодезических 2-путей. Если р > 2, то любая (д)-орбита дли ны р является кликой и р ^ 7. В этом случае
Х1(5) = (ао(5) + (117 — ао(5))/3 — 13)/4,
поэтому а0(д) = 61 + 3 дая р > 3 и а0(д) = 181 + 9 для р = 3 Отсюда р = 3 и а0(д) = 45.
Еслир = 2, то число х1(^) = (а0(^)+а1(^)/3 —13)/4 четно. Утверждение (1) доказано.
Пусть р = 13. Тогда Ап = 2,15 ^п = 9 |П| = 13, 26, 39, 52 и степени вершин в П равны 10, 23. Если |П| = 13, то П — сильно регулярный граф с параметрами (13,10, 2, 9), противоречие.
Пусть |П| = 26. Если П содержит вершину а степени 23, то число ребер между П(а) и П2(а) равно 18, то не меньше 23 ■ 7, противоречие. Значит, П — сильно регулярный граф (26, 10, 2, 9)
Пусть |П| = 39. Если П содержит верш пну а степени 10, то число ребе р между П(а) и П2(а) равно 28 ■ 9, но не больше 20 ■ 10, противоречие. Значит, П — регулярный граф степени 23, противоречие.
Пусть |П| = 52. Если П содержит вершину а степени 10, то число ребер между П(а) и П2(а) равно 41 ■ 9, но не больше 10 ■ 21 противоречие. Значит, П — регулярный граф степени 23, и число ребер между П(а) и П2(а) равно 28 ■ 9 = 20у + 7(23 — у), поэтому у = 13. Но если Ь, с — две вершины степени 2 в графе П(а), то [Ь] П [с] содержит 13 вершин из [а] — П и не менее 12 вершин из П2(а), противоречие.
Пусть р = 11. Тогда Ап = 4,15 ^п = 9 |П| = 18, 29, 40, 51 и степени вершин в П равны 14, 25. Если П содержит вершину а степени 14, то число ребер между П(а) и П2(а) не меньше 14 ■ 9, равно 9(|П| — 15), но не больше 14 ■ 20, поэтому |П| = 40 и указанное число
равно 9 ■ 25 = 20у + 9(14 — у) у = 9. Но если Ь, с — две вершины из О(а), смежные с 20 вершинами из О2(а), то [Ь] П [с] содержит а и не менее 15 вершин из О2(а), противоречие.
Значит, О — регулярный граф степени 25, \О\ = 40 и число ребер между О(а) и О2(а) равно 14 ■ 9, но не меньше 9 ■ 25, противоречие.
Пусть р = 7. Тогда Ап = 1, 8,15 ^п = 2, 9, \О\ = 19, 26, 33, 40, 47, 54 и степени вершин в О равны 8,15, 22, 29. Если \О\ > 33, то любая (д)-орбита длины 7 не содержит 3-коклик. Далее, х1(д) = (а0(д) + а1(д)/3 —13)/4 и в случае а0(д) = 40 имеем а1(д) = 63. В этом случае на Г — О имеется 5 кликовых (д)-орбит и 6 орбит степени 4. Противоречие с тем, что для ребра и изолированной от него вершины из (д)-орбиты степени 4, подграф, состоящий из вершин, смежных с 0 или 3 вершинами из этой тройки, содержит 40 вершин из О и 2 вершины из этой (д)-орбиты, противоречие. В случае а0(д) = 47 имеем а1(д) = 42. В этом случае для геодезического 2-пути из (д)-орбиты подграф, состоящий
О
2 вершины из этой (д)-орбиты, противоречие. В случае а0(д) = 54 имеем а1(д) = 63 и Х1(д) = (41 +21)/4, противоречие.
Значит, \О\ ^ 33. Если О содержит вершину а степени 8, то число ребер между О(а) и О2(а) не меньше 8 ■ 6 и равно 2(\О\ — 9) поэтому \О\ = 33 и О — сильно регулярный
(33, 8, 1, 2) О —3
кратность 2 равна 2 ■ 8 ■ 11/10, противоречие.
О а О(а) О2(а)
22 ■ 6 и не больше 10 ■ 9, противоречие. Значит, О — регулярный граф степени 15, \О\ = 26 и число ребер между О(а) и О2(а) равно 15 ■ 6 = 10 ■ 9. Отсюда О — сильно регулярный граф с параметрами (26,15,8,9) и х1(д) = (13 + а1(д)/3)/4 поэтому а1(д) = 24 >
Лемма 5. Пусть О содержит геодезический путь Ь, а, с. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) р 5
(2) если р = 3, то \ О \ ^ 33 или \ О \ = 45;
(3) если р = 2, то \ О \ ^ 63.
< Пусть р = 5. Тогда Ап = 0, 5,10,15 ^п = 4, 9, \ О \ = 12,17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, степени вершин в О равны 6,11,16, 21, 26, 31 и х1(д) = (а0(д) + а1(д)/3 — 13)/4.
Пусть У — множество вершин из О2(а), смежных с 9 вершинами из О(а), у = \ У\ . Тогда число ребер между О(а) и О2(а) равно 6 \ О(а) \ + 5ж. С другой стороны, указанное 9у + 4( О2(а) — у)
Пусть р = 3. Тогда Ап = 0, 3,..., 15 ^п = 0, 3, 6, 9, \ О \ =6, 9,... , 54 и степени вершин в О равны 0,3,6,..., 36 и х1(д) = (а0(д) + а1 (д)/3 —13)/4 поэтому (а0(д) + а1 (д)/3 —13)/4 сравнимо с 2 по модулю 3.
Если \ О \ > 33, то ввиду леммы 2 любая (д)-орбита длины 3 является кликой, а1(д) = 117 — а0(д) и (2а0(д)/3 + 26)/4 сравнимо с 2 то модулю 3. Поэтому а0(д) = 45 и а1(д) = 72.
Пусть р = 2. Тогда Ап = 1, 3,..., 15 № = 1, 3,..., 9, \ О \ = 5, 7,..., 65 и степени вершин в О равны 0, 2, 4,... , 36 и х1(д) = (а0(д) + а1(д)/3 — 13)/4, поэтому (а0(д) + а1(д)/3 — 13)/4 четно.
Если \ О \ > 63, то любая (д)-орбита длины 2 является кликой, а1(д) = 117 — а0(д) = 52 и х1(д) = (65 + 52/3 — 13)/4, противоречие. >
Лемма 6. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (117, 36,15, 9) и группа О = Аи^Г) действует транзнтивно на множестве вершин графа Г. Пусть / — элемент порядка 13 из О, д — элемент простого порядка р < 13 из Сс(/)• Тогда \ Сс(/) \
делит 26 и если инволюция д € О централизует /, то Е1х(д) является 13-кокликой и
а1(д) = 0.
< \ О \ делится на 9 ■ 13 По теореме 1 п(О) С {2,3, 5, 7,13}.
Пусть О содержит подгруппу (Л) порядка 13р, р — простое число, меньшее 11, д = Л13, / = Ввиду теоремы 1 Е1х(/) — пустой граф, р = 2 и либо \ О \ = 13 и а1(д) = 24/ делится на 13, либо \ О \ = 39. В последнем случае х1(д) = (а1(д)/3 + 26)/4, число (а1(д)/3 + 26)/4 четно и а1(д) = 3(8/ — 26) делится на 13, противоречие. Из действия д на иг = {и € Г : ((и, и^) = 1} следует, что О = Е1х (д) пересекает иг для любого г, не
О
Пусть V — подгруппа порядка 4 из Сс(/)• Так как х1(д) — 26 не делится на 4, то V — элементарная абелева группа. Из действия V на и = {и € Г : ((и, и^) = 1} следует, что О = Е1х (д) содержится в и для любой инволюции д € V, противоречие с действием V на Ш = {ад € Г : ) = 2} >
3. Основной результат
Теорема 1. Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (117,36,15,9), О = Аи^Г), д — элемент из О простого порядка р и О = Е1х(д). Тогда п(О) С {2, 3, 5, 7, 13}
(1) о — пустой граф, р = 13 а1(д) = 39 и а2(д) = 78 или р = 3 а1(д) = 36/ — 9 и а2(д) = 126 — 361;
(2) О является п-кликой, и либо р = 5, п = 2, 7,12 а1(д) = 60/ + 75 — 15п и а2(д) = 42 + 14п — 60/, либо р = 2 п = 5, 7, 9,11,13 а1(д) = 24/ + 39 — 3п и а2(д) = 78 + 2п — 24/;
(3) О 2
(V) р = 7 О — сильно регулярный граф с параметрами (26,15, 8, 9) и а1(д) = 24,
либо
(и) р = 3 \ О \ ^ 33 или \ О \ = 45, либо (ш) р = 2 ж \ О \ ^ 63.
< Доказательство теоремы опирается на метод Хигмена работы с автоморфизмами дистанционно регулярного графа, представленный в третьей главе монографии Камерона [4]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X, с I классами, где X — множество вершин графа, Е0 — отношение равенства на X и для г ^ 1 класс Ег состоит из пар (и, ад) таких, что ((и, ад) = г. Для и € Г положим кг = \ Гг(и) \ , V = \ Г \ . Кл ассу Ег отвечает гр аф Г г на множестве вершин X, в котором вершины и, ад смежны, если (и, ад) € Ег. Пуст ь Аг — матрица смежности графа Гг для г > 0и А0 = I — единичная матрица. Тогда АгА^ = ^ рг^- А^ для чисел пересечений рг^-.
Пусть Рг — матрица, в которой на месте /) стойт р^. Тогда собственные значения р1(0),... ,р1(() матрицы Р1 являются собственными значениями графа Г крат-ностей Ш0 = 1,..., т^. Матрицы Р и у которых на месте (г,^) стоят стоят pj(г) и Ъ(г) = mjрг(^)/кг соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством Р^ = ^Р = -I.
Пусть ^ и Wj — левый и правый собственные векторы матрицы Р1, отвечающие собственному значению р^') и имеюпще первую координат у 1. Тогда Wj являются столбцами матрицы Р и mjявляются строками матрицы Q.
Подстановочное представление группы О = Аи1(Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы О в ОР(-, С). Пространство С"
О
Wo,..., Wd матрицы смежн ости A = Ai граф а Г Для любого g € G матрица ^(g) перестановочна с A, поэтому подпространство Wi является ^(^-инвариантным. Пусть Xi — характер представления ф-Wi- Тогда (см. [4, §3.7]) для g € G получим
d
Xi(g) = Qij(g)'
j=o
где aj(g) — число точек ж из X таких, что ) = j.
Утверждения 1)-2) следуют из леммы 3. Доказательство утверждения 3) следует из лемм 3-5. >
G
метрами (117, 36,15, 9) действует траизитивио на множестве вершин, то цоколь T группы G изоморфен либо L3(3) и Ta = GL2(3) — подгруппа индекса 117, либо T = L4(3) и Ta = U4(2).Z2 — подгруппа индекса 117.
< Ввиду леммы 6 имеем S(G) = 03(G). Пусть G = G/03(G), T — цоколь группы G. Из действия подгруппы порядка 13 на минимальной нормальной подгруппе N из G следует, что \N\ делится на 13. Отсюда Т — простая неабелева группа и ввиду [6, таблица 1] группа Т изоморфна L3(3), Ь2(25), f/3(4), PSp4(5), L4(3), 2F4(2)', L2(13), L2(27), G2(3), 3D4(2), Sz(8)1_L2(64), f/4(5), L3(9), P5p6(3), РП7(3), G2(4), PSp4(8),
Так как T содержит максимальную подгруппу индекса, делящего 13 • 9, то либо Т = Ьз(3) и Ta = GL2(3) — подгруппа индекса 117, либо T = L4(3) и Та = [/4(2).Z2 — подгруппа индекса 117.
В любом случае O3(G) = 1. >
Литература
1. Гутнова А. К., Махнев А. А. Вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин псевдогеометрические графы для pGs-3(s,t) // Докл. АН.^2014.^Т. 454, № 2.—С. 145-148. DOI: 10.7868/S0869565214020042.
2. Гутнова А. К., Махнев А. А. Локально псевдо GQ(4, ^-графы // Докл. АН.—2015.—Т. 462, № 6.— С. 637-641. DOI: 10.7868/S086956521518005X.
3. Гутнова А. К., Махнев А. А. Графы диаметра, не большего 3, в которых окрестности вершин псевдогеометрические графы для pGss(s, t)// Докл. АН.—2015.—Т. 461, № 6.—С. 629-632. DOI: 10.7868/S0869565215120038.
4. Cameron P. J. Permutation Groups.^Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.^(London Math. Soc. Student Texts № 45).
5. Гаврнлюк А. Л., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56,45,1;1, 9, 56} // Докл. АН.-2010.^Т. 432, № 5.-С. 512-515.
6. Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean Electr. Math. Reports—2009—Vol. 6—P. 1-12.
Статья поступила 29 мая 2018 г. Гутнова Алина Казбековна
Северо-Осетинский государственный университет им. К. JI. Хетагурова, доцент кафедры алгебры н геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 E-mail: gutnovaalina@gmail.com
Махнев Александр Алексеевич
Институт математики и механики им. H. Н. Красовского, зав. отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev@imm.uran. ru
Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 4, P. 43 49
ON AUTOMORPHISMS OF A STRONGLY REGULAR GRAPH WITH PARAMETERS (117,36,15,9)
Gutnova, A. K.1 and Makhnev, A. A.2
1 North Ossetian State University, 44-46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia; 2 N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics,
16 S. Kovalevskaja st., Ekaterinburg 620990, Russia E-mail: gutnovaalina@gmail.com, makhnev@imm.uran.ru
Abstract. In the previous work of the authors some arrays of intersections of distance-regular graphs were found, in which the neighborhoods of the vertices are pseudogeometric graphs for pGs-3(s,t). In particular, a locally pseudo pG2(5, 2)-graph is a strongly regular graph with parameters (117, 36,15, 9). The main result of this paper gives a description of possible orders and the structure of the subgraphs of fixed points of automorphisms of a strongly regular graph with parameters (117, 36,15, 9). This graph has a spectrum of 361, 926,-390. The order of clicks in r does not exceed 1 + 36/3 = 13, the order of the cocliques in r does not exceed 117 • 3/39 = 9. Further, from this result, the following corollary is derived: if the group r of automorphisms of a strongly regular graph with parameters (117, 36,15, 9) acts transitively on the set of vertices, then the socle T of the group r is isomorphic to either L3 (3) Mid Ta = GL2 (3) is a subgroup of index 117, or Ta = GL2(3) and Ta = U^(2).Z2 is a subgroup of index 117.
Key words: strongly regular graph, symmetric graph, automorphism groups of a graph. Mathematical Subject Classification (2010): 20D45.
For citation: Gutnova, A. K. and Makhnev, A. A. On Automorphisms of a Strongly Regular Graph with Parameters (117,36,15,9), Vladikavkaz Math. J.., 2018, vol. 20, no. 4, pp. 43-49 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23386.
References
1. Gutnova, A. K. and Makhnev, A. A. Completely Regular Graphs in Which Neighborhoods of Vertices are Pseudogeometric Graphs for pGs_3(s,t), Doklady Mathematics, 2014, vol. 454, no. 2, pp. 145-148 (in Russian). DOI: 10.7868/S0869565214020042.
2. Gutnova, A. K. and Makhnev, A. A. Locally Pseudo GQ(4,t)-Graphs, Doklady Mathematics, 2015, vol. 462, no. 6, pp. 637-641 (in Russian). DOI: 10.7868/S086956521518005X.
3. Gutnova, A. K. and Makhnev, A. A. Graphs of Diameter not Greater than 3, in Which Neighborhoods of Vertices are Pseudogeometric Graphs for pGs_3(s,t), Doklady Mathematics, 2015, vol. 461, no. 6, pp. 629-632 (in Russian). DOI: 10.7868/S0869565215120038.
45
Univ. Press, 1999.
5. Gavrilyuk, A. L. and Makhnev, A. A. On Automorphisms of Amply Regular Graphs with the Intersection Array {56,45,1; 1, 9, 56}, Doklady Mathematics, vol. 432, no. 5, pp. 512-515. (in Russian).
6. Zavarnitsine, A. V. Finite Simple Groups with Narrow Prime Spectrum, Sibirean Electr. Math. Reports, 2009, vol. 6, pp. 1-12.
Received May 29, 2018
Alina K. Gutnova
North Ossetian State University,
44-46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia,
Associate Professor of the Department of Algebra and Geometry
E-mail: gutnovaalina@gmail.com
Alexander A. Makhnev
N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, 16 S. Kovalevskaja st., Ekaterinburg 620990, Russia, Head of Departament of Algebra and Topology E-mail: makhnevflimm.uran. ru https://orcid.org/0000-0003-2868-6713
