CC BY
6
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 35^42
УДК 519.17
РАСШИРЕНИЯ ПСЕВДОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФОВ ДЛЯ рС3-5)(8,г)1
А. К. Гутнова, А. А. Махнев
В работе найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности
вершин — исключительные псевдогеометрические графы для
Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, псевдогеометрический граф, собственное значение графа.
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а граф а Г через Г^(а) обозначим ¿-окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии ¿от а. Подграф Г(а) = Г1(а) называется окрестностью вершины а и обозначавтся [а], если граф Г фиксирован. Положим а^ = {а} и [а].
Г
ся регулярным степени к, если степень любой вершины из Г равна к. Граф Г назовем реберно регулярным с параметрами (у, к, А), если он содержит V вершин, регулярен степени к, и каждое его ребро лежит в А треугольниках. Граф Г — вполне регулярный граф с параметрами (у, к, А, у), если он реберно регулярен с соответствующими параметрами, и [а] П [Ъ] содержит у вершин для любых двух вершин а, Ъ, находящихся на расстоя-Г
Пусть ^ — некоторый класс графов. Граф Г назовем локально ^-графом, еели [а] лежит в ^ для любой верш ины а граф а Г.
Если вершины и, т находятся та расстоянии ¿в Г то через Ъг(и, т) (через Сг(и,т)) обозначим число вершин в пересечении Г^+1(и) (Г^-1(и^ с [т]. Граф Г диаметра й называется дистанционно регулярным с массивом, пересечений {Ъ0, Ъ1,..., Ъ^-1; с1,... }, если значения Ъг(и, т) и а (и, т) те зависят от выбора вершин и, т та расстоянии ¿в Г для любого ¿ = 0,..., й. Положим а» = к — Ъ» — с».
Система инцидентности с множеством точек Р и множеством прямых £ называется а-частичной геометрией порядка (8, ¿), если каждая прямая содержит ровно 8 + 1 точку, каждая точка лежит ровно на ¿+1 прямой, любые две точки лежат не более чем на одной прямой, и для любого антифлага (а, I) £ (Р, £) найдется точно а прямых, проходящих через а и пересекающих I (обозначение рСа(8,4)). В случае а = 1 геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ(8,t). Точечный граф геометрии
Р
Точечный граф геометрии (8, ¿) сильно регулярен с V = (8 + 1)(1 + 8t/а), к = 8^ + 1), А = 8 — 1 + ¿(а — 1), у = а^ + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами
© 2016 Гутнова А. К., Махнев А. А.
1 Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 15-11-10025 (теорема 1 и следствие), а также соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.А03.21.0006 (теорема 2).
для некоторых натуральных чисел а, 5, 4 называется псевдогеометрическим графом, для (5,4).
Дж. Кулен предложил задачу изучения дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственным значением меньше либо равным 4 для данного натурального числа Заметим, что сильно регулярный граф с нецелым собственным значением является графом в половинном случае, а вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы в половинном случае, либо имеет диаметр 2, либо является графом Тэйлора. Таким образом, задача Кулена сводится к описанию дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 4 для 4 = 1, 2,...
В [1] завершено решение задачи Кулена для 4 = 4 и псевдогеометрических окрестностей вершин. В работе [2] получена редукция задачи Кулена для 4 = 5 к случаю, когда окрестности вершин — исключительные графы.
В данной работе рассматриваются дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин — исключительные псевдогеометрические графы для Выделим сначала параметры (5,4), которые имеет исключительный псевдогеометрический граф для вкладываемый в качестве окрестности вершины в дистанционно регулярный граф.
Предложение. Пусть Г — исключительный псевдогеометрический граф для Ь). Если Г вкладывается в качестве окрестности вершины в дистанционно регулярный граф диаметра, большего 2, то его параметры (5,4) лежат в одном из следующих списков:
(1) (6, 3), (6,4), (6, 6), (6, 8), (6, 9), (6,12), (6,14), (6,15), (6, 22), (6, 24), (6, 29), (6, 30), (6, 36);
(2) (7,1), (7,4), (7, 6), (7, 8), (7, 9), (7,14), (7,15), (7,18), (7, 22), (7, 24), (7, 29), (7, 34), (7,36), (7,50), (7,54);
(3) (8, 2), (8,4), (8, 6), (8, 9), (8,10), (8,12), (8,14), (8,18), (8, 24), (8, 30), (8, 34), (8, 39), (8,42), (8, 54), (8, 66), (8, 74), (8, 84);
(4) (9,12), (9, 24), (9,44), (9,48), (9, 84), (9,144), (10,4), (10,16), (10, 24), (10, 27), (10, 38), (10,49), (10, 54), (10, 60), (10,104), (10,126), (10,159), (10, 214).
Г2
окрестности вершин — исключительные псевдогеометрические графы для рС5_5(в,4). Если диаметр Г больше 3, то либо 5 = 6 и 4 £ {3,4, 6, 8, 9} либо 5 = 7 и 4 = 1. Если же диаметр Г равен 3, то либо 5 = 10 и Г — граф Тэйлора, либо выполняется одно из следующих утверждений:
(1) 5 = 9, 4 = 12 и 118 < М < 162;
(2) 6 < 5 < 8.
Г3
вершин — псевдогеометрические графы для Сф(6, ¿), 4 £ {3,4, 6, 9,12,14,15, 22, 24, 29, 30, 36}. Тогда верно одно из утверждений:
(1) 4 = 3 М £ {6, 7, 9,12,14,18,19, 21, 24,27, 28, 36, 38,42, 54, 57, 63, 76, 84};
(2) 4 = 4 м £ {6, 8,10,12,14,16,18, 20, 24, 28, 30, 36,40,42,48, 50, 56, 60, 70, 72, 80, 84, 90,100,112,120,126,140};
(3) 4 = 6 М £ {18, 24, 28, 36,42, 54, 56, 72, 74, 50, 84,108,126,148,168};
(4) 4 = 8 М £ {32, 36,42,48, 54, 56, 72, 84, 96, 98,112,126,144,168,196, 224, 252};
(5) 4 = 9 м £ {36,42,44,45, 54, 55, 60, 63, 66, 70, 77, 81, 84, 90, 99,105,108, 110,126,132,140,154,162,165,189,198, 210, 220,231, 252, 264, 270, 297, 308, 315};
(6) 4 = 12 М £ {72, 84,108,112,126,144,146,168, 216, 252, 292, 336,378};
(7) 4 = 14 м £ {72, 84, 90,102,118,120,126,136,140,168,170,180,196, 204, 210,238,252,280, 294, 306, 360, 392,408,420, 476,490};
(8) 4 = 15 м £ {78, 84, 90, 91, 98,105,108,117,126,130,140,135,147,156, 180,182,189,195,196, 210, 234, 245, 252, 260, 270, 273, 294, 315, 351, 364,378, 420,441,455,490, 510, };
(9) 4 = 22, М £ {132,152,154,168,196,198,224, 252, 264, 266, 294, 308, 342, 392,396,418,456,462, 504, 528,588,616,684};
(10) 4 = 24, М £ {144,160,168,174,180, 210, 216, 232, 224, 240, 252, 270, 280, 288,290,336,348, 360, 378,406,420,432,464, 480, 504, 522, 540, 560, 580, 630, 672,696, 720, 756, 812, 840};
(11) 4 = 29, М £ {180, 203, 210, 225, 252, 261, 290, 300, 315, 348, 350, 406, 420, 435,450,522,525, 580, 609, 630,700,725,812,870,1015};
(12) 4 = 30, М £ {210, 216, 252, 270, 280, 360, 362, 420, 504, 540, 630, 724, 840};
(13) 4 = 36, М £ {248, 252, 294, 324, 336, 372, 378, 392,432,434,496, 504, 558, 588,648,672,744, 756, 784, 868, 882,1008,1116,1134}.
Следствие. Пусть Г — дистанционно регулярный граф диаметра б ^ 3, в котором окрестности вершин — исключительные псевдогеометрические графы для рС5_5(5,4). Тогда верно одно из утверждений:
(1) 5 = 10иГ^ граф Тэйлора;
(2) 5 = 7 либо 4 = 1 и Г — локально Т(9)-граф с массивом пересечений {36, 21,10, 3; 1, 6,15, 28} (половинный 9-куб) либо 4 = 18 и Г — граф с массивом пересечений {512, 378,1; 1,189, 512}
(3) 5 = 6 и либо 4 = 4 и Г — граф с массивом пересечений {175,144, 22; 1, 24,154} или {175,144,1; 1,12,175} либо 4 = 8 и Г — граф с массивом пересечений {343, 288, 1; 1, 96, 343}
Для доказательства следствия полезен следующий результат.
Лемма 1 [4, теорема 20]. Пусть Г — дистанционно регулярный граф диаметра б ^ 3 и степени к > 2. Если к2 ^ 3к/2 (равносильно С2 ^ 261 /3), то выполняется одно из следующих утверждений:
(1) б = двудольный граф или граф Тэйлора;
(2) Г — граф Джонсона /(7, 3) или 4-куб.
2. Вполне регулярные локально псевдо рС5_5(5, 4)-графы
Лемма 2. Пусть Г — псевдогеометрический граф для рС5_5(5,4), А — регулярный подграф степени (5 — 5)(4 +1) на т вершинах. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) «(54 — 54 + 5 — 10)/(54 + 5 — 5) ^ т ^ (5 — 4)«/(5 + 1), если одно из этих нестрогих неравенств превращается в равенство, то любая вершина из Г — А смежна с 5(4+1) т/ (V — т) вершинами из А;
(2) если Х^ — множество вершин из Г — А, смежных точно с г вершинами из А, х% = |Х,|, то (254 + 25 + 4 — 4)2т ■ х0 ^ (V — т)(« — ж0)(4 + 6)2;
(3) если т = ж0, то 2(54 + 4 + 5 + 1)ж0 ^ «(4 + 6).
< Ввиду [4] верны неравенства —(4 + 1) ^ (5 — 5)(4 + 1) — 5(4 + 1)т/(« — т) ^ 5.
Отсюда у(84 — 5t + 8 — 10)/(84 + 8 — 5) ^ т ^ (8 — 4)у/(8 + 1). Если одно из этих нестрогих неравенств превращается в равенство, то ввиду [6] любая вершина из Г — А смежна точно с 5(4 + 1)т/(у — т) вершинами из А.
По предложению 4.6.1 из [5] имеем т-ж0 ^ (у — т)(у—ж0)(t+6)2/(28(t+1) — 5+(t+1))2. Поэтому (2st + 28 + t — 4)2т ■ ж0 ^ (у — т)(у — ж0)(t + 6)2.
Если т = ж0, то (28t + 28 + t — 4)ж0 ^ (у — ж0)(4 + 6), поэтому (2st + 28 + 2t + 2)ж0 ^ v(t + 6) >
Лемма 3. Если диаметр Г больше 3, то либо 8 = 6 и t £ {3,4, 6, 8, 9}, либо 8 = 7 и t = 1.
< Пусть Г содержит геодезический 4-путь и, т, ж, У Тогда в графе [ж] между [и] П [ж] и [ж] П [г] нет ребер п ввиду леммы 2 имеем у(84 — 5t + 8 — 10)/(84 + 8 — 5) ^ т ^ v(t + 6)/(284 + 28 + 2t + 2). Поэтому 2(8t + 8 + t +1)(8t — 5t + 8 — 10) < (84 + 8 — 5)(t + 6).
В случае 8 = 6 имеем 14(4+1)(4—4) ^ (6t+1)(t+6) поэтому t ^ 9. Ввиду предложения t £ {3,4, 6, 8,9}.
В случае 8 = 7 имеем 16(4 + 1)(24 — 3) ^ (74 + 2)(t + 6), поэтому t ^ 3. Так как
псевдогеометрический граф для р^з (7, 3) не является исключительным графом, то t = 1. В случае 8 = 8 имеем 16(4 + 1)44 ^ 4(2t — 1)(t + 5) и t = 1, противоречие. >
Лемма 4. Если диаметр Г равен 3, то либо 8 = 10 и Г — граф Тэйлора, либо 8 = 9, t = 12 и 118 ^ у ^ 162, либо 6 ^ 8 ^ 8.
< Если 8 = 10, то Г — граф Тэйлора.
Пусть 8 = 9. Тогда к = у' = (8+1)(1+84/(8—5)) = 5(94+4)/2, А = к' = 8(4+1) = 9(4+1), Ъ1 = 68t/(8 — 5) = 274/2 и 4 делится на 4. Ввиду леммы 2 имеем (19t + 14)2у ■ ж0 ^ (5(94 + 4)/2 — у)(5(94 + 4)/2 — ж0)(4 + 6)2.
Если t = 24, то к = у' = 550, А = к' = 225, Ъ1 = 324, 238 < у < 324 и 4 ■ 238 ■ 2422 ■ ж0 < 4 ■ 2422у ■ ж0 ^ 212(550 — ж0)302, поэтому ж0 = 1, противоречие.
Значит, t = 12 к = у' = 280, А = к' = 117 Ъ1 = 162, 118 ^ у ^ 162 и у делит 280 ■ 162.
>
3. Вполне регулярные локально псевдо GQ(6, t)-гpaфы
Г
( у, к, А, у) 2
графы для GQ(6, t) с параметрами (42t + 7, 6t + 6, 5,4 + 1) и неглавными собственными значениями 5, — (4 +1). Заметим, что каждый у-подграф регулярен степени t +1, поэтому в случае четного 4 параметр у четен.
Лемма 5. Пусть и, т — вершины из Г с й(и, т) = 2. Тогда выполняются следующие утверждения:
(1) 7(4 — 4) < у < 36t и у делит 7 ■ 36t(6t + 1);
(2) если Хг — множество вершин из [т] — [и], смежных точно с ¿вершинами из [и] П [т], ж* = |Хг|, то (134 + 8)2у ■ ж0 < (42t + 7 — у)(424 + 7 — ж0)(4 + 6)2;
(3) если ж0 = у, то у < (t + 6)(6t + Х)/(24 + 2).
< Ввиду леммы 1 верны перавенства 7(4 — 4) ^ у ^ 364 и у делит 7 ■ 364(64 + 1). Имеем (134 + 8)2у ■ ж0 < (424 + 7 — у)(424 + 7 — ж0)(4 + 6)2. Если ж0 = у, то (134 + 8)у <
(424 + 7 — у)(4 + 6), поэтому у < (4 + б)(64 + 1)/(24 + 2) >
Лемма 6. Если 4 = 3, то верны следующие утверждения:
(1) у £ {6, 7, 9,12,14,18,19, 21, 24, 27, 28, 36, 38, 42, 54, 57, 63, 76, 84};
(2) если диаметр Г больше 3, то М ^ 21.
< В случае параметров (133, 24, 5,4) по лемме 6 имеем 4 < м < 108. Так как м делит 28 ■ 27 ■ 19, то М £ {6, 7, 9,12,14,18,19, 21, 24, 27, 28, 36, 38,42, 54, 57, 63, 76, 84}.
Если диаметр Г больше 3, то ввиду утверждения (3) леммы 5 имеем м ^ 9 ■ 19/8, поэтому м ^ 21 >
Аналогично доказываются следующие две леммы.
Лемма 7. Справедливы следующие утверждения:
(1) если 4 = 4, то М £ {6,8,10,12,14,16,18, 20, 24, 28, 30, 36, 40,42,48, 50,56, 60, 70, 72, 80, 84, 90,100,112,120,126,140} в случае б(Г) > 3 имеем М < 25;
(2) если 4 = 6, то М £ {18, 24, 28, 36,42, 54, 56, 72, 74, 50, 84,108,126,148,168}, в случае б(Г) > 3 имеем м ^ 31.
Лемма 8. Справедливы следующие утверждения:
(1) если 4 = 8, то М £ {32, 36,42,48, 54, 56, 72, 84,96, 98,112,126,144,168,196, 224, 252},
б(Г) > 3 М = 32, 36
(2) если 4 = 9, то М £ {36,42,44,45,54, 55, 60,63, 66, 70,77,81,84,90,99,105, 108,110,126,132,140,154,162,165,189,198, 210, 220, 231, 252, 264,270,297,308,315}, в слу-
б(Г) > 3 М = 36
Лемма 9. Пусть 4 ^ 12 Тогда диаметр Г равен 3 и верны следующие утверждения:
(1) если 4 = 12, то М £ {72, 84,108,112,126,144,146,168, 216, 252, 292, 336, 378}
(2) если 4 = 14, то М £ {72,84,90,102,118,120,126,136,140,168,170,180,196,204,210, 238, 252, 280,294, 306, 360, 392,408,420,476, 490}
(3) если 4 = 15, то М £ {78, 84, 90, 91, 98,105,108,117,126,130,140,135,147,156,180,182, 189,195,196,210, 234, 245, 252, 260, 270, 273, 294, 315, 351, 364, 378,420,441,455,490, 510};
(4) если 4 = 22, то М £ {132,152,154,168,196,198, 224, 252, 264, 266, 294, 308, 342, 392, 396,418,456,462, 504, 528, 588, 616, 684}
(5) если 4 = 24, то М £ {144,160,168,174,180, 210, 216, 232, 224, 240, 252, 270, 280, 288, 290,336,348,360, 378, 406,420,432,464,480, 504, 522, 540, 560, 580, 630, 672, 696, 720, 756, 812, 840}
(6) если 4 = 29, то М £ {180,203,210,225, 252,261,290,300,315, 348,350,406,420,435, 450, 522, 525,580, 609, 630, 700, 725, 812, 870,1015}
(7) если 4 = 30, то М £ {210, 216, 252, 270, 280, 360,362, 420, 504, 540, 630, 724, 840}
(8) если 4 = 36, то М £ {248,252,294,324, 336, 372, 378, 392, 432, 434,496, 504, 558, 588, 648,672, 744, 756, 784, 868, 882,1008,1116,1134}.
< Если 4 ^ 12, то нарушается неравенство 7(4 — 4) ^ м ^ (4 + 6)(64 + 1)/(24 + 2),
Г3
В случае параметров (511, 78, 5,13) имеем 56 < м < 432. Так как м делит 84 ■ 36 ■ 73, то м £ {72,84,108,112,126,144,146,168, 216, 252, 292, 336, 378}.
В случае параметров (595, 90, 5,15) имеем 70 < м < 504. Так как м делит 98 ■ 36 ■ 85, то М £ {72,84,90,102,118,120,126,136,140,168,170,180,196, 204, 210, 238, 252, 280, 294, 306, 360,392,408,420,476, 490}.
В случае параметров (637, 96, 5,16) имеем 77 < м < 540. Так к ак м делит 42 ■ 90 ■ 91, то М £ {78,84,90, 91, 98,105,108,117,126,130,140,135,147,156,180,182,189,195,196, 210,234,245,252, 260, 270, 273,294, 315, 351, 364,378,420,441,455,490,510}.
В случае параметров (931,138, 5, 23) имеем 126 < м < 792. Так как м делит 931 ■ 792, то М £ {132,152,154,168,196,198, 224, 252, 264, 266, 294, 308, 342, 392, 396,418,456, 462,504, 528, 588, 616, 684}
В случае параметров (1015,150, 5,25) имеем 140 < у < 864. Так как у делит 1015 ■ 864, то у £ {144,160,168,174,180, 210, 216, 232, 224, 240, 252, 270, 280,288, 290, 336, 348, 360, 378,406,420,432,464,480, 504, 522, 540, 560, 580, 630, 672, 696, 720, 756, 812, 840}.
В случае параметров (1225,180,5,30) имеем 175 < у < 1044. Так как у делит 1225 ■ 1044, то у £ {180,203,210, 225, 252, 261, 290, 300, 315, 348, 350,406, 420,435,450, 522, 525,580,609,630, 700, 725, 812, 870,1015}.
В случае параметров (1267,186, 5, 31) имеем 182 < у < 1080. Так как у делит 1267 ■ 1080, то у £ {210, 216, 252, 270, 280, 360, 362,420, 504, 540, 630, 724, 840}.
(1519, 252, 5, 37) 224 < у < 1296 у
1519 ■ 1296, то у £ {248, 252, 294, 324, 336, 372, 378, 392,432,434,496,504, 558,588,648,672,
744,756,784,868, 882,1008,1116,1134}.
>
3. Дистанционно регулярные локально псевдо р^5_5(8,4)-графы
Г
й ^ 3, в котором окрестности вершин — псевдогеометрические исключительные графы для р^5_5(8, 4). Пусть 00 >01 > ■ ■ ■ > — собственные значения графа Г. Зафиксируем вершину и £ Г и положим кг = |Гг(и)|. Если 8 = 6, то по [8, теорема 4.4.3] верны неравенства —(4 + 1) ^ Ъ_ = —1 — Ъ1/(01 + 1) и 5 ^ Ъ+ = —1 — Ъ1/(0^ + 1). Так как Ъ1 = 36, то 0Л > —64 — 1 и 01 < 35. Ввиду границы Тервиллпгера [6, следствие 5.2.2] имеем й ^ (к + с^)/(а1 + 2), поэтому й ^ 14(64 + 1)/(64 + 8).
Лемма 10. Если й ^ 4, то верно одно из утверждений:
(1) 8 = 6, 4 = 4 и Г — граф с массивом пересечений {175,144,40,1; 1,10,144,175};
(2) 8 = 7, 4 = 1 и Г — половинный 9-куб.
< Пусть дпаметр Г больше 3 и и, т, ж, у, г — геодезический путь в Г. В случае 8 = 7 по лемме 3 имеем 4 = 1 и 32у ^ 36 ■ 7, поэтому у = 6 и у-подграфы в Г — октаэдры. Далее, для вершины и £ Г граф А = [и] — треугольный граф Т(9). В этом случае Г —
9
Если 8 = 6, то по лемме 2 имеем 4 £ {3,4, 6, 8, 9} и у ^ (4 + 6)(64 + 1)/(24 + 2). Далее, 7(4 — 4) ^ у и в случае 4 = 9 имеем 35 ^ у ^ 41. Так как у делит 7(64 + 1)364, то в этом случае у = 36 к2 = 63 ■ 55. По лемме 2 имеем 125236Ъ2 ^ (385 — 36)(385 — Ъ2)152, поэтому Ъ2 ^ 47. С другой стороны, сз ^ 3у/2 = 54, поэтому й = 4. С помощью компьютерных вычислений получим, что в этом случае допустимых массивов пересечений нет.
По [6, лемма 3.2.1] средняя степень графа не превосходит его наибольшего собственного значения, причем равенство достигается только в случае регулярного графа. Поэтому мы ищем шар наименьшего радиуса г, в котором средняя степень не меньше —Ъ1 / (п2 + 1) — 1) гДе П1 > П2 — неглавные собственные значения окрестности верши-
Г
радиуса г, значит, й ^ 2г + 1.
По условию окрестности вершин в Г сильно регулярны с параметрами (424 + 7, 64 + 6, 5,4 + 1). Тогда Ъ1 = 364, п1 = 5,п2 = —(4 + 1). Если й > 4, то к = к — Ъ2к2/у2 < —Ъ1 /(п2+1) —1 = 35, противоречие. Значит, й ^ 4. С помощью компьютерных вычислений получим, что 4 = 4 и Г имеет массив пересечений {175,144,40,1; 1,10,144,175} >
Замечание. Графа с массивом пересечений {175,144,40,1;1,10,144,175} не существует.
< Граф с массивом пересечений {175,144,40,1; 1,10,144,175} является АТ4(5, 5, 5)-
>
Лемма 11. Если d = 3 и s ^ s = 7, t = 18 и Г ^ граф с массивом пересечений {512, 378,1; 1,189, 512}.
< Пусть диаметр Г равен 3.
Если s = 9, то по лемме 4 имеем t = 12 k = 280 bi = 162 и 118 ^ ^ ^ 162. Ввиду леммы 1 получим ц ^ 108, противоречие.
Если s = 8, то t = 2,4, 6,9,10,12,14,18, 24, 30, 34, 39,42, 54, 66, 74, 84 и ввиду леммы 2 имеем k(3t - 2)/(8t + 3) ^ ^ ^ 4k/9, где k = 3(8t + 3). Так как bi = 22t + 1, то по лемме 1 имеем ц < (44t + 2)/3. С помощью компьютерных вычислений получим, что в этом случае допустимых массивов пересечений нет.
Если s = 7, то t = 1,4, 6, 8, 9,14,15,18, 22, 24, 29, 34, 36, 50, 54 и ввиду леммы 2 имеем k(2t — 3)/(7t + 2) ^ ^ ^ 3k/8 гДе k = 4(7t + 2). Так как b1 = 27t + 1, то по лемме 1 имеем ^ < (54t + 2)/3. С помощью компьютерных вычислений получим, что в этом случае t = 18 и Г — граф с массивом пересечений {512, 378,1; 1,189,512} >
d = 3 s = 6 t = 4 Г
{175,144, 22; 1, 24,154} или {175,144,1;1,12,175} либо t = 8 и Г — граф с массивом пересечений {343, 288,1; 1, 96, 343}.
< Пусть диам етр Г равен 3 и s = 6.
Если t = 3, то ввиду леммы 1 и теоремы 2 имеем 6 ^ ^ ^ 63. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.
Если t = 4, т0 ввиду леммы 1 и теоремы 2 имеем 6 ^ ^ ^ 90. С помощью компьютерных вычислений получим, что Г — граф с массивом пересечений {175,144, 22; 1, 24,154} или {175,144,1; 1,12,175}.
Если t = 6, то ввиду леммы 1 и теоремы 2 имеем 18 ^ ^ ^ 126. В любом случае допустимых массивов пересечений нет.
Если t = 8, то ввиду леммы 1 и теоремы 2 имеем 32 ^ ^ ^ 168. С помощью компьютерных вычислений получим, что Г — граф с массивом пересечений {343, 288,1; 1, 96, 343}.
В случае t > 8 допустимых массивов пересечений нет. Лемма 12 и следствие из § 1 доказаны. >
Литература
1. Гутнова А. К., Махнев А. А. Расширения псевдогеометрических графов для pGa-4,(s, t) // Влади-кавк. мат. жури.—2015.—Т. 17, № 1.—С. 21-30.
2. Makhnev A. A. Strongly regular graphs with nonprincipal eigenvalue 5 and its extensions // International conference «Groups and Graphs, Algorithms and Automata».—Yekaterinburg: Abstracts, 2015.—C. 68.
3. Kooleii J. H., Park J. Distance-regular graphs with ai or C2 at least half the valency // J. Comb. Theory, Ser. A.-2012.-Vol. 119.—P. 546-555.
4. Bromver A. E., Haemers W. H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb.-1993.-Vol. 14.-P. 397-407.
5. Bromver A. E., Haemers W. H. Spectra of graphs (course notes).—http://www.win.tue.nl/ aeb/.
6. Bromver A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs.—Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.
7. Jurisic A., Kooleii J. Classification of the family AT4(qs, q, q) of antipodal tight graphs // J. Comb. Theory.-2011.-Vol. 118, № 3.-P. 842-852.
Статья поступила 18 февраля 2016 г. Гутнова Алина Казбековна
Северо-Осетииский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: gutnovaalinaflgmail. com
Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отделом алгебры и топологии
РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev0imm.uran.ru
EXTENSIONS OF PSEUDOGEOMETRIC GRAPHS FOR pGs-5(s,t) Gutnova A. K., Makhnev A. A.
J. Koolen posed the problem of studying distance-regular graphs in which neighborhoods of vertices are strongly regular graphs with the second eigenvalue < t for a given positive integer t. This problem is reduced to the description of distance-regular graphs in which neighborhoods of vertices are strongly regular graphs with non-principal eigenvalue t for t = 1, 2,... In the article by A. K. Gutnova and A. A. Makhnev «Extensions of pseudogeometrical graphs for pGs-4(s,t)» the Koolen problem was solved for t = 4 and for pseudogeometrical neighborhoods of vertices. In the article of A. A. Makhnev «Strongly regular graphs with nonprincipal eigenvalue 5 and its extensions» the Koolen problem for t = 5 was reduced to the case where the neighborhoods of vertices are exceptional graphs. In this paper intersection arrays for distance-regular graphs whose local subgraphs are exceptional pseudogeometric graphs for pGs-s(s,t).
Key words: distance-regular graph, pseudogeometric graph, eigenvalue of graph.
