Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {39,30,4;1,5,36} Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 2, С. 11-17

УДК 519.17

ОБ АВТОМОРФИЗМАХ ДИСТАНЦИОННО РЕГУЛЯРНОГО ГРАФА С МАССИВОМ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ {39, 30,4; 1, 5, 36}1

А. К. Гутнова, А. А. Махнев

В работе найдены возможные порядки и строение подграфов неподвижных точек автоморфизмов дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {39, 30, 4; 1, 5, 36}.

Ключевые слова: сильно регулярный граф, симметричный граф, дистанционно регулярный граф, группа автоморфизмов графа.

1. Введение

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины а граф а Г через Г^(а) обозначим ¿-окрестность вершины а, т. е. подграф, индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии г от а. Положим [а] = Г^а), а± = {а} и [а].

Пусть Г — граф, а,Ь £ Г. Тогда число вершин в [а] П [Ъ] обозначается через ^(а,Ъ) (через А (а, Ъ)), есл и а, Ъ находятся на расстоянии 2 (с межны) в Г. Далее, индуцированный [а] П [Ъ] подграф называется ^подграфом (А-подграфом). Еели Г — граф диаметра ё, то через Гг, где г ^ ё, обозначается граф с тем же множеством вершин, что и Г, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они находятся на расстоянии г в Г.

Если вершины и, ш находятся на расстоянии г в Г т0 через Ъг(и, ш) (через Сг(и, ш)) обозначим число вершин в пересечении Гг+1(и) (Гг_1(и)) с [ш]. Граф Г диаметра ё называется дистанционно регулярным с массивом, пересечений {Ъ0, Ъ1,..., Ъа_1; с1,... }, если значения Ъг(и, ш) и Сг(и, ш) те зависят от выбора вершин и, ш на расстоянии г в Г для любого г = 0,..., й. Положим аг = к — Ъг — Сг. Заметим, что для дистанционно регулярного графа Ъо = к — это степень графа, С1 = 1. Дистанционно регулярный граф Г диаметра 2 называется сильно регулярным с параметрами (у, к, А, где А = а1,^ = с2.

Далее, через р-(ж, у) обозначим число вершин в подграфе Гг(ж) П Г (у) для вершин ж, V, находящихся на расстоянии I в графе Г. В дистанционно регулярном графе числа р- (ж, у) не зависят от выбора вершин ж, V) обозначаются р- и называются числами Г

Г

чениями во >01 > 02 > вз- Если 02 = —1, то по предложению 4.2.17 из [1] граф Гз сильно регулярен и Г — антиподальный граф тогда и только тогда, когда Гз — коклика.

© 2017 Гутнова А. К., Махнев А. А.

1 Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 15-11-10025 (теорема 1) и соглашения между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским федеральным университетом от 27.08.2013, № 02.А03.21.0006 (следствие 1).

Пусть Г является дистанционно регулярным графом и графы Г2, Г3 сильно регулярны. Если к < 44, то Г имеет массив пересечений {19,12, 5; 1,4,15} {35, 24, 8; 1, 6, 28} или {39, 30,4; 1, 5, 36}. В первых двух случаях согласно [2, с. 211] и [3] граф не существует. В данной работе найдены возможные автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {39, 30,4; 1, 5, 36}. Г

{39, 30,4; 1, 5, 36} Тогда Г имеет спектр 391, 978, -1117, -6104 и V = 1 + 39 + 234 + 26 = 300 вершин.

Г

{39, 30,4;1, 5, 36} О = Аи^Г), д — элемент простого порядка из О и П = Их(д). Тогда п(О) С {2, 3, 5,13} и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) п — пустой граф, либо р = 5, а3(д) = 505 и а2(д) = 754, либо р = 3, а3(д) = 305 и а2(д) = 454, либо р = 2, а2(д) = 0 и а3(д) = 205;

(2) П является п-кликой, либо р =13 п = 1 °3(д) = 1305 + 26 и а2(д) = 1954 + 39, либо р = 2, п = 2,4, 6, а3 (д) = 20^ — 4п и а2(д) = 304 — 6п;

(3) П состоит из т вершин, попарно находящихся на расстоянии 3 в Г р = 3 и либо т = 3 а3(д) = 305 — 12 ^ 180 5 = 1,2,..., 6, а2(д) = 454 — 18 либо т = 6, а3(д) = 6,36, а2(д) = 454 — 36;

(4) П содержит вершины 6, с, находящиеся на расстоянии 2 в Г, р = 2, 3 и |П| ^ 60.

Г

{39, 30,4; 1, 5, 36} группа О = Аи^Г) действует транзнтпвно на множестве вершин графа Г Т — цоколь группы О = 0/5(0). Тогда 13 не делит |О|. В частноети, О действует

Г

Лемма 1. Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {39, 30,4; 1, 5, 36} имеет следующие числа пересечений:

(1) р111 = 8 р112 = 30 р213 = 24 р122 = 180 р313 = 2;

(2) р?1 = 5 р?2 = 30 р23 = 4 р22 = 183, р23 = 20, р§3 = 2;

(3) р312 = 36 р313 = 3 р233 = 18 р322 = 180 р333 = 4

< Вычисления с помощью леммы 4.1.7 из [1]. >

Г

{39, 30,4; 1, 5, 36}. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) граф Г3 сильно регулярен с параметрами (300, 26,4, 2) и спектром 261,6117, —4182;

(2) дополнительный граф £ для Г2 сильно регулярен с параметрами (300, 65,10,15) и спектром 651, 5196, —10103, окрестность вершины а в графе £ имеет разбиение двумя регулярными подграфами: Д1 степени 7 на 26 вершинах и Д2 степени 8 на 39 вершинах, вершина из Д1 смежна с 3 вершинами из Д2, вершина из Д2 смежна с 2 вершинами

Д1;

(3) вершина из £2(а) смежна с 6 вершинами из Д^ с 9 вершинами из Д2-

< Положим Д = Г3. По замечанию после предложения 4.2.18 из [1] собственные значения графа Д равны (в2 + (с2—а1)в — к)/с2, когда в пробегает множество собственных значений графа Г. При в = —1 получим в2(Д) = —(61 + с2)/с2 и С2 делит 61.

Заметим, что к(Д) = к + к2 = к(1 + б1/с2) делится па в2(Д), поэтому Д — псевдогеометрический граф для р0сз (к,б1/с2)• Отсюда Д — псевдогеометрический граф для р03б(39, 6) и граф Г3 сильно регулярен с параметрами (300, 26,4, 2).

£ Г2 (300, 65,10,15) и спектром 65} 5196, —10103.

Для вершины a G £ подграф Г3(а) индуцирует в £ граф Ai степени 7 на 26 вершинах и ri(a) индуцирует в £ граф A2 степени 8 на 39 вер шипах. >

Лемма 3 [4, теорема 3.2]. Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (v, к, А, и собственными значениями к, r, — m. Если g — автоморфизм Г и fi = Fix(g), то ^ v ■ шах{А,^}/(к — r).

Пусть g — неединичный автоморфизм дистанционно регулярного графа Г и fi = Fix(g). Если Г имеет массив пересечений {39,30,4;1,5,36}, то ввиду леммы 3 имеем |fi| < 60.

Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы опирается па метод Хиг-

Г

рассматривается как симметричная схема отношений (X, R) с d классами, где X — множество вершин графа, Ro — отношение равенства на X и для i ^ 1 класс Ri состоит из пар (u, w) таких, что d(u, w) = i. Для u G Г положим ki = ^i(u)^ v = |Г|. Классу Ri отвечает гр аф Г i на множестве ве ршин X, в котором вершины u, w смежны, если (u, w) G Ri. Пусть Ai — матрица смежности графа Г для i > 0 и Ao = I — единичная матрица. Тогда AiAj = ^ pj A¿ для чисел иересечений pj.

Пусть Pi — матрица, в которой на месте (j, l) стоит pj. Тогда собственные значения pi (0),..., pi (d) матрицы Pi являются собственными значениями графа Г кратностей m0 = 1,... Матрицы P и Q, у которых на месте (i, j) стоят pj(i) и qj(i) = mjpi(j)/ni соответственно, называются первой u, второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством PQ = QP = vP

Пусть uj и wj — левый и правый собственные векторы матрицы Pi, отвечающие собственному значению pi (j) и имеющие первую координату 1. Тогда кратность mj собственного значения pi (j) равна v/(uj,wj), где (•, •) — скалярное произведение в евклидовом пространстве Md+i (см. [4, теорема 17.12]). Фактически, из доказательства теоремы 17.12 следует, что wj являются столбцами матрицы P и mjuj являются строками матрицы Q.

Подстановочное представление группы G = Аи^Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ф группы G в GL(v, C). Пространство Cv является ортогональной прямой суммой собственных подпространств Wo,..., Wd матрицы смежности A = Ai граф а Г Для люб ого g G G матрица ^(g) перестановоч на с A, поэтому подпространство Wi является ф^)-ипвариаптпым. Пусть Xi — характер представления фwi• Тогда (см. [5, §3.7]) для g G G получим

d

Xi(g) = Qij aj (g),

j=o

где aj (g) — число то чек ж из X таких, что d(x, xg) = j. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и если правая часть выражения для Xi(g) — число рациональное, то Xi(g) _ целое число.

Г

{39, 30,4; 1, 5, 36} G = АШ;(Г). Если g G G, x2 — характер проекции представления ф на подпространство размерности 117 Хз — характер проекции предетавлепия ф на подпространство размерности 104, то ai(g) = ai(gl) для любого натурального числа I, взаимно | g|

4ao (g) + a3 (g) 6ao (g) + a2(g) X2 (9) =-^-, Хз (9)= 15_16 ■

Если |д| = р — простое число, то х2(д) — 117 и Х3(д) — 104 делятся на р.

( 1 1 1 1 \

78 18 —2 —12

117 —3 —3 27 .

\ 104 —16 4 —16 )

Поэтому х2(д) = (39а0(д) — а1(д) — а2(д) + 9а3(д))/100. Подставляя а1(д) + а2(д) = 300 — а0(д) — од(д), получим х2(д) = (4а (д) + од(д))/10 — 3.

Далее, х3(д) = (26а0(д) — 4а1 (д) + а2(д) — 4а3(д))/75. Учитывая равенство а0(д) + «1(д) + «2(д) + а3(д) = 300 получим х3(д) = (6а(д) + од(д))/15 — 16.

Остальные утверждения леммы следуют из [6, лемма 1]. >

{39, 30, 4; 1, 5, 36}

Г

фом с массивом пересечений {39, 30,4;1, 5, 36} О = Аи^Г), д — элемент простого порядка р из О и П = Пх(д).

Лемма 5. Выполняются следующие утверждения:

(1) если П — пустой граф, то либо р = 5, ОД (д) = 505 и од(д) = 754 и О не содержит элементов порядка 25, либо р = 3 ОД (д) = 30«, а2(д) = 454, либо р = 2, а2 (д) = 0 и ОД (д) = 20«

(2) если П является п-кликой, то либо р = 13 п = 1, од(д) = 1305 + 26 ж а2 (д) = 1954 + 39, либо р = 2 п = 2,4, 6, а3(д) = 205 — 4п ж а2(д) = 304 — 6п;

(3) П т 3 Г р = 3 ж либо т = 3 а3(д) = 30« — 12 ^ 180 5 = 1,2,..., 6, а2(д) = 454 — 18 либо т = 6, а3(д) = 6, 36 а2(д) = 454 — 36;

(4) если [а] С П для некоторой вершины а, то р = 2.

< Пусть П — пустой граф. Так как 300 = 12 ■ 25, то р = 2, 3 или 5. Для I > 0 положим а (д) = р-ш».

Пусть р = 5. Так как х2(д) — 117 делится па 5, то а3(д) = 505. Далее, х3(д) — 104 делится па 5, поэтому од(д) = 754. Допустим, что О содержит элемент / порядка 25, д = /5. Тогда х2(д) = ОД(д)/10 — 3 и х2(д) — 117 делится па 25, поэтому а3(д) = 200, Х3 (д) = ОД (д)/15 — 16 и Х3(д) — 104 делится па 25, по этому од(д) = 300, противоречие.

Пусть р = 3. Так как х2(д) — 117 делится па 3, то а3(д) = 305. Далее, х3(д) — 104 делится па 3, поэтому а (д) = 454.

Пусть р = 2. Так как с2 = 5, то а2(д) = 0. Далее, число х2(д) = (4а0(д) + а3(д))/10 — 3 нечетно, поэтому од (д) = 205.

Пусть П является п-кликой. Если п = 1, то р делит 39 и 26, поэтому р = 13. Далее, х2(д) = (4+а3(д))/10—3и од(д) = 1305+26, х3(д) = (6+а2(д))/15 —16 и од(д) = 1954+39.

Пусть п > 1. Ввиду границы Дельсарта имеем п ^ 1 + 39/6 и р делит 26 и 300 — п. Так как а1 = 8, то ^даит 10 — п, р = 2 п = 2,4, 6 число х2(д) = (4п + а(д))/10 — 3 нечетно и а3(д) = 205 — 4п. Далее, число х3(д) = (6п + а2 (д))/15 — 16 четно и а2(д) = 304 — 6п.

Пусть П состоит из т вершин, попарно находящихся па расстоянии 3. Тогда П является кликой в Г3 и т ^ 6. Далее, р делит 39, 300 — т и 6 — т, поэтому р = 3, число х2(д) = (4т + 0:3 (д))/10 — 3 делится на 3, по этому од(д) = 305 — 4т. Отсюда т = 3 ОД(д) = 305 — 12 ^ 180 и 5 = 1,2,..., 6 ми т = 6, а3(д) = 6,36. Число х3(д) — 104 = (6т + а2(д))/15 — 120 делится на 3, поэтому а2(д) = 454 — 6т.

< Имеем

Я =

Пусть [а] С fi для некоторой вер шины а. Если p ^ 5, то [u] П [а] является 5-кликой для u G Г2(а) — fi, противоречие с тем, что для двух вершин b, c G [u] П [а] подграф [b] П [c] содержит а, 3 вершины из [u] П [а] и 5 вершин из u^. Если p = 3, то с учетом равенств Рзз = 8 и р3з = 3 имеем Гз(а) С fi. Противоречие с тем, что |fi| ^ 60. >

Лемма 6. Выполняются следующие утверждения:

(1) если fi содержит вершины b, c, находящиеся на расстоянии 2 в Г, то p ^ 3;

(2) если p = 3 и |Cg (g) | делится на 25, то fi — пустой граф и либо аз (g) = 300, либо аз (g) = ai (g) = 150, либо a2(g) = 225, ai (g) = 75.

< Если p ^ 11, то fi — вполне регулярный граф с Л = 8 ^ = 5 и степени k' ^ 10. В случае Гз(а) С fi с учетом равенств p3з = 3 и p3з = 2, получим [а] С fi, противоречие с леммой 11. Значит, p = 11 и |Гз(а) П fi| = 4 для любой вершины а G fi. Противоречие с тем, что в этом случае получим |fi^)| = 6.

В случае p = 7 для а G fi подграф Гз(а) П fi имеет 12 вершин, ^(а)| = 18 и 51fi2(а)| = 16y + 9(18 — y), поэтому y = 4 и |fi2(а)| = 38, противоречие с тем, что |fi| ^ 60.

В случае p = 5 для а G fi подграф Гз(а) П fi имеет 16 вер шин, |fi^)| = 24 и |fi2^)| ^ 24 ■15/5, противоречие. p = 2, 3

Пусть p = 3 и | Cg (g) | делится па 25 Если fi — непустой граф, то |fi| делится па 75, противоречие. Значит, fi — пустой граф и числа аз (g) = 30s a2(g) = 45t делятся па 25. Отсюда либо аз (g) = 300, либо a3(g) = a1(g) = 150 либо a2(g) = 225 a1(g) = 75. >

3. Граф с массивом пересечений {39, 30,4; 1, 5, 36}: вершинно симметричный случай

До конца работы будем предполагать, что G действует транзитивно па множестве вершин графа Г и 13 делит |G|. Тогда |G : Ga| = 300 и n(G) = {2, 3, 5,13}.

Лемма 7. Если f — элемент порядка 13 из G, g — элемент простого порядка p =13 из Cg (f ) и fi = Fix(g), то p = 2, |fi| = 14 аз (g) = 104, a2(g) = 156 и a2(g) = 26,

в частности, |CG(f )| не делится на 4.

< Ввиду теоремы 1 Fix(f ) = {а} — одновершинный граф, аз (f ) = 130s + 26 и а2^) = 195t + 39.

Если fi является n-кликой, то p = 2, n = 2,4, 6. Противоречие с действием f на fi.

Если fi состоит из m вершин, попарно находящихся на расстоянии 3 в Г, то m = 3 или m = 6, противоречие.

Пусть fi содержит верш ины b, c, находящиеся на расстоя нии 2 в Г Тогд а |fi| = 131 + 1. Eonnp = 3, то 1 = 2, Х2(g) = (521+4+аз^))/10—3 делится на 3, поэтому аз^) = 30m+12. Далее, x^g) = (781 + 6 + а2^))/15 — 16 и а2(g) = 45n + 18 Так как числа аз(g) а2^) делятся па 13, то 5m + 2 и 5n + 2 делятся на 13, поэтому m = n = 10, противоречие.

Если p = 2, то 1 = 1, 3, число X2(g) = (521 + 4 + аз^))/10 — 3 нечетно, поэтому аз (g) = 20m + 81 — 4 Далее, чиело x^g) = (781 + 6 + а2^))/15 — 16 четно и а2 (g) = 30n + 121 — 6. Так как числа аз (g) а2 (g) делятся на 13, то 5m + 21 — 1 и 5n + 21 — 1 делятся на 13. Если 1 = 1, то m = n = 5, а если 1 = 3, то m = n = 10 Отсюда аз^) = 104, а2^) = 156. >

Лемма 8. Выполняются следующие утверждения:

(1) разрешимый радикал S(G) является {2, 3}-груипой;

(2) цоколь T группы G = G/S (G) нзомор ен ¿2(25), Ta —диэдральная группа порядк-са 26 и S(G) = 1.

< Так как V = 300, то 5(О) является {2, 3, 5}-группой. Ввиду леммы 7 число (О)| не делится на 5.

Пусть Т — цоколь группы О = О/Й^О). По [7, теорема 1] группа Т изоморфна Ь2(25), и3(4) 2^4(2)'. Далее, |Т : Та| делится на 25 и делит 300. Поэтому Т = Ь2(25), Та —

дпэдральная группа порядка 26 индекса 300 в Т. Отсюда 5(О) = 1. >

ТО

.¿2(25) и Та — диэдральная группа порядка 26. Компьютерные вычисления показывают,

{39, 30, 4; 1, 5, 36}

кает. Следствие 1 доказано.

Литература

1. Bromver А. Е., Cohen А. М., Neumaier A. Distance-regular Graphs.^Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

2. Degraer J. Isomorph-free exhaustive generation algorithms for association schemes: PhD Thesis.—Univ. Ghent, 2007.—221 pp.

3. Jurisic A., Vidali J. Extremal 1-codes in distance-regular graphs of diameter 3 // Des. Codes Cryptogr.^ 2012.—Vol. 65.^P. 29-47.

4. Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with nontrivial automorphisms // Discrete Math.— 2011.—Vol. 311.-P. 132-144.

5. Cameron P. J. Permutation Groups.^Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.^(London Math. Soc. Student Texts № 45).

6. Гаврилюк A. JI., Махнев А. А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {56, 45,1; 1, 9, 56} // Докл. АН.-2010.^Т. 432, № 5.—С. 512-515.

7. Zavarnitsine А. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean Electr. Math. Reports.—2009.—Vol. 6.-P. 1-12.

Статья поступила 20 декабря 2016 г. Гутнова Алина Казбековна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: gutnovaalina@gmail.com

Махнев Александр Алексеевич Институт математики и механики УрО РАН, зав. отделом алгебры и топологии

РОССИЯ, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 E-mail: makhnev@imm.uran.ru

ON AUTOMORPHISMS OF A DISTANCE-REGULAR GRAPH WITH INTERSECTION OF ARRAYS {39, 30,4; 1, 5, 36}

Gutnova A. K., Makhnev A. A.

J. Koolen posed the problem of studying distance-regular graphs in which neighborhoods of vertices are strongly regular graphs with the second eigenvalue < t for a given positive integer t. This problem is reduced to the description of distance-regular graphs in which neighborhoods of vertices are strongly regular graphs with non-principal eigenvalue t for t = 1, 2,... Let r be a distance regular graph of diameter 3 with eigenvalues 0o > 01 > 02 > 03- If 02 = —1, then by Proposition 4.2.17 from the book «Distance-Regular Graphs» (Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A.) the graph T3 is strongly regular and r is an antipodal graph if and only if r3 is a coclique. Let r be a distance-regular graph and the graphs T2, r3 are strongly regular. If k < 44, then r has an intersection array {19,12, 5; 1, 4, 15}, {35, 24, 8; 1, 6, 28} or {39, 30, 4; 1, 5, 36}. In the first two cases the graph does not exist according to the works of Degraer J. «Isomorph-free exhaustive generation algorithms for association schemes» and Jurisic A., Vidali J. «Extremal 1-codes in distance-regular graphs of diameter 3». In this paper we found the possible automorphisms of a distance regular graph with an array of intersections {39, 30, 4; 1, 5, 36}.

Key words: regular graph, symmetric graph, distance-regular graph, automorphism groups of graph.